江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：21 坐标系与参数方程

常考问题21 坐标系与参数方程

1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极

坐标方程．

解 将圆心C

⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.

再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2

－4ρcos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ－π3－1＝0.

此即为所求的圆C 的极坐标方程．

2．(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧

x ＝5cos φ，

y ＝3sin φ(φ为参数)

的右焦点，且与直线⎩⎨⎧

x ＝4－2t ，

y ＝3－t

(t 为参数)平行的直线的普通方程．

解 由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的方程为y ＝1

2(x －4)，即x －2y －4＝0. 3．(2010·江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．

解 将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.

由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |

32＋4

2

＝1， 解得a ＝－8或a ＝2， 故a 的值为－8或2.

4．已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩

⎨⎧

x ＝8cos θ，y ＝3sin θ

(θ为参数)．

(1)化C 1、C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π

2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧

x ＝3＋2t ，

y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．

解 (1)C 1：(x ＋4)2

＋(y －3)2

＝1，C 2：x 264＋y 2

9＝1.

C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．

C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π

2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－2＋4cos θ，2＋32sin θ.

C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离 d ＝5

5|4cos θ－3sin θ－13|.

从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值85

5

.

5．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝4＋5cos t ，

y ＝5＋5sin t (t 为参数)，

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解 (1)∵C 1的参数方程为⎩

⎨⎧

x ＝4＋5cos t ，

y ＝5＋5sin t ，

∴⎩⎨⎧

5cos t ＝x －4，

5sin t ＝y －5，∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，

解方程组⎩⎨⎧ (x －4)2＋(y －5)2

＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧

x ＝0，

y ＝2.

∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)． ∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π2.

6．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

θ－π4＝2 2.

(1)求C 1与C 2交点的极坐标；

(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝t 3＋a ，y ＝b 2

t 3

＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．

解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.

解⎩⎨⎧ x 2＋(y －2)2

＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧

x 2＝2，y 2＝2.

所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，

注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab

2＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧

b 2＝1，－ab

2＋1＝2，解得⎩

⎨⎧

a ＝－1，

b ＝2.

备课札记：