理论力学-第10章1
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总之，内力不能改变质点系的动量和动量矩，但它 可能改变质点系的能量；外力能改变质点系的动量和 动量矩，但不一定能改变其能量。
TSINGHUA UNIVERSITY
定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
刚体以角速度ω绕定轴z转动,其上A点作用有 力F，则力在A点轨迹切线上的投影为
F F cos
dh vC v A dt
dvC dvA aC dt dt
物块的加速度为
g gh 2 2vC aC vC vA 3 3 g aC a A 6
例题
均质圆轮A、B的质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量为m。A、B、C用 轻绳相联，绳相对B轮无滑动。系 统初始为静止状态。圆盘A的质心 处加一不计质量的弹簧，弹簧刚度 系数为k
, v A vC x
, vC x
x B , R
, v A vC x
则动能表达式可以写为
3 2 T mv A 2
第三篇 工程动力学基础
第10章 动能定理及其应用
动能是物体机械能的一种形式，也是作 功的一种能力。动能定理描述质点系统动能 的变化与力作功之间的关系。动量定理、动 量矩定理用矢量方程描述，动能定理则用标 量方程表示。求解实际问题时，往往需要综 合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。
TSINGHUA UNIVERSITY
质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和
1 d T d ( mi v i2 ) Fi d ri δ Wi 2
—— 微分形式
δ Wi dT Ni N dt dt
N 称为力的功率(单位时间内该力 所作的功)。
质点系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的 所有可以作功的力所作之功的代数和。
定轴转动的转角和弧长的关系为
ds Rd
则力F 的元功为 dW F d r F Rd M z ( F )d
M z ( F ) F R
－力F对轴z的矩
于是，力在刚体由角度1转到角度2时所作的功为
W12 M z ( F )d
1
2
定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
动能是度量质点系整体运动的一物理量。动能是正标量， 其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。
例题1
设重物A、B的质量为mA=mB=m， 三角块D的质量为m0 ，置于光滑地 面上。圆轮C和绳的质量忽略不计。 系统初始静止。 求：当物块以相对速度Vr下 落时系统的动能。
解：开始运动后，系统的动能为
求：系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。 解：这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将 其简化为弹簧－质量模型。 与以前所研究过的问题相比，系统中增加了平面运 动，可以根据动能定理建立系统的运动微分方程，从 而得到系统的等效质量和等效刚度。
以整个系统为研究对象 ，作功的力A、B轮的重力和 弹簧的弹性力。 系统的动能表达式为
1 1 1 2 2 2 T mAvA mB vB m0vD 2 2 2
v A v D v Ar
v B v D v Br
1 1 1 2 2 2 T mAvA mB vB m0vD 2 2 2
v A v D v Ar v B v D v Br
或者写成:(投影）
k W12 [( r1 l 0 ) 2 (r2 l 0 ) 2 ] 2
上式中， 1 、 2 分别为弹簧在初始位置和最终位置的 变形量 。
作用在刚体上力的功、力偶的功
一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系 （包括内力系）非常复杂，需要认真分析哪些力作功， 哪些力不作功。 在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力 不改变系统的动量或动量矩；在能量方法中，内力对系 统的能量改变是有影响的，许多内力是作功的，这是学 习本章内容时必须注意的。
纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与 地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯 滚动的圆盘也可看成具有理想约束。
Hale Waihona Puke Baidu
纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功
vO O C* F FN
C* 为瞬时速度中心 ，在这一瞬时C*点的速 度为零。作用在C*点的 摩擦力F 所作元功为
dWF F d rC
通过本例的分析过程可以看出，确定系 统动能时，注意以下几点是很重要的：
系统动能中所用的速度必须是绝对速度。
正确应用运动学知识，确定各部分的速度。
刚体的动能
刚体的动能取决于刚体的运动形式，下面逐一 加以讨论。
TSINGHUA UNIVERSITY
平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速 度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
扭转弹簧力矩的功 假设扭簧上的杆处于 水平时扭簧未变形，且变 形时在弹性范围之内。变 形时扭簧作用于杆上的力 对点O之矩为
M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ2时所作 的功为
W12
2
1
1 2 1 2 k d k1 k2 2 2
力Fi在点的轨迹上从M1点到 M2点所作的功 由此得到了两个常用的功的表达式 对于质点： 重力的功 对于质点系:
W12
M2
M1
Fi d ri
W12 mg z1 z2
W12 mg zC1 zC 2
k 2 W12 （ 1 22） 2
弹性力的功
2m M
1 1 1 2 2 2 2 2 T m(vD vr ) m(vD vr 2vD vr cos ) m0vD 2 2 2
