山西省太原市外国语学校2020届高三数学4月模拟考试试题文(无答案)

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2020届山西省太原市一模数学(文科)试卷及答案

2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．194．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+ 与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．15．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13326．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．1377．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为()A ．3B ．5C ．8D ．119．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）刘徽注《九章算术商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A 3B ．3C 3D ．411．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()x xx f x f x e-'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是．14．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆，求11a b+的值．19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}【解答】解：{0U A = ð，4}，(){0U A B ∴= ð，2，4}；故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞【解答】解：复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1020m m +<⎧⎨->⎩，解得1m <-．∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：525S = ，23a =，53255S a ∴==，则35a =，则公差322d a a =-=，11a =，则918217a =+⨯=．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．1【解答】解：平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，(∴2)46100a b b a b b λλλ+=+=++=，求得1λ=-，故选：C ．5．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为222222232=，故概率716P =．故选：C ．6．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．137【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列1{}(1)n n +前四项的和再加上1．111(1)1n n n n =-++，11111111(1)()()(2233445S ∴=+-+-+-+-95=．故选：B ．7．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C．D ．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．5C．8D．11【解答】解：作出可行域如图，由2z x y=+知，1122y x z =-+，所以动直线1122y x z=-+的纵截距12z取得最大值时，目标函数取得最大值．由16xx y=⎧⎨+=⎩得(1,5)A．结合可行域可知当动直线经过点(1,5)A 时，目标函数取得最大值12511z =+⨯=．故选：D ．9．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：对于任意实数x 都有sin(3sin()3x ax b π-=+，则函数的周期相同，若3a =，此时sin(3sin(3)3x x b π-=+，此时5233b πππ=-+=，若3a =-，则方程等价为sin(3)sin(3)sin(3)sin(3)3x x b x b x b ππ-=-+=--=-+，则3b ππ-=-+，则43b π=，综上满足条件的有序实数组(,)a b 为5(3,3π，4(3,)3π-，共有2组，故选：B ．10．（5分）刘徽注《九章算术商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A B ．3C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以r ==．故选：C ．11．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定【解答】解：120k k +=，231k k =- 可得设1l d 的斜率为k ，则2l ，3l 的斜率分别为：k -，1k，设直线1l 的方程为：(1)2y k x =-+，则2l 的方程为(1)2y k x =--+，3l 的方程为1(1)2y x k=-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立直线1l 与抛物线的方程：2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4](2)0k x k k x k +--+-=，所以22(2)1A k x k -=，所以22(2)A k x k -=，代入直线1l 中可得22(2)44(1)2[1]2A k k y k x k k k --=-+=-+=，即22(2)(k A k -，42kk -；联立直线2l 与抛物线的方程可得2(1)24y k x y x =--+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4(2)0k x k k x k -++++=，所以22(2)1B k x k +=，可得22(2)B k x k +=，代入2l 中可得22(2)24(1)2[1]2B k k y k x k k k ++=--+=--+=-，即22(2)(k B k +，24k k +-；联立直线3l 与抛物线的方程：21(1)24y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理可得24840y ky k -+-=，284C y k =- ，所以42C y k =-，代入抛物线的方程可得2(21)C x k =-，可得2((21)C k -，42)k -；所以222224224818(2)(2)ABk k k k k k k k k k k k -++===---+-为定值；故选：B ．12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()xxx f x f x e -'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令()(2)()g x x f x =-，2x <，由题意可得，1()xxg x e -'=，当1x >时，()0g x '<，函数单调递减，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，又(0)0g =，2x →时，()0g x →，由()0f x <可得()02g x x <-即()0g x >，结合函数图象可知，02x <<．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是4．【解答】解：双曲线2228x y -=化为标准方程为22148x y -=24a ∴=2a ∴=24a ∴=即双曲线2228x y -=的实轴长是4故答案为：414．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为12-．【解答】解：（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-即441log 241x xkx -+=-+，4log 42x kx=-2x kx ∴=-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-故答案为12-．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+= ，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||3min MN ==．MN ∴．故答案为：3．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =1m +．【解答】解：11a = ，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，123a a a ∴+=，234a a a +=，345a a a +=，⋯⋯201920202021a a a +=，202020212022a a a +=，以上累加得：12342020202134202120222222a a a a a a a a a a ++++⋯⋯++=++⋯⋯++，123202020222a a a a a a m ∴+++⋯⋯+=-=，20221a m ∴=+，故答案为：1m +．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：0.002200.00620200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008a =，设中位数是110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=，解得15x =，∴中位数是125．（Ⅱ）由175(0.002200.006200.00820)98⨯⨯+⨯+⨯=，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间(150，170]中有28人，在区间(170，190]中有7人，在区间(190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]和(190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数2615n C ==，这两人均来自区间(150，170]包含的基本事件个数246m C ==，∴这两人均来自区间(150，170]的概率62155m p n ===．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆的面积为2，求11a b+的值．【解答】解：（Ⅰ）212cos sin()cos 362C c C ππ++=-，1sin()cos 62C C π∴+-=，∴11cos cos 222C C C +-=，∴11cos 222C C -=，1sin(62C π∴-=，而C 为三角形的内角，3C π∴=；（Ⅱ）ABC ∆，及3C π=，得1sin 23ab π=化简可得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得2215a b +=，a b ∴+=，∴11a b a b ab ++==19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===，∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1A C BC =，G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DG CG G = ，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A D BD D = ，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112A G AB ==，DG =，∴11111222A DG S A G DG =⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥1G A DC -的体积：1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．【解答】解：（1）(0)0f =．∴切点为(0,0)．()sin x f x e x '=+．(0)1f ∴'=，()f x ∴在点(0，(0))f 处的切线方程为：00y x -=-，化为：0x y -=．证明：（2）()sin x f x e x '=+．0x 时，1x e ，()0f x ∴' ，∴函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，而(0)0f =，∴函数()f x 在[0，)+∞上只有一个零点0．(2x π∈-，0)时，()cos 0x f x e x ''=+>．∴函数()f x '在(2x π∈-，0)上单调递增，而21(102f eππ'-=-<，(0)10f '=>，∴存在唯一实数0(2x π∈-，0)，使得000()sin 0x f x e x '=+=，且函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上单调递减，0(x x ∈，0)上单调递增．又21()02f eππ-=>，00000()cos sin cos 0x f x e x x x =-=--<，(0)0f =．∴函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上存在唯一零点，而在0[x x ∈，0)上无零点．综上可得：()f x 在(2π-，)+∞上仅有2个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，1||||AB BF = ，1||3BF m ∴=，由椭圆定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，故此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b -，从而由已知条件可得3(2B ，)2b，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为：22132x y +=；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆22236x y +=中，得：22(23)440m y my ++-=，∴122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，∴1212y y m y y +=，由题设知(2,0)H ，直线BH 斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，∴直线BH 的方程为：1(2)y y x =-，而直线2l 方程为：1y y =，代入1(2)y y x =-，得3x =，故点C 的横坐标是定值3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos 16θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ==．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a-<且1a->，∴312a-<<-．实数a的取值范围：3(2-，1)-．。

