函数含参问题
对高中数学函数中一类含参问题的解法的思考
对高中数学函数中一类含参问题的解法的思考摘要：在高中函数类习题当中，一类含参问题是一种较为常见的题型，同时也是学生在学习过程中的主要难点之一。
基于此，本文对高中数学函数一类含参问题的解法展开了分析，通过几种常见的出题类型，来讨论在学习过程中对其准确求解的途径，希望能够以此促进学生在进行解题时的准确率。
关键词：高中数学函数习题一类含参解题教学1引言一类含参问题无论是在学生日常学习还是高考过程中都经常出现，这类题型由于涵盖知识面较广，并且解题过程中较为注重学生的逻辑思维，因此一直都是学生的主要失分环节，因此对一类含参问题的解法展开研究极有必要，能够保证教师在教学过程中帮助学生有效地总结知识规律，使学生掌握正确的解题技巧。
2含参不等式的解法2.1分类讨论法学生在处理这类问题，需要注意到参数的值对不等式的解以及类型能够起到直接的影响作用，因此学生需要首先就参数的情况进行谈论，并在确定了不等式的解之后，根据不同的情况来确定参数的值[1]。
例一：不等式a某2-2〔1+a〕+4>0，请分析在什么情况下该不等式成立。
解析：在处理这道习题的过程中学生应当分别从两个方面进行思考，首先是判断a是否为零，在a=0的情况下，也就是该不等式的二次线系数为零，因此不等式可以转变为4-2某>0，对其进行求解可以判断只要某小于2的情况下该不等式即成立;其次那么是在a不等于0情况新进行思考，如果a≠0，那么该不等式即是一个普通的二次函数不等式，将原函数转化为〔a某-2〕〔某-2〕>0，即可判断某的取值范围在2/a和2之间，随后将该方程的两个根代入不等式，即可对a的情况的进行分析。
2.2变换主元法在得到了参数的具体范围，要求学生去求解未知数的取值范围，那么学生便可以考虑使用变换主元的解题方法去进行求解[2]。
例二：m为不等式m〔某2-1〕<2某-1的参数，在m的绝对值不大于2的情况下，该二次不等式恒成立，请分析某的取值范围。
高一必修一数学三角函数中含参取值范围专项练习(含解析)
高一必修一数学三角函数中含参取值范围专项练习(含解析)一、填空题1. 若0 ≤ x ≤ 2π，求满足 sin(2x) = sin(x) 的 x 的取值范围。
解析：由于 sin(2x) = sin(x)，可以得到以下等式。
sin(2x) = sin(x)2sin(x)cos(x) = sin(x)sin(x)(2cos(x) - 1) = 0因此，满足 sin(2x) = sin(x) 的 x 的取值范围为：x = 0, π, 2π。
2. 若 -π ≤ x ≤ 3π，求满足 sin(3x) = cos(2x) 的 x 的取值范围。
解析：由于 sin(3x) = cos(2x)，可以得到以下等式。
sin(3x) = cos(2x)sin(3x) = cos(π/2 - 2x)因此，满足 sin(3x) = cos(2x) 的 x 的取值范围为：x = -3π/2, -π/2, π/2。
二、选择题1. 若0 ≤ x ≤ 2π，下列等式中含参的取值范围正确的是：A. sin(x) = 0，x = 0, π, 2πB. cos(2x) = 1，x = 0, π, 2πC. tan(x) = 1，x = π/4，5π/4D. sin(x)cos(x) = 0，x = 0, π/2, π解析：只有选项 C 正确，因为 tan(x) = 1 的解为x = π/4，5π/4。
2. 若 -π/2 ≤ x ≤ π/2，下列等式中含参的取值范围正确的是：A. sin(2x) = 1，x = π/4，5π/4B. cos(x) = 0，x = π/2, 3π/2C. tan(x) = 0，x = 0D. cos(2x) = 1，x = π/4，5π/4解析：只有选项 B 正确，因为 cos(x) = 0 的解为x = π/2, 3π/2。
三、解答题1. 若0 ≤ x ≤ π/2，求满足 tan(2x) = 1 的 x 的取值范围。
运用导数解决含参函数问题的策略
一、含参函数中的存在性问题
利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。
这是求存在性范围问题最显然的一个方法。
二、含参函数中的恒成立问题
可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。
类型有：(1)双参数中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。
关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理。
这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“含参函数”问题能更有效地解决。
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(完整版)二次函数含参问题
二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。
课堂例题：1. 若函数a ax x x f --=2)(在区间[0,2]上的最大值为1，则实数=a ；2. 若函数x x x f 3)(2-=，在[]m ,0上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,49，则m 的取值范围为 ；当堂练习：1. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 ；2. 已知函数22)(22++-=a ax x x f [])3,1(-∈x 有最大值18，则实数a 的值为 ；1. 若函数f(x)=4x−12−a ·2x +272在区间[]2,0上的最大值为9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b, 1－b]上的最大值为25，求b 的值；2. 已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的值；家庭作业：1．函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是__________. 2．若函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，则a 的值为 ；3．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 ；4．若函数22422y x ax a a =-+-+在[0,2]的最小值是2，则a 的值为 ；5．若三条抛物线，，中至少有一条与轴有交点，则的取值范围是 ；3442+-+=a ax x y 22)1(a x a x y +-+=a ax x y 222-+=x a1.不等式(2−α)x2−2(a−2)x+4>0对于一切实数x都成立，求α的取值范围；2.若不等式x2−2αx+a2−a>0，当x∈[0,1]时恒成立，求 α的取值范围；当堂练习：1.求对于−1≤α≤1，不等式x2+(α−2)x+1−a>0恒成立的x的取值范围；)恒成立，则α的取值范围是多少；2. 若不等式 x2+αx+1≥0对于一切x∈(0，123.不等式αx2+2x+1>0在x∈[−2，1]上恒成立，求实数α的取值范围；4.设不等式αx2−2x−a+1<0对于满足|α|≤2的一切值都恒乘以，求x的取值范围；家庭作业：1.函数f(x)=αx2−2x+2 (a∈R)，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数α的取值范围；>0 对任意2.已知f(x)是定义在区间[−1,1]上的函数，且f(1)=1，若m，n∈[−1,1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n x∈[−1,1]，f(−x)=−f(x)都成立。
一次函数含参解析式和交点问题
一、含参解析式1、对于一次函数y＝2x+b，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的位置关系是；图像与y轴的交点坐标是。
2、对于一次函数y＝kx+2，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系；可以认为图像绕点旋转。
3、对于一次函数y＝kx-k，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系；此函数表达式可以整理为，图像必过点，可以认为图像绕点旋转。
4、对于一次函数y＝kx+2-3k，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系；此函数表达式可以整理为，图像必过点，可以认为图像绕点旋转。
二、与线段的交点问题1、已知在平面直角坐标系中，点A(1,3),点B（4,3）,点C(-3,1），点D（4，-2），连接AB,AC,BD.(1)当一次函数y＝kx的经过点A时，k的值为，经过点B时，k的值为，当图像与线段AB有交点时，k的取值范围为。
(2)当一次函数y＝3x-b的图像与线段AB有交点时，b的取值范围是。
(3)当一次函数y＝kx+2的图像经过点A时，k的值为，经过点C时，k的值为，当图像与线段AC有交点时，k的取值范围是。
(4)当一次函数y＝kx+k的图像与线段AC有交点时，k的取值范围是。
(5)当一次函数y＝-x+b的图像与线段AC所在直线交点在第二象限时,b的取值范围是。
(6)当一次函数y＝kx+k+1的图像经过点B时，k的值为，经过点D时，k的值为，当图像与线段BD有交点时，k的取值范围是。
总结：一次函数与线段的交点问题实质是找临界点，临界点一般是线段的两个端点。
直线和直线的交点问题一般有两种情况:(1)交点所在象限限定，可以通过列方程，根据象限点的坐标特征，结合不等式求解。
可以将直线与x轴或y轴的交点作为临界点求解。
例1、当m 1时，直线y＝x+2m与直线y＝-x+4的交点在第象限。
例2、例3、例4、。
数学《二次函数的含参问题》专题训练及答案
