兰彻斯特方程损耗系数估算方法研究
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兰彻斯特方程损耗系数估算方法研究
张 宪，张国春
(国防大学信息作战与指挥训练教研部，北京 100091)
摘
要： 建立基于兰彻斯特方程的聚合级实体损耗模型的关键在于损耗系数的确定。目前对于兰彻
斯特方程损耗系数估算的研究主要基于武器装备的火力指数，缺乏对地形、通视性以及目标优先级 的考虑。故我们给出基于捕捉概率和目标优先级的扩展兰彻斯特方程，重点研究利用高分辨率模型 输出结果对兰彻斯特方程损耗系数进行估算的方法，提出了扩展兰彻斯特方程中目标优先级的实现 思想，最后介绍了极大似然估计中方差和置信区间的处理技术。利用本估算方法可以生成多兵种交 战损耗矩阵，用来计算交战损耗。 关键词： 扩展兰彻斯特方程；损耗系数；极大似然估计；目标优先级 中图分类号：TP391.9 文献标识码：A 文章编号： 1004-731X (2011) 08-xxxx-xx
x(0) x0 y (0) y0
（1）
k -1 次和第 k 次之间 X 方的所有武器系统数量， 即在[tk 1 , tk ] 之间 X 方武器系统存活的数量， yk 第 k -1 次和第 k 次交战 后 Y 方的武器系统数量， 即在 [tk 1 , tk ] 之间 Y 方武器系统存 活的数量。 如果把双方的毁伤过程看作是泊松过程， 则毁伤过程是 一 个 连 续 时 间 马 尔 科 夫 过 程 ， 使 用 变 量
m n dxi xi xk dt ij {(1 (1 Aij wk.baidu.com ) (1 (1 Akj ) )} y j i 1,2 m j 1 k i 1 m m dy j {(1 (1 B ) y j ) (1 (1 B ) yk )}x j 1,2 n ji ji ki i i 1 k i 1 dt
ji 表示 xi 类武器系统对 y j 类武器系统的损耗系数；
Aij 表示 xi 类武器系统被 y j 类武器系统捕捉的概率； B ji 表示 y j 类武器系统被 xi 类武器系统捕捉的概率； Akj 表示优先级高于 xi 的 xk 类武器系统被 y j 捕捉的概
率； 写成对数形式：
e
( rxy ( k 1) ryx ( k 1))( tk tk 1 )
Research on Lanchester attrition-rates coefficient estimation
ZHANG Xian， ZhANG Guo-chun
(Department of Information Warfare and Command Training，National Defens e University of PLA，Beijing 100091, China)
引
言1
1914 年，英国工程师兰彻斯特对战斗过程中交战双方
捕捉概率和目标优先级的兰彻斯特方程并给出损耗系数估 算方法及具体实现步骤。
的损耗问题进行了定量的研究，提出了著名的兰彻斯特方 程，其中包括兰彻斯特线性律和兰彻斯特平方律。其后，陆 续有许多学者提出了多种修正的兰彻斯特方程。 兰彻斯特方 程已经成为了计算交战过程中损耗的有利工具， 而兰彻斯特 方程求解的关键是损耗系数的确定， 尤其是交战方都是多兵 种、使用多种武器装备的情况下，兰彻斯特方程损耗系数的 准确与否，直接决定了损耗模型的可信程度。本文提出基于
k 1
K
ˆ ) yk 1 1 yk 1 (1 B Y } cT ˆ ) yk 1 1 (1 B
k 1
K
)
ˆ ˆ, 分别对 和 求偏导，可得关于它们的无偏估算
分别为：
ˆ cTX ˆ) {1 (1 A
k 1
K
2 损耗系数估算方法
2.1 极大似然估算方法
假定高分辨率毁伤模型运行了一段时间， 直到双方武器 系统毁伤数量之和为 k ，在此情况下，记 t k 表示第 k 次毁伤 事件发生时间，它是一个随机变量。同时引进变量 ck X 和
（2）
其中，
xi 0 表示 X 方 xi 初始时刻武器系统数量；
y j 0 表示 Y 方 y j 初始时刻武器系统数量；
ij 表示 y j 类武器系统对 xi 类武器系统的损耗系数；
L( , , A, B) (rxy (k 1))ck (ryx (k 1))ck
x
K
y
k 1
收稿日期： 2011-04-25 基金项目： 作者简介：张宪 (1983-)，男，陕西泾阳人，研究生，主要研究方向为军 事建模，战争模拟系统与环境；张国春 (1969-)，男，黑龙江人，副教授， 硕导，研究方向为战争模拟系统与环境，军事运筹，军事建模。 修回日期： 2011-05-22
