自主招生数学解读(三)

z1 ⋅ z2 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ⋅ r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = r1r2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )] z1 r1 = [cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )] z2 r2
记 tan A = x,tan B = y,tan C = z,由条件得 x + y + z ≤ [ x] + [ y] + [ z].
因为[ x] ≤ x, 所以x, y, z必均为整数.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
如果∆ABC是钝角三角形,不妨设∠A > 90o , 则∠B, ∠C均为锐角,从而y, z为整数(不妨设y ≤ z)
六.复数的扩充 复数的扩充
2.(2006年清华大学) 1 1 n 求最小的正整数n, 使得I = ( + i ) 为纯虚数,并求出I . 2 2 3 1 3 1 n 1 n π π n 解 : 因为I = [ ( + i )] = ( ) (cos + i sin ) 6 6 3 2 2 3 1 n nπ nπ = ( ) (cos + i sin ). 6 6 3 nπ nπ 所以I 为纯虚数的充要条件是 cos = 0且 sin ≠ 0. 6 6 3 此时最小的正整数n = 3且I = i. 9
解 : 不妨设这三个数为a, a + 8, a + 16(a ≥ 1).
考虑a模3的余数 : 若a ≡ 1(mod 3), 则a + 8 ≡ 9 ≡ 0(mod 3), 这说明3 | a + 8. 显然a + 8 ≥ 9, 故a + 8是合数,与题意不合; 若a ≡ 2(mod 3), 则a + 16 ≡ 18 ≡ 0(mod 3), 故a + 16是合数,
4.(2005年上海交通大学) 2005!未位有连续 个零.
分析 : 未尾0的个数等于2005!的素因数分解式中 2 × 5的个数,因为2 < 5, 所以2的个数比5的个 数多,从而只需求出2005!中含有5的最高次 项,就是未尾0个的个数.而根据定理可求.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
4.(2005年上海交通大学) 2005!未位有连续 个零.
z1n = r n (cos nθ1 + i sin nθ1 ) （棣莫弗公式） 棣莫弗公式）
六.复数的扩充 复数的扩充
若复数z = r (cosθ + i sin θ )(r ≥ 0), 则它的n次方根是以下n个复数: θ + 2 kπ θ + 2 kπ n n z = r (cos + i sin )(k = 0,1, 2,L , n − 1). n n
七.简单的整数理论 简单的整数理论
故在区间[m, n]中,不能被3整除的数之和为: 3 m −1 m −1 n(n + 1) m(m −1) 3 n n − − [ ]([ ] + 1) + [ ]([ ] + 1). 2 2 2 3 3 2 3 3
另一种解法见《决胜自主招生》第197页. 另一种解法见《决胜自主招生》 页
七.简单的整数理论 简单的整数理论
4.同余 同余的概念是高斯在1880年左右给出的，其基 本想法是：以某个整数去除所有的整数时，把 余数相同的数归为一类，余数不同的数归为另 一类,然后再去讨论同一类的整数具有哪些性质， 不同类的整数又有哪些关系。 这是一种从整体出发考虑问题的方法，也是把 无限集转化有限集来处理的一种有效的途径. 在名校的自主招生试题中，有关同余的问题考 查得较多，但也较为基本.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
5.(2009年南京大学) 找出所有满足 tan A tan B tan C ≤ [tan A] + [tan B] + [tan C] 的非直角三角形∆ABC.
tan A + tan B 解:由tan 解:由tan C = tan(π − ( A + B)) = − tan( A + B) = − , 1− tan Atan B 得 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.
其中r为复数的模,θ 为辐角.
六.复数的扩充 复数的扩充
介绍复数的三角形式
z = r (cosθ + i sin θ )
若θ ∈ [0, 2π ), 则称θ 为辐角主值.
Z ( a, b)
r
θ
Baidu Nhomakorabea
O
六.复数的扩充 复数的扩充
有关复数的三角形式的运算
z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) z2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 )
于是x < 0 < 1 ≤ y ≤ z,
又因为x + y + z = xyz, 从而
x+ y+ z y+z 1 ≤ yx = = 1+ < 1, 矛盾! x x 所以∆ABC只能是锐角三角形.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
不妨设1 ≤ x ≤ y ≤ z. x + y + z 3z 又xy = ≤ =3 x z 若xy = 1, 则x = y = 1, 从而x + y + z = xyz, 不成立;
所以2005!中含有1002+501+250+125+62+31+15+7+3+1 =1997个2的因子;
七.简单的整数理论 简单的整数理论
4.(2005年上海交通大学) 2005!未位有连续 个零.
2005 2005 2005 2005 又因为[ ] = 401,[ 2 ] = 80,[ 3 ] = 16,[ 4 ] = 3 5 5 5 5
所以2005!中含有401+80+16+3=500个5的因子; 所以2005!的未位有连续500个零.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
3.高斯函数[ x]
任何一个实数x都可以表示成x = n + α的形式, 其中n ∈ N ,0 ≤ α < 1 称n是x包含的最大整数,记为[ x].
它有三层意思: (1)[ x]是一个整数; 合起来可以说: (2)[ x] ≤ x; [ x]是不超过x的最大整数. (3) x < [ x] + 1. 1 1 例如 :[5.2] = 5,[ ] = 0,[−5.3] = −6,[− ] = −1. 3 4
(费尔马小定理)设p是素数,a是整数,并且(a, p) = 1, 则a p −1 ≡ 1(mod p ).
结论也可以改写成: 若p是素数,则a p ≡ a (mod p).
