随机变量的数字特征归纳
四随机变量的数字特征-文档资料
考点与例题分析
考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.
例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各
部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部
件数,试求X的E(X)和D(X).
（二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差：(X)D (X)
2.计算 (1) 离散型： D (X ) [x k E (X )2p ]k.
(2)连续型： D (X )k [xE (X )]2f(x)d x.
(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).
(5)(6) XY 1; (6)(7)XY 1 X与Y以概率1线性相关,即存在a,b
且a≠0,使 P (Y a X b ) 1 .
(8)
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
（四）矩与混合矩
3.随机变量函数的数学期望
（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.
离散型：E (Y)E [g(X )] g(xk)p k;
连续型：E (Y ) E [g (X )] k g (x )f(x )d x .
2-2随机变量的数字特征
2.连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x),
若积分
|
x
|
f
(
x)d
x
（即
x f ( x)d x绝对收敛）,
则称积分 x f ( x)d x 的值为随机变量 X 的数学期望,
且Eg( X ) g( xi )pi
i 1
（2）若X是连续型随机变量，f ( x)是其密度函数，且
xi. pi.
i 0
此数值是对射手真实水平的综合评价，它是以概率 为权重的加权平均，称为r.v.X的数学期望。
定义：若离散型随机变量X的可能取值为xi (i 1, 2,),
其概率分布为P{ X xi } pi , i 1, 2,
如果级数 | xi |pi 时，（即级数 xk pk 绝对收敛）
i 1
k 1
称 xi pi为随机变量X的数学期望（简称期望），
i 1
也叫均值，记作EX . 即 E ( X ) xk pk .
k 1
如果级数 | xi |pi ，称r.v.X的数学期望不存在。
i 1
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值.
记为 E( X ).
即 E(X)
x f (x)d x.
若
|
x
|
f
(
x)d
x
，称C .r .v . X的数学期望不存在。
注：对于r.v.X ,只要数学期望存在，则一定是一个
随机变量的数字特征
例 若随机变量X的概率密度为
f(x)(1 1x2), x
则称X服从柯西(Cauchy)分布。
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
所以柯西分布的数学期望不存在。
《医药数理统计方法》
§3.1
三、数学期望的性质
1、E(C)=C 2、E(CX)=C×E(X) 3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)
n
n
3)设X1,X2,…,Xn相互独立，则 V(Xi)V(Xi)
i1
i1
V (1 n i n 1X i) n 1 2i n 1 V (X i) 1 n [1 n i n 1 V (X i)]
解：红细胞的变异系数为 C V(X1)4 0..1 27 98 16.965%
血红蛋白的变异系数为
10.2 C V(X2)117.68.673%
所以，血红蛋白的变异较大。
《医药数理统计方法》
§3.2
二、方差的性质
1、V(C)=0 证明：V(C)=E{[CE(C)]2} =E[(CC)2]=0
2、V(CX)=C2V(X) 证明：V(CX)=E{[CXE(CX)]2}
而 E (X 2 ) E (X X ) E (X )E (X ) 1 1 1
339
计算是错误的！！
《医药数理统计方法》
§3.2
§3.2 方差、协方差和相关系数
一、方差 二、方差的性质 三、其他数字特征
《医药数理统计方法》
§3.2
一、方差
例3.15 为了比较甲、乙两个专业射击运动 员的技术水平，令每人各射击5次，分别以 X1,X2表示他们射击的环数，结果如下：
即
E(X) xf(x)dx
随机变量的数字特征
1 2 3 求E(Z)
-1 0 0.1 1
0.4 0.2 0.4
解:方法一：
(1) E(X)=1*0.4+2*0.2+3*0.4=2 E(Y)=-1*0.3+0*0.4+1*0.3=0
方法二：
(1)E(X)=0.2*1+0.1*2+0*0.3+0.1*1+0*2+0.3*3+0.1*1+0.1*2+0.1*3=2
E( X ) xk pk . k 1
E( X ) 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 1 (元)
例题：有 5 个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk (k 1, 2,3,4,5) 服从同一指数分布，其概率密度为
f
(
x
)
1
e
x
/
,
x 0, 0.
0,
x 0,
1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命 N 的数学期望；
若 g(xk )pk 绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk .
k 1
2). X 是连续型随机变量，概率密度为 f (x),
若 g(x) f (x)dx 绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g(x) f (x)dx
(证明超过范围，略)
说明: 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求
E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可
以了.
