自主招生数学解读(三)

k
k +1
| b.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
定理:把n!中素数p的最高次项记作p(n!), n n n 则p(n!) = [ ] + [ 2 ] + L + [ k ] p p p 其中p k ≤ n ≤ p k +1.
4.(2005年上海交通大学) 2005!未位有连续 个零.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
2005 2005 2005 解 : 因为[ ] = 1002,[ 2 ] = 501,[ 3 ] = 250, 2 2 2 2005 2005 2005 2005 [ 4 ] = 125,[ 5 ] = 62,[ 6 ] = 31,[ 7 ] = 15, 2 2 2 2 2005 2005 2005 [ 8 ] = 7,[ 9 ] = 3,[ 10 ] = 1. 2 2 2
高校自主招生试题热点解读 （三）
主讲: 主讲:贾广素 2010年11月 2010年11月6日
六.复数的扩充 复数的扩充
1.复数的概念 2.复数的几何意义 3.复数的几种形式 代数形式 向量形式 三角形式 指数形式
z = a + bi ↔ (a, b) ↔ r (cos θ + i sin θ ) ↔ reiθ
六.复数的扩充 复数的扩充
2.(2006年清华大学) 1 1 n 求最小的正整数n, 使得I = ( + i ) 为纯虚数,并求出I . 2 2 3 1 3 1 n 1 n π π n 解 : 因为I = [ ( + i )] = ( ) (cos + i sin ) 6 6 3 2 2 3 1 n nπ nπ = ( ) (cos + i sin ). 6 6 3 nπ nπ 所以I 为纯虚数的充要条件是 cos = 0且 sin ≠ 0. 6 6 3 此时最小的正整数n = 3且I = i. 9
七.简单的整数理论 简单的整数理论
同余: 设m是正整数,若用m去除整数a, b所得的余数相同, 则称a, b关于模m同余, 记作a ≡ b(mod m).
否则称a, b关于模m不同余, 记作a ≡ b(mod m).
七.简单的整数理论 简单的整数理论
7.(2009年清华大学) 写出三个数都是质数,且以8为公差的等差数列,并证明之.
解 : 在复平面坐标系下由x′ + y′i = ( x + yi )[cos(−θ ) + i sin(−θ )] = ( x + yi )(cosθ − i sin θ )
= ( x cosθ + y sin θ ) + i (sin θ − x cosθ )
x′ = x cosθ + y sin θ , ∴ y′ = y cosθ − x sin θ .
其中r为复ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的模,θ 为辐角.
六.复数的扩充 复数的扩充
介绍复数的三角形式
z = r (cosθ + i sin θ )
若θ ∈ [0, 2π ), 则称θ 为辐角主值.
Z ( a, b)
r
θ
O
六.复数的扩充 复数的扩充
有关复数的三角形式的运算
z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) z2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 )
七.简单的整数理论 简单的整数理论
4.同余 同余的概念是高斯在1880年左右给出的，其基 本想法是：以某个整数去除所有的整数时，把 余数相同的数归为一类，余数不同的数归为另 一类,然后再去讨论同一类的整数具有哪些性质， 不同类的整数又有哪些关系。 这是一种从整体出发考虑问题的方法，也是把 无限集转化有限集来处理的一种有效的途径. 在名校的自主招生试题中，有关同余的问题考 查得较多，但也较为基本.
若xy = 2, 则x = 1, y = 2,由x + y + z = xyz, 得z = 3;
若xy = 3, 则x = 1, y = 3,由x + y + z = xyz, 得z = 2, 不满足x ≤ y ≤ z, 舍去; 所以只有x = 1, y = 2, z = 3符合题意. 即A = arctan1, B = arctan 2, C = arctan3是满足题意的三角形.
z1n = r n (cos nθ1 + i sin nθ1 ) （棣莫弗公式） 棣莫弗公式）
六.复数的扩充 复数的扩充
若复数z = r (cosθ + i sin θ )(r ≥ 0), 则它的n次方根是以下n个复数: θ + 2 kπ θ + 2 kπ n n z = r (cos + i sin )(k = 0,1, 2,L , n − 1). n n
(费尔马小定理)设p是素数,a是整数,并且(a, p) = 1, 则a p −1 ≡ 1(mod p ).
