高级宏观经济学之索罗增长模型
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每单位有效劳动 的实际投资 有效折旧： 有效折旧：为保持 k在现有水平所必 在现有水平所必 须进行的投资。 须进行的投资。
& 增加 k (t ) f 0 k增加 & 下降 k (t ) p 0 k下降
& k (t ) = 0
k不变 不变
13
2012-5-1
2、稳态 、
稳态： 稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的 状况， 状况，即 k (t ) = 0 平衡增长（ 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例， 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中， 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。 的路径也是平衡增长的路径。
一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶， 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行， 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。 可以从事物的自然进程中产生。 ——亚当 斯密 亚当.斯密 亚当
2012-5-1
1
问题提出
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性， 如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k) 每单位有效劳动的资本获得的总产出是
2012-5-1 10
f(k)
f(k) c sf(k) f(k) sf(k)
图形表示
0 新古典生产函数
k
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 曲线的斜率即为资本的边际产出。 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s， 表示消费 表示消费） 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率 ，c表示消费） 。（假定外生不变的储蓄率
& K (t ) = sY (t ) − δK (t )
12
三、模型的动态学
1、k的动态学 、 的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此， 点分析资本的变化。 点分析资本的变化。 单位有效劳动资本存量的变化： 单位有效劳动资本存量的变化：
& k(t) = sf (k(t)) − (n + g +δ )k(t)
2012-5-1
6
2、关于生产函数的假设 、
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件： 第三，稻田条件：
li m F K = li m F L = ∞
K → 0 L→ 0 K → ∞
变量 K L A AL Y C k(Y/AL) K/L y(Y/AL) Y/L c(Y/AL) C/L K/Y 含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资 本 人均资本 有效劳动的人均产 出 人均产出 有效劳动的人均消 费 人均消费 资本产出比 平衡增长速度 n+g n g n+g n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 备注证明 k=K/AL
2012-5-1
5
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性）， （哈罗德中性）， 如果知识进入的形式不是 而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 （索洛中性） 而是 （ 性），结果会有何不同？ ），结果会有何不同？ 结果会有何不同 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2012-5-1 3
以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构： 结构： 家庭拥有经济中的所有投入和资产， 家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。 主决策。 企业雇佣投入品进行生产。 企业雇佣投入品进行生产。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
2012-5-1
19
四、储蓄率变化的影响
1．储蓄率变化的比较静态均衡 ．
f(k) y2* y1* f(k) (n+g+δ)k s2f(k) s1f(k)
sf ( k ) / k
s' f (k ) / k (n + g + δ )
k1* k2*
k
k1*
k2*
k
储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。 储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致 实际投资大于有效折旧，因此， 持续上升到新的稳态值 持续上升到新的稳态值（ 实际投资大于有效折旧，因此，k持续上升到新的稳态值（不是立即 跳跃到）。 跳跃到）。
资本K/L和人均消费 和人均消费C/L具有相同的增长率：g。 具有相同的增长率： 。 资本 和人均消费 具有相同的增长率
2012-5-1 17
y* = Y / AL ⇒ Y = y * AL
3、稳态时的增长：平衡增长 、稳态时的增长：
当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？ 时 模型中的各个变量将如何变动？
2012-5-1
4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出 、资本K、劳动L， 索罗模型关注四个变量：产出Y、资本 、劳动 ，以及知 识或劳动的有效性A。 识或劳动的有效性 。 生产函数： 生产函数： Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中 表示时间。 式中t表示时间。 表示时间 AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步 被称为 被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。 被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
2012-5-1 20
四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响 ．
(1) 对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。 的影响： 的影响 先增加，并逐步收敛于新的更高水平。
k
t
2012-5-1
21
四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响 ．
结论： 结论：索罗模 型意味着， 型意味着，无 ⇒ lnY = ln y *+ ln A+ ln L 论起点在何处， 论起点在何处， & & & Y L A 经济总会收敛 ⇒ = + = n+ g Y L A 于一个平衡增 & K = n + g 长路径：模型 资本增长率 k*= K/ AL K =k*AL ⇒ K 中的每个变量 消费C=（ ） ，因此， 消费 （1-s）Y，因此，消费和产出具有相同 都以一个不变 的增长率，等于n+g。 的增长率，等于 。 的速率增长。 的速率增长。 同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均 同样方法可以计算出每个工人的产出 、
k→∞
根据假设1得到： 根据假设 得到： 得到
f (0 ) = 0 f ′( k ) f 0 f ′′ ( k ) p 0
2012-5-1 9
边际产出
资本的边际产出
∂F ( K , AL) ∂ALf ( K / AL) MPK = = = f ′(k ) ∂K ∂K
∂F(K, AL) 有效劳动的边际产出 MP = = f (k) − kf ′(k) AL ∂AL ∂F ( K , AL) 劳动的边际产出 MPL = = A[ f (k ) − kf ′(k )] ∂L
•
2012-5-1
14
2、稳态 、
单位有效劳动资 本存量的变化： 本存量的变化：
& k (t ) = sf ( k (t )) − ( n + g + δ ) k (t )
(n＋g+δ)k ＋ f(k)
在A点，实际投资与有 点 效折旧相等， 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的k*, y*, 单位有效劳动的 c*固定不变。消费为： 固定不变。 固定不变 消费为： c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)＝ (n+g+δ）k* ）
f(k)
& k =0
sf(k) A
k*
索洛－ 索洛－斯旺模型
2012-5-1
k
15
2、稳态 、
稳态均衡图示
因为
d [ sf (k ) / k ] d [ f (k ) / k ] f (k ) − kf ' (k ) AL =s = −s = −s F '2 < 0 dk dk k2 k
sf ( k ) / k
什么因素决定了经济增长？ 什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？ 穷国能否赶上富国？
2012-5-1
2