2020-2021学年中考数学培优训练讲义（九）《二次函数的含参问题》专题训练○2班级姓名座号成绩1.（2019秋•台州期中）已知：在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为2.（2020•永嘉县模拟）已知：抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是3．（2020•宁波模拟）已知：点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为4．（2020•厦门模拟）函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是5．（2021•闽侯县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx．（1）求抛物线顶点Q的坐标；（用含b的代数式表示）（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A，B，与x轴交于点K．①判断△AOB的形状，并说明理由；②已知E（﹣2，0），F（0，4），设△AOB的外心为M，当点K在线段EF上时，求点M的纵坐标m的取值范围．6. （2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．作业思考：1．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．1.（2019秋•台州期中）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【分析】先求出a＜0和对称轴是直线x＝1，根据二次函数的性质得出当x＞1时，y随x的增大而减小，再根据点的坐标和二次函数的性质比较即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与y轴的交点在正半轴上，∴﹣3a＞0，∴a＜0，即抛物线的开口向下，∵抛物线的解析式是y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x＝﹣＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴点A（﹣0.5，y1）关于直线x＝1的对称点的坐标是（2.5，y1）∵图象过点（2.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3），又∵2＜2.5＜3，∴y2＞y1＞y3，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．2.（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两侧，从而可以得到m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点A（m，y1），B（m+2，y2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+1上，点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，∴1＜m＜2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2020•宁波模拟）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n ＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】依解析式可知顶点坐标，根据当7＜m＜8时，总有n＜1，可知a＜0，由增减性可列不等式组，解出即可．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m＜8时，总有n＜1，∴a不可能大于0，则a＜0，∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，∴，∴4a+9＝1，∴a＝﹣2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握增减性，理解“3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1”的意义．4．（2020•厦门模拟）函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（）A．m＝2b+5 B．m＝4b+8 C．m＝6b+15 D．m＝﹣b2+4【分析】由韦达定理得：x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，求出x1、x2的值，函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＜3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即可求解．【解答】解：函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，解得：x1＝﹣2，x2＝2+，∵x1+x2＝﹣2b，∴b＝﹣；函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即m＝y＝x2+2bx+6＝15+6b，故选：C．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是利用韦达定理处理根和系数之间的关系．5.（2021•闽侯县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx．（1）求抛物线顶点Q的坐标；（用含b的代数式表示）（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A，B，与x轴交于点K．①判断△AOB的形状，并说明理由；②已知E（﹣2，0），F（0，4），设△AOB的外心为M，当点K在线段EF上时，求点M的纵坐标m的取值范围．【分析】（1）y＝x2+bx＝（x+b）2﹣b2，即可求解；（2）①求出抛物线的表达式为y＝x2，联立y＝x2和y＝kx+2并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，证明△ADO∽△OEB，即可求解；②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MN是Rt△ABH的中位线，则m＝y1﹣MN＝（y1+y2）＝k2+2，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx＝（x+b）2﹣b2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣b，﹣b2）；（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△＝b2﹣4××0＝0，解得b＝0，∴抛物线的表达式为y＝x2，如下图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设经过点（0，2）的直线的表达式为y＝kx+2，联立y＝x2和y＝kx+2并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4，∴y1＝x12，y2＝x22，则y1y2＝x12x22＝4＝﹣x1x2，∵AD＝y1，DO＝﹣x2，BE＝y2，OE＝x1，∴，∴∠ADO＝∠BEO＝90°，∴△ADO∽△OEB，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠OBE+∠BOE＝90°，∴∠BOE+∠DOD＝90°，即AO⊥BO，∴△AOB为直角三角形；②过点A作x轴的平行线交BE的延长线于点H，过点M与y轴的平行线于点N，∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，∴点M是AB的中点，MN是Rt△ABH的中位线，∴MN＝BH＝（y2﹣y1），则m＝y1﹣MN＝（y1+y2）＝（kx1+2+kx2+2）＝[k（x1+x2）+4]＝k2+2，令y＝kx+2＝0，解得x＝﹣，即点K的坐标为（﹣，0），由题意得：2≤﹣≤4，解得﹣1≤k≤且k≠0，∴≤k2+2≤3，即点M的纵坐标m的取值范围≤m≤3．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，∴x1＝0，∵对称轴x＝1，∴M，N关于x＝1对称，∴x2＝2，∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．（2）①当x1≥t时，恒成立．②当x1＜x2≤t时，恒不成立．③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x＝，∴满足条件的值为：t≤．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作业思考：1．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；（2）因为OA与x轴夹角为45°，则点A到坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y＝2x+1上运动；（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线y＝2x+1也经过P点，并且当A与P重合时，此时m取得最小值，当A沿直线y＝2x+1向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x﹣m）2+2m+1，∴顶点A（m，2m+1）；（2）设x＝m，y＝2m+1，消掉m，得y＝2x+1，∴A在直线y＝2x+1上运动，∴A所在象限可能为第一、第二、第三象限，∵射线OA与x轴所成的夹角为45°，∴可以分两类讨论，①当A在第一、第三象限时，m＝2m+1，解得m＝﹣1，②当A在第二象限时，m+2m+1＝0，解得m＝，∴m＝﹣1或；（3）当P（0，1）向右平移4个单位长度得到Q，则Q（4，1），且PQ∥x轴∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y＝2x+1上运动，∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m＝0，由图2，数形结合，当顶点A沿直线y＝2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，当抛物线经过Q点时，即当x＝4，y＝1时，﹣（4﹣m）2+2m+1＝1，∴m＝2或8，当m＝2时，抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，当m＝8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，∴当0≤m≤8，且m≠2时，抛物线与线段PQ只有一个交点【点评】此题考查的是二次函数综合题，主要考查的是数形结合思想，根据题意，充分挖掘题目中的数据参数，是画图的关键，根据图像，判断临界位置，即可解决问题．。
函数的含参零点问题