Y x42
0
4
例: 设随机变量 X 的分布律为 X -2
0
2
求：E( X ), E( X 2 ), E(3X 2 5). P 0.4 0.3 0.3 解：(1)E(X) 2 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2,
概率论数字特征
在概率论中，数字特征是用来描述随机变量分布特征的数字指标。
以下是概率论中常见的数字特征：
1. 期望：
-期望是随机变量概率分布的均值，反映随机变量的平均取值水平，通常用E(X) 表示。
-期望可以通过对随机变量的每种可能取值乘以其对应的概率，再求和得到。
2. 方差：
-方差是随机变量与其期望的离差平方的平均值，反映随机变量取值的分散程度，通常用Var(X) 或σ^2 表示。
-方差可以通过将随机变量每种可能取值减去其期望，然后平方，再乘以对应的概率，再求和得到。
3. 标准差：
-标准差是方差的算术平方根，通常用σ表示，具有与原始数据相同的单位。
-标准差可以用来衡量随机变量取值的波动程度。
4. 偏态：
-偏态是随机变量分布的不对称程度，若右侧尾部更长，则为正
偏态；若左侧尾部更长，则为负偏态。
-偏态可以通过随机变量的三阶中心矩计算得到。
5. 峰态：
-峰态是随机变量分布的峰度，反映随机变量分布曲线的陡峭程度，通常用K 表示。
-峰态可以通过随机变量的四阶中心矩计算得到。
6. 分位数：
-分位数是将随机变量分为若干部分的数字点，例如中位数就是将随机变量分为两部分的点，25%分位数就是将随机变量分为四部分的点等等。
-分位数可以用来表示随机变量分布的位置和离散程度。
在实际应用中，以上数字特征经常被用来描述随机变量分布的性质和特征，例如对于正态分布，期望和方差可以完全描述其分布特征。
对于非正态分布，还需要考虑偏态和峰态等特征。
2.3随机变量的数字特征
E[X-E(X)]2
为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
2. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代 表性差;
如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X)
它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
例3 已知某种股票每股价格X的平均值为1元 ，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或 低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 P(X>1+a∪X<1-a)<0.01 0.01 P{| X 1 | a} 2 ; a
0.01 0 .1 2 a
令
a 0.1
2
a 0.32
O
1000 1000
x x
2组
O
随机变量在期望周围的波动情况 ——方差、标准差
如何定义？
E| X-E(x) |
方便计算
E{X-E(X)}2
X1
O
X2
1000
Xn
x
E(X)=1000
1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称
其中 f ( x ) 为X的概率密度.
例1 将资金投资在房地产和商业，收益都与市场状 态有关。把未来市场划分为好、中、差三个等级， 其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1。 投资房地产的收益X（万元）和投资商业的收益Y （万元）的分布列为： 房地产 X 11 3 -3 问：该投资者如何选择？ P 0.2 0.7 0.1
2.2随机变量的数字特征
数学期望也称为均值。
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二、 随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数， g X , 则 Y Y
也是一个随机变量．当 X 取值 x时，Y 取值 y g x
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知Y g X ， 要求随机变量Y 的分布．
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此时称Y 服从自由度为1的 2分布。
二、 随机变量的函数的分布
例 6
设 随机变量 X 的密度函数为 f X x ， X ，试 Y 求随机变量Y 的密度函数 f Y y ．
设随机变量X 的分布函数为FX y ，随机变量 Y 的分布函数为FY y
解：
FY y P y P X y Y
解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0, 故当 y 0 时 FY ( y) 0.
20 当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X y }
y y
f X ( x)dx.
Y = (X-1)2
的分布律.