山西省太原市高考数学4月模拟试卷文含解析

1高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3}D．{1，2}2．已知z1=3+2i，z2=﹣2+i，则+=（）A．1+3i B．1+i C．1﹣i D．1﹣3i3．已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则a的值为（）A．4B． C．﹣4 D．﹣4．已知函数f（x）=5sin（2x+α）的图象关于y轴对称，则α=（）A．kπ，k∈zB．（2k+1）π，k∈z C．2kπ+，k∈zD．kπ+，k∈z5．圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（）A．4，8 B．4， C．4（+1）， D．8，87．函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）A． B． C． D．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）2A．4 B．5 C．6 D．79．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AC=2，PB=BC=2，PA⊥平面PBC，则三棱锥P﹣ABC 的内切球的表面积为（）A．π B．3π C．π D．4π10．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 11．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A． B． C．2D．312．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．mC．2m D．4m二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“向量，共线”是“向量2+与向量﹣共线”的条件．14．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：3“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是16．若对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则实数a的取值范围三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=，a n=．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n}满足b1=1，b2=2，且b n=b1+a1b2+a2b3+…+a n﹣2b n﹣1（n＞2），判断2016是否为数列{b n}中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由．121634 运动员编号 A9A10A11A12 A13 A14 A15 A16得分 1726253322123138（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间 [10，20） [20，30） [30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，A1，A2，…A16（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E 为PC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PC；（Ⅱ）求三棱锥A﹣PDE的体积；（Ⅲ）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．420．已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t 的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+m|（x∈R）．5（1）当m=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．．故选：D．2．已知z1=3+2i，z2=﹣2+i，则+=（）A．1+3i B．1+i C．1﹣i D．1﹣3i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由z1=3+2i，z2=﹣2+i，求出，，然后代入+计算得答案．【解答】解：由z1=3+2i，z2=﹣2+i，得，．则+=3﹣2i+（﹣2﹣i）=1﹣3i．．故选：D．3．已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则a的值为（）A．4B． C．﹣4 D．﹣【考点】K8：抛物线的简单性质．6【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的准线方程为y=1，∴﹣=1，解得a=﹣，故选：D4．已知函数f（x）=5sin（2x+α）的图象关于y轴对称，则α=（）A．kπ，k∈zB．（2k+1）π，k∈z C．2kπ+，k∈zD．kπ+，k∈z【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算．【解答】解：令2x+α=+kπ得x=+﹣，k∈Z，令+﹣=0得α=+kπ，k∈Z．故选：D．5．圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先确定圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线x+y+1=0的距离，从而可得结论．【解答】解：由题意，圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为∴圆心到直线x+y+1=0的距离为∴圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0相交，且圆（x+1）2+（y+2）2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有3个7故选C．6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（）A．4，8 B．4， C．4（+1）， D．8，8【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其表面积和体积可求．【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE==．所以该四棱锥表面积S=4+4××2×=4（），体积V==．故选C．87．函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由于f（﹣x）=﹣f（x），得出f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，由图象排除C，D，利用导数研究根据函数的单调性质，又可排除选项B，从而得出正确选项．【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D，又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，排除B，故选A8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．79【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A9．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AC=2，PB=BC=2，PA⊥平面PBC，则三棱锥P﹣ABC 的内切球的表面积为（）A．π B．3π C．π D．4π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】确定△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形，分别求出四面体P﹣ABC的内切球半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，已知PA⊥面PBC，PA=4，PB=BC=2，AC=2，所以，由勾股定理得到：AB=2，PC=2，所以，△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形等边三角形PBC所在的小圆的直径PD==4，那么，四面体P﹣ABC的外接球直径2R=4，所以，R=2，V P﹣ABC=S△PBC×PA=××12×4=4，表面积S=24×2+×12+25=16，设内切球半径为r，那么4=16r，所以r=，所以三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×=，故选：C．1010．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】46：有理数指数幂的化简求值；4M：对数值大小的比较．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx ∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．11．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A． B． C．2D．3【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可知函数在x=时取得最大值，就是，求出ω的值即可．【解答】解：由题意可知函数在x=时取得最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．故选B1112．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0B．mC．2m D．4m【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）= [（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）] =m．．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“向量，共线”是“向量2+与向量﹣共线”的充要条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】通过分类讨论，利用向量共线定理即可判断出结论．【解答】解：若=，可得“向量，共线”?“向量2+与向量﹣共线”．若≠，可得“向量，共线”?存在实数λ使得．则向量2+=（2λ+1）与向量﹣=（λ﹣1）共线．12因此向量，共线”是“向量2+与向量﹣共线”的充要条件．故答案为：充要．14．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ﹣ 2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”13四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故答案为：丙．16．若对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则实数a的取值范围【考点】2H：全称命题．【分析】问题转化为：8ax2+4≥x1﹣4lnx1+16﹣，令f（x）=x﹣4lnx+16﹣，x∈（0，2]，利用导数可得其最大值．令g（x）=8ax+4x2，x∈[1，2]，问题等价于g（x）max≥f（x）max．再利用导数可得g（x）的最大值，即可得出．【解答】解：∵x1＞0，∴4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0，化为8ax2+4≥x1﹣4lnx1+16﹣，令f（x）=x﹣4lnx+16﹣，x∈（0，2]，f′（x）=1﹣+=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=14．令g（x）=8ax+4x2，x∈[1，2]，∵对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x12+3+4x1x22+8ax1x2﹣16x1≥0成立，∴g（x）max≥f（x）max．．g′（x）=8a+8x=8（x+a），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0，函数g（x）单调递增，∴当x=2时，g（x）取得最大值，g14（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得a≥﹣，满足条件．②当﹣2＜a＜﹣1时，g′（x）=8[x﹣（﹣a）]，可得当x=﹣a时，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．③当a≤﹣2时，经过验证，也不符合条件，舍去．综上可得：a的取值范围是[﹣，+∞）．故答案为：．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=，a n=．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n}满足b1=1，b2=2，且b n=b1+a1b2+a2b3+…+a n﹣2b n﹣1（n＞2），判断2016是否为数列{b n}中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过对a n=两边同时取倒数，整理即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b3=b1+b2=2，当n≥2时利用b n﹣1=b1+b2+b3+…+b n﹣2与b n=b1+a1b2+a2b3+…+a n﹣2b n﹣1作差，进而利用累乘法计算即得结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n=，∴==1+（n＞1），又∵==2，∴数列{}是首项为2、公差为1的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴a n=；15（Ⅱ）结论：2016为数列{b n}中的第3024项．理由如下：由（I）可知b n=b1+a1b2+a2b3+…+a n﹣2b n﹣1=b1+b2+b3+…+b n﹣1（n＞2），又∵b1=1，b2=2，∴b3=b1+b2=2，∵当n≥2时，b n﹣1=b1+b2+b3+…+b n﹣2，∴b n﹣b n﹣1=b n﹣1，即=，由累乘法可知b n=??…??b3=??…??2=n，当b n=n=2016时，解得：n=3024，∴2016为数列{b n}中的第3024项．121634 运动员编号 A9A10A11A12A13A14A15A16得分 1726253322123138（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间 [10，20） [20，30） [30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，A1，A2，…A16（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．【考点】B7：频率分布表；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得16分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率【解答】解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6；（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PC；（Ⅱ）求三棱锥A﹣PDE的体积；（Ⅲ）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．17【考点】L3：棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）要证AD⊥PC，先证AD⊥面PDC，就是从线面垂直进而推证线线垂直．（Ⅱ）求三棱锥A﹣PDE的体积，先求底面PDE的面积，然后求解．（Ⅲ）PA∥平面EDM，只要PA∥EM即可，找出再证明求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD．因为PD∩CD=D，所以AD⊥平面PCD．又因为PC?平面PCD，所以AD⊥PC．（Ⅱ）解：因为AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A﹣PDE的高．因为E为PC的中点，且PD=DC=4，所以．又AD=2，所以．（Ⅲ）解：取AC中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥PA．又因为EM?平面EDM，PA?平面EDM，所以PA∥平面EDM．18所以．即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为．20．已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，19由于点P在直线y=mx+上，∴ =+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|?=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t 的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）﹣x和G（x）=，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可．（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，20在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．21【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+m|（x∈R）．（1）当m=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）原不等式等价于，22或或故不等式的解集是{x|x≤﹣2或x≥4}；（2）∵|x﹣3|+|x+m|≥|（x﹣3）﹣（x+m）|=|m+3|，∴f（x）min=|3+m|，∴|m+3|≤5，∴m∈[﹣8，﹣2]．．。

山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学试题(解析版)

山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则B ∪（∁U A ）为（） A ．{0，2，4}B ．{1，3，4}C ．{2，3，4}D ．{0，2，3，4}2．已知i 是虚数单位，复数m +1+（2﹣m ）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣1，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）3．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝25，a 2＝3，则a 9＝（） A ．16B ．17C ．18D ．194．已知平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直，则λ＝（） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．15．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．516B ．1132C ．716D ．13326．某程序框图如图所示，若a ＝4，则该程序运行后输出的结果是（）A ．74B ．95C ．116D ．1377．函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为（）A ．3B ．5C ．8D ．119．设a ∈R ，b ∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ），则满足条件的有序实数对（a ，b ）的对数为（）。

山西省太原市外国语学校2020届高三数学4月模拟考试试题理(无答案)

