广东专插本考试《高等数学》真题

2018年广东省普通高校本科插班生招生考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一项符

合题目要求） 1．=+→∆)sin 1sin

3(lim 0

x

x x x x A ．0 B ．1 C ．3 D ．4 2．设函数)(x f 具有二阶导数，且1)0(-='f ，0)1(='f ，1)0(-=''f ，

3)1(-=''f ，则下列说法正确的是

A ．点0=x 是函数)(x f 的极小值点

B ．点0=x 是函数)(x f 的极大值点

C ．点1=x 是函数)(x f 的极小值点

D ．点1=x 是函数)(x f 的极大值点

3．已知C x dx x f +=⎰2)(，其中C 为任意常数，则⎰=dx x f )(2

A ．C x +5

B ．

C x +4

C ．C x +421

D ．C x +33

2

4．级数∑∞

==-+1

3)1(2n n

n

A ．2

B ．1

C ．43

D ．2

1

5．已知{

}

94) , (2

2≤+≤=y x y x D ，则

=+⎰⎰

D

d y

x σ2

2

1

A ．π2

B ．π10

C ．23ln

2π D ．2

3

ln 4π 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6．已知⎩⎨⎧==

3log t

2y t

x ，则==1

t dx dy 。

7．

=+⎰

-dx x x )sin (2

2

。

8．

=⎰

+∞

-dx e x 0

21 。

9．二元函数1

+=y x z ，当e x =，0=y 时的全微分===e x y dz 0

。

10．微分方程ydx dy x =2满足初始条件

1=x y 的特解为=y 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11．确定常数a ，b 的值，使函数⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>+=<++= 0 )21(00 1)(2x x x b x x a

x x f x

，，，

在0=x 处连续。

12．求极限))

1ln(1(lim 20x

x x x +-→． 13．求由方程x

xe y y =+arctan )1(2

所确定的隐函数的导数dx

dy

．

14．已知)1ln(2x +是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f )(． 15．求曲线x

x

y ++

=11和直线0=y ，0=x 及1=x 围成的平面图形的面积A ． 16．已知二元函数2

1y

xy

z +=，求y z ∂∂和x y z ∂∂∂2

． 17．计算二重积分⎰⎰-D d y x

σ1，其中D 是由直线x y =和1=y ，2=y 及0=x 围

成的闭区域． 18．判定级数

∑

∞

=+1

2sin n n

x n

的收敛性．

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）

19．已知函数0)(4)(=-''x f x f ，0=+'+''y y y 且曲线)(x f y =在点)0 0(，

处的切线与直线12+=x y 平行

（1）求)(x f ；

（2）求曲线)(x f y =的凹凸区间及拐点． 20．已知dt t x f x

⎰

=

2cos )(

（1）求)0(f '

（2）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （3）0>x ，证明)0(31)(3

>+-

>λλ

λx x x f ．