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
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二、 随机变量的函数的分布
例 2（续） Y=(X-1)2 同理,
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
解：设旅客的候车时间为 X（以分记）
第三章 随机变量的数字特征
第三章 随机变量（向量）的数字特征
§3.1 随机变量的数学期望 §3.2 随机变量的方差 §3.3 协方差与相关系数
为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道 其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量 取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布 或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需 要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些
四、随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设Y g( X )是随机变量 X的函数， （1）离散型
如果随机变量X 的概率函数为 P{ X xk } pk k 1, 2, 则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
（2）连续型
x2
1 n
Pk
n
… xi … 1 n
… xn … 1 n
E ( X ) x1 1 x2 1 ... xn 1 1 xi n n n n
i 1
2.两点分布 由数学期望的定义
E( X ) p
X pi
0
1
q
p
3. 二项分布 若随机变量 X ~ B(n, p) ，其概率函数为
xR
( x )2 2 2
1 E ( X ) xf ( x)dx xe 2 t2 (x ) 1 令t ( t )e 2 dt 2 t2 1 e 2 dt 2
dx
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v)dv kv dv ka a 3 0
2 2 a
例3.6 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为
随机变量的5个数字特征
随机变量的5个数字特征。
随机变量的5个数字特征
随机变量是一种可以在多种不同情况下表现出不同数值的变量，它的数字特征可以帮助我们更加深入的了解一个随机变量的性质。
下面就介绍随机变量的5个数字特征：
首先是均值，它是一个随机变量的平均数，用来反映其数值的平均水平，可以帮助我们预测其可能表现出的数值范围；
其次是方差，它反映了一个随机变量的数值水平差异程度，当方差较低时，意味着随机变量的数值波动不大；
接着是标准差，它是方差的平方根，可以反映一个随机变量的数值分散程度，标准差越小，意味着数值的分布越集中；
最后还有三个数字特征，分别是偏度、峰度和相关系数，它们分别反映一个随机变量数值分布的偏斜程度、峭度以及与其他变量之间的关联程度。
总之，随机变量的5个数字特征，即均值、方差、标准差、偏度、峰度和相关系数，可以帮助我们更加深入地了解一个随机变量的性质，从而更好地分析和预测数据作出正确的决策。
概率统计-随机变量的数字特征_68704
EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)
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第四章 随机变量的数字特征
（2）旅客8：20分到达 X的分布率为
§1 数学期望
X 10 30 50
70
90
P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)
设 Y=g(X), g(x) 是连续函数，
（1）若 X 的分布率为 Pk P{X xk } k 1,2,
且
Pk g( xk ) 绝对收敛, 则 EY= Pk g(xk )
k 1
k 1
(2).若 X 的概率密度为 f (x) ，且 g(x) f (x)dx绝对收敛，
则 EY= g(x) f (x)dx 。
轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
y
解：
2,(x, y) A f (x, y) 0,其它；
0x
x y 1 0
0
0
EX= xf (x, y)dxdy dx x 2dy
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第四章 随机变量的数字特征
定理 2：
§1 数学期望
若(X ,Y ) 是二维随机变量，g(x, y) 是二元连续函数，
Z g(x, y)
(1). 若( X ,Y ) 的分布律为 P{X xi ,Y y j } Pij ，
且 g(xi , y j )Pij 绝对收敛；则 EZ= g(xi , y j )Pij 。
k
ai P{X
i 1
ai}
随机变量的数字特征(NXPowerLite)
目录
• 引言 • 数学期望 • 方差 • 协方差与相关系数 •矩 • 数字特征的综合应用
01
引言
定义与概念
随机变量
随机变量是用来描述随机现象的变量 ，其取值具有随机性。
数字特征
数字特征是用来描述随机变量的一些 数值性质，如均值、方差、中位数等 。
数字特征的重要性
性质
数学期望具有线性性质，即对于两个 随机变量X和Y，有E(X+Y)=EX+EY。
计算方法
离散型随机变量的数学期望
E(X)=∑x*p(x)，其中x为随机变量X的所有可能取值，p(x)为相应的概率。
连续型随机变量的数学期望
E(X)=∫x*f(x)dx，其中f(x)为随机变量X的概率密度函数。
数学期
相关系数是衡量两个随机变量线性关系的强度和方向的指标， 表示为ρ(X,Y)。
性质
相关系数具有对称性，即ρ(X,Y)=ρ(Y,X)；相关系数介于-1和1 之间，|ρ(X,Y)|越接近1，线性关系越强。
协方差与相关系数的计算方法
协方差计算公式
Cov(X,Y)=1/n Σ[(xi-EX)(yi-EY)]，其中n为样本量，xi、yi分别为第i个样本的观测值，EX、EY分别为X、Y的期望 值。
预测
通过计算数学期望，可以对随机变量的未来取值进行 预测。
决策
在风险决策中，数学期望可以用来计算期望收益或期 望损失，帮助决策者做出最优选择。
统计推断
在参数估计和假设检验中，数学期望可以用来估计未 知参数或检验统计假设。
03
方差
定义与性质
01 方差是衡量随机变量取值分散程度的量，表示随 机变量偏离其期望值的程度。
随机变量的数字特征
12
E (e 2 X ). 例 设随机变量X~E (1)，求
解 X的概率密度为
e x , x 0 p ( x) 0, x 0E(e2 XFra bibliotek) e
2 x
p( x)dx e3 x dx
0
1 1 3 x e 3 3 0
10000
0.5
20000
0.2
E( X ) 40000 0.3 10000 0.5 20000 0.2 13000
存入银行的利息: 8000 故应选择股票投资.