高三年级月考试卷（理科数学）使用时间：2020年4月11日测试时间： 120 分钟总分： 150 分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、当11m -<<时，复数1iz m i-+=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、已知全集U R =，若集合2{|32},{|0}x x A y y B x x--==-=≤，则()U A C B =I ( ) A ．[)(,0)2,3-∞U B ．()(,0]2,3-∞U C ．[)0,2 D ．[)0,33、已知函数()f x 满足条件：(),()0x R f x f x ∀∈+-=且()()0f x t f x +-<（其中t 为正数），则函数()f x 的解析式可以是（） A ．1y x=B ．3y x = C ．sin y x = D ．3y x =- 4、设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，则2(13)(7)P X a P X a <-=>+成立的一个必要不充分条件是（）A ．1a =或2B ．1a =±或2C ．2a =D ．35a -= 5、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,,,,,E F G H I J 分别是该正方体的棱111111,,,,,AA AB AD C D C B C C 的中点，现从该正方体中截去棱锥A EFG -与棱锥1C HIJ -，若正（主）视方向如图所示，则剩余部分的几何体的侧（左）视图为（）6、已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线交抛物线C 与A 、B 两点，且6AB =，则弦AB中点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．4D ．无法确定7、已知()()321x f x xf '=+，则曲线()f x 在点0x =处的切线在x 轴上的截距为（） A ．1 B ．5ln 3 C ．5ln 3- D ．15ln 38、下列程序框图的功能是寻找使24682015i ⨯⨯⨯⨯⨯>L 成立的i 的最小正整数值，则输出框中应填（） A ．输出2i - B ．输出1i - C ．输出i D ．输出1i +9、北京某大学为第十八届四中群会招募了30名志愿者（编号分别是 1,2,,30L 号），现从中任意选取6人自按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时人选并被分配到同一厅的选取种数是（） A ．25 B ．32 C ．60 D ．100 10、已知函数()sin()(0,)2f x wx k A πϕϕ=++><的最大值为3，最小值为1，最小正周期为π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式可以为（）A ． ()sin 22g x x =+B ．()sin(2)26g x x π=++C ．()sin(2)16g x x π=++ D ．()sin(4)23g x x π=-+ 11、已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若(21)FA AB =-u u u r u u u r，则此双曲线的离心率是（）A 23．2 D 512、若方程2210x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是（）A ．(8,62)B ．(62,45⎤⎦ C ．8,45⎡⎤⎣⎦ D ．(8,45)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

山西省太原市2020届高三下学期模拟测试 (三)数学(文)试题 (PDF版含答案)

因为四边形 AA1C1C 是矩形, 所以点 E 是 A1C 的中点，........................................... 2 分
因为 D 是 B1C1 的中点，所以 DE ∥ AB1 ， ...............................................................3 分
有关 .
………………12 分
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5
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为 a＝bcosC＋csinB，由sianA＝sibnB＝sincC，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．·····································2 分又因为 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
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因为 AB1 平面 A1CD ， DE 平面 A1CD ，
所以 AB1 ∥平面 A1CD ., ...................................................4 分
C1
D
A1
E
B1
（2）因为棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 A1C1 ，
由sAinDB＝sin∠ABADB，得 AB＝AD·ssinin∠BADB＝177×7102× 2＝157． ·······················8 分在△ABC 中，sinA＝ 1－cos2A＝2254，所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 22×(2254－275)＝1750 2． ··············10 分
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2020届山西省太原市高三年级模拟试题(一)文科数学试题

绝密★启用前山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则v B A =U ðA.{0,2,4}B.{1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2.已知i 是虚数单位,复数m+ 1 +(2 - m)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A.(-∞, -1)B.(-1,2)C.(2, +∞)D.(-∞,-1)U(2, +∞)3.已知等差数列{}n a 中,前5项和525,S =23,a =,则9a =A.16B.17C.18D.194.已知平面向量a =(4,-2),b =(1,-3),若a + λb 与b 垂直,则λ =A.-2B.2C.-1D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. (清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为 5.16A 11.32B 7.16C 13.32D6.某程序框图如图所示,若a = 4,则程序运行后输出的结果是7.4A 9.5B 11.6C 13.13D7.函数21()||x f x x -=的图象大致为8.已知变量x,y 满足约束条件632,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则目标函数z=x + 2y 的最大值为A.3B.5C.8D.119.设a ∈R, b ∈[0, 2π ),若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+),则满足条件的有序实数对(a, b)的个数为A.1B.2C.3D.410.刘徽注《九章算术.商功》中，将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图,是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为.3 B.3 3C D.411.过抛物线24y x =上点P(1, 2)作三条斜率分别为123,,k k k 的直线123,,,l l l 与抛物线分别交于不同于P 的点A,B,C.若12230,1k k k k +=⋅=-,则以下结论正确的是A.直线AB 过定点B.直线AB 斜率一定C.直线BC 斜率一定D.直线AC 斜率一定 12. 函数f(x)的定义域为(,2),()f x '-∞为其导函数,若1(2)()()x x x fx f x e '--+=且f(0)=0,则f(x)< 0的解集为A.(-∞, 0)B.(0, 1)C.(1,2)D.(0,2)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.双曲线2228x y -=的实轴长是___14.已知函数4()log (41)(x f x kx k =++òR )是偶函数，则k=____15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC,BF 上移动，则MN 长度的最小值是____16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，12211,1,(n n n a a a a a n ++===+∈N *).用n S 表示它的前n 项和,若已知2020,S m =那么2020a =_____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. (本小题满分12分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步),绘制出如下频率分布直方图:( I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数;( II )若该校有教职工175人,试估计一天行走步数不大于130百步的人数;(III)在(II)的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间( 150, 170]的概率.18. (本小题满分12分)已知△ABC 中,a, b,c 分别是内角A, B, C 的对边，212cos sin()cos 362C C ππ++=-. ( I )求C; (II)若c=3,△ABC 33求11a b +的值.19. (本小题满分12分)如图(1) ,在等腰直角△ABC 中，∠ACB = 90° ,AB =4,点D 为AB 中点,将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1-BCD,如图(2) ,其中,160,A DB ︒∠=，点M,N,G 分别为11,,AC BC A B 的中点.( I )求证:MN ⊥平面DCG ；( II )求三棱锥1G A -DC 的体积.20. (本小题满分12分)已知函数f ()cos .x x e x =-(I )求曲线y =f(x )在点(0,f(0))处的切线方程;( II )证明:f(x)在(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21. （本小题满分12分)椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0),F 过2F 的直线1l 交E 于A,B 两点,过A 作与y 轴垂直的直线2,l 又知点H(2, 0),直线BH 记为32,l l 与3l 交于点C.设22,AF F B λ=u u u u r u u u u r 已知当λ=2时,|AB|= |BF 1|.(I)求椭圆E 的方程;( II )求证;无论λ如何变化,点C 的横坐标是定值,并求出这个定值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. (本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),已知点Q(6,0),点P 是曲线C 1上任意一点, 点M 满足 2PM MQ =u u u u r u u u u r ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程; (II)已知直线l:y=kx 与曲线2C 交于A,B 两点,若4OA AB =u u u r u u u r ,求k 的值.23. (本小题满分10分)[选修4- -5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x-1|( I )若f(x)+ 2g(x )的最小值为1,求实数a 的值;( II )若关于x 的不等式f(x)+ g(x)< 1的解集包含1[,1]2,求实数a 的取值范围.。

山西省太原市2020年高三4月模拟考试数学(文)试卷-含答案

山西省太原市2020年高三4月模拟考试数学（文）试卷（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}3,2,1=A ，{}4,2=B ，则A C B U Y =（） A.{}4,2,0 B.{}4,3,1 C.{}4,3,2 D.{}4,3,2,0 2.已知i 是虚数单位，复数i m m )2(1-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A.)1,(--∞B.)21(，- C.),2(+∞ D.)1,(--∞),2(+∞Y 3.已知等差数列{}n a 中，前5项和3,2525==a S ，则=9a （）A.16B.17C.18D.194.已知平面向量)3,1(),2,4(-=-=，若λ+与垂直，则=λ（）A.2-B.2C.1-D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A.165B.3211C.167D.3213 6.某程序框图如图所示，若4=a ,则该程序运行后输出的结果是（）A.47B.59C.611D.713 7.函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（）8.已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+1236x y x y x ，若目标函数y x z 2+=的最大值为（）A.3B.5C.8D.119.设)2,0[,π∈∈b R a ，若对任意实数x 都有)sin()33sin(b ax x +=-π，则满足条件的有序实数对),(b a 的个数为（）A.1B.2C.3D.410．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）A.3B.3C.23 D.4 11.过抛物线x y 42=上点)2,1(P 作三条斜率分别为321k k k 、、的直线321l l l 、、，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C.若1-03221=⋅=+k k k k ，，则下列结论正确的是（）A.直线AB 过定点B.直线AB 斜率一定C.直线BC 斜率一定D.直线AC 斜率一定12.函数)(x f 的定义域为)(),2,(x f '-∞为其导函数.若xe x xf x f x -=+'-1)()()2(且0)0(=f ，则0)(<x f 的解集为（）A.)0,(-∞B.)1,0(C.)2,1(D.)2,0(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.双曲线8222=-y x 的实轴长是 .14.已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=是偶函数，则k =15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，)(,1,1*1221N n a a a a a n n n ∈+===++.用n S 表示它的前n 项和，若已知m S =2020，那么=2020a三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（本小题满分12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间]170,150(的概率.18.（本小题满分12分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，21cos )6sin(32cos2-=++C c C ππ. （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若ABC c ∆=,3的面积为233，求ba 11+的值.19.（本小题满分12分）如图（1），在等腰直角△ABC 中，4,90==∠AB ACB ο，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥BCD A -1，如图（2），其中ο601=∠DB A ，点M ，N ，G 分别为B A BC C A 11、、的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥DC A G 1-的体积.20.（本小题满分12分）已知函数x e x f xcos )(-=（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：)(x f 在),2(+∞-π上有且仅有2个零点.21.（本小题满分12分）椭圆E 的焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点)0,2(H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C.设F AF 22λ=，已知当2=λ时，1BF AB =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB OA 4=，求k 的值23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,21[，求实数a 的取值范围.。