(2009年南京大学) 已知n为一正整数,并且2n − 1能被7整除,则n的所有取值 为 .
七.简单的整数理论 简单的整数理论
6.(2008年清华大学) 求正整数区间[m, n]中不能被3整除的数之和. n 解 : 在区间[0, n]中,的正倍数有[ ]个,故[0, n]中不能被3整除 3 3 n(n + 1) 3 n n 的数之和为: − [ ]([ ] + 1). 2 2 3 3 m −1 而在区间[0, m −1]中,3的正倍数有[ ]个,故在区间[0, m −1] 3 m(m −1) 3 m −1 m −1 中不能被3整除的数之和为: − [ ]([ ] + 1). 2 2 3 3
六.复数的扩充 复数的扩充
本题在2009年被华南理工大学改编为如下的一道试题: 1 3 n n 满足( + i ) + i = 0的最小的自然数n的值是_______. 2 2
本题的其余做法见《决胜自主招生》第177页. 本题的其余做法见《决胜自主招生》 页
六.复数的扩充 复数的扩充
3.(2008年中国科技大学) 平面直角坐标系逆时针旋转30o , 求原坐标系中点P ( x, y ) 在新坐标系的坐标P ( x′, y′).
七.简单的整数理论 简单的整数理论
定理:设x > 1, m为正整数, 则从1到x的正整数中, x m的倍数有[ ]个. m x x x x x 证明:由[ ] ≤ < [ ] + 1, 从而有[ ]m ≤ x < [ ]m. m m m m m
这表明从1到 x的正整数中, m的倍有 : x x m , 2 m , 3m ,L ,[ ]m , 共[ ]个 . m m
k
k +1
| b.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
定理:把n!中素数p的最高次项记作p(n!), n n n 则p(n!) = [ ] + [ 2 ] + L + [ k ] p p p 其中p k ≤ n ≤ p k +1.
4.(2005年上海交通大学) 2005!未位有连续 个零.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
高校自主招生试题热点解读 （三）
主讲: 主讲:贾广素 2010年11月 2010年11月6日
六.复数的扩充 复数的扩充
1.复数的概念 2.复数的几何意义 3.复数的几种形式 代数形式 向量形式 三角形式 指数形式
z = a + bi ↔ (a, b) ↔ r (cos θ + i sin θ ) ↔ reiθ
七.简单的整数理论 简单的整数理论
1.算术基本定理
设整数a > 1, 那么必有a = p1 p2 L pn , 其中pi (1 ≤ i ≤ n) 是素数, 且在不计顺序的情况下,这种分解是唯一的.
(素数唯一分解定理)
2.n!的素因素分解式
设k是非负整数,记a || b表示b恰好能被a 整除
k k
即a | b, 但a
七.简单的整数理论 简单的整数理论
同余: 设m是正整数,若用m去除整数a, b所得的余数相同, 则称a, b关于模m同余, 记作a ≡ b(mod m).
否则称a, b关于模m不同余, 记作a ≡ b(mod m).
七.简单的整数理论 简单的整数理论
7.(2009年清华大学) 写出三个数都是质数,且以8为公差的等差数列,并证明之.
与题意不合; 所以,只有a ≡ 0(mod 3), 又是a是质数,故只有a = 3.
从而这三个数是3,11,19.检验知符合题意.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
本题至少有四、五种解法，限于时间，这 里我们不再讨论。在《决胜自主招生》第 38页，给出了另外两种同学们容易理解的 方法，请参考！
七.简单的整数理论 简单的整数理论
六.复数的扩充 复数的扩充
本题的一般做法见《决胜自主招生》第 178页
七.简单的整数理论 简单的整数理论
自主招生考试中也会出现一些简单的初等数论问题，这 些问题主要有： 整除问题； 高斯函数； N!的素因素分解； 不定方程问题； 同余问题； 函数方程及多项式问题等. 由于《初等数论》是一门非常专业的课程，这里我只介 绍一些与自主招生考试相关的一些简单概念.
若xy = 2, 则x = 1, y = 2,由x + y + z = xyz, 得z = 3;
若xy = 3, 则x = 1, y = 3,由x + y + z = xyz, 得z = 2, 不满足x ≤ y ≤ z, 舍去; 所以只有x = 1, y = 2, z = 3符合题意. 即A = arctan1, B = arctan 2, C = arctan3是满足题意的三角形.
六.复数的扩充 复数的扩充
1.(2010年五校联考) a+i 2 w=( ) , w的实部为2, 求虚部. 1+ i a + i 2 (a + i ) 2 (1 − i ) 2 4a + 2i (1 − a 2 ) 解:w = ( ) = = 1+ i 4 4
1 − a2 3 由实部是2, 故虚部为 =− . 2 2
解 : 在复平面坐标系下由x′ + y′i = ( x + yi )[cos(−θ ) + i sin(−θ )] = ( x + yi )(cosθ − i sin θ )
= ( x cosθ + y sin θ ) + i (sin θ − x cosθ )
x′ = x cosθ + y sin θ , ∴ y′ = y cosθ − x sin θ .
2005 2005 2005 解 : 因为[ ] = 1002,[ 2 ] = 501,[ 3 ] = 250, 2 2 2 2005 2005 2005 2005 [ 4 ] = 125,[ 5 ] = 62,[ 6 ] = 31,[ 7 ] = 15, 2 2 2 2 2005 2005 2005 [ 8 ] = 7,[ 9 ] = 3,[ 10 ] = 1. 2 2 2