练 设随机变量的分布律为
p
0
1
2
0.2
3
0.1
0.4 0.3
2
求E，E ，E 2 - 1
解：E 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 1
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
A胜出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
4 5 6 1/4 1/2 1/4
X2 P
2
3
5
7
8 1/8
1/8 1/8 1/2 1/8
若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？ 两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大， 如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
随机变量的数字特征——期望,方差以及协方差
例12: 设X ~ B(n , p), Y = eaX,求E（Y）。
解：
EY EeaX n eak P( X k)
k0
n
e
akC
k n
pk (1
p)nk
k0
n
C
k n
(e
a
p)k (1
p)nk
k0
(ea p (1 p))n
例13: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E（Y）。
g( xk )pk
k
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
k
（2） 设X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f (x)，且 Y= g(X)也是连续型随机变量。若
g( x) f ( x)dx
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g(X )] g(x) f (x)dx
2、几种常见离散型分布的数学期望
1） 两点分布 例3：设随机变量X服从参数为p 的两点分布，求EX
解： EX=0×(1-p)+1×p=p
2） 二项分布 例4：设随机变量X~B(n,p)，求EX 解： 易知 X 的概率分布为：
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, , n
k!
E( X ) kP( X k)
k k e
k0
k0 k!
e
k 1
k0 (k 1)!
ee
例5 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能 打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一 把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门 时试开次数的数学期望.
解:设试开次数为X,
2.2随机变量的数字特征
x f ( x ) dx
f ( x)
0dx a x f ( x ) dx 0dx b
b
a
b
EX 存在.
例 已知 r .v . X ~ [ a , b ]上的均匀分布, 求 EX
解
1 , X ~ f ( x) b a 0,
a xb
n ' n x n1 ( x n )' x x 1时， n 1 n 1 n 1 2 3 n ' x ' 1 2 ( x x x ... x ...) 1 x (1 x )
二.连续型随机变量 的数学期望
0
1 2 2 1 1 0 sin xdx 2 ( cos x ) 0 2 cos x 2
0 2
0
例 r .v . X ~ [ 0, 2 ]上的均匀分布, 求E (sin X ),
E ( X EX )2
1 2 ,
解 X ~ f ( x)
2
0 x 2
x2 2 EX x f ( x )dx 0dx dx 0dx a ba b
a b
1 b 2 1 x3 b 1 b 3 a 3 a 2 ab b 2 a x dx b a 3 a b a 3 ba 3
例 r .v . X ~ [ 0, 2 ]上的均匀分布, 求E (sin X ),
说明:
x x
n n n
n n
pn x1 p1 x2 p2 ... xn pn ... 收敛
EX x1 p1 x2 p2 ... xn pn ...
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征第⼀节基本概念1、概念⽹络图→切⽐雪夫不等式矩⽅差期望⼀维随机变量→协⽅差矩阵相关系数协⽅差⽅差期望⼆维随机变量2、重要公式和结论例4．1：箱内装有5个电⼦元件，其中2个是次品，现每次从箱⼦中随机地取出1件进⾏检验，直到查出全部次品为⽌，求所需检验次数的数学期望。
例4．2：将⼀均匀骰⼦独⽴地抛掷3次，求出现的点数之和的数学期望。
例4．3：袋中装有标着1，2，…，9号码的9只球，从袋中有放回地取出4只球，求所得号码之和X 的数学期望。
例4．4：设随机变量X 的概率密度为,)(21)(||+∞<<-∞=-x e x f x求E （X ）及D （X ）。
例4．5：设随机变量X~N （0， 4）， Y~U （0， 4），且X ，Y 相互独⽴，求E （XY ），D （X+Y ）及D （2X-3Y ）。
例4．6：罐中有5颗围棋⼦，其中2颗为⽩⼦，另3颗为⿊⼦，如果有放回地每次取1⼦，共取3次，求3次中取到的⽩⼦次数X 的数学期望与⽅差。
例4．7：在上例中，若将抽样⽅式改为不放回抽样，则结果⼜是如何？例4．8：“随机变量X 的数学期望E(X)= µ.”的充分条件：(1)X 的密度函数为f(x)=λµλ--x e21 (λ>0,-∞(2) X 的密度函数为222)(21)(σµσπ--=x ex f ，（+∞<<∞-x ）例4．9：利⽤切⽐雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差⼤于3倍标准差的概率。
例4．10：设随机变量X 和Y 的⽅差存在且不等于0，则D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ）是X 和Y（A ）不相关的充分条件，且不是必要条件；（B ）独⽴的充分条件，但不是必要条件；（C ）不相关的充分必要条件；（D ）独⽴的充分必要条件。
（）。
例4．11：设X 与Y 相互独⽴都服从P （λ），令U=2X+Y ，V=2X-Y 。
第四章 随机变量的数字特征总结
第四章随机变量得数字特征㈠数学期望表征随机变量取值得平均水平、“中心”位置或“集中”位置.1、数学期望得定义(1) 定义离散型与连续型随机变量X得数学期望定义为其中Σ表示对X得一切可能值求与.对于离散型变量,若可能值个数无限,则要求级数绝对收敛;对于连续型变量,要求定义中得积分绝对收敛;否则认为数学期望不存在.①常见得离散型随机变量得数学期望1、离散型随机变量得数学期望设离散型随机变量得概率分布为,若,则称级数为随机变量得数学期望(或称为均值),记为, 即2、两点分布得数学期望设服从0—1分布,则有,根据定义,得数学期望为、3、二项分布得数学期望设服从以为参数得二项分布,,则。
4、泊松分布得数学期望设随机变量服从参数为得泊松分布,即,从而有。