山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学试题含答案

山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）文科数学试题4.21第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则v B A =U ðA.{0,2,4}B.{1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2.已知i 是虚数单位,复数m+ 1 +(2 - m)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A.(-∞, -1)B.(-1,2)C.(2, +∞)D.(-∞,-1)U(2, +∞)3.已知等差数列{}n a 中,前5项和525,S =23,a =,则9a =A.16B.17C.18D.194.已知平面向量a =(4,-2),b =(1,-3),若a + λb 与b 垂直,则λ =A.-2B.2C.-1D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. (清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为 5.16A 11.32B 7.16C 13.32D6.某程序框图如图所示,若a = 4,则程序运行后输出的结果是7.4A 9.5B 11.6C 13.13D7.函数21()||x f x x -=的图象大致为8.已知变量x,y 满足约束条件632,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则目标函数z=x + 2y 的最大值为A.3B.5C.8D.119.设a ∈R, b ∈[0, 2π ),若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+),则满足条件的有序实数对(a, b)的个数为A.1B.2C.3D.410.刘徽注《九章算术.商功》中，将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图,是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为.3B.3 3C D.411.过抛物线24y x =上点P(1, 2)作三条斜率分别为123,,k k k 的直线123,,,l l l 与抛物线分别交于不同于P 的点A,B,C.若12230,1k k k k +=⋅=-,则以下结论正确的是A.直线AB 过定点B.直线AB 斜率一定C.直线BC 斜率一定D.直线AC 斜率一定 12. 函数f(x)的定义域为(,2),()f x '-∞为其导函数,若1(2)()()x x x fx f x e '--+=且f(0)=0,则f(x)< 0的解集为A.(-∞, 0)B.(0, 1)C.(1,2)D.(0,2)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.双曲线2228x y -=的实轴长是___14.已知函数4()log (41)(x f x kx k =++òR )是偶函数，则k=____15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC,BF 上移动，则MN 长度的最小值是____16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，12211,1,(n n n a a a a a n ++===+∈N *).用n S 表示它的前n 项和,若已知2020,S m =那么2020a =_____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. (本小题满分12分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步),绘制出如下频率分布直方图:( I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数;( II )若该校有教职工175人,试估计一天行走步数不大于130百步的人数;(III)在(II)的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间( 150, 170]的概率.18. (本小题满分12分)已知△ABC 中,a, b,c 分别是内角A, B, C 的对边，212cos sin()cos 362C C ππ++=-. ( I )求C; (II)若c=3,△ABC 33求11a b +的值.19. (本小题满分12分)如图(1) ,在等腰直角△ABC 中，∠ACB = 90° ,AB =4,点D 为AB 中点,将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1-BCD,如图(2) ,其中,160,A DB ︒∠=，点M,N,G 分别为11,,AC BC A B 的中点.( I )求证:MN ⊥平面DCG ；( II )求三棱锥1G A -DC 的体积.20. (本小题满分12分)已知函数f ()cos .x x e x =-(I )求曲线y =f(x )在点(0,f(0))处的切线方程;( II )证明:f(x)在(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21. （本小题满分12分)椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0),F 过2F 的直线1l 交E 于A,B 两点,过A 作与y 轴垂直的直线2,l 又知点H(2, 0),直线BH 记为32,l l 与3l 交于点C.设22,AF F B λ=u u u u r u u u u r 已知当λ=2时,|AB|= |BF 1|.(I)求椭圆E 的方程;( II )求证;无论λ如何变化,点C 的横坐标是定值,并求出这个定值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. (本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),已知点Q(6,0),点P 是曲线C 1上任意一点, 点M 满足 2PM MQ =u u u u r u u u u r ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程; (II)已知直线l:y=kx 与曲线2C 交于A,B 两点,若4OA AB =u u u r u u u r ,求k 的值.23. (本小题满分10分)[选修4- -5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x-1|( I )若f(x)+ 2g(x )的最小值为1,求实数a 的值;( II )若关于x 的不等式f(x)+ g(x)< 1的解集包含1[,1]2,求实数a 的取值范围.11。