函数的含参零点问题根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．[典例] (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [答案] B [思路点拨]本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．[方法演示]法一 单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a.当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，＋∞，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0，故f (x )有小于零的零点，不符合题意．当a <0时，x ∈－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在2a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯一的零点x 0且x 0>0，只需f 2a>0，即a 2>4，解得a <－2. 法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解由ax 3－3x 2＋1＝0可知x ≠0，可得ax ＝3－1x 2，作出y ＝3－1x 2的图象如图所示，转动直线y ＝ax ，显然a >0时不成立；当a <0，直线y ＝ax 与左边的曲线相切时，设切点为t,3－1t 2，其中t <0，则切线方程为y－3－1t 2＝2t 3(x －t )．又切线过原点，则有0－3－1t 2＝2t3(0－t )，解得t ＝－1(t ＝1舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知a <－2符合题意．法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，演绎高效易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.法五 特例法：巧取特例求解取a ＝3，则f (x )＝3x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f (－1)<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除A 、C. 取a ＝－43，则f (x )＝－43x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－32<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除D ，故选B.[解题师说]函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”. 第一招当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们带参讨论要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．(如本题解法一)第二招 数形结合由两个基本初等函数组合而得的超越函数f (x )＝g (x )－h (x )的零点个数，等价于方程g (x )－h (x )＝0的解的个数，亦即g (x )＝h (x )的解的个数，进而转化为基本初等函数y ＝g (x )与y ＝h (x )的图象的交点个数．(如本题解法二和解法三)第三招 分离参数 通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g (x )＝l (a )，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l (a )和函数g (x )的图象的交点问题．(如本题解法四)[应用体验]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13 C.12 D ．1解析：选C 法一：由函数f (x )有零点，得x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝0有解，即(x －1)2－1＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t )＝0，即a ＝1－t 2e t ＋e －t . 令h (t )＝1－t 2e t ＋e －t ，易得h (t )为偶函数，又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝1－02＝12，故选C. 法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.2．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 令f (x )＝0，得m ＝2x ＋1010－x . 又m ∈N ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x ＞0，2x ＋10≥0，解得－5≤x ＜10，x∈Z ，∴0＜10－x ≤15.当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0；当2x ＋10≠0时，要使m ∈N ，则需10－x ∈N ，当10－x ＝1，即x ＝9时，m ＝28；当10－x ＝2，即x ＝6时，m ＝11；当10－x ＝3，即x ＝1时，m ＝4，所以符合条件的m 的个数为4.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3,3)D ．(－3,3] 解析：选D 在同一坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0,2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有4个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1,4]上是增函数，因此其值域是(－3,3]．4．若函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，e 24 D.⎝⎛⎭⎫1，e 2 解析：选A 函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点等价于函数y ＝e x 与y ＝ax 2的图象有三个不同的交点，则显然有a >0，且在(－∞，0)上两函数的图象有一个交点．当x >0时，设两函数图象在点(x 0，e x 0)处相切，则⎩⎪⎨⎪⎧e x 0＝2ax 0，e x 0＝ax 20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，a ＝e 24，由图易得若两函数图象有两个不同的交点，则a >e 24，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e24，＋∞.一、选择题1．(2018·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞) 解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)． 2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．n (n ∈Z)B ．2n (n ∈Z)C ．2n 或2n －14(n ∈Z)D ．n 或n －14(n ∈Z)解析：选C 依题意得，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，画出函数的大致图象如图所示．在[0,2)上，由图象易得，当a ＝0或－14时，直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，∵函数f (x )的周期为2，∴a 的值为2n 或2n －14(n ∈Z)．3．(2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋e e 2 D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧a 1＝1－ln x 0x 2，a 1x 0－1＝ln x0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在同一坐标系中画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图象(图略)，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)．4．若f (x )＝ln x ＋ax －1有且仅有一个零点，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－1e 2 C ．－1 D ．1解析：选B 由f (x )＝0，得ln x ＝－ax ＋1，在同一坐标系中画出y ＝ln x 和y ＝－ax ＋1的图象如图所示，直线y ＝－ax ＋1的斜率k ＝－a ，且恒过(0,1)点．当k ≤0，即a ≥0时，只有一个交点，从而f (x )只有一个零点，当k >0，且直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 相切于点P (x 0，ln x 0)时，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将x ＝0，y ＝1代入得ln x 0＝2，即x 0＝e 2，k ＝1x 0＝1e 2，所以a ＝－1e 2，所以当a ≥－1e 2时，直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 的图象只有一个交点，即f (x )只有一个零点，故a 的最小值为－1e2.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,2) B.⎝⎛⎭⎫0，e24 C ．(0，e) D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e xx －kx ＝0只有一个根，即方程e x x 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝(x －2)e x x 3，由g ′(x )>0，得x >2或x <0；由g ′(x )<0，得0<x <2，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值为g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞；x →－∞时，g (x )→0；x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24，故选B.6．(2018·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78 D ．－38 解析：选C 因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.7．(2018·长沙模拟)对于满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －ca的取值范围是( ) A ．1，74 B ．(1,2] C ．[1，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac >0，于是c <b24a ，从而a ＋b －c a >a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝⎛⎭⎫b a 2，对满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝ba ，因为0<b ≤3a ，所以0<t ≤3. 因为－14t 2＋t ＋1∈(1,2]，所以a ＋b －c a>2.8．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1<f (x 1)<x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选D 由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又x1<f(x1)<x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实根个数不可能为5，故选D.9．