①常见得连续型随机变量得数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布,ξ～U[a,b] (a<b),它得概率密度函数为:= 则=∴E(ξ)=(a+b)/2. 即数学期望位于区间得中点.2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布,ξ～N(μ,σ2),它得概率密度函数为:(σ>0, <μ<+ )则令得∴ E(ξ)=μ 、3)指数分布设随机变量服从参数为得指数分布,得密度函数为,则、(2) 随机变量得函数得数学期望设为连续函数或分段连续函数,而X就是任一随机变量,则随机变量得数学期望可以通过随机变量X 得概率分布直接来求,而不必先求出得概率分布再求其数学期望;对于二元函数,有类似得公式:()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d ,, ,,,y x y x f y x g y Y x X y x g Y X g Z i jj i j i P E E 设为二维离散型随机变量,其联合概率函数 如果级数绝对收敛,则得函数得数学期望为 ; 特别地、设为连续型随机变量,其概率密度为,如果广义积分 绝对收敛,则得函数得数学期望为. 设为二维连续型随机变量,其联合概率密度为,如果广义积分绝对收敛,则得函数得数学期望为;特别地 ,、注:求E(X,Y)就是无意义得,比如说二维(身高,胖瘦)得数学期望就是无意义得,但就是二维随机变量函数Z= E(X,Y)就是有意义得,她表示得就是函数下得另一个一维意义。
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第四章 随机变量的数字特征㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望 设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为.3、二项分布的数学期望 设服从以为参数的二项分布，，则。
4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。
①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a<b),它的概率密度函数为:= 则=∴E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点．2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ>0，- <μ<+ )则令得∴ E(ξ)=μ .3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为，则.(2) 随机变量的函数的数学期望设)(xgy=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)(XgY=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数),(YXgZ=，有类似的公式：(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgY kkkPEE()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d ,, ,,,y x y x f y x g y Y x X y x g Y X g Z i j j i j i P E E 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====如果级数(,)i j ijji g a b p ∑∑绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为 [(,)](,)i j ijjiE g X Y g a b p =∑∑； 特别地();()i ij j ijiijiE X a p E Y b p ==∑∑∑∑.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx +∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰； 特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。
2、数学期望的性质(1) 对于任意常数c ，有c c =E ． 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数λ，有X XE E λλ=．例：E(aX+b)=aE(X)+b(3) 对于任意m X X X ,,,21 ，有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121． (4) 如果m X X X ,,,21 相互独立，则()m m X X X X X X E E E E2121=．(注：相互独立有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1、方差的定义 称222)()(X X X X X E E E E D -=-=为随机变量X 的方差，称XD =σ为随机变量X 的标准差．随机变量X 的方差有如下计算公式：(){}()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎰∑∞∞-．；连续型离散型 )( d )( )( 22x x f X x x X X x X kk k E P E D (4.3) 2、常见分布的方差(1)两点分布设ξ～(0-1)，其概率分布为: P (ξ=1)=p ， P (ξ=0)=1-p =q (0<p <1) E (ξ)=p ，E (ξ2)=12×p +02×(1-p )=p ∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=p -p 2=p （1-p ）(2)二项分布设ξ～B (n ,p )， 其概率分布为:(k =0, 1, 2,…,n ) (0<p <1) E (ξ)=np ,(此处运用组合数公式 )==,(运用二项分布的数学期望公式知 )E (ξ2)=np (n -1)p +np ,∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=np (1-p )． (3)均匀分布设ξ～U [a , b ] ( a < b )，它的概率密度函数为:E (ξ)=(a +b )/2 ,.∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=(b -a )2/12. (4)正态分布设ξ～N (μ, σ2),它的概率密度函数为: (σ>0，-∞<μ<+∞) E (ξ)=μ(令t =(x -μ)/σ)=σ2 ∴ D (ξ)=σ2.(5)指数分布2、方差的性质 (1)0≥X D ，并且0=X D 当且仅当X（以概率１）为常数；(2) 对于任意实数λ，有XXD D 2λλ=；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用）(3) 若m X X X ,,,21 两两独立或两两不相关，则()m m X X X X X X D D D D +++=+++ 2121．（4）D(X)≥0，D(X)=0的充要条件是P ｛X=E （X ）｝=1或者P{X=C}=1. (5)设X 是一个随机变量，c 是常数，则D(X+c)=D(X).例：D (k ξ+c )= k 2D (ξ)； ㈢ 切比雪夫不等式我们知道方差)(X D 是用来描述随机变量X 的取值在其数学期望)(X E 附近的离散程度的，因此，对任意的正数ε，事件ε≥-)(X E X 发生的概率应该与)(X D 有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。