2m(2m m0 ) m2cos 2 2 vr 2(2m m0 )
动能
质点系的动能－例 题 1
TSINGHUA UNIVERSITY
内力的功 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
TSINGHUA UNIVERSITY
理想约束的情形
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和 活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或 作功之和等于零。 柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才 受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。
T2 T1 W1－2
—— 积分形式
均质圆轮A、B质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量也为m。A、B、C 用无质量的绳相联，绳相对B轮 无滑动。系统初始为静止状态。 试求： 1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度及轮B的角速度。 2．系统运动时，物块C的加速度。 解：以整个系统为研究对象。画出系统中作功的力。
1 1 2 1 2 1 2 2 T mvA J A A J B B mvC 2 2 2 2
v A R A , vC R B , v A vC
x B , R
3 2 T mv A 2
以物块C的位移x为广义坐标，静平衡位置取为座标原点
, vC x
T2 T1 W12
3 2 1 mvA 0 mgh 2 2
T2 T1 W12
2 A
3 2 1 mvA 0 mgh 2 2
gh 3
gh 解出： vA v 3 vA gh ω B ω A R 3R 2 解：4．确定系统运动时物块C的加速度：
对下降高度h求对时间的一阶导数， 即为物块C的速度 因为物块C作直线平移，故有
1．分析各部分的运动，写出系统的动能表达 轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移。系统的动能：
T1 0 ,
1 1 2 1 2 1 2 2 T2 mvA J A A J B B mvC 2 2 2 2
系统的动能：
T1 0 ,
1 1 2 1 2 1 2 2 T2 mvA J A A J B B mvC 2 2 2 2
第10章 动能定理及其应用
TSINGHUA UNIVERSITY
力的功 动能 动能定理及其应用 势能的概念 机械能守恒定律及其应用
动力学普遍定理的综合应用
结论与讨论
M1
力的功定义
M2
δW Fi d ri Fi dscos Fi ，d ri
力Fi的元功
TSINGHUA UNIVERSITY
1 2 1 T mvC J C 2 2 2
其中vC为刚体质心的速度；JC为刚体对通过质心且 垂直于运动平面的轴的转动惯量。
质点的动能定理的两种 形式。微分形式为 积分形式为
1 2 d( mv ) F d r δ W 2 1 2 1 2 mv2 mv1 W12 2 2
于是，力在刚体由角度1转到角度2时所作 的功为 力偶的功
W12 M z ( F )d
1
2
TSINGHUA UNIVERSITY
若力偶矩矢M与z轴平行，则M所作之功为
W12 M d
1
2
若力偶矩矢M为任意矢量，则M所作之功为
W12 M z d
1 2
其中 Mz为力偶矩矢 M 在z轴上的投影。
v v v
2 A 2 D
2 B 2 D 2 r 2
2 r
2
v v v 2v D vr cos (v D vr cos ) (vr sin )
注意到,系统水平方向上动量守恒，故有
m A v Ax mB v Bx mD v Dx 0
mvD m(vD vr cos ) m0vD 0
Fx dx Fy dy Fz dz
需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全 微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。 W 仅是Fi.dri 的一种记号。
力Fi 在点的轨迹上从一点到另一点所作的功 力Fi 在点的轨迹上从M1点 到M2点所作的功
W12
M2
M1
Fi d ri
F vC dt 0
约束力为无功力的约束称为理想约束
质点系的动能
物体由于机械运动而具有的能量称为动能。动能的概念 与计算非常重要。 物理学中对动能的定义为
1 2 T mv 2
式中m、v 分别为质点的质量和速度。动能为标量。 质点系的动能为质点系内各质点动能之和。记为
1 T mi vi2 i 2
根据运动学分析，得到
v A R A vC R B
T1 0 ,
解：2. 确定外力的功: 设下降高度h
v A vC
3 2 T2 mv A 2
物块的重力和轮A的重力分别作正功和负功。于是，系统外 力的总功为
1 W12 mgh mghcos60 mgh 2
3．应用动能定理的积分形式：
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi )vC mvC 2 2 i 2
式中m为刚体的质量；vC为质心的速度。 上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚 体的质量集中于质心时的动能。
定轴转动刚体的动能
刚体以角速度 绕定轴z转动时，其上－点的速度为
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vi ri
因此，定轴转动刚体的动能为
1 1 2 1 2 2 T mi (ri ) ( mi ri ) J z 2 2 i 2 2 i
其中Jz为刚体对定轴z的转动惯量。
动能
刚体的动能
平面运动刚体的动能
刚体的平面运动可分解为随质心的平移和绕质心 的相对转动， 因此平面运动刚体的动能 为
1 1 1 2 2 2 T mAvA mB vB m0vD 2 2 2
v v v
2 A 2 D
2 B 2 D 2 r
2 r
2 2
v v v 2v D vr cos (v D vr cos ) (vr sin ) mvr cos vD mvD m(vD vr cos ) m0vD 0