一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论： 索罗模型的主要结论： 长期人均产出惟一来源于技术进步； 长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生， 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）； ）；或者当作不存在 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。 如资本产生正的外部性）。
绝 对 量
F(cK,cAL)=cF(K,A L) C=(1-s)Y
相 对来自百度文库量
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
2012-5-1
18
四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。 对长期增长的影响持续时间。
产出在消费和投资之间分割， 产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变 为外生且不变， 等于投资。储蓄率 为外生且不变，资本 折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。 折旧率为 。资本变化＝投资－折旧。
2012-5-1
L(t ) = L(0)e nt
A(t ) = A(0)e gt
2012-5-1 11
3、生产投入的演化 、
资本、 随时间的变化而变化。 资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。 瞬时增长率的定义： 瞬时增长率的定义： & dx / dt x d ln x
gx =
x
=
x
=
dt
& L(t ) = n t时劳动力： 劳动增长率为n： 劳动增长率为 ： 时劳动力： 时劳动力 L(t ) & A (t ) 技术进步率为g： 技术进步率为 ： = g t时技术存量： 时技术存量： 时技术存量 A (t )
2012-5-1
8
假设的含义
稻田条件意味着， 稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际 产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。 产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。 其作用在于确保经济的路径不发散。即 其作用在于确保经济的路径不发散。
lim f ′ ( k ) = ∞
k→0
lim f ′ ( k ) = 0
li m F K = li m F L = 0
L→ ∞
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。 满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。 因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。 因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
2012-5-1 7
模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F (K , AL) = AL ⋅ F (K / AL,1) = AL ⋅ f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（ 于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： ： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 单位有效劳动的产出， 其中 单位有效劳动的产出 效劳动的资本
(n + g + δ )
•
k (t )
k* k*
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k
k
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3、稳态时的增长：平衡增长 、稳态时的增长：
在稳态， 收敛于 收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： 在稳态，k收敛于 ，单位有效劳动的产出也不变： 根据单位有效 工人产出的定 义可以计算出 总产出的增长 速度： 速度：
y* = f (k *)
& 增加 k (t ) f 0 k增加 & 下降 k (t ) p 0 k下降
& k (t ) = 0
k不变 不变
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2、稳态 、
稳态： 稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的 状况， 状况，即 k (t ) = 0 平衡增长（ 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例， 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中， 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。 的路径也是平衡增长的路径。
一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶， 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行， 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。 可以从事物的自然进程中产生。 ——亚当 斯密 亚当.斯密 亚当
2012-5-1
1
问题提出
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性， 如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k) 每单位有效劳动的资本获得的总产出是
2012-5-1 10
f(k)
f(k) c sf(k) f(k) sf(k)
图形表示
0 新古典生产函数
k
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 曲线的斜率即为资本的边际产出。 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s， 表示消费 表示消费） 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率 ，c表示消费） 。（假定外生不变的储蓄率
& K (t ) = sY (t ) − δK (t )
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三、模型的动态学
1、k的动态学 、 的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此， 点分析资本的变化。 点分析资本的变化。 单位有效劳动资本存量的变化： 单位有效劳动资本存量的变化：
& k(t) = sf (k(t)) − (n + g +δ )k(t)
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2、关于生产函数的假设 、
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件： 第三，稻田条件：
li m F K = li m F L = ∞
K → 0 L→ 0 K → ∞
变量 K L A AL Y C k(Y/AL) K/L y(Y/AL) Y/L c(Y/AL) C/L K/Y 含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资 本 人均资本 有效劳动的人均产 出 人均产出 有效劳动的人均消 费 人均消费 资本产出比 平衡增长速度 n+g n g n+g n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 备注证明 k=K/AL
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性）， （哈罗德中性）， 如果知识进入的形式不是 而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 （索洛中性） 而是 （ 性），结果会有何不同？ ），结果会有何不同？ 结果会有何不同 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2012-5-1 3
以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构： 结构： 家庭拥有经济中的所有投入和资产， 家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。 主决策。 企业雇佣投入品进行生产。 企业雇佣投入品进行生产。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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四、储蓄率变化的影响
1．储蓄率变化的比较静态均衡 ．
f(k) y2* y1* f(k) (n+g+δ)k s2f(k) s1f(k)
sf ( k ) / k
s' f (k ) / k (n + g + δ )
k1* k2*
k
k1*
k2*
k
储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。 储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致 实际投资大于有效折旧，因此， 持续上升到新的稳态值 持续上升到新的稳态值（ 实际投资大于有效折旧，因此，k持续上升到新的稳态值（不是立即 跳跃到）。 跳跃到）。