定理1 设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ，则对于任意正数ε，不等式 2)(])([ εεX D X E X P ≤≥- （1） 或 2)(1])([ εεX D X E X P -≥<- （2）都成立。
不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。
切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下，只利用X 的数学期望和方差即可对X 的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。
例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。
解 设X 表示每毫升血液中含白细胞个数，则700)()(,7300)(===X D X X E σ而}2100|7300{|1}2100|7300{|}94005200{≥--=≤-=≤≤X P X P X P又912100700}2100|7300{|22=≤≥-X P 所以98}94005200{≥≤≤X P ㈢ 协方差和相关系数考虑二维随机向量),(Y X ，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及X 和Y 的联合数字特征——协方差和相关系数．1、协方差和相关系数的定义(1) 协方差 随机变量X 和Y 的协方差定义为Y X XY Y Y X X Y X E E E E E E -=--=))((),cov(，其中{}()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d , , y x y x xyf y Y x X y x XY i jj i j i P E (2) 相关系数 随机变量X 和Y 的相关系数定义为()y x Y X XY YX Y X σσρE E E D D -==,cov ．2、协方差的性质 设随机变量X 和Y 的方差存在，则它们的协方差也存在． (1) 若X 和Y 独立，则0),cov(=Y X ；对于任意常数c ，有0),cov(=c X ．(2)),cov(),cov(X Y Y X =．(3) 对于任意实数a 和b ，有),cov(),cov(Y X ab bY aX =．(4) 对于任意随机变量Z Y X ,,，有．，),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov(Z X Y X Z Y X Z Y Z X Z Y X +=++=+(5) 对于任意X 和Y ，有()Y X Y X D D ≤,cov ．（等号成立，且当仅当存在常数啊，a ，b 使P{Y=a+bX}=1成立）(6) 对于任意X 和Y ，有),cov(2)(Y X Y X Y X±+=±D D D ．3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设ρ——X 和Y 的相关系数，,,,,222121Y X Y X D D E E ====σσμμ(1)11≤≤-ρ．(2) 若X 和Y 相互独立，则ρ=0；但是，当ρ=0时X 和Y 却未必独立． (3)1=ρ的充分必要条件是X 和Y （以概率１）互为线性函数．(4)对随机变量x ，y ，下列事件等价： ①cov （X,Y ）=0;②X 和Y 不相关；③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y)三条性质说明，随着变量X 和Y 之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值ρ从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量．4、随机变量的相关性 假设随机变量X 和Y 的相关系数ρ存在．若ρ= 0，则称X 和Y 不相关，否则称X 和Y 相关．(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2) 若X 和Y 的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价．㈣ 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布．概率统计中用矩描绘概率分布．常用的矩有两大类：原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩．1、原点矩 对任意实数0≥k ，称kk X E =α为随机变量Ｘ的k 阶原点矩，简称k 阶矩．XE 1=α．原点矩的计算公式为：{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰∑∞∞-．；连续型离散型 d )( )()( x x f x x X x X k i i k i kk P E α 一阶原点矩是数学期望()E X ； 2、中心矩 称()kkX X E E -=μ为随机变量Ｘ的k 阶中心矩．二阶中心矩是方差D(X)；3.混合中心矩随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()klE X Y ；随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k lE X E X Y E Y --．(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y . （四）常用分布的数字特征9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时， (),()(1)E X np D X np p ==-． 9.2 当X 服从泊松分布()p λ时， (),()E X D X λλ==，9.3 当X 服从区间(,)a b 上均匀分布时，2()(),()212a b b a E X D X +-==9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时，211(),()E X D X λλ== 9.5 当X 服从正态分布2(,)N μσ时， 2(),()E X D X μσ==． 9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ时， 211(),()E X D X μσ==；222(),()E Y D Y μσ==；12cov(,),XY X Y ρσσρρ==三、典型例题及其分析例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX .【思路】 关键是求出X 的分布律，然后用定义计算EX .【解】 引入事件：{} i=1,2,3.i A i =第个部件需要调整根据题设，三部件需要调整的概率分别为()()()1230.10,0.20,0.30.P A P A P A ===由题设部件的状态相互独立，于是有 ()()()()()1231230 0.90.80.70.504.P X P A A A P A P A P A ====⨯⨯=()()12312312310.