一元二次方程知识点总结与易错题

一元二次方程知识点总结

考点一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次

多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(242

2≥--±-=ac b a

ac b b x

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a

b ，二根之积等于

a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a

b ，x 1 x 2=a

c

。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，

ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a

c

x x =21。也就是

说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系

二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如

2

y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数。

2. 二次函数2

y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2

y ax c =+的性质：

上加下减。

3.

()

2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4.

()2

y a x h k

=-+的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式

()2

y a x h k

=-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2

y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2

（或

m c bx ax y -++=2

） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，

c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数

()2

y a x h k

=-+与2

y ax bx c =++的比较

从解析式上看，

()2y a x h k

=-+与

2

y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中

2

424b ac b h k a a -=-=

，． 五、二次函数

2

y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2

()y a x h k =-+，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、

与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若

与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2

y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．

当

2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a =-

时，y 有最

小值2

44ac b a -．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当

2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-

时，y 有最大值2

44ac b a -．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2

y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2

()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；