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝e2x－ax2＋bx－1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．若f(1)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，函数f′(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是() A．(e2－3，e2＋1) B．(e2－3，＋∞) C．(－∞，2e2＋2) D．(2e2－6,2e2＋2) 解析：选A由f(1)＝0，得e2－a＋b－1＝0，所以b＝a－e2＋1，又f′(x)＝2e2x－2ax＋b，令g(x)＝2e2x－2ax＋b，则g′(x)＝4e2x－2a，因为x∈(0,1)，所以4<4e2x<4e2.当a≥2e2时，g′(x)<0，函数g(x)在(0,1)内单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当a≤2时，g′(x)>0，函数g(x)在(0,1)内单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当2<a<2e2时，若0<x<12lna2，则g′(x)<0，若12lna2 <x<1，则g′(x)>0，所以函数g(x)在⎝⎛⎭⎫0，12lna2内单调递减，在⎝⎛⎭⎫12lna2，1内单调递增，所以g(x)min＝g12lna2＝a－a lna2＋b＝2a－a lna2－e2＋1.令h(x)＝2x－x lnx2－e2＋1＝2x－x ln x＋x ln 2－e2＋1(2<x<2e2)，则h′(x)＝－ln x＋1＋ln 2，当x∈(2,2e)时，h′(x)>0，h(x)为增函数，当x∈(2e,2e2)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，所以h(x)max＝h(2e)＝2e－e2＋1<0，即g(x)min<0恒成立，所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g(0)＝2＋a－e2＋1>0，g(1)＝2e2－2a＋a－e2＋1>0，解得e2－3<a<e2＋1. 综上所述，a的取值范围为(e2－3，e2＋1)．10．(2017·太原一模)设[x]表示不小于实数x的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f(x)＝([x])2－2[x]，若函数F(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则实数k的取值范围是() A．－52，－1∪[2,5) B．－43，－1∪[5,10) C．－1，－23∪[5,10) D．－43，－1∪[5,10) 解析：选C由题意知，f(x)＝([x])2－2[x]＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x∈(－1，0]∪(1，2]，－1，x∈(0，1]，3，x∈(2，3]，8，x∈(3，4].令F(x)＝0，得f(x)＝k(x－2)－2，作出函数y＝f(x)和y＝k(x－2)－2的图象如图所示．若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则函数y ＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象在(－1,4]上有2个交点，结合图象可得，k P A ＝5，k PB ＝10，k PO ＝－1，k PC ＝－23，所以实数k 的取值范围是－1，－23∪[5,10)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0，⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11) 解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，1－a ＋b ＜0，4－2a ＋b ＞0，画出可行域如图所示，目标函数z ＝3a ＋b 经过⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0的交点A (3,2)时取得最大值11，经过B (1,0)时取得最小值3.故3a ＋b 的取值范围为(3,11)．12．(2018·广东五校协作体第一次诊断)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．(1，e] C.⎝⎛⎦⎤1＋1e ，e D.⎣⎡⎦⎤1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e ，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最大值不能大于g (x 2)的最大值，即f (0)＝a ≤e ，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈⎝⎛⎦⎤0，1e 时，有两个x 2使得f (x 1)＝g (x 2)．若存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最小值要比1e 大，所以f (1)＝a －1>1e ，所以a >1＋1e ，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1＋1e ，e . 二、填空题13．若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．答案：(－∞，0)解析：由f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b ＝0，得(x －1)ln x ＝a (x －1)－b . 设g (x )＝(x －1)ln x ，h (x )＝a (x －1)－b ，则g ′(x )＝ln x －1x ＋1，因为g ′(x )＝ln x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，且g ′(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，又g (1)＝0，所以函数g (x )的大致图象如图所示．易知h (x )＝a (x －1)－b 的图象是恒过点(1，－b )的直线，当－b ＞0，即b ＜0时，易知对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点，即函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点；当b ＝0时，若a ＝0，则h (x )＝0，其图象与函数g (x )的图象只有一个交点，不满足；当－b＜0，即b ＞0时，由图易知，不满足对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点．综上可知，b ＜0.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋1，－1<x ≤0，x ，0<x ≤1，与g (x )＝a (x ＋1)的图象在(－1,1]上有2个交点，若方程x －1x＝5a 的解为正整数，则满足条件的实数a 的个数为________． 答案：1解析：在同一坐标系中作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.由x －1x ＝5a ，可得x 2－5ax －1＝0，设h (x )＝x 2－5ax －1，当x ＝1时，由h (1)＝1－5a －1＝0，可得a ＝0，不满足题意；当x ＝2时，由h (2)＝4－10a －1＝0，可得a ＝310，满足题意；当x ＝3时，由h (3)＝9－15a －1＝0，可得a ＝815，不满足题意．又函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a 的个数为1.15．若函数f (x )＝x 2＋2x－a ln x (a >0)有唯一的零点x 0，且m <x 0<n (m ，n 为相邻整数)，则m ＋n ＝________.答案：5解析：令y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x (a >0)，则y 1′＝2x －2x 2，y 2′＝ax(a >0)．∵函数f (x )＝x 2＋2x －a ln x (a >0)有唯一的零点x 0，∴函数y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x 的图象有公切点(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧2x 0－2x 2＝ax 0，x 20＋2x 0＝a ln x⇒x 20＋2x 0－2⎝⎛⎭⎫x 20－1x 0ln x 0＝0. 构造函数g (x )＝x 2＋2x－2⎝⎛⎭⎫x 2－1x ln x (x >0)，则g (1)＝3，g (2)＝4＋1－2×⎝⎛⎭⎫4－12ln 2＝5－7ln 2，欲比较5与7ln 2的大小，可比较e 5与27的大小， ∵e 5>27，∴g (2)>0，又g (e)＝e 2＋2e －2⎝⎛⎭⎫e 2－1e ＝－e 2＋4e <0，∴x 0∈(2，e)，∴m ＝2，n ＝3， ∴m ＋n ＝5.16．已知函数f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在12，＋∞上有两个零点，则实数k 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎤1，910＋ln 25解析：f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有两个零点，即关于x 的方程x 2－x ln x ＋2＝k (x ＋2)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有两个不相等的实数根．令g (x )＝x 2－x ln x ＋2，所以当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，直线y ＝k (x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2的图象有两个不同的交点．设直线y ＝k 0(x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2，x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞的图象相切于点(x 0，y 0)，g ′(x )＝2x －ln x －1，则有⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝2x 0－ln x 0－1，k 0(x 0＋2)＝x 20－x 0ln x 0＋2，由此解得x 0＝1，k 0＝1.令h (x )＝g ′(x )＝2x －ln x －1，则h ′(x )＝2－1x ，且x ≥12，所以h ′(x )≥0，故h (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，h (x )≥h ⎝⎛⎭⎫12＝ln 2＞0，所以g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，g ⎝⎛⎭⎫12＝94＋12ln 2，作出y ＝g (x )的大致图象，如图所示，当直线y ＝k (x ＋2)经过点⎝⎛⎭⎫12，94＋12ln 2时，k ＝910＋ln 25.又当直线y ＝k (x ＋2)与g (x )的图象相切时，k ＝1.结合图象可知，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，910＋ln 25.。