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.398P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()12312312320.10.20.70.10.80.30.90.20.3 0.092;P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=从而00.50410.39820.09230.0060.6,i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑22222200.50410.39820.09230.0060.820.i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑故()2220.8200.60.46.DX EX EX =-=-=【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件i A ，将X的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X的分布.同时，方差的计算一般均通过公式()22DX EX EX =-来进行.例4.2.3 设X 是一随机变量，其概率密度为()1, 10,1, 01,0, x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.求DX .(1995年考研题) 【解】()()()()()()()011011222221110..11211 6EX xfx dx x x dx x x dx EXx fx dx x x dx x x dx x x dx+∞-∞-+∞-∞-==++-===++-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是()221.6DX EX EX =-= 【解毕】【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下()f x 的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，()f x 为偶函数，故()0.EX xf x dx +∞-∞==⎰同样DX 的计算也可直接简化.例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为()221, -<x<+.xx f x -+-=∞∞求EX与DX . (1987年考研题)【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义. 【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知()()()()()()222211111 1.x x x x EX xf x dx xedx edx x edx edx +∞+∞+∞+∞-------∞+∞--===-==⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()22222212111.2x t t DX E X EX x f x dx x dxt ee dt +∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞=-=-=-==⎰⎰⎰⎰（方法2） 利用正态分布定义.由于期望为μ，方差为2σ()()222.x x μσ---∞<<+∞所以把()f x 变形为()()221212x fx eπ--⨯=易知,()fx 为11,2N ⎛⎫⎪⎝⎭的概率密度,因此有11,.2EX DX ==【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分2kxe dx +∞--∞⎰等.(2)若干计算公式的应用主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例4.2.5 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求2EX .(1995年考研题) 【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =⨯=()100.410.4 2.4.DX =⨯⨯-=由()22DXEX EX =-可推知()2222.4418.4.EXDX EX =+=+=【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X 的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么()1010221000.410.4kk k K EXk C -==-∑的计算是繁琐的.例4.2.6 设X 服从参数1λ=的指数分布，求()2X E X e -+.（1992年考研题）【解】 由题设知，X 的密度函数为(), 0,0, 0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 且1EX =，又因为()22201,3Xxx xEeef x dx e e dx +∞+∞-----∞===⎰⎰ 从而()22141.33X X E X e EX Ee --+=+=+= 【解毕】【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例 4.2.7 设二维随机变量(),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布，求随机变量21Z X =+的方差.DZ【解】 由方差的性质得知()214DZ D X DX =+=又由于X 的边缘密度为()()1, 01,0, .2, 010, xX xdy x f x f x y dy x x +∞--∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩<<⎧=⎨⎩⎰⎰其他其他.于是()112200222212, 2,32121.2318EX x xdx EX x xdx DX EX EX ====⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 因此 ， 1244.189DZ DX ==⨯=【解毕】 【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X 的期望于方差时，可以从X 的边缘密度函数出发，而不必从X 与Y 的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1的正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机变量23ZX Y =-+的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z 作为,X Y的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ 和DZ ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得2235,29.EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=又因Z 是,X Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知()~5,9ZN ，于是，Z 的概率密度为()()2529, .z Zf z z --⨯=-∞<<+∞ 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量0, ,1, .kY k X Y k ≤⎧=⎨>⎩若若()1,2k =（1） 求1X 和2X 的联合概率分布；（2） 求()12EX X +.