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定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
刚体以角速度ω绕定轴z转动,其上A点作用有 力F，则力在A点轨迹切线上的投影为
F F cos
dh vC v A dt
dvC dvA aC dt dt
物块的加速度为
g gh 2 2vC aC vC vA 3 3 g aC a A 6
例题
均质圆轮A、B的质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量为m。A、B、C用 轻绳相联，绳相对B轮无滑动。系 统初始为静止状态。圆盘A的质心 处加一不计质量的弹簧，弹簧刚度 系数为k
, v A vC x
, vC x
x B , R
, v A vC x
则动能表达式可以写为
3 2 T mv A 2
第三篇 工程动力学基础
第10章 动能定理及其应用
动能是物体机械能的一种形式，也是作 功的一种能力。动能定理描述质点系统动能 的变化与力作功之间的关系。动量定理、动 量矩定理用矢量方程描述，动能定理则用标 量方程表示。求解实际问题时，往往需要综 合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。
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质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和
1 d T d ( mi v i2 ) Fi d ri δ Wi 2
—— 微分形式
δ Wi dT Ni N dt dt
N 称为力的功率(单位时间内该力 所作的功)。
质点系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的 所有可以作功的力所作之功的代数和。
定轴转动的转角和弧长的关系为
ds Rd
则力F 的元功为 dW F d r F Rd M z ( F )d
M z ( F ) F R
－力F对轴z的矩
于是，力在刚体由角度1转到角度2时所作的功为
W12 M z ( F )d
1
2
定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
动能是度量质点系整体运动的一物理量。动能是正标量， 其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。
例题1
设重物A、B的质量为mA=mB=m， 三角块D的质量为m0 ，置于光滑地 面上。圆轮C和绳的质量忽略不计。 系统初始静止。 求：当物块以相对速度Vr下 落时系统的动能。
解：开始运动后，系统的动能为
求：系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。 解：这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将 其简化为弹簧－质量模型。 与以前所研究过的问题相比，系统中增加了平面运 动，可以根据动能定理建立系统的运动微分方程，从 而得到系统的等效质量和等效刚度。
以整个系统为研究对象 ，作功的力A、B轮的重力和 弹簧的弹性力。 系统的动能表达式为
1 1 1 2 2 2 T mAvA mB vB m0vD 2 2 2
v A v D v Ar
v B v D v Br
1 1 1 2 2 2 T mAvA mB vB m0vD 2 2 2
v A v D v Ar v B v D v Br
或者写成:(投影）
k W12 [( r1 l 0 ) 2 (r2 l 0 ) 2 ] 2
上式中， 1 、 2 分别为弹簧在初始位置和最终位置的 变形量 。
作用在刚体上力的功、力偶的功
一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系 （包括内力系）非常复杂，需要认真分析哪些力作功， 哪些力不作功。 在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力 不改变系统的动量或动量矩；在能量方法中，内力对系 统的能量改变是有影响的，许多内力是作功的，这是学 习本章内容时必须注意的。
纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与 地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯 滚动的圆盘也可看成具有理想约束。
Hale Waihona Puke Baidu
纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功
vO O C* F FN
C* 为瞬时速度中心 ，在这一瞬时C*点的速 度为零。作用在C*点的 摩擦力F 所作元功为
dWF F d rC
通过本例的分析过程可以看出，确定系 统动能时，注意以下几点是很重要的：
系统动能中所用的速度必须是绝对速度。
正确应用运动学知识，确定各部分的速度。
刚体的动能
刚体的动能取决于刚体的运动形式，下面逐一 加以讨论。
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平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速 度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
扭转弹簧力矩的功 假设扭簧上的杆处于 水平时扭簧未变形，且变 形时在弹性范围之内。变 形时扭簧作用于杆上的力 对点O之矩为
M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ2时所作 的功为
W12
2
1
1 2 1 2 k d k1 k2 2 2
力Fi在点的轨迹上从M1点到 M2点所作的功 由此得到了两个常用的功的表达式 对于质点： 重力的功 对于质点系:
W12
M2
M1
Fi d ri
W12 mg z1 z2
W12 mg zC1 zC 2
k 2 W12 （ 1 22） 2
弹性力的功
2m M
1 1 1 2 2 2 2 2 T m(vD vr ) m(vD vr 2vD vr cos ) m0vD 2 2 2
2m(2m m0 ) m2cos 2 2 vr 2(2m m0 )
动能
质点系的动能－例 题 1