解答含参问题的三个路径
解题宝典||AF ,||BF ，这样便可快速求出1||AF +1||BF 的值.解：由题意得a =2,b =3，||AF =b 2a -c cos 60°,||BF =b 2a +c cos 60°,所以1||AF +1||BF =a -c cos 60°b 2+a +c cos 60°b 2=2a b 2=2×23=43.例4.已知椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点A ,B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,并且AF 1//BF 2.如果||AF 1-||BF 2=，求直线||AF 1的斜率k .分析:先设∠AF 1F 2=θ，用椭圆角度式焦半径公式表示出||AF 1,||DF 1,然后由椭圆对称性可表示出BF ，根据已知条件列出关系式，即可求出cos θ，再通过三角恒等变换求得tan θ，就能得到所求的斜率.解：由题意得a =2,b =1,c =1,设∠AF 1F 2=θ,由椭圆角度式焦半径公式可得||AF 1=||DF 1=12+cos θ,因为AF 1//BF 2，所以由椭圆对称性可得||BF 2=||DF 1=12+cos θ,又||AF 1-||BF 2=,所以,化简得6cos 2θ+4cos θ-26=0，解得cos θ=由sin θ2+cos θ2=1得sin θ，所以k =tan θ=sin θcos θ.总之，椭圆的焦半径公式的两种形式有着各自的特点和适用范围，在解答与椭圆有关的问题中应用非常广泛.在解题时,我们常常需要将椭圆的焦半径公式与椭圆的方程、定义、性质等结合起来应用.这就要求同学们不仅要加深对概念、公式、性质的理解，强化训练，同时也要培养灵活处理问题的能力.（作者单位：湖南人文科技学院数学系）含参问题的类型有很多，如求参数的取值范围、证明不等式恒成立、判断函数的单调性等.解答含参问题的途径也有很多，如利用方程思想、利用导数法、借助待定系数、利用函数思想等.本文重点探讨一下解答含参问题的三种途径：利用方程思想、利用函数的性质、借助待定系数，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、利用方程思想方程思想是解答高中数学问题的常用思想，是指通过建立方程或者方程组使问题获解的数学思想.在解答含参问题时，我们可以根据代数式的特点建立方程或者方程组，然后利用方程的判别式△=b 2-4ac 、根与系数的关系来解答问题.例1.已知函数f ()x =x 2-()m +5x +2()m +5在定义域内恒为非负数，求方程2x m +1=||m +2+1的根的取值范围.解：因为f ()x 恒为非负数，所以方程f (x )=0的判别式△=()m +52-8()m +5≤0，解得-5≤m ≤3.方程2xm +1=|m +2|+1可化为2x=()m +1()|m -2|+1，当-5≤m ≤2时，2x =()m +1()2-m +1，所以2x =-m 2+2m +3=-()m -12+4，则2x ≤4,x ≤2，当2<m ≤3时，2x =()m +1()m -1=m 2-1,3<m 2-1≤8，所以log 23<x ≤3.39解题宝典故方程的根的取值范围是(]-∞,3.我们首先借助方程f ()x =0的判别式初步确定m的取值范围，然后结合指数函数y =2x的值域来探讨当-5≤m ≤3时，()m +1()|m -2|+1取值范围，进而求得m 的取值范围.二、利用函数的性质函数的性质有很多，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等.在解答含参问题时，我们可以根据题意构造合适的函数，然后利用函数的性质来解题.通过分析函数的单调性、周期性、最值等来确定参数的取值、比较不等式的大小、证明不等式恒成立等，进而解答问题.例2.已知不等式1n +1+1n +2+⋯+12n ≥112log a(a-1)+23，对于一切大于1的自然数n 恒成立，试确定参数a 的取值范围.解：设f ()n =1n +1+1n +2+⋯+12n(n ∈N 且n >1)，∵f ()n +1-f ()n =12n +1+12n +2-1n +1=1()2n +1()2n +2>0，∴f ()n 是增函数，∴n ∈N,且n >1时，f ()n ≥f ()2=712，∴112log a ()a -1+23≤712，即log a ()a -1≤-1，解得1≤a≤∴a 的取值范围是æèçû1.该题是含参恒成立问题.我们首先构造函数，然后通过分析函数的单调性，建立新的不等式，解该不等式便求得a 的取值范围.例3.已知定义在R 上的函数y =f (x )满足条件f (x +4)=-f (x )，且函数y =f (x +2)是偶函数，当x ∈(0,2]时，f (x )=ln x -ax (a >12)，当x ∈[-2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值为().A.e 2B.eC.2D.1解：因为函数y =f (x +2)是偶函数，即对称轴为x =0，所以函数y =f (x )的对称轴为x =2，当x ∈[2,4)时，4-x ∈(0,2]，所以f (x )=f (4-x )=ln(4-x )-a (4-x )．因为f (x +4)=-f (x )，所以x ∈[-2,0)时，x +4∈[2,4)，f (x )=-f (x +4)=-ln[4-(x +4)]+a [4-(x +4)]=-ln(-x )-ax ，所以f ′(x )=-1x -a ，令f ′(x )=0，得x =-1a，因为a >12，所以-1a ∈(-2,0)，当-2≤x <-1a 时，f ′(x )<0，当-1a <x <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在éëùû-2,-1a 上是减函数，在éëùû-1a ,0上是增函数，所以当x =-1a 时，f (x )取得最小值f (-1a )=-ln(1a)+1，因为f (x )在[-2,0)上的最小值为3，所以-ln(1a)+1=3，解得a =e 2.解答本题需结合题意综合运用函数的奇偶性对称性、单调性.三、借助待定系数待定系数法常用于求函数的解析式、求数列的通项公式、解答不等式恒成立问题.在运用待定系数法解答含参问题时，需将一个多项式表示成另一种含有待定系数的形式，在得到一个恒等式后将系数对应,得到满足的方程或方程组，通过解方程或方程组求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式.例4.证明是否存在常数a ,b ,c 使得等式：22+2∙32+⋯+n ()n +12=n ()n +112()an 2+bn +c 对一切自然数n 都成立.证明：∵n ()n +12=n 2+2n 2+n 3，∴1∙22+2∙32+⋯+n ()n +12=()1+2+3+⋯+n +2(12+22+⋯+n 2)+(13+23+⋯+n 3)=n ()n +112()3n 2+11n +10.∴当a =3,b =11,c =10时，等式对一切自然数n都成立.解答本题主要运用了待定系数法.首先对等式左侧的式子化简，得到与等式右侧结构一致的式子，然后将系数对应，得到使等式成立时的a ，b ，c 的值.含参问题是高中数学中的一类常见问题，同学们在日常学习中要注意总结题型和解法，将所学的知识融会贯通，这样才能快速找到解题的途径.（作者单位：新疆乌鲁木齐市第六十九中学）40。
例谈两类含参函数问题的解法
由于含参函数问题中含有参数，导致这类问题的难度较大，通常需采用分类讨论思想对参数或与参数有关的式子进行分类讨论.含参函数问题的命题形式很多，如求含参函数的最值、判断含参函数的单调性、求参数的取值范围、含参函数的零点问题.下面结合实例，谈一谈如何求解下列两类含参函数问题.一、含参函数最值问题对于这类问题，我们通常要先根据函数的解析式求得函数的定义域；然后根据函数单调性的定义、导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性；再根据函数的单调性来求得函数在定义域内的最值.一般地，f ()x 1-f ()x 2或f ′()x 的符号可以决定函数的单调性，若f ()x 1-f ()x 2>0或f ′()x >0，则函数单调递增；若f ()x 1-f ()x 2<0或f ′()x <0，则函数单调递减.通常可用f ()x 1-f ()x 2或f ′()x 的零点，将函数定义域划分为几个子区间，并在每个子区间上判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性求函数的最大、最小值.例1.已知函数f ()x =ax 3-3x 2+1-3a(a ∈R,a ≠0)，求函数f ()x 的最值.解：由题意可知f ′()x =3ax 2-6x =3x ()ax -2,a ≠0，由f ′()x =0，解得x =0或x =2a，①当a >0时，f ′()x 和f ()x 的变化情况如表1所示.表1x f ′(x )f (x )(-∞,0)+↑00极大值æèöø0,2a -↓2a 0极小值æèöø2a ,+∞+↑所以f ()x max =f ()0=1-3a，f ()x min =f æèöø2a =-4a 2-3a+1；②当a <0时，f ′()x 和f ()x 的变化情况如表2所示.表2x f ′(x )f (x )æèöø-∞,2a -↓2a 0极小值æèöø2a ,0+↑00极大值(0,+∞)-↓所以f ()x max =f ()0=1-3a，f ()x min =f æèöø2a =-4a 2-3a+1；综上可知，函数f ()x 的极大值是1-3a ，极小值是-4a2-3a +1.该函数式为三次式，需对函数求导，并令f ′()x =0，求得其零点；然后用零点将函数的定义域划分为æèöø-∞，2a 、æèöø2a ,0、()0,+∞三个区间段，并在每个区间段上讨论函数的单调性；再根据极值的定义确定函数的极大值、极小值，进而确定函数的最值.一般地，在求得极值后，要将极值与函数定义域上的端点值进行比较，较大的为最大值，较小的为最小值.例2.已知函数f ()x =ax +ln x ()a ∈R ，求函数f ()x 的值域.解：由题可得f ′()x =a +1x =ax +1x()x >0，①当a ≥0时，ax +1>0在x ∈()0,+∞上恒成立，即f ′()x >0在()0,+∞上恒成立，则函数f ()x 的单调递增区间为()0,+∞，而f ()0=0，所以f ()x >0；②当a <0时，由f ′()x =0可得x =-1a>0，当0<x <-1a 时，f ′()x >0；当x >-1a时，f ′()x <0，所以函数f ()x 的单调递减区间是æèöø-1a ,+∞，单调递增区间是æèöø0,-1a .则函数f ()x 在x =-1a 处取得极小值f æèöø-1a =-1+ln æèöø-1a ，所以该函数的值域为æèçöø÷-1+ln æèöø-1a ,+∞.