2020届山西省高三(4月)适应性考试数学(文)试题解析

绝密★启用前2020届山西省高三（4月）适应性考试数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若复数z 满足1zi i =+，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+答案：B由1zi i =+,得1i z i+=,再根据复数的除法运算法则计算即可. 解：由1zi i =+,得()1()1=1()i i i z i i i i +⋅-+==-⋅-, 故选:B. 点评：本题考查复数的基本运算,属于基础题.2．已知0a >，0b >，m ∈R ，则“a b ≤”的一个必要不充分条件是（） A ．m m a b ≤ B ．22a bm m≤ C ．22am bm ≤ D ．22a m b m ≤++答案：C根据不等式的基本性质,结合必要不充分条件的定义分析选项即可. 解：由题知0a >,0b >,a b ≤⇔m m a b ≤,故A 是“a b ≤”的既不充分也不必要条件;因为20m ≥,所以210(0)m m>≠,所以a b ≤⇔22a b m m≤,故B 是“a b ≤”的充要条件; 因为20m ≥,所以a b ≤⇒22am bm ≤, 若20m =,则22am bm ≤⇒a b ≤, 故C 是“a b ≤”的必要不充分条件;a b ≤⇔22a m b m ≤++,故D 是“a b ≤”的充要条件.故选:C. 点评：本题考查不等式的基本性质,考查必要不充分条件的判别,难度不大.3．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（） A ．②③ B ．①③C ．②D ．①②答案：A根据折线统计图即可判断．解：①建国以来有一段时间年龄中位数低于20，为年轻型人口，所以①错误； ②从2010年至2020年年龄中位数在30岁以上，为“老龄型”人口，正确， ③放开二孩政策之后我国年龄中位数在30岁以上，仍为“老龄型”人口，正确，故选：A ．点评：本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．4．函数()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩，＜，，则关于函数()f x 的说法不正确的是（）A ．定义域为RB ．值域为(3,)-+∞C ．在R 上为增函数D ．只有一个零点答案：B根据()f x 的解析式即可判断()f x 的定义域为R ，且在R 上为增函数，只有一个零点1x =,从而判断出说法不正确的选项．解：()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩＜，()f x ∴的定义域为R ，值域为(3,3)[0,)e --⋃+∞，且对于1x <时30x e -<，明显地，()f x 在R 上为增函数，且(1)0f =，()f x ∴只有一个零点．故选：B ．点评：本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．5．在四边形ABCD 中，()3,1AC =-u u u r ，()2,BD m =u u u r ，AC BD ⊥uuu r uu u r，则该四边形的面积是（） A ．10 B．25C ．10D ．20答案：C由AC BD ⊥uuu r uu u r 可知0AC BD ⋅=u u u r u u u r,利用坐标运算求出m ,再求四边形的面积即可.解：因为()3,1AC =-u u u r ,()2,BD m =u u u r ,AC BD ⊥uuu r uu u r , 所以()3210AC BD m ⋅=⨯+-=u u u r u u u r,即6m =,所以四边形的面积为()22223126102AC BD⋅+-⋅+==u u u r u u u r ,故选:C. 点评：本题主要考查向量垂直的应用,考查数量积的坐标运算,属于基础题.6．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（） A ．5.5，3.7B ．5.4，4.4C ．6.5，3.7D ．5.5，4.4答案：A结合图象可知,两个相邻最高点或最低点的位置横向差即为周期，再结合视星等的数值越小，亮度越高，取视星等的最小数值即可得出最亮时的视星等. 解：根据图象可知，两个相邻最高点或最低点的位置横向相差约为5.5，故可以估计周期约为5.5；又视星等的数值越小，亮度越高，故最亮时视星等约为3.7；故选：A. 点评：本题考查图象的基本应用,考查学生的分析理解能力，难度不大.7．双曲线1C ：22221x y a b-=与2C ：22221x y b a -=（0a b >>）的离心率之积为4，则1C 的渐近线方程是（）A ．y x =±B ．(2y x =±C ．2y x=±D ．(2y x =±答案：B根据题意可知4c c a b ⨯=,即24c ab =,即224a b ab +=,据此可解出2ba=从而可得出双曲线1C 的渐近线方程. 解：因为双曲线1C :22221x y a b-=与2C :22221x y b a -=(0a b >>)的离心率之积为4,所以4c ca b⨯=,即24c ab =, ∴224a b ab +=,即4b aa b+=,因此2410b b a a ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭,∵0a b >>,故2ba=∴双曲线1C 的渐近线方程为(2y x =±, 故选:B. 点评：本题考查双曲线离心率的应用,考查双曲线渐近线的求法,难度不大.8．某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（）A ．279π+B ．2712π+C ．33πD ．189π+答案：B由三视图可知,该几何体上半部分是一个底面半径为3,高为3的圆柱,下半部分是一个底面边长为32高为2的正四棱锥,利用体积计算公式分别求出圆柱和棱锥的体积,即可得出几何体的体积. 解：由三视图可知,该几何体是由一个底面半径为3,高为3的圆柱,和一个底面边长为32高为2的正四棱锥组合而成,圆柱的体积为23327ππ⋅⋅=,正四棱锥的体积为(21322123⋅⋅=,所以几何体的体积为2712π+, 故选:B. 点评：本题考查利用三视图还原几何体,考查几何体体积的求法,难度不大. 9．在OAB V 中，若OA OB ⊥，OA a =，OB b =，则222211AB a b a b =+=+类比上述结论，可推测：在三棱锥O ABC -中，若OA ，OB ，OC 两两垂直，OA a =，OB b =，OC c =，1BOC S S =△，2COA S S =△，3AOB S S =△，则ABC S =V （）A ．222111a b c ++ B ．12222123111S S S S S S ++C 222a b c ++D 222123S S S ++答案：D取特值1a b c ===,从而可求出ABC S V ,再一一检验选项即可得出结论.解：当1a b c ===时,易知12312S S S ===,此时ABC V 的正三角形,而A,B,C,D 故选：D. 点评：本题考查类比推理,考查从特殊到一般的数学思想的应用,属于中档题.10．过点()1,1P -作抛物线2y ax =（0a >）的两条切线PA ，PB ，且PA PB ⊥，则a =（） A ．14B ．12C ．2D ．4答案：A设()11,A x y ,()22,B x y ,由题得2y ax '=,则直线PA 的方程为:()21112y ax ax x x -=-,将()1,1P -代入PA 方程整理得211210ax ax --=,同理222210ax ax --=,故121x x a=-,再由PA PB ⊥得12214x x a =-,因此1a -214a=-,即可得a .解：抛物线方程为2y ax =,则2y ax '=,设()11,A x y ,()22,B x y ,∴PA 的斜率为12PA k ax =,PA :()21112y ax ax x x -=-,把P 的坐标代入上述方程得()2111121ax ax x --=-,∴211210ax ax --=,同理222210ax ax --=,∴121x x a=-①, 由PA PB ⊥,故12221ax ax ⋅=-,∴12214x x a =-②, 由①②得1a -214a =-,解得14a =,故选:A. 点评：本题考查抛物线切线的应用,结合了导数､直线方程等相关知识,需要学生综合应用所学知识,属于中档题.11．函数()2sin 2x x f x =+若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 答案：C化简得()f x 2sin 23x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,由()()124f x f x ⋅=-可知()f x 在1x ,2x 处取到最大值和最小值,不妨设在1x 处有最大值,则1115)(12Z x k k ππ+∈=,2x 处取到最小值,则222(12)x k k Z ππ=∈-,所以()12123x x k k ππ+=++,1k ,2k Z ∈,即可求出12x x +的最小值.解：()2sin 2x x f x =+1cos 2sin 22xx -=+-sin 22x x =+2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=-，所以()f x 在1x ,2x 处取到最大值和最小值，不妨设在1x 处有最大值,则11122()32x k k Z πππ-=+∈,即1115)(12Z x k k ππ+∈=， 2x 处取到最小值,则22222()32x k k Z πππ-=-∈,即222(12)x k k Z ππ=∈-，所以()12123x x k k ππ+=++,1k ,2k Z ∈，所以当120k k +=时，12x x +的最小值为3π. 故选：C. 点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数性质的应用，属于中档题.12．已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（） A ．6 B ．42C ．46D ．9答案：D设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点,则11////EF B D NH ,1////MN B A FG ,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部,因此,结合题中所给数据即可求出六边形MEFGHN 的面积2EFGH S S =梯形.解：如图所示,设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点, 则11////EF B D NH ,1////MN B A FG , 所以//NH 平面11AB D ,//MN 平面11AB D , 又NH MN N =I ,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部,因为2AB AD ==,14AA =,所以EF HN ==EM MN FG GH ====GM =E 到GM 2=,所以六边形MEFGHN 的面积22922EFGH S S ==⨯=梯形, 故选:D. 点评：本题主要考查空间中平行的应用,考查学生的空间思维及计算能力,属于中档题. 二、填空题13．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 答案：{}0,1先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B I . 解：因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1A B =I , 故答案为:{}0,1. 点评：本题主要考查集合的交集运算,属于基础题. 14．已知()1cos 103θ+=o，则()sin 270θ-=o______. 答案：79先利用二倍角公式求出()cos 2+10θ⎡⎤⎣⎦o,再利用诱导公式求出()sin 270θ-o 即可. 解：因为()1cos 103θ+=o, 所以()()27cos 2202cos 1019θθ+=+-=-oo, 所以()()()7sin 270sin 22090cos 2209θθθ-=+-=-+=oo o o , 故答案为:79. 点评：本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用,难度不大. 15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos tan tan a B A B +=，D 为BC 的中点，AD =，则sin sin B C =______. 答案：2由()cos tan tan a B A B +=,结合正弦定理可推出3A π=,又由()()22222117444AD AB ACb c bc c =+=++=u u u r u u u r u u u r,可得2b c =,最后由正弦定理可得sin 2sin BC=. 解：因为()cos tan tan a B A B +=,所以sin sin cos cos cos A B a B A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴sin cos cos sin cos A B A B a A +⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴()sin cos A B aA+=,由正弦定理得sin sin cos CA C A⋅=,又因为sin 0C ≠,∴tan A =∴3A π=,∵D 为BC 的中点,∴()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r, ∴()()()222222211172cos 4444AD AB ACAB AC AB AC A b c bc c =+=++⋅⋅=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴2260b bc c +-=,解得2b c =, 故由正弦定理得sin 2sin BC=, 故答案为:2. 点评：本题主要考查了正弦定理的应用,结合了三角函数､向量等相关知识,需要学生灵活应用所学知识,属于中档题.三、双空题16．已知函数()3f x x ax =-，且()10f '=，则a =______.若()f x 在1x x =，2x x =（12x x <）处取得极值，记()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()(),P m f m ，且12x m x <<.线段AP 与曲线()y f x =有异于A ，P 的公共点，则m 的取值范围是______. 答案：3112m << 由题知()23f x x a '=-,故由()10f '=可得3a =,令()0f x '=,得1x =±,因此()1,2A -,()1,2B -,()3,3(11)P m m m m --<<,当AP 与()f x 相切时,设此时的切点为P ',结合图象可知,P 在,A P '中间时,线段AP 与曲线()f x 只有A ,P 两个公共点,P 在,P B '中间时,线段AP 与曲线()f x 有异于A ,P 的公共点,因此利用导数与直线斜率求出P '点的横坐标,即可得出结论. 解：()3f x x ax =-,则()23f x x a '=-,∴()130f a '=-=,∴3a =,此时()33f x x x =-,∴()233f x x ¢=-,令()0f x '=,得1x =±,∴()1,2A -,()1,2B -,故()3,3(11)P m m m m --<<,当AP 与()f x 相切时,设此时的切点为P ',则切线'AP 的斜率k =3232331m m m m ---=+,化简得()()()()2123111m m m m m +-+-=+,解得12m =,结合上图可知,P 在,A P '中间时,线段AP 与曲线()f x 只有A ,P 两个公共点,P 在,P B '中间时,线段AP 与曲线()f x 有异于A ,P 的公共点,因此112m <<, 故答案为：3；112m <<.点评：本题考查了导数及极值的应用问题,考查了数形结合法解决曲线交点问题,需要学生具备一定的计算分析能力,有一定难度. 四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，18T =，114n n S S T +=+对所有正整数n 均成立.（1）求n a ；（2）当992n T ≤成立时，求n 的最大值.答案：（1）212n n a +=；（2）9(1)由148n n S S +=+,得148n n S S -=+(2n ≥),两式相减可得14n n a a +=(2n ≥),又1n =时,由148n n S S +=+,解得232a =,即214a a =,得数列{}n a 是等比数列,从而求出n a ;(2)由(1)求出()22n n n T +=,则根据992n T ≤,化简整理可得()()1190n n +-≤,即19n ≤≤,故可得正整数n 的最大值为9.解：(1)由题意知,18T =,则18a =,且148n n S S +=+①, 令1n =,则有12148a a a +=+,解得232a =, 又由①得:148n n S S -=+(2n ≥)②, 故①-②得,14n n a a +=(2n ≥), 又当1n =时,213248a a ==也满足上式, 所以数列{}n a 是以4为公比,8为首项的等比数列,因此121842n n n a -+=⨯=;(2)由(1)知,()()3212352121222222n nn n n n nT a a a ++⨯++=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==,由992n T ≤得()29922n n +≤,所以22990n n +-≤,即()()1190n n +-≤, 解得19n ≤≤, 故正整数n 的最大值为9. 点评：本题考查等比数列通项公式的求法,考查数列前n 项和与前n 项积的基本应用,需要学生综合运用所学知识,属于中档题.18．如图1，已知等边ABC V 的边长为3，点M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且2BM MA =，2AN NC =.如图2，将AMN V 沿MN 折起到A MN '△的位置.（1）求证：平面A BM '⊥平面BCNM ；（2）给出三个条件：①A M BC '⊥；②二面角A MN C '--大小为60o ；③A '到平面BCMN 的距离为22.在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：在线段A C '上是否存在一点P ，使三棱锥A PMB '-的体积为34，若存在，求出A PA C ''的值；若不存在，请说明理由.注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分。