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内力的功 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
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理想约束的情形
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和 活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或 作功之和等于零。 柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才 受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。
T2 T1 W1－2
—— 积分形式
均质圆轮A、B质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量也为m。A、B、C 用无质量的绳相联，绳相对B轮 无滑动。系统初始为静止状态。 试求： 1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度及轮B的角速度。 2．系统运动时，物块C的加速度。 解：以整个系统为研究对象。画出系统中作功的力。
1 1 2 1 2 1 2 2 T mvA J A A J B B mvC 2 2 2 2
v A R A , vC R B , v A vC
x B , R
3 2 T mv A 2
以物块C的位移x为广义坐标，静平衡位置取为座标原点
, vC x
T2 T1 W12
3 2 1 mvA 0 mgh 2 2
T2 T1 W12
2 A
3 2 1 mvA 0 mgh 2 2
gh 3
gh 解出： vA v 3 vA gh ω B ω A R 3R 2 解：4．确定系统运动时物块C的加速度：
对下降高度h求对时间的一阶导数， 即为物块C的速度 因为物块C作直线平移，故有
1．分析各部分的运动，写出系统的动能表达 轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移。系统的动能：
T1 0 ,
1 1 2 1 2 1 2 2 T2 mvA J A A J B B mvC 2 2 2 2
系统的动能：
T1 0 ,
1 1 2 1 2 1 2 2 T2 mvA J A A J B B mvC 2 2 2 2
第10章 动能定理及其应用
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力的功 动能 动能定理及其应用 势能的概念 机械能守恒定律及其应用
动力学普遍定理的综合应用
结论与讨论
M1
力的功定义
M2
δW Fi d ri Fi dscos Fi ，d ri
力Fi的元功
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1 2 1 T mvC J C 2 2 2
其中vC为刚体质心的速度；JC为刚体对通过质心且 垂直于运动平面的轴的转动惯量。
质点的动能定理的两种 形式。微分形式为 积分形式为
1 2 d( mv ) F d r δ W 2 1 2 1 2 mv2 mv1 W12 2 2
于是，力在刚体由角度1转到角度2时所作 的功为 力偶的功
W12 M z ( F )d
1
2
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若力偶矩矢M与z轴平行，则M所作之功为
W12 M d
1
2
若力偶矩矢M为任意矢量，则M所作之功为
W12 M z d
1 2
其中 Mz为力偶矩矢 M 在z轴上的投影。
v v v
2 A 2 D
2 B 2 D 2 r 2
2 r
2
v v v 2v D vr cos (v D vr cos ) (vr sin )
注意到,系统水平方向上动量守恒，故有
m A v Ax mB v Bx mD v Dx 0
mvD m(vD vr cos ) m0vD 0
Fx dx Fy dy Fz dz
需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全 微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。 W 仅是Fi.dri 的一种记号。
力Fi 在点的轨迹上从一点到另一点所作的功 力Fi 在点的轨迹上从M1点 到M2点所作的功
W12
M2
M1
Fi d ri
F vC dt 0
约束力为无功力的约束称为理想约束
质点系的动能
物体由于机械运动而具有的能量称为动能。动能的概念 与计算非常重要。 物理学中对动能的定义为
1 2 T mv 2
式中m、v 分别为质点的质量和速度。动能为标量。 质点系的动能为质点系内各质点动能之和。记为
1 T mi vi2 i 2
根据运动学分析，得到
v A R A vC R B
T1 0 ,
解：2. 确定外力的功: 设下降高度h
v A vC
3 2 T2 mv A 2
物块的重力和轮A的重力分别作正功和负功。于是，系统外 力的总功为
1 W12 mgh mghcos60 mgh 2
3．应用动能定理的积分形式：
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi )vC mvC 2 2 i 2
式中m为刚体的质量；vC为质心的速度。 上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚 体的质量集中于质心时的动能。
定轴转动刚体的动能
刚体以角速度 绕定轴z转动时，其上－点的速度为
TSINGHUA UNIVERSITY
vi ri
因此，定轴转动刚体的动能为
1 1 2 1 2 2 T mi (ri ) ( mi ri ) J z 2 2 i 2 2 i
其中Jz为刚体对定轴z的转动惯量。
动能
刚体的动能
平面运动刚体的动能
刚体的平面运动可分解为随质心的平移和绕质心 的相对转动， 因此平面运动刚体的动能 为
1 1 1 2 2 2 T mAvA mB vB m0vD 2 2 2
v v v
2 A 2 D
2 B 2 D 2 r
2 r
2 2
v v v 2v D vr cos (v D vr cos ) (vr sin ) mvr cos vD mvD m(vD vr cos ) m0vD 0