1 扩展兰彻斯特方程
InL( , , A, B) ckx Inrxy (k 1) cky Inryx (k 1)
k 1 k 1
K
K
Bki 表示优先级高于 yi 的 yk 类武器系统被 xi 捕捉的概
率；
(rx y (k 1 ) ry x (k 1 ) ) tk( 1 tk
Abstract: The key of aggregated force attrition modeling based on Lanchester equation was the calibration of attrition-rates coefficient. At present the research on Lanchester attrition-rates coefficient estimation was mainly based on weapon’s firepower index, with little consideration about terrain、the probability of LOS and target priority. So we pose the Extended Lanchester Equation considering the factors of target acquisition probability and target priority, we focus on the M LE method to acquire attrition-rates coefficient, and then illuminate the idea on how to get the target priority ，at last we explain the technique to deal with Variance and Confidence Interval. With the use of this method we could generate mixed forces attrition-rates coefficient matrixs and compute the warfare attrition. Keywords: Extend Lanchester Equation, attrition-rates, M LE, target priority
, xm ) 组成，Y 方是由 n
, yn ) 组成，在传统的多兵种兰彻
斯特损耗模型中， 交战双方的损耗完全按照武器系统的射程 和武器弹药性能来计算，没有考虑地形、通视性等问题。在 扩展的多兵种兰彻斯特方程中， 我们考虑到了地形因素和兵 力部署， 内化成捕捉概率和目标优先级。 我们假定三个条件： ①每一类武器系统对目标的射击过程都是相互独立的； ②武 器火力系统将自动优先对可以射击的优先级最高的目标进 行打击；③各个目标之间的捕捉概率相互独立。在此基础上 我们可以推导出基于捕捉概率的多兵种兰彻斯特方程，即：
兰彻斯特方程型损耗模型的基本形式有兰彻斯特线性 律和平方律， 由于平方律能较好的描述现代交战过程中的损 耗，得到了广泛应用，而兰彻斯特平方律的使用前提是交战 双方的信息对对方都是全部公开透明的， 而在实际交战过程 中，这个假定是很少能够成立的。因而，本文围绕兰彻斯特 平方律，提出了基于捕捉概率的扩展兰彻斯特方程。
能对损耗系数做出估算，具体方法步骤如下： 1.找出极大似然密度函数； 2.对 X 和 Y 分别构造出极大似然函数； 3. 对极大似然函数进行求解，求出损耗系数的无偏估 算。
1.2 基于多兵种的兰彻斯特方程
假定交战双方为 X 和 Y， 在双方的交战过程中， 如果 X 方是由 m 种不同的武器系统 ( x1, x2 种不同的武器系统 ( y1, y2
其中， 表示 Y 方火力对 X 方目标的条件损耗系数， 表示 X 方火力对 Y 方目标的条件损耗系数， 捕捉概率。
A 表示 Y 方火
力对 X 方目标的捕捉概率，B 表示 X 方火力对 Y 方目标的
(t1 , t2 ,
tk , c1x ,
ck x , c1 y ,
利用极大似然估计方法就 ck y ) ，
xk 1
优先级高于 Y j 类的武器系 y ( k 1) 表示在 [tk 1 , tk ] 之间，
0
ˆ) {1 (1 A
} yk 1 (tk tk 1 )
统存活数量；
ˆ ) 表示对 Y 武器系统而言，不具备优先级高于 (1 A j j
0
ˆ ) cY { f (B T
ˆ ，虽然不 ˆ, 对于 A 和 B 的极大似然估算，需要用到