山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学参考答案

①-③，得 2(x1 x2 )(x1 x2 ) 3( y1 y2 )( y1 y2 ) 6(1 2) ，……④ ...................8 分
由 AF2 F2B ，得 x1 x2 1 ， y1 y2 0 ，
将 x1 x2 1 ， y1 y2 0 代入④化简，得 x1 x2 3(1 ) ，
（Ⅱ）由175 0.002 20 0.006 20 0.008 20 0.012 20 98 .
∴估计一天步行数不大于 130 百步的人数为 98 人. ...............................................6 分
（Ⅲ）在区间 150,170 中有 28 人，在区间 170,190 中有 7 人，在区间 190, 210 中有 7 人，
又点M、N分别是A1C、BC的中点MN A1B ， MN 平面DGC . .........................................................................................................6 分解（Ⅱ）由（Ⅰ）知， CD A1D,CD BD ，且 A1D BD=D,
又
f
π 2
π
e2
0
，所以
f
π 2
f
t
0，
由零点存在定理可知，函数
y
f
(x)
在区间
π 2
,
0
上有且只有一个零点.
.............11 分
综上所述，函数
y
f
(x)
在区间
π 2
,
上有且仅有两个零点.
......................................12

山西省2020年4月高三适应性考试文科数学试题(含解析)

山西省2020年4月高三适应性考试文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足i i 1z =+，其中i 为虚数单位，则z =（） A.1i +B.1i -C.1i --D.1i -+2.已知0a >，0b >，m ∈R ，则“a b ≤”的一个必要不充分条件是（） A.m m a b ≤B.22a bm m ≤C.22am bm ≤D.22a m b m ≤++3.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成类型的标准：年龄中位数在20岁以下为年轻型人口；年龄中位数在20~30岁为成年型人口；年龄中位数在30岁以上为老年型人口. 全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响上图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响.据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为成年型人口；②从2010年至2020年为老年型人口；③放开二孩政策之后我国仍为老年型人口. 其中正确的是（） A.②③B.①③C.②D.①②4.已知函数()e 3,1,ln ,1,x x x f x x -<≥⎧=⎨⎩则关于函数()f x 的说法不正确的是（）A.定义域为RB.值域为()3,-+∞C.在R 上为增函数D.只有一个零点5.在四边形ABCD 中，()3,1AC =-，()2,BD m =，AC BD ⊥，则该四边形的面积是（）B.C.10D.206.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（） A.5.5，3.7B.5.4，4.4C.6.5，3.7D.5.5，4.47.双曲线1C ：22221x y a b -=与2C ：22221x y b a-=（0a b >>）的离心率之积为4，则1C 的渐近线方程是（）A.y x =±B.(2y x =±C.2y x =±D.(2y x =±8.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（）A.279π+B.2712π+C.33πD.189π+9.在OAB △中，若OA OB ⊥，OA a =，OB b =，则AB ==类比上述结论，可推测：在三棱锥O ABC -中，若OA ，OB ，OC 两两垂直，OA a =，OB b =，OC c =，1BOC S S =△，2COA S S =△，3AOB S S =△，则ABC S =△（）A.B.12S S S10.过点()1,1P -作抛物线2y ax =（0a >）的两条切线PA ，PB ，且PA PB ⊥，则a =（） A.14B.12C.2D.411.函数()2sin 2x x f x =+()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值是（） A.6π B.4π C.3π D.23π 12.已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（）A.6B.C.D.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届山西省太原市高三模拟(一)数学(文)试题(解析版)

数的单调性，排除 A，即可得到答案.
【详解】由题意，函数
f
x
x2
1
，可得
f
x
(x)2
1
x2
1
f
x ，
x
x
x
即 f (x) f (x) ，所以函数 f x 为偶函数，图象关于 y 对称，排除 B、C；
当
x
0 时，
f
x
x2 1 x
x
1 x
，则
f
'( x)
1
1 x2
＞0，
所以函数在（0，＋）上递增，排除 A，
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】
由 S5 25 以及等差数列的性质及求和公式可得 a3 5 ，又 a2 3 可得公差 d，再利用 a9 a3 6d 计算即
可得到答案.
【详解】由等差数列的性质及求和公式，得
S5
5(a1 2
a5 )
5a3
25 ，解得 a3
5 ，又
a2 3 ，所以公差 d 2 ， a9 a3 6d 17 .
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的基本性质及求和公式的计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
4.已知平面向量 a (4, 2) ， b (1, 3) ，若 a λb 与 b 垂直，则（）
A. 2
B. 2
【详解】解:因为复数 m+1+(2﹣m)i 在复平面内对应的点在第二象限,
m 1＜0 所以 2 m＞0 ,解得 m＜﹣1.
所以实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣1).
故选:A.
【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题.

2020届山西省太原市高三模拟(一)数学(文)试题(教师版)

