纯弯曲理论在横力弯曲中的推广·梁的正应力强度条件

(a) A
P
B C
q P b
D
IZ 5493104 mm4 ，铸铁的许用
bb
b
拉应力 σ t 30MPa ，许用压
Pb 2
应力 σ c 90MPa 。试求梁的
(b)
许可荷载 P
+
Pb
4
例题 5-4 图
解：
最大负弯矩在 B 截面上，最大 正弯矩在 C 上。
Pb
MB= 2
Pb Mc 4
(a) A
试根据截面 最为 合理的要求：
确定 T 字形截面梁横截面 的一个尺寸（图 b）
校核梁的强度
P=80KN B
1m 2m
(a) 例题 5-3 图
y
2y
z
σ c max
oz
y 1
σ t max
y
220
(c)
(b)
解： 要使截面最合理，必须使同一截面的
σ σ t max
t
σ σ c max
c
因为这样就可使材料的拉，压强度得到同等成度的利用。
纯弯曲时所作的 平面假设 和 各 纵 向线 段 间 互 不 挤 压 的假设都不成立 。
但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式（5 -2）可 以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力 。
等直梁 横力弯曲 时横截面上的正应力公式为
σ max
=
M (x)
Wz
（5 -4 b）
RA
P
A
C
5m 10m
RB
σ σ t max
c max
（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
σ t max [σ t]
σ cmax σ c
例题 5-3 跨长 l = 2m 的铸铁
梁受力如图 a 所示。已知材料
的拉，压许用应力分别为
A
σ t 30MPa,σ c 90MPa.
P
B C
q P b
D
bb
b
Pb 2
(b)
+
Pb 4
例题 5-4 图
梁的截面图如图 C 所示。 中性轴到上，下边缘的 距离分别为
y1 86mm y2 134mm
180 86
120
z
C
20
y
20
(c)
Pb
2
120
180 86
+
Pb
4
z
C
C 截面
σ t max
MC y2 IZ
σt
σ cmax
max
M max Wz
（5-6）
根椐强度条件，可解决工程中常见的下列三类问题。
可对梁按正应力进行强度校核 选择梁的截面 确定梁的许可荷载
M max
Wz
Wz
M max
Mmax Wz
对于铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的
σ t σ c
且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的
σ M max
max
Wz
为最小，即
q
D
E
A CB
a
la
2
l
(a) （b）
例题 5-2 图
qa 2
2
+
ql2
qa 2
-
8
2
ql2 qal qa2
82 2
( 4l ± 16l2+16l2) a=
8
解得
a 0.207l
q
D
E
A CB
a
la
2
l
(a) （b）
例题 5-2 图
qa 2
2
+
ql2
qa 2
-
解 ： C 截面为危险截面。
+
最大弯矩
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
375KN.m (b)
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
梁的最大正应力
σ max
M
max
Wz
160MPa
a点的正应力
a点到中性轴的距离为
a
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ
a
y
2y
y 1
已知 由于
z
y
220
(b)
σ t σ c
30 90
1 3
σ t max My1
Iz
σ cmax My2
Iz
σ c max
oz
σ t max
(c)
y
2y
y 1
所以
σ c max
z
oz
y
220
(b)
σ t max σ c max
y1 y2
σ t σ C
1 3
σ t max
(c)
（1）
MC y1 IZ
8
2
II、 梁的正应力强度条件
等直梁的最大正应力发生在 最大弯矩 的横截面上距中
性轴最远的各点处 。 该处的剪应力都等于零，纵截面上由横向力引起的挤压
应力可略去不计。 因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，
看作 单轴应力状态 。
梁的正应力强度条件为：
σ 梁的横截面上最大工作正应力 max 不得超过材料的许 用弯曲正应力 σ ，即
B a
12.5
z
166
(a)
例题 5 -1 图
(b)
例题 5 -1 图 a 所示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，
其横截面见图 (b), p = 150kN。求
RA
P
A
C
5m 10m
RB
B a
12.5
z
166
(a)
例题 5 -1 图
(b)
σ 梁上的最大正应力 max
同一截面上 翼缘与 腹板交 界处 a 点的 应力
M
max
Iz
ya
145MPa
12.5
z
166
例 5-2 受均布荷载作用的等直外伸梁如图a 所示。试求 当最大应力为 max最小时的支座位置。
q
D
E
A CB
a
la
2
l
(a)
例题 5-2 图
解： 只有当支座处截面与跨中 截面之弯矩的绝对值相等 时，才能使梁的最大弯矩 的绝对值为最小。对于等 截面梁，其最大正应力
220 60
280
210
60 2
2
99.3106 m4
M max
Pl 4
40KN .m
于是
y
2y
σ c max
Mmax y2 Iz
84.8MPa
y 1
σ c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此梁满足强度条件 。
1 z
2
y
220
梁的最大拉应力是否需要校核？
例题 5-4 一槽形截面铸铁梁 如图a所示。以知，b = 2 m ,
y1 y2 280mm
y
2y
1 z
σ c max
oz
y
1
2
y
220
(b)
σ t max
(c)
即得 y y2 210（以上边缘为参考边） （2）
A1 (280 60)δ A2 220 60
y1
280 2
60
y2
280
60 2
y A1 y1 A2 y2 A1 A2
y
2y
y 1
1 z
2
y
220
(b)
σ c max
oz
σ t max
(c)
(280
60)δ (280
60 ) + 60 ×220(280
60 )
y=
2
2
(280 60)δ + 60 ×220
（3）
y
2y
y 1
1 z
2
y
220
校核梁的强度 截面对中性轴的惯性矩为
Iz
24 2203 12
24 2202101102
220 603 12
§ 5 - 3 纯弯曲理论在横力弯曲中的推广 梁的正应力强度条件
I、 纯弯曲理论的推广
当梁上有横向力作用时，横截面上既又 弯矩 又有 剪力 。 梁在此种情况下的弯曲称为 横力弯曲。
横力弯曲时，梁的横截面上既又正应力 ，又有剪应力 。 剪应力使横截面发生翘曲。
横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力。