该函数式中含有对数式，且f ′()x 的因式中含有参数a ，需分a ≥0和a <0两种情况，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而求出两种情况下函数的极值.邱宏玲解题宝典43解题宝典二、含参零点问题常见的含参零点问题有：（1）求零点或参数的取值范围；（2）判断零点的个数；（3）判断零点的存在性.在解答含参零点问题时，我们要明确函数零点的定义，即函数的零点是函数为0时x 的取值，由零点的定义可求得函数的零点及其取值范围.要判断零点的个数或存在性，需先根据零点存在性定理，判断区间()a ,b 内是否有f ()a f ()b <0，从而判断出函数的零点是否存在；然后根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，确定函数图象的变化趋势，以明确函数图象与x 轴的交点的位置和个数.例3.已知函数f ()x =x 3-3x 2-k 在区间()0,3上存在零点，则k 的取值范围为().A.()-∞,0 B.[)-4,+∞ C.(]-4,0 D.[)-4,0解：由题意可得f ()0=f ()3=-k ，f ′()x =3x 2-6x ，当0<x <2时，f ′()x <0；当2<x <3时，f ′()x >0，所以函数f ()x 在()0,2上单调递减，在()2，3上单调递增，则函数在x =2处取得极小值，即函数f ()x min =f ()2=-4-k ，①当k ≥0时，f ()0=f ()3=-k ≤0，由零点存在性定理可知函数在区间()0,3上不存在零点，这与题意不相符；②当k <0时，f ()0=f ()3=-k >0，要使函数在区间()0,3上存在零点，需使f ()2≤0，此时k ≥-4，所以k 的取值范围为[)-4,0，故正确答案为D.由于f ()0=f ()3=-k ，所以无法根据零点存在性定理进行判定.因为k 的值是不确定的，所以需分k ≥0、k <0两种情况，讨论在()0,3上函数图象的变化情况，根据其最小值小于0，来确定函数零点的存在性.由零点的个数求参数的取值范围问题较为复杂，往往需根据零点的定义，将问题转化为方程有几个解或函数图象有几个交点的问题，通过解方程或研究图象之间的位置关系，求得参数的取值范围.例4.已知偶函数f ()x 的定义域为R ，对∀x ∈R ，有f ()x +2=f ()x -f ()1，且当x ∈[]2,3时，f ()x =-2x 2+12x -18.若函数y =f ()x -log a ()||x +1在()0,+∞上至少有3个零点，则a 的取值范围是（）.A.æèçø B.æèçø C.æèçø D.æèçø解：因为f ()x +2=f ()x -f ()1，且f ()x 为偶函数，所以令x =-1，得f ()1=f ()-1-f ()1，解得f ()1=0，则f ()x +2=f ()x ，可知f ()x 为周期是2.令f ()x -log a ()||x +1=0，可得f ()x =log a ()||x +1，因为y =f ()x -log a ()||x +1至少有3个零点，所以y =f ()x 与y =log a ()||x +1至少有3个交点.根据函数f ()x 在x ∈[]2,3上的解析式、周期性、对称性作出如图所示的图形.x由图可知：当a >1时，f ()x 与y =log a ()||x +1不会有3个交点，g ()x =log a x ，则y =log a ()||x +1=g ()||x +1，当0<a <1时，通过观察图形可知：当x =2时，y =log a ()||x +1的图象始终在f ()x 上方，且两个函数图象至少有3个交点,此时log a ()||2+1>f ()2=-2，即log a3>-2=log a a -2，所以1a2>3，解得0<a ，所以本题的答案为：B.解答本题，需先根据题目中的条件，明确函数f ()x 的周期性、对称性，并据此画出相应的图形，以明确f ()x 图象的变化趋势；然后根据零点的定义，将函数y =f ()x -log a ()||x +1至少有3个零点，转化为函数f ()x 与y =log a ()||x +1有3个交点.画出y =log a ()||x +1的图象，通过分析图形，找到两个函数图象有3个交点的情形即可解题.虽然含参函数问题较为复杂，但是我们只要：（1）灵活运用分类讨论思想、数形结合思想；（2）明确参数对函数单调性、最值的影响；（3）熟练运用函数知识和导数知识，问题便能迎刃而解.（作者单位：甘肃省天水市武山县第二高级中学）44。
数学《二次函数的含参问题》专题训练含答案
2020-2021学年中考数学培优训练讲义（八）《二次函数的含参问题》专题训练班级 姓名 座号 成绩1. 已知:抛物线）（0142≠+-=k k kx y ，无论k 取何值，都过某定点，则定点坐标为 2. 已知:抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为3. 已知点A (－4，m )，B (1，6)，C (2，m )在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，则该抛物线的解析式为______________．4. 已知：二次函数322+-=x x y 的图像，当m x ≤≤0时，函数有最大值3，最小值2，则m 的取值范围 是5. 已知：抛物线122+-=mx x y ，当1≤x 时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是6. 已知：抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程032=-++t bx x （t 为实数）在41<<-x 的范围内有实数根，则t 的的取值范围是7.如图抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h ＝9时，直接写出△BCP 的面积．8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a )，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．作业思考：1. 如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．7.（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m ＜1时，h ＝﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+2m ；当1≤m ≤2时，h ＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m ＞2时，h ＝m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）＝m 2﹣2m +1；②当h ＝9时若﹣m 2+2m ＝9，此时△＜0，m 无解；若m 2﹣2m +1＝9，则m ＝4，∴P （4，5），∵B （3，0），C （0，﹣3），∴△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．8.解：(1)在y ＝ax 2＋bx －1a 中，当x ＝0时，y ＝－1a. ∴A (0，－1a)． ∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ，∴B (2，－1a)； (2)∵点B (2，－1a)在抛物线上， ∴－1a ＝a ×22＋b ×2－1a. ∴b ＝－2a .∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－－2a 2a＝1； (3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a. 若a ＞0，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a. ∵－34a －1a＜－1a ， ∴点P (12，－1a )在抛物线的上方． 当x ＝2时，y ＝－1a. ∵－1a＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，舍去．若a ＜0，∵－34a －1a ＞－1a ，∴点P (12，－1a )在抛物线的下方． ∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点． 综上，a 的取值范围是a ≤－12.数学思考：1.（2020•河西区二模）如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B 的坐标，根据图象写出函数f 的值y 随x 的增大而增大（即呈上升趋势）的x 的取值；②如图2，作辅助线，构建对称点F 和直角角三角形AQE ，根据S △ABQ ＝2S △ABP ，得QE ＝2PD ，证明△PAD ∽△QAE ，则，得AE ＝2AD ，设AD ＝a ，根据QE ＝2FD 列方程可求得a 的值，并计算P 的坐标；（2）先令y ＝0求抛物线与x 轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h 的取值．【解答】解：（1）①把A （1，0）代入抛物线y ＝（x ﹣h ）2﹣2中得：（x﹣h）2﹣2＝0，解得：h＝3或h＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴h＞0，∴h＝3，∴抛物线l的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的对称轴是：直线x＝3，由对称性得：B（5，0），由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数f的值y随x的增大而增大；②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，由对称性得：DF＝PD，∵S△ABQ＝2S△ABP，∴AB•QE＝2×AB•PD，∴QE＝2PD，∵PD∥QE，∴△PAD∽△QAE，∴，∴AE＝2AD，设AD＝a，则OD＝1+a，OE＝1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），∵点F、Q在抛物线l上，∴PD＝DF＝﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，QE＝（1+2a﹣3）2﹣2，∴（1+2a﹣3）2﹣2＝﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，解得：a＝或a＝0（舍），∴P（，）；（2）当y＝0时，（x﹣h）2﹣2＝0，解得：x＝h+2或h﹣2，∵点A在点B的左侧，∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，分两种情况：①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，则，∴3≤h≤4，②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，即：h+2≤2，h≤0，综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了数形结合的思想解决问题．。