太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则U B A ⋃=ð（） A. {0,2,4} B. {1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}【答案】A 【解析】【分析】先求出U A ð，再与集合B 求并集即可.【详解】由已知，{0,4}U A =ð，故U B A ⋃=ð{0,2,4}. 故选：A【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到补集、并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知i 是虚数单位，复数m +1+（2﹣m ）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（） A. （﹣∞，﹣1） B. （﹣1，2）C. （2，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【答案】A 【解析】【分析】根据复数对应的点在第二象限,可得1020m m +⎧⎨-⎩＜＞,然后解不等式组得到m 的取值范围.【详解】解:因为复数m +1+(2﹣m )i 在复平面内对应的点在第二象限,所以1020m m +⎧⎨-⎩＜＞,解得m ＜﹣1.所以实数m 的取值范围为(﹣∞,﹣1). 故选:A【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题. 3.已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9a =（） A. 16B. 17C. 18D. 19【分析】由525S =以及等差数列的性质及求和公式可得35a =，又23a =可得公差d ，再利用936a a d =+计算即可得到答案.【详解】由等差数列的性质及求和公式，得15535()5252a a S a +===，解得35a =，又 23a =，所以公差2d =，93617a a d =+=.故选：B【点睛】本题考查等差数列的基本性质及求和公式的计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.4.已知平面向量(4,2)a =-r ，(1,3)b =-r ，若a λb +r r 与b r垂直，则λ=（）A. 2-B. 2C. 1-D. 1【答案】C 【解析】【分析】由已知可得()0a b b λ+⋅=r r r，再利用向量数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】因为a λb +r r 与b r 垂直，所以()0a b b λ+⋅=r r r ，即20a b b λ⋅+=r r r ，46100λ++⨯=，解得1λ=-.故选：C【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，涉及到向量垂直的坐标表示，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A516B.1132C.716D.1332【分析】设正方形边长为a ，可求得阴影部分面积和正方形面积，根据几何概型概率公式可求得结果. 【详解】设正方形边长为a ，则其面积2S a =，阴影部分面积22221172224224481616a a a a a a a a a S a '=⋅+⋅+⋅⋅=++=， ∴所求概率716S p S '==. 故选：C .【点睛】本题考查几何概型面积型的概率问题的求解，属于基础题. 6.某程序框图如图所示，若4a =，则程序运行后输出的结果是（）A.74B.95C.116D.137【答案】B 【解析】【分析】注意本题循环退出的条件是4k >，在数据不大时可以写出来，防止出错.【详解】当4a =时，第一次循环：11111121222S =+=+-=-⨯，2k =；第二次循环：11111112212232233S =++=-+-=-⨯⨯，3k =；第三次循环：1111121223344S =+++=-⨯⨯⨯，4k =；第四次循环：111119121223344555S =++++=-=⨯⨯⨯⨯，54k =>，退出循环，此时输出的S 为95. 故选：B【点睛】本题考查程序框图及其应用，涉及到当型循环，要注意循环终止时的条件，是一道容易题.7.函数()21x f x x-=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.【详解】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-，即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ，故选D .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知变量x ，y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A. 3B. 5C. 8D. 11【答案】D 【解析】【分析】作出可行域，利用几何意义即可得到答案. 【详解】作出可行域如图所示，122zy x =-+，易知截距与z 成正比的关系，平移直线12y x =-，当直线过(1,5)A 时，截距最大，此时max 12511z =+⨯=. 故选：D【点睛】本题考查线性规划求最值的问题，准确画出不等式组所表示的平面区域是关键，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（）. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.10.刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）3 B. 3 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】将其置入到长方体中，利用长方体体对角线为外接球的直径来解决.【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面是一个正方形，设四棱锥外接球的半径为R ，将其置入到长方体中，如图所示易得1,1PD DA AB ===，所以22223R PB PD DA AB ==++=，所以3R . 故选：C【点睛】本题考查三视图及几何体外接球的问题，比较特殊的锥体，通常要考虑是否能够置入到长方体或正方体中来解决，查学生的空间想象能力，是一道容易题.11.过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k ，2k ，3k 的直线1l ，2l ，3l ，与抛物线分别交于不同于P 的点,,A B C ．若120k k +=，231k k ⋅=-，则以下结论正确的是（） A. 直线AB 过定点 B. 直线AB 斜率一定 C. 直线BC 斜率一定 D. 直线AC 斜率一定【答案】B 【解析】【分析】由题意，1k ，2k ，3k 均不为0，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1142k y =+，同理可得2k 242y =+，3k 342y =+，由120k k +=，得1240y y ++=，再设出直线AB 的方程为11x m y t =+，利用韦达定理即可判断选项A 、B ，同理判断选项C 、D.【详解】由题意，1k ，2k ，3k 均不为0，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则11121112241214y y k y x y --===-+-，同理可得22221y k x -=-242y =+， 33321y k x -=-342y =+，由120k k +=，得142y +2402y +=+，即1240y y ++=，① 设直线AB 的方程为11x m y t =+，联立抛物线方程可得211440y m y t --=，则>0∆，1211214,4y y m y y t +==-代入①式可得1440m +=，11m =-，此时直线AB 的方程为1x y t =-+，故直线AB 斜率是定值，故B 正确，A 错误；由231k k ⋅=-，得242y +3412y ⨯=-+，即23232()200y y y y +++=，②，同理设直线 BC 的方程为22x m y t =+，联立抛物线方程可得222440y m y t --=，则>0∆，3223224,4y y m y y t +==-代入②式可得22250m t -+=，此时BC 的方程为22225(2)5x m y m m y =++=++，恒过定点(5,2)-，斜率不是定值，故C 错误；由231k k ⋅=-，120k k +=，得311k k ⋅=，即142y +3412y ⨯=+，即13132()120y y y y ++-=③，同理设直线AC 的方程为33x m y t =+，联立抛物线方程可得233440y m y t --=，则>0∆，3133134,4y y m y y t +==-代入③式可得33230m t --=，此时AC 的方程为33223(2)3x m y m m y =+-=+-恒过定点(3,2)--，斜率不为定值.故D 错误. 故选：B【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到定值、定点问题，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力，是一道有一定难度的题.12.函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数，若'1(2)()()xxx f x f x e --+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为（）A. (,0)-∞B. (0,1)C. (1,2)D. (0,2)【答案】D 【解析】【分析】设()(2)()g x x f x =-，由已知可得()g x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞单调递增，且(0)0g =，(2)0=g ，()0f x <⇔()0>g x ，结合图象即可得到答案.【详解】设()(2)()g x x f x =-，由已知，得'1()x x g x e-=，显然当12x <<时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，故()g x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞单调递增，且(0)(02)(0)0g f =-=，(2)(22)(2)0g f =-=，作出示意图如图()()002g x f x x <⇔<-，所以只需()0>g x 即可，解得02x <<. 故选：D【点睛】本题考查构造法解不等式，涉及到利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线2228x y -=的实轴长是___________．【答案】4 【解析】【分析】将双曲线方程标准化即可.【详解】由已知，可得22148x y -=，故2a =，实轴长为24a =.故答案为：4【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14.已知函数()4()log 41()xf x kx k R =++∈是偶函数，则k =_________．【答案】12- 【解析】【分析】由题意()()f x f x -=，即()44log 41log (41)2xx kx -+-+=，对x R ∀∈恒成立，化简即可得到答案. 【详解】由已知，()4()log 41xf x kx --=+-，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即()44log 41log (41)2x x kx -+-+=，对x R ∀∈恒成立，即4log 42xkx -=，对x R ∀∈恒成立，解得12k =-.故答案为：12-【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数的问题，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是___________．【答案】33【解析】【分析】将问题转化为异面直线AC 与BF 之间距离的求解问题，以B 为原点建立空间直角坐标系，根据异面直线间距离的空间向量求法可求得结果.【详解】,M N Q 是异面直线AC ，BF 上两点，MN ∴的最小值即为两条异面直线间距离d .Q 平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，平面ABCD I 平面ABEF AB =，BC ∴⊥平面ABEF ，又AB BE ⊥，则以B 为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,0,0B ，()1,1,0F ，()0,0,1C ，()1,0,1AC →∴=-，()1,1,0BF →=，()1,0,0AB →=，设异面直线AC ，BF 的公垂向量(),,n x y z →=，则0AC n x z BF n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，令1x =，则1y =-，1z =，()1,1,1n →∴=-，AB n d n→→→⋅===，即MN故答案为：3. 【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线间距离的问题，关键是能够将两异面直线上点的连线的最小值问题转化为异面直线间距离的求解问题.16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．【答案】1m + 【解析】【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=L 202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=L 202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=L ，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m +【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题；共60分.17.手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率．【答案】（Ⅰ）0.008=a ，中位数为125；（Ⅱ）98；（Ⅲ）25【解析】【分析】（Ⅰ）利用各小矩形的面积之和为1即可得到a ，中位数的估计值是小矩形面积和为0.5时的x 的值；（Ⅱ）先算出一天步行数不大于130百步的的概率（前4个小矩形的面积之和），再乘以人数175即可；（Ⅲ）先由分层抽样确定出每组抽取的人数，再结合古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）由题意得0.002200.00620200.012200.01020200.002200.002201a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008=a ，设中位数为110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5, x ⨯+⨯+⨯+⋅=解得15x =，所以中位数为125.（Ⅱ）由175(0.002200.006200.008200.01220)98⨯⨯+⨯+⨯+⨯=，所以估计一天步行数不大于130百步的人数为98人.（Ⅲ）在区间150,(170]中有28人，在区间(170,190]中有7人，在区间(190,210]中有7 人，按分层抽样抽取6人，则从150,(170]抽取4人，(170,190]和(190,210]中各抽取1 人，设从150,(170]抽取1234,,,A A A A ，从(170,190]中抽B ，从(190,210]中抽C ，则从6 人中抽取2人的情况有：12131411232422343344,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B AC A A A A A B A C A A A B A C A B A C BC 共15种情况，其中满足两人均来自区间150,(170]的有121314232434,,,,,A A A A A A A A A A A A ，共6种情况，所以概率62155P ==，所以两人均来自区间150,(170]的概率为25. 【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，以及古典概型的概率计算，涉及到分层抽样的知识，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.18.已知ABC V 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，212cos sin cos 362C C ππ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC V 的面积为2，求11a b +的值．【答案】（Ⅰ）3C π=；【解析】【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式、辅助角公式将212cossin cos 362C C ππ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭化简得到1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进一步可得到C ；（2）由三角形面积为2算得6ab =，由余弦定理，算得22a b 15+=，进一步得到a b +=入11a b a b ab++=即可. 【详解】（Ⅰ）因为212cossin cos 362C C ππ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以1sin cos 62C C π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以11cos cos 22C C C -=11cos 22C C -=，所以1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而C 为三角形的内角，所以3C π=.（Ⅱ）ABC V 及3C π=，得1sin 23ab π=，化简得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得22a b 15+=，所以a b +===11a b a b ab ++==.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式、辅助角公式的应用，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19.如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC V 沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（1）求证：MN ⊥平面DCG ．（2）求三棱锥G -A 1DC 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】(1)由条件有1//MN A B ，则只需证明1A B ⊥平面DGC 即可. (2)由条件可得CD ⊥平面1A DG ，则11113G A DC C A DG A DG V V S CD --∆==⨯，可求得体积. 【详解】解：（1）由题知图（1）中22,2AC BC AD BD CD =====在三棱锥∴1A BCD -中，11,A D BD AC BC == ∵点G 是1A B 的中点，11,DG A B CG A B ∴⊥⊥，又DG CG G ⋂=1A B ∴⊥平面DGC又Q 点M 、N 分别是1A C 、BC 的中点，1//MN A B ∴MN DGC ∴⊥平面.（2）由图（1）知1,CD A D CD BD ⊥⊥，且CD \^平面1A DG 又0160A DB ∠=，1A DB ∴∆为等边三角形，11,2,DG A B A B ∴⊥=1111,2AG A B DG ===1111122A DG S A G DG ∆∴=⨯=⨯=1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --∆==⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，属于中档题. 20.已知函数()cos xf x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.【答案】（1）0x y -=；（2）见解析【解析】【分析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.（2）当0x >时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.因为函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<，()010f '=>，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【详解】（1）()cos xf x e x =-Q ，则()sin xf x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=. （2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【点睛】本题第一问考查导数几何意义中的切线问题，第二问考查函数零点的存在，同时考查了利用导函数求函数的单调区间，属于难题.21.椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于,A B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ→→=，已知当2λ=时，1||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【答案】（Ⅰ）22132x y +=；（Ⅱ）定值为3 【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b+=22(1)b a =-，当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，由椭圆的定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，可得点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b ，由222AF F B =u u u u r u u u r可得3(,)22bB ，将B 代入椭圆方程即可；（Ⅱ）设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立椭圆方程可得12122244,2323m y y y y m m --+==++，进一步可得1212y y m y y +=，1222BHy k y x ==-，利用点斜式可得BH 的方程以及直线2l 的方程，解方程组即可.【详解】（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知，当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，又1||AB BF =，所以13BF m =，由椭圆的定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b ，从而由已知条件222AF F B =u u u u r u u u r 可得(10,0)2(1,)B B b x y --=-，解得3,22B B bx y ==，故3(,)22bB ，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为22132x y +=.（Ⅱ）设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，将1x my =+代入椭圆22236x y +=中，得222(1)36my y ++=，即()2223440m y my ++-=，12122244,2323m y y y y m m --+==++，所以1212y y m y y +=，由已知，(2,0)H ，直线BH 的斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，所以直线BH 的方程为1(2)y y x =-，而直线2l 的方程为1y y =，代入1(2)y y x =-，解得3x =，故点C 的横坐标是定值3.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到椭圆中的定值问题，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ →→=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若4OA AB →→=，求k 的值．【答案】（Ⅰ）28cos 150ρρθ-+=；（Ⅱ）39k =．【解析】【分析】（Ⅰ）(),M x y ，()3cos ,3sin P θθ，根据向量的坐标运算可得4cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，进而得到点M 的直角坐标方程，根据极坐标和直角坐标互化原则可得极坐标方程；（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，由4OA AB →→=可得1254ρρ=，结合韦达定理可得方程组求得cos α，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）设点(),M x y ，()3cos ,3sin P θθ，由2PM MQ →→=得：()()3cos ,3sin 122,2x y x y θθ--=--，4cos sin x y θθ=+⎧∴⎨=⎩，整理得：()2241x y -+=，即228150x y x +-+=，∴点M 的极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=．（Ⅱ）设直线:l y kx =的极坐标方程为θα=．设()1,A ρα，()2,B ρα，4OA AB →→=Q ，54OA OB →→∴=，即1254ρρ=，又28cos 150ραρ-⋅+=，则1212128cos 1554ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得：cos α=222113tan 1cos 243k αα∴==-=，k ∴=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程相关问题的求解，涉及到极坐标与直角坐标的互化、极坐标的应用等知识，属于常考题型.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-. （Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a =-或3-；（Ⅱ）3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式得到方程21a +=，解方程求得结果；（Ⅱ）利用1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到2x a x +<，从而得到解集3a x a -<<-；根据解集的包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦可构造出不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】（Ⅰ）()()22222222f x g x x a x x a x a +=++-≥+-+=+21a ∴+=，解得：1a =-或3-（Ⅱ）由()()1f x g x +<得：211x a x ++-<当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，21211x a x x a x ++-=++-<，即：2x a x +<2x x a x ∴-<+<，即：3ax a -<<- ()()1f x g x +<Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1321a a ⎧-<⎪∴⎨⎪->⎩，解得：312a -<<-即a 的取值范围为：3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据绝对值不等式的解集求解参数范围、绝对值三角不等式的应用等知识，关键是能够根据自变量的取值范围求得解集，再利用包含关系得到不等关系.。