【解】 显然，Y 的分布函数为 ()1, 0,0, 0.ye y F y y -⎧->=⎨≤⎩10, 11 1.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 20, 212.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 （1）()12X X +有四个可能取值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且()()()()()()()()()()()()()()121121212120,01,21 11,0,11,20,1,01,212 21,1,11,22 P X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P X X P Y Y P Y F F e e P X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2 12.F e -=-= 于是得到1X 和2X 的联合分布律为（3） 显然，12,X X 的分布律分别为1X 0 1 2X 0 1P 11e -- 1e - P 21e -- 2e -因此 1212,.EX e EX e --==故()121212.E X X EX EX e e --+=+=+ 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律，也可直接求出()12E X X +，这是因为()()()1111011.EX P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=而 222,EX PY e -=>= 因此()121212.E X X EX EX e e --+=+=+不仅如此，我们还能求12,X X 其他函数的期望.例如求()12E X X ，此时，由于121, 2,0 .Y X X >⎧=⎨⎩若，其他故()()()()21212022.E X X P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=例4.2.10 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，其密度函数为()()22121,2x y f x y e π-+=求随机变量Z =的期望和方差.【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算. 【解】由于Z=，故()222,1 .2x y EZ Ef x y dxdydxdy π+∞-∞-∞+∞+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰令cos ,sin .x r y r θθ=⎧⎨=⎩，则22222222000211222 |r r r r EZ d rer re e dr edr πθπππ+∞+∞---+∞+∞-⎡⎤==-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰而()()()2222222222222212122 2.xy r r EZ E X Y xy edxdyd rerdr redrππθπ++∞+∞--∞-∞+∞+∞--=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰故()222.2DZ EZ EZ π=-=-【解毕】【技巧】 本题也可先求出Z 的密度函数，再来求Z 的期望与方差，但由于求Z 的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道Z 的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者(),X Y 为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解.例4.3.4 已知随机变量X 与Y 分别服从正态分布()21,3N 和()20,4N ，且X与Y 的相关系数12XYρ=-，设,32X YZ =+求： （1）Z 的数学期望EZ 和方差DZ ； （2）X 与Z 的相关系数XZ ρ；（2） 问X 与Z 是否相互独立？为什么?（1994年考研题）【解】 （1）由数学期望的运算性质有111.32323X Y EZ E EX EY ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭由()()2,DX Y DX DY Cov X Y +=++有()2211112,32323211112,3232111 943 142 3.XY X Y DZ D D X D Y Cov X Y DX DY Cov X Y DX DY DX DYρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⨯⨯=++=+-= （2）因为()()()2,,3211,,321132111 3340,322XY X Y Cov X Z Cov X Cov X X Cov X Y DX DX DYρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+=+⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭所以,0.XZ DXDZρ==（3）因,X Y 均为正态，故,X Y的线性组合Z 也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由0XZρ=知，X与Z 相互独立. 【解毕】【寓意】 本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质()()()()(),,,,,Cov aX bY cU dV acCov X U adCov X V bcCov Y U bdCov Y V ++=+++另一点为：对于二正态变量X 与Y ，X 与Y 相互独立等价于0.XY ρ=综例4.4.3 设随机变量X 的概率密度为(), 02,, 24,0, .ax x f x cx b x <<⎧⎪=+≤≤⎨⎪⎩其他已知()32,13.4EXP X =<<=求：（1）常数,,;a b c （2）XEe . 【思路】 要确定三个常数,,,a b c 需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为()1,f x dx +∞-∞=⎰而X Ee 只需利用随机变量函数的期望计算公式即可.【解】 （1）由概率密度的性质知，有()()2421262.f x dx axdx cx b dx a c b +∞-∞==++=++⎰⎰⎰又因为()()24022356 6,83EX xf x dx x axdx x cx b dx a c b +∞-∞===++=++⎰⎰⎰而 ()()()323112313435.22P X f x dx axdx cx b dxa cb =<<==++=++⎰⎰⎰ 解方程 2621,85662,33353.224a cb ac b a c b ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩ 得111,4,4a b c ===- （2）()24242144111.424Xxxx x x Eee f x dx edx e dxe e +∞-∞⎛⎫==+- ⎪⎝⎭=-+⎰⎰⎰ 【解毕】。