随机变量的数字特征归纳
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第四章 随机变量的数字特征
㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义
(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为
{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞
∞
- d )( )()( ，
，
连续型离散型x x xf x X x X k
k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量的概率分布为
，若，则称级数为随
机变量
的数学期望（或称为均值），记为
, 即
2、两点分布的数学期望 设
服从0—1分布，则有
，根据定义，
的数学期望为
.
3、二项分布的数学期望 设
服从以
为参数的二项分布，
，则
。
4、泊松分布的数学期望
设随机变量
服从参数为的泊松分布，即，从而有
。
①常见的连续型随机变量的数学期望
1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a = 则= ∴E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点． 2)正态分布 设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为: ( σ >0，- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数) , (Y X g Z=，有类似的公式： (){} ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧= = = ⎰ ∑ ∞ ∞ ． ； （连续型） 离散型 － d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E ()(){} ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞ ∞ -．；连续型离散型 d d ,, ,,,y x y x f y x g y Y x X y x g Y X g Z i j j i j i P E E 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2, , i j ij P X a Y b p i j ==== 如果级数 (,)i j ij j i g a b p ∑∑ 绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为 [(,)](,)i j ij j i E g X Y g a b p =∑∑； 特别地 ();()i ij j ij i i j i E X a p E Y b p ==∑∑∑∑. 设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx +∞ -∞ ⎰ 绝对收敛， 则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞=⎰ ． 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分 (,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞ -∞ -∞ ⎰⎰ 绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为 [(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =⎰ ⎰ ； 特别地 ()(,)E x xf x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =⎰ ⎰ , ()(,)E Y yf x y dxdy +∞ +∞ -∞-∞ =⎰⎰ . 注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。 2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数c ，有c c =E ． 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数λ，有X X E E λλ=．例：E(aX+b)=aE(X)+b (3) 对于任意m X X X ,,,21 ，有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121． (4) 如果m X X X ,,,21 相互独立，则()m m X X X X X X E E E E 2121=．(注：相互独立 有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1、方差的定义 称222)()(X X X X X E E E E D -=-= 为随机变量X 的方差，称X D =σ 为随机变量X 的标准差．随机变量X 的方差有如下计算公式：