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高三年级月考试卷（文科数学）
使用时间：2020年4月11日测试时间： 120 分钟总分： 150 分
第Ⅰ卷(选择题) （共60分）
一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分),在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数错误!未找到引用源。

的共轭复数是 A ．错误!未找到引用源。

B ．—错误!未找到引用源。

C ．i D ．—i
2. 设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{2,4}A =，3{|log (1),}B y y x x A ==-∈，则集合
()()U U C A C B I =( )
A ．{0,4,5,2}
B ．{0,4,5}
C ．{2,4,5}
D ．{1,3,5} 3. 已知命题001
:,cos 2
p x R x p ∃∈≤⌝，则是 A. 001,cos 2
x R x ∃∈≥ B. 001,cos 2x R x ∃∈> C. 1,cos 2
x R x ∀∈≥
D. 1
,cos 2
x R x ∀∈>
4. 过双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）
的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A 、O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（）
A ．22
13y x -= B ．2214
y x -= C ．
221412x y -= D ．221124
x y -= 5. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
根据上表可得回归直线方程a x y ˆ56.0ˆ+=，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55 D. 71.05 6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）
A ． 4
B ． 5
C ． 6
D ． 7
7. ．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=
，则=（）
A ． 4n
﹣1 B ． 4n ﹣1
C ． 2n
﹣1 D ． 2n ﹣1
8. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
A ．
B ．
C ．
D ． 1
9. 如图是函数()2
f x x ax b =++的图象，则函数()()ln
g x x f x '=+的零点所在的区间是 A. 11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
B. ()1,2
C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. ()2,3
10. 设x ，y 满足约束条件,
1,x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩
且z x ay =+的最小值为7，则a =
（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3
11. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，AB=6，23BC =，棱锥O-ABCD 的体积为83，则球O 的表面积为
A ．16π
B ．32π
C ．48π
D ．64π
12. 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，不等式0)()(/
<+x xf x f 成立，若
)9
1
(log 91log ),3(log 3log ),3(333
3.03.0f c f b f a ===ππ，则c b a ,,间的大小关系是( )． A ．a >b >c
B ．c >b >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分).
13. 在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63
A =，则b = ．
14. 已知圆C:()()2
2
112x y -+-=经过椭圆:Γ22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点F 和上顶点B ，
则椭圆Γ的离心率为．
15. 若非零向量,a b r r 满足||||2||a b a b b +=-=r r r r r
，则a b +r r 与a b -r r 的夹角是
16．已知函数3
()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *
∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，
若11a =，则
333121010()()()
21()
3
f a f a f a +++=-L ．
三. 解答题（本大题共6小题，共70分；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：
212123(31),*8
n
n n n N a a a +++=-∈L . （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设3log n n a b n
=，求
12231111
.n n b b b b b b ++++L
18. （本小题满分12分）
某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率
分布表如下左图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？
19. （本小题满分12分）
如图所示，四棱锥中，底面为正方形，
平面
，
，
，
，
分别为
、、的中点．
（1）求证：PA //平面；
（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．
20. 已知函数3
1()13
f x x ax =
-+．组号分组频数频率
第1组 [)165,160 5 0.050
第2组 [)170,165 ① 0.350
第3组 [)175,170 30 ② 第4组 [)180,175 20 0.200
第5组 [180,185] 10 0.100 合计 100 1.00
（Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m ∈R ，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围．
21.已知抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，
且||5PF =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.
请考生在（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：
在平面直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为2
32252
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为5ρθ=．
()1写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
()2若点P 坐标为(5，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA +PB 的值
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
对于任意的实数(0),||||||a a b a b a b M a ≠++-≥⋅和不等式恒成立，记实数M 的最大值是m ．
（1）求m 的值；
（2）解不等式|1||2|.x x m -+-≤。