二次函数含参问题总结归纳
二次函数含参问题总结归纳1. 引言二次函数是数学中的一种重要函数形式，在各个领域都有广泛的应用。
它的一般形式可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数。
在二次函数中引入参数之后，我们可以进一步研究函数的特性及其与其他变量之间的关系。
本文将对二次函数含参问题进行全面、详细、完整且深入地探讨。
2. 二次函数含参的一般形式二次函数含参可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数，也可以是变量。
这样的表达方式使得函数可以根据不同的参数取值呈现出不同的性质和特性。
3. 二次函数的图像特征二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a> 0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
3.1 顶点坐标对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)。
通过求解一阶导数为零的方程，我们可以得到顶点的横坐标−b2a，然后将横坐标代入函数中求得对应的纵坐标。
3.2 对称轴二次函数的对称轴是以顶点为中心的直线。
对于一般形式的二次函数y=ax2+ bx+c，其对称轴的方程为x=−b2a。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
3.3 焦点和准线对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，如果a≠0，则该函数的图像是一个抛物线。
在抛物线上存在一个焦点和一条准线。
焦点的坐标可以通过以下公式求得：(−b 2a ,1−4ac 4a) 准线的方程为 y =14a 。
4. 二次函数含参的特性研究通过引入参数，我们可以进一步研究二次函数的特性及其与其他变量之间的关系。
4.1 参数 a 的影响参数 a 决定了二次函数的开口方向和抛物线的斜率。
当 a >0 时，图像开口向上，抛物线的斜率为正；当 a <0 时，图像开口向下，抛物线的斜率为负。
同时，a 的绝对值越大，抛物线的开口越宽。
4.2 参数 b 的影响参数 b 决定了抛物线与 y 轴的位置关系，也是对称轴的横坐标。
二次函数含参问题
一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。
一．含参二次函数最值问题。
例1. 函数2()44f x x x =--在闭区间[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值记为g （t ）。
（I ）试写出g （t ）的函数表达式；（II ）求出g （t ）的最小值。
变式训练1：讨论函数2()44f x x tx =--在定义域[0，1]上的最小值。
变式训练2：20443p p x px x p x ≤≤+>+-对于满足的所有实数，是不等式都成立，求的取值范围。
二．二次函数根的区间分布归纳。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
变式训练1：已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
变式训练2：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，其横坐标一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
例3. 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。
变式训练1：已知关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的根在区间[0，1]内，求实数m 的取值范围。
变式训练2 （2007年广东卷）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。
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八年级数学——一次函数含参问题
问题描述：已知一个含参数的函数解析式，且该函数为一次函数，求解参数的取值情况。
例题1：已知函数()211m y m x =-+是一次函数，则______m =【分析】一次函数的定义：一般地，函数y kx b =+ (k b ，都是常数，0k ≠)定义说明：①自变量不包含超过一次的项；②一定要有自变量的一次项；③是否有常数项，无限制；通过高次项（一般是二次项）、一次项和常数项三个方面来考虑问题。
如果题干中只有一项包含自变量x ，则这一项必须满足：①x 的次数必须为1。
②x 的系数不能为零。
总结1：若含参解析式中只有一项包含自变量x ，且已知该函数为一次函数，则列出如下的式子进行计算：10x x ⎨≠=⎧⎩的次数的系数练习1：当______m =时，函数()23 21m y m x -=-+是一次函数．例2：已知函数()2121m y m x x =-++为一次函数，则______m = 【分析】题干中，有()21m m x -和2x 两项包含自变量x ，一项含参，一项不含参。
总结2：若含参解析式中，有两项包含自变量x ，且已知该函数为一次函数，则需要对对含参数的这一项的x 次数分三类讨论：①含参项x 的次数大于1；②含参项x 的次数等于1；③含参项x 的次数等于0；分别列出表达式计算，带入原式化简验算，确定符合条件的参数值。
练习1：已知函数23(2)21my m x x -=-++是一次函数，则______m =总结：①含参解析式中只有一项包含自变量x ，这一项一定是x 的一次项，系数不为零。
②含参解析式中有两项包含自变量x ，含参的这一项一般需要分类讨论，可能是高次项、一次项和常数项。
分类计算再带入化简检验，确定符合条件的参数值。
作业1、已知函数(3)1y m x =-+是一次函数，则______m =2、已知函数(1)5m y m x=--是一次函数，则______m =3、已知函数2(3)1m y m x-=++是一次函数，则______m =4、已知函数28(3)2my m x -=++是一次函数，则______m =5、若函数22(21)3m y m x x -=--+是一次函数，则______m =6、已知1(3)3k y k xx -=-+-是关于x 的一次函数，则k 的值是______7、若函数2(21)(12)1y m x m x =++-+（m 为常数）一次函数，则______m =8、已知函数21(3)21m y m xx -=-++是一次函数，则______m =。
二次函数含参问题
二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。
课堂例题：1. 若函数a ax x x f --=2)(在区间 上的最大值为1，则实数=a ；2. 若函数x x x f 3)(2-=，在[]m ,0上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,49，则m 的取值范围为 ；当堂练习：1. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 ；2. 已知函数22)(22++-=a ax x x f [])3,1(-∈x 有最大值18，则实数a 的值为 ；1. 若函数在区间[]2,0上的最大值为9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b, 1－b]上的最大值为25，求b 的值；2. 已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的值；家庭作业：1．函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是__________. 2．若函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，则a 的值为 ；3．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 ；4．若函数22422y x ax a a =-+-+在[0,2]的最小值是2，则a 的值为 ；5．若三条抛物线，，中至少有一条与轴有交点，则的取值范围是 ；3442+-+=a ax x y 22)1(a x a x y +-+=a ax x y 222-+=x a1.不等式对于一切实数x都成立，求的取值范围；2.若不等式，当x∈时恒成立，求的取值范围；当堂练习：1.求对于，不等式恒成立的x的取值范围；2. 若不等式对于一切x∈，恒成立，则的取值范围是多少；3.不等式在x∈，上恒成立，求实数的取值范围；4.设不等式对于满足的一切值都恒乘以，求x的取值范围；家庭作业：1.函数，对于满足的一切x值都有，求实数的取值范围；2.已知是定义在区间上的函数，且，若m，n∈，时，有对任意x∈，都成立。
函数单调性(含参)讨论
一、解答题 1．已知函数 婈ࡩ반 ʍ 婈૬ࡩ ૬반૬ࡩ ࡩ
ଅ
讨论 婈ࡩ반的单调性；
提示：由题 ̵婈ࡩ반 ʍ ࡩ ૬ࡩ
，
2．已知函数 设函数
ࡩ ʍ
ࡩ ʍࡩ
提示：
ࡩ
lnࡩ，
̵
ࡩ ʍଅ
ࡩ ，求函数
ଅ ࡩ
ࡩ ʍ
ଅ
ࡩ
ࡩ 的单调区间；
ࡩ
婈
반．
ʍ
ࡩ
ࡩ
ࡩ
ଅ
ʍ
ࡩ ଅ ࡩ
ࡩ
ଅ
，
3． 已知函数 婈ࡩ반 ʍ lnࡩ 的单调性；
13．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ
提示： 婈ࡩ반 ʍ ࡩ૬ࡩ
ଅ ૬ࡩ
ࡩ ʍ ࡩ ૬ࡩ
ࡩ ,讨论 婈ࡩ반单调性; ，
14．已知函数 婈ࡩ반 ʍ lnࡩ 提示： ̵ ࡩ ʍ
ࡩ ࡩ
ଅ ࡩ
ࡩ
ࡩ婈
반.讨论 婈ࡩ반的单调性；
3
15．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ 提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ
ࡩ
ࡩ
lnࡩ婈
ଅ ࡩ
ʍ
ࡩ
반.讨论函数 婈ࡩ반的单调性；
ࡩ ࡩ ଅ
ࡩ
.
16．已知函数 婈ࡩ반 ʍ
ࡩ
提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ ଅ
ࡩ
lnࡩ
ࡩ ࡩ
ʍ
ࡩ
.求函数 婈ࡩ반的单调增区间；
ࡩ ࡩ
ࡩ
婈
반
17．已知函数 婈ࡩ반 ʍ 婈ଅ 提示：
̵婈ࡩ반 ʍ 婈； ࡩ ଅ반૬ࡩ
4
반． 讨论
的单调性；
2
11．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ
婈
提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ ଅ
ࡩ
ଅ반 婈 ࡩ
最新二次函数含参问题
二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。