能求解出解析公式，但是可以导出它们满足的函数关系式， 可以通过迭代求解。
ck Y 0 ,则有 ck X ck Y 1 ，同时 ck X ck Y 0 ，我们定义
Y Y cT X ck X , cT ck ，则有 cT cT k ，记 xk 为第
2.2 同兵种损耗系数估算
假定 X 和 Y 方的极大似然概率密度函数分别为 f sx 和
f s y ， f sx (s) rxy e
( rxy ryx ) s
， f sy (s) ryxe
( rxy ryx ) s
。
其中， s x 表示 X 相邻两次毁伤事件的随机变量， s y 表 示 Y 相邻两次毁伤事件的随机变量，则有：
rxy rxy ( , , x, y) {1 (1 A) x } y
我们依据马尔科夫过程的无记忆性可知， 极大似然函数 可以看作是对每个独立的毁伤事件的总和， 也就是说，t k 代 表第 k 次毁伤发生的时间，tk 1 代表第 (k 1) 次毁伤发生的 时间， rxy (k 1) 代表 Y 方火力对 X 方的 (k 1) 次毁伤的损 耗系数，ryx (k 1) 代表 X 方火力对 Y 方的 (k 1) 次毁伤的 损耗系数，由此，构造极大似然函数如下：
K
K
X
Y
k 1
k 1
ˆ xk 1 1 ˆ ) c X { xk 1 (1 A) f (A } cTX T ˆ ) xk 1 1 (1 A k 1
K
x
k 1 K k 1 K
K
k 1
ˆ ) xk 1 1 y (t t ) (1 A k 1 k k 1
1.1 基于同兵种的兰彻斯特方程
假定交战双方为 X 和 Y， x 和 y 分别表示 X 和 Y 双方 兵力数量，x0 和 y0 表示双方的初始兵力， 和 分别表示 X 和 Y 的兰彻斯特损耗系数，A 和 B 表示目标捕捉概率。 考虑到捕捉概率的兰彻斯特方程可以写成以下形式：
dx (1 (1 A) x ) y dt dy (1 (1 B) y ) x dt
K
xk 1
} yk 1 (tk tk 1 )
ˆ
Y cT
ˆ) {1 (1 B
k 1
yk 1
}xk 1 (tk tk 1 )
ck ：其中，当第 k 次的毁伤是 X 方时，记 ck 1 ，否则
Y X
记 ck X 0 ；当第 k 次的毁伤是 Y 方时，记 ck Y 1 ，否则记
张 宪，张国春
(国防大学信息作战与指挥训练教研部，北京 100091)
摘
要： 建立基于兰彻斯特方程的聚合级实体损耗模型的关键在于损耗系数的确定。目前对于兰彻
斯特方程损耗系数估算的研究主要基于武器装备的火力指数，缺乏对地形、通视性以及目标优先级 的考虑。故我们给出基于捕捉概率和目标优先级的扩展兰彻斯特方程，重点研究利用高分辨率模型 输出结果对兰彻斯特方程损耗系数进行估算的方法，提出了扩展兰彻斯特方程中目标优先级的实现 思想，最后介绍了极大似然估计中方差和置信区间的处理技术。利用本估算方法可以生成多兵种交 战损耗矩阵，用来计算交战损耗。 关键词： 扩展兰彻斯特方程；损耗系数；极大似然估计；目标优先级 中图分类号：TP391.9 文献标识码：A 文章编号： 1004-731X (2011) 08-xxxx-xx
x(0) x0 y (0) y0
（1）
k -1 次和第 k 次之间 X 方的所有武器系统数量， 即在[tk 1 , tk ] 之间 X 方武器系统存活的数量， yk 第 k -1 次和第 k 次交战 后 Y 方的武器系统数量， 即在 [tk 1 , tk ] 之间 Y 方武器系统存 活的数量。 如果把双方的毁伤过程看作是泊松过程， 则毁伤过程是 一 个 连 续 时 间 马 尔 科 夫 过 程 ， 使 用 变 量
m n dxi xi xk dt ij {(1 (1 Aij wk.baidu.com ) (1 (1 Akj ) )} y j i 1,2 m j 1 k i 1 m m dy j {(1 (1 B ) y j ) (1 (1 B ) yk )}x j 1,2 n ji ji ki i i 1 k i 1 dt
ji 表示 xi 类武器系统对 y j 类武器系统的损耗系数；
Aij 表示 xi 类武器系统被 y j 类武器系统捕捉的概率； B ji 表示 y j 类武器系统被 xi 类武器系统捕捉的概率； Akj 表示优先级高于 xi 的 xk 类武器系统被 y j 捕捉的概
率； 写成对数形式：
e
( rxy ( k 1) ryx ( k 1))( tk tk 1 )
Research on Lanchester attrition-rates coefficient estimation