结论也可以改写成: 若p是素数,则a p ≡ a (mod p).
(2009年南京大学) 已知n为一正整数,并且2n − 1能被7整除,则n的所有取值 为 .
4.(2005年上海交通大学) 2005!未位有连续 个零.
分析 : 未尾0的个数等于2005!的素因数分解式中 2 × 5的个数,因为2 < 5, 所以2的个数比5的个 数多,从而只需求出2005!中含有5的最高次 项,就是未尾0个的个数.而根据定理可求.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
4.(2005年上海交通大学) 2005!未位有连续 个零.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
故在区间[m, n]中,不能被3整除的数之和为: 3 m −1 m −1 n(n + 1) m(m −1) 3 n n − − [ ]([ ] + 1) + [ ]([ ] + 1). 2 2 2 3 3 2 3 3
另一种解法见《决胜自主招生》第197页. 另一种解法见《决胜自主招生》 页
七.简单的整数理论 简单的整数理论
定理:设x > 1, m为正整数, 则从1到x的正整数中, x m的倍数有[ ]个. m x x x x x 证明:由[ ] ≤ < [ ] + 1, 从而有[ ]m ≤ x < [ ]m. m m m m m
这表明从1到 x的正整数中, m的倍有 : x x m , 2 m , 3m ,L ,[ ]m , 共[ ]个 . m m
七.简单的整数理论 简单的整数理论
1.算术基本定理
设整数a > 1, 那么必有a = p1 p2 L pn , 其中pi (1 ≤ i ≤ n) 是素数, 且在不计顺序的情况下,这种分解是唯一的.
(素数唯一分解定理)
2.n!的素因素分解式
设k是非负整数,记a || b表示b恰好能被a 整除
k k
即a | b, 但a
六.复数的扩充 复数的扩充
本题的一般做法见《决胜自主招生》第 178页
七.简单的整数理论 简单的整数理论
自主招生考试中也会出现一些简单的初等数论问题，这 些问题主要有： 整除问题； 高斯函数； N!的素因素分解； 不定方程问题； 同余问题； 函数方程及多项式问题等. 由于《初等数论》是一门非常专业的课程，这里我只介 绍一些与自主招生考试相关的一些简单概念.
z1 ⋅ z2 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ⋅ r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = r1r2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )] z1 r1 = [cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ 2 )] z2 r2
记 tan A = x,tan B = y,tan C = z,由条件得 x + y + z ≤ [ x] + [ y] + [ z].
因为[ x] ≤ x, 所以x, y, z必均为整数.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
如果∆ABC是钝角三角形,不妨设∠A > 90o , 则∠B, ∠C均为锐角,从而y, z为整数(不妨设y ≤ z)
解 : 不妨设这三个数为a, a + 8, a + 16(a ≥ 1).
考虑a模3的余数 : 若a ≡ 1(mod 3), 则a + 8 ≡ 9 ≡ 0(mod 3), 这说明3 | a + 8. 显然a + 8 ≥ 9, 故a + 8是合数,与题意不合; 若a ≡ 2(mod 3), 则a + 16 ≡ 18 ≡ 0(mod 3), 故a + 16是合数,
七.简单的整数理论 简单的整数理论
6.(2008年清华大学) 求正整数区间[m, n]中不能被3整除的数之和. n 解 : 在区间[0, n]中,的正倍数有[ ]个,故[0, n]中不能被3整除 3 3 n(n + 1) 3 n n 的数之和为: − [ ]([ ] + 1). 2 2 3 3 m −1 而在区间[0, m −1]中,3的正倍数有[ ]个,故在区间[0, m −1] 3 m(m −1) 3 m −1 m −1 中不能被3整除的数之和为: − [ ]([ ] + 1). 2 2 3 3
与题意不合; 所以,只有a ≡ 0(mod 3), 又是a是质数,故只有a = 3.
从而这三个数是3,11,19.检验知符合题意.
七.简单的整数理论 简单的整数理论
本题至少有四、五种解法，限于时间，这 里我们不再讨论。在《决胜自主招生》第 38页，给出了另外两种同学们容易理解的 方法，请参考！
七.简单的整数理论 简单的整数理论
于是x < 0 < 1 ≤ y ≤ z,
又因为x + y + z = xyz, 从而