课堂例题：1.若函数a ax xx f 2)(在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ；2.若函数x x x f 3)(2，在m ,0上的值域为0,49，则m 的取值范围为；当堂练习：1.若函数)0(22a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是；2.已知函数22)(22a ax x x f )3,1(x 有最大值18，则实数a 的值为；1.若函数??(x)=4-12-??·2+272在区间2,0上的最大值为9，求实数a 的值；当堂练习：1.已知函数)0(49433)(22b b x x x f 在区间[－b, 1－b]上的最大值为25，求b 的值；2.已知函数2244)(22a a ax x x f 在区间2,0上有最小值3，求实数a 的值；家庭作业：1．函数432xx y 的定义域为m ,0，值域为4,425，则实数m 的取值范围是__________. 2．若函数12)(2x x x f 在区间2,a a 上的最大值为4，则a 的值为；3．已知函数32)(2x x x f 在闭区间m ,0上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为；4．若函数22422y x ax aa 在[0,2]的最小值是2，则a 的值为；5．若三条抛物线，，中至少有一条与轴有交点，则的取值范围是；3442a ax x y 22)1(a x a x y a ax x y 222x a1.不等式(2-α)x2-2(??-2)??+4>0对于一切实数x都成立，求α的取值范围；2.若不等式x2-2αｘ+??2-??>0，当x∈[0,1]时恒成立，求α的取值范围；当堂练习：1.求对于-1≤α≤1，不等式x2+(α-2)x+1-a>0恒成立的x的取值范围；2. 若不等式 x2+αｘ+1≥0对于一切x∈(0，1)恒成立，则α的取值范围是多少；23.不等式αｘ2+2??+1>0在x∈[-2，1]上恒成立，求实数α的取值范围；4.设不等式αｘ2-2??-??+1<0对于满足|??|≤2的一切值都恒乘以，求x的取值范围；家庭作业：1.函数??(x)=αｘ2-2??+ 2 (??∈??)，对于满足1<x<4的一切x值都有??(x)>0，求实数α的取值范围；2.已知??(x)是定义在区间[-1,1]上的函数，且??(1)=1，若m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，有(m)+(n)>0 对任意+ x∈[-1,1]，??(-x)=-??(x)都成立。
解答含参函数问题的三个办法
思路探寻含参函数问题中的参数对函数的影响较大，函数的单调性、单调区间、图象、对称轴、最值一般会随着参数的变化而变化.在解答含参函数问题时，常需运用分类讨论思想，解题的过程较为复杂，需分多种情况进行讨论.为了避免因分类讨论带来的麻烦，我们不妨转换解题的思路，采用等价转换法、数形结合法、函数性质法来解题.一、等价转换法等价转换法是指通过等价转换，将问题转化为易于求解的问题的一种解题方法.运用等价转换法解题，要将已知条件和所求目标关联起来，找到两者之间的联系，结合所学的知识、经验将问题进行合理的转化.例1.已知函数f ()x =|lg x |，当0<a <b 时，f ()a >f ()b .证明：ab <1.解：∵f ()a >f ()b ，∴|lg a |>|lg b |,将其两边平方后可得lg 2a >lg 2b ，∴(lg a +lg b )(lg a -lg b )>0,即lg(ab )∙lg a b>0，∵0<a <b ，∴0<a b<1,∴lg(ab )<0,∴ab <1.由于该函数中含有绝对值，很难快速明确a 、b之间的关系，所以需将不等式f ()a >f ()b 两边平方，将问题转化为解不等式问题，根据对数函数的单调性和不等式的性质即可证明结论.二、数形结合法数形结合法是解答函数问题的重要方法.在解答含参函数问题时，可根据题意绘制出函数的图象，借助图形来讨论在取不同参数时函数图象的位置、变化情况、函数的性质、最值，从而明确参数对函数图象的影响，建立关系式，求得问题的答案.例2.若f (x )=|x -1|，对任意x ∈[m ,n ](m <n )，f (x )≤ax （a ≠0）恒成立，求实数a的取值范围.解：由题意可得||x −1≤ax ()a ≠0，设y =ax (a ≠0)，在同一直角坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示.由图可知当0<a <1时f (x )≤ax （a ≠0）恒成立，故a 的取值范围为(0,1).首先将不等式两边的式子分别构造成函数，然后在同一坐标系中画出两个函数的图象，分析函数的图象以及位置即可求得a 的取值范围.三、性质法函数的性质主要有对称性、单调性、奇偶性、周期性.在解答含参函数问题时，我们可以灵活运用函数的性质来解题.一般地，若函数f ()x 是偶函数，则f ()x =f ()-x ；若函数f ()x 是奇函数，则f ()x =-f ()-x ；若函数f ()x 的图象关于直线x =a 对称，则f ()x =f ()2a -x 或f ()a +x =f ()a -x ；若函数f ()x 的图象关于点P (a ,b )对称，则f ()x =2b -f ()2a -x 或f ()a +x =2b -f ()a -x .根据函数的性质建立关于参数的关系式，便可顺利解题.例3.已知f ()x 在[-1,1]上为偶函数，在[0,1]上单调递增.若f (1+m )<f (2m )，求m 的取值范围.解：∵f ()x 为偶函数，∴f ()x =f ()-x =f ()|x |，又∵f ()1+m <f ()2m ，∴f ()||1+m <f ()||2m ，∵f ()x 在[0,1]上单调递增，∴ìíîïï-1≤1+m ≤1，-1≤2m ≤1，||1+m <||2m ，解得-12≤m <-13，故实数m 的取值范围为[-12,-13].本题主要考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性，需首先根据函数的奇偶性和对称性明确|1+m |与|2m |之间的大小关系，然后根据函数的单调性来建立关于m 的不等式，解不等式即可求得m 的取值范围.在解答含参函数问题时，同学们要灵活运用函数的图象、性质来解题，同时要学会迁移知识，从多方面展开联想，将问题进行合理的转化，以找到最优的解题方案，提升解题的效率.（作者单位：江苏省泰兴市第一高级中学）解答含参函数问题的三个办法陈琳51。
初一数学下含参问题之函数篇
初一数学下含参问题之函数篇本文将介绍初一数学下的含参问题之函数篇。
我们将探讨函数的概念、性质以及解决含参问题的方法。
函数的概念函数是一种对应关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值上。
在数学中，我们通常用字母表示函数，比如 f(x) 或 g(x)。
函数的定义域是指所有可以输入到函数中的值的集合。
值域是指函数输出的所有值的集合。
我们可以用图像、表格或公式来表示一个函数。
函数的性质- 函数的单调性：一个函数可以是递增的（当自变量增大时，函数值也增大），也可以是递减的（当自变量增大时，函数值减小）。
- 函数的奇偶性：一个函数可以是奇函数（满足f(-x) = -f(x)），也可以是偶函数（满足 f(-x) = f(x)）。
- 函数的周期性：一个函数可以具有周期，意味着在固定的间隔内，函数值会重复出现。
解决含参问题的方法当我们遇到含参问题时，我们可以通过以下几种方法来解决：1. 常用函数的特殊取值法：对于包含参数的函数问题，可以将参数取特殊值，例如取0、1、-1等，来求解函数的性质。
2. 函数图像法：通过绘制函数的图像来观察函数的性质和特点，从而解决含参问题。
3. 函数运算法：将含参函数进行运算，利用函数的性质和运算法则来解决问题。
4. 代数证明法：使用代数方法对含参函数进行推导和变形，从而得出解决含参问题的结果。
以上是初一数学下含参问题之函数篇的简要介绍。
通过了解函数的概念、性质和解决问题的方法，我们可以更好地应对含参问题，并提高数学解题的能力。
祝愿大家在学习数学的过程中取得优异的成绩！。
浅谈“含参函数的两域问题”
浅谈“含参函数的两域问题”函数是中学数学学习的重点和难点，函数思想贯穿于整个中学数学之中。
在函数这一章节中，学生们已掌握了通过函数解析式求函数的定义域和值域的常规方法。
所谓的定义域就是使函数式有意义的自变量所有取值的集合，而函数的值域就是在定义域的制约下通过解析式计算所得函数值的集合，反应在函数的图象上，就是通过图象上的点向x轴作投影，x轴上这些投影值的集合就是函数的定义域。
图象上的点向y轴作投影，y轴上这些投影值的集合就是函数的值域。
这些学生们都比较容易理解和掌握，反过来，已知一个含参函数式的定义域或值域，来求参数的取值范围问题。
它是函数中两域的逆向思维，也是学生难以理解和掌握的，而且这类问题中有些条件和结论常常是看似相近，而实质不同。
若不仔细审题，不进行概念辨析，则会出现理解上的混淆，解题时会出现混乱现象而导致错误，所以就结合具体的例子来探讨分析辨别——含参函数的两域问题。
例1：已知函数f(x)=+2mx-m（1）、函数值域为[0,∞) ，求实数m的取值范围；（2）、函数值y[0，∞)，求实数m的取值范围。
分析：这道题首先要分清函数的值域和函数值的区别。
先看第（1）问，函数的值域就是全体函数值的集合，值域为[0,∞)，即y≥0,由此可得函数的最小值为0（=0）,而f(x)是二次函数，图象是开口向上的抛物线，所以顶点的纵坐标为最小值0（画出图象，图（1））。
解：（1）∵值域为[0,∞) ，∴y≥0∴=0∴二次函数f(x)=+2mx-m对应的方程+2mx-m=0的判别式∴4m+4=0图（1）∴m=0 或m=-1解决这一问题的关键就是将值域化归到求函数的最小值，再结合函数图象去求解。
再看第（2）问，函数值y∈[0，∞)，能说明函数的值域是y∈[0，∞)吗？请同学们思考。
这肯定不是，它是说明函数值只要在[0，∞)这个范围内就行，而这个范围[0，∞)内的值并不一定都是函数值，即这个范围内的值有些是函数值，有些值可以不是函数值。
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函数中一类含参问题的探究
一热身练习
1已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数的取值范围是 A (][)∞+⋃
-∞-,33, B ]3,3[- C ()()∞+⋃-∞-,33, D )3,3(-
二.利用导数探究三次函数，)0(23≠+++=a d cx bx ax
y 图像
2若32
()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为是
3函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________ 4 已知函数x ax x x f 3)(23-+=
（1）若0)1('=f ,当b x ax x x g +-+=3)(2
3恰有1个零点，求b 的取值范围.
（2）若0)1('=f ,关于x 的方程 k x f =)(有3个不等实根，求 k 的取值范围.
三 拓展作业
5、设函数321(),3
f x x ax ax =--2()24
g x x x c =++ （1）试问函数()f x 能否在1x =-是取得极值？说明理由； （2）若1a =-，当[3,4]x ∈-
时，函数()f x 与()g x 的图像有两个公共点，求c 的取值范围。
6、已知函数ax x x x f ++=1
ln )(（a 为实数）.
（I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；
（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.。