ZHANG Xian， ZhANG Guo-chun
(Department of Information Warfare and Command Training，National Defens e University of PLA，Beijing 100091, China)
引
言1
1914 年，英国工程师兰彻斯特对战斗过程中交战双方
捕捉概率和目标优先级的兰彻斯特方程并给出损耗系数估 算方法及具体实现步骤。
的损耗问题进行了定量的研究，提出了著名的兰彻斯特方 程，其中包括兰彻斯特线性律和兰彻斯特平方律。其后，陆 续有许多学者提出了多种修正的兰彻斯特方程。 兰彻斯特方 程已经成为了计算交战过程中损耗的有利工具， 而兰彻斯特 方程求解的关键是损耗系数的确定， 尤其是交战方都是多兵 种、使用多种武器装备的情况下，兰彻斯特方程损耗系数的 准确与否，直接决定了损耗模型的可信程度。本文提出基于
k 1
K
ˆ ) yk 1 1 yk 1 (1 B Y } cT ˆ ) yk 1 1 (1 B
k 1
K
)
ˆ ˆ, 分别对 和 求偏导，可得关于它们的无偏估算
分别为：
ˆ cTX ˆ) {1 (1 A
k 1
K
2 损耗系数估算方法
2.1 极大似然估算方法
假定高分辨率毁伤模型运行了一段时间， 直到双方武器 系统毁伤数量之和为 k ，在此情况下，记 t k 表示第 k 次毁伤 事件发生时间，它是一个随机变量。同时引进变量 ck X 和
（2）
其中，
xi 0 表示 X 方 xi 初始时刻武器系统数量；
y j 0 表示 Y 方 y j 初始时刻武器系统数量；
ij 表示 y j 类武器系统对 xi 类武器系统的损耗系数；
L( , , A, B) (rxy (k 1))ck (ryx (k 1))ck
x
K
y
k 1
收稿日期： 2011-04-25 基金项目： 作者简介：张宪 (1983-)，男，陕西泾阳人，研究生，主要研究方向为军 事建模，战争模拟系统与环境；张国春 (1969-)，男，黑龙江人，副教授， 硕导，研究方向为战争模拟系统与环境，军事运筹，军事建模。 修回日期： 2011-05-22
1 扩展兰彻斯特方程
InL( , , A, B) ckx Inrxy (k 1) cky Inryx (k 1)
k 1 k 1
K
K
Bki 表示优先级高于 yi 的 yk 类武器系统被 xi 捕捉的概
率；
(rx y (k 1 ) ry x (k 1 ) ) tk( 1 tk
Abstract: The key of aggregated force attrition modeling based on Lanchester equation was the calibration of attrition-rates coefficient. At present the research on Lanchester attrition-rates coefficient estimation was mainly based on weapon’s firepower index, with little consideration about terrain、the probability of LOS and target priority. So we pose the Extended Lanchester Equation considering the factors of target acquisition probability and target priority, we focus on the M LE method to acquire attrition-rates coefficient, and then illuminate the idea on how to get the target priority ，at last we explain the technique to deal with Variance and Confidence Interval. With the use of this method we could generate mixed forces attrition-rates coefficient matrixs and compute the warfare attrition. Keywords: Extend Lanchester Equation, attrition-rates, M LE, target priority
, xm ) 组成，Y 方是由 n