资本K/L和人均消费 和人均消费C/L具有相同的增长率：g。 具有相同的增长率： 。 资本 和人均消费 具有相同的增长率
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y* = Y / AL ⇒ Y = y * AL
3、稳态时的增长：平衡增长 、稳态时的增长：
当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？ 时 模型中的各个变量将如何变动？
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出 、资本K、劳动L， 索罗模型关注四个变量：产出Y、资本 、劳动 ，以及知 识或劳动的有效性A。 识或劳动的有效性 。 生产函数： 生产函数： Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中 表示时间。 式中t表示时间。 表示时间 AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步 被称为 被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。 被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
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四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响 ．
(1) 对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。 的影响： 的影响 先增加，并逐步收敛于新的更高水平。
k
t
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四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响 ．
结论： 结论：索罗模 型意味着， 型意味着，无 ⇒ lnY = ln y *+ ln A+ ln L 论起点在何处， 论起点在何处， & & & Y L A 经济总会收敛 ⇒ = + = n+ g Y L A 于一个平衡增 & K = n + g 长路径：模型 资本增长率 k*= K/ AL K =k*AL ⇒ K 中的每个变量 消费C=（ ） ，因此， 消费 （1-s）Y，因此，消费和产出具有相同 都以一个不变 的增长率，等于n+g。 的增长率，等于 。 的速率增长。 的速率增长。 同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均 同样方法可以计算出每个工人的产出 、
k→∞
根据假设1得到： 根据假设 得到： 得到
f (0 ) = 0 f ′( k ) f 0 f ′′ ( k ) p 0
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边际产出
资本的边际产出
∂F ( K , AL) ∂ALf ( K / AL) MPK = = = f ′(k ) ∂K ∂K
∂F(K, AL) 有效劳动的边际产出 MP = = f (k) − kf ′(k) AL ∂AL ∂F ( K , AL) 劳动的边际产出 MPL = = A[ f (k ) − kf ′(k )] ∂L
•
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2、稳态 、
单位有效劳动资 本存量的变化： 本存量的变化：
& k (t ) = sf ( k (t )) − ( n + g + δ ) k (t )
(n＋g+δ)k ＋ f(k)
在A点，实际投资与有 点 效折旧相等， 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的k*, y*, 单位有效劳动的 c*固定不变。消费为： 固定不变。 固定不变 消费为： c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)＝ (n+g+δ）k* ）
f(k)
& k =0
sf(k) A
k*
索洛－ 索洛－斯旺模型
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k
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2、稳态 、
稳态均衡图示
因为
d [ sf (k ) / k ] d [ f (k ) / k ] f (k ) − kf ' (k ) AL =s = −s = −s F '2 < 0 dk dk k2 k
sf ( k ) / k
什么因素决定了经济增长？ 什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？ 穷国能否赶上富国？
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一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论： 索罗模型的主要结论： 长期人均产出惟一来源于技术进步； 长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生， 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）； ）；或者当作不存在 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。 如资本产生正的外部性）。
绝 对 量
F(cK,cAL)=cF(K,A L) C=(1-s)Y
相 对来自百度文库量
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
2012-5-1
18
四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。 对长期增长的影响持续时间。
产出在消费和投资之间分割， 产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变 为外生且不变， 等于投资。储蓄率 为外生且不变，资本 折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。 折旧率为 。资本变化＝投资－折旧。
2012-5-1
L(t ) = L(0)e nt
A(t ) = A(0)e gt
2012-5-1 11
3、生产投入的演化 、
资本、 随时间的变化而变化。 资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。 瞬时增长率的定义： 瞬时增长率的定义： & dx / dt x d ln x
gx =
x
=
x
=
dt
& L(t ) = n t时劳动力： 劳动增长率为n： 劳动增长率为 ： 时劳动力： 时劳动力 L(t ) & A (t ) 技术进步率为g： 技术进步率为 ： = g t时技术存量： 时技术存量： 时技术存量 A (t )
2012-5-1
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假设的含义
稻田条件意味着， 稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际 产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。 产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。 其作用在于确保经济的路径不发散。即 其作用在于确保经济的路径不发散。
lim f ′ ( k ) = ∞
k→0
lim f ′ ( k ) = 0
li m F K = li m F L = 0
L→ ∞
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。 满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。 因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。 因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
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模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F (K , AL) = AL ⋅ F (K / AL,1) = AL ⋅ f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（ 于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： ： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 单位有效劳动的产出， 其中 单位有效劳动的产出 效劳动的资本
(n + g + δ )
•
k (t )
k* k*
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k
k
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3、稳态时的增长：平衡增长 、稳态时的增长：
在稳态， 收敛于 收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： 在稳态，k收敛于 ，单位有效劳动的产出也不变： 根据单位有效 工人产出的定 义可以计算出 总产出的增长 速度： 速度：
y* = f (k *)