, yn ) 组成，在传统的多兵种兰彻
斯特损耗模型中， 交战双方的损耗完全按照武器系统的射程 和武器弹药性能来计算，没有考虑地形、通视性等问题。在 扩展的多兵种兰彻斯特方程中， 我们考虑到了地形因素和兵 力部署， 内化成捕捉概率和目标优先级。 我们假定三个条件： ①每一类武器系统对目标的射击过程都是相互独立的； ②武 器火力系统将自动优先对可以射击的优先级最高的目标进 行打击；③各个目标之间的捕捉概率相互独立。在此基础上 我们可以推导出基于捕捉概率的多兵种兰彻斯特方程，即：
兰彻斯特方程型损耗模型的基本形式有兰彻斯特线性 律和平方律， 由于平方律能较好的描述现代交战过程中的损 耗，得到了广泛应用，而兰彻斯特平方律的使用前提是交战 双方的信息对对方都是全部公开透明的， 而在实际交战过程 中，这个假定是很少能够成立的。因而，本文围绕兰彻斯特 平方律，提出了基于捕捉概率的扩展兰彻斯特方程。
能对损耗系数做出估算，具体方法步骤如下： 1.找出极大似然密度函数； 2.对 X 和 Y 分别构造出极大似然函数； 3. 对极大似然函数进行求解，求出损耗系数的无偏估 算。
1.2 基于多兵种的兰彻斯特方程
假定交战双方为 X 和 Y， 在双方的交战过程中， 如果 X 方是由 m 种不同的武器系统 ( x1, x2 种不同的武器系统 ( y1, y2
其中， 表示 Y 方火力对 X 方目标的条件损耗系数， 表示 X 方火力对 Y 方目标的条件损耗系数， 捕捉概率。
A 表示 Y 方火
力对 X 方目标的捕捉概率，B 表示 X 方火力对 Y 方目标的
(t1 , t2 ,
tk , c1x ,
ck x , c1 y ,
利用极大似然估计方法就 ck y ) ，
xk 1
优先级高于 Y j 类的武器系 y ( k 1) 表示在 [tk 1 , tk ] 之间，
0
ˆ) {1 (1 A
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统存活数量；
ˆ ) 表示对 Y 武器系统而言，不具备优先级高于 (1 A j j
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ˆ ，虽然不 ˆ, 对于 A 和 B 的极大似然估算，需要用到
能求解出解析公式，但是可以导出它们满足的函数关系式， 可以通过迭代求解。
ck Y 0 ,则有 ck X ck Y 1 ，同时 ck X ck Y 0 ，我们定义
Y Y cT X ck X , cT ck ，则有 cT cT k ，记 xk 为第
2.2 同兵种损耗系数估算
假定 X 和 Y 方的极大似然概率密度函数分别为 f sx 和
f s y ， f sx (s) rxy e
( rxy ryx ) s
， f sy (s) ryxe
( rxy ryx ) s
。
其中， s x 表示 X 相邻两次毁伤事件的随机变量， s y 表 示 Y 相邻两次毁伤事件的随机变量，则有：
rxy rxy ( , , x, y) {1 (1 A) x } y
我们依据马尔科夫过程的无记忆性可知， 极大似然函数 可以看作是对每个独立的毁伤事件的总和， 也就是说，t k 代 表第 k 次毁伤发生的时间，tk 1 代表第 (k 1) 次毁伤发生的 时间， rxy (k 1) 代表 Y 方火力对 X 方的 (k 1) 次毁伤的损 耗系数，ryx (k 1) 代表 X 方火力对 Y 方的 (k 1) 次毁伤的 损耗系数，由此，构造极大似然函数如下：
K
K
X
Y
k 1
k 1
ˆ xk 1 1 ˆ ) c X { xk 1 (1 A) f (A } cTX T ˆ ) xk 1 1 (1 A k 1
K
x
k 1 K k 1 K
K
k 1
ˆ ) xk 1 1 y (t t ) (1 A k 1 k k 1
1.1 基于同兵种的兰彻斯特方程
假定交战双方为 X 和 Y， x 和 y 分别表示 X 和 Y 双方 兵力数量，x0 和 y0 表示双方的初始兵力， 和 分别表示 X 和 Y 的兰彻斯特损耗系数，A 和 B 表示目标捕捉概率。 考虑到捕捉概率的兰彻斯特方程可以写成以下形式：
dx (1 (1 A) x ) y dt dy (1 (1 B) y ) x dt
K
xk 1
} yk 1 (tk tk 1 )
ˆ
Y cT
ˆ) {1 (1 B
k 1
yk 1
}xk 1 (tk tk 1 )
ck ：其中，当第 k 次的毁伤是 X 方时，记 ck 1 ，否则
Y X
记 ck X 0 ；当第 k 次的毁伤是 Y 方时，记 ck Y 1 ，否则记