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《数列概念》课件

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数列是一系列按一定规律排列的数值。本课件将介绍数列的基本概念,不同 类型的数列,以及数列的应用。
什么是数列
数列是一系列按照特定规律排列的数值,可以通过公式或递推关系来表示。 数列的概念在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列的基本形式
1 等差数列
数列中的每个数与它前一个数之差相等。
等差数列的求和公式
求和公式:Sn = n/2[2A1 + (n-1)d],其中Sn表示前n项和,A1表示第一项,d 表示公差。
等比数列
等比数列是一种数列,其中每个数与它前一个数之比相等。可使用通项公式和求和公式来计算等比数列 的任意项和总和。
等比数列的通项公式
通项公式:An = A1 * r^(n-1),其中An表示第n项,A1表示第一项,r表示公比。
单调有界数列的极限
根据单调有界数列的性质,可以推导出单调有界数列必定存在极限。极限可以是数列的最大值或最小值。
数列的应用
数列不仅在数学中有广泛应用,还在其他学科和实际生活中有很多应用,如 物理学、经济学、生态学等。
数列在物理学中的应用
物理学中的许多自然现象可以用数列来描述和解释,如运动轨迹、震动频率、 量子力学等。数列为解决实际问题提供了重要数学工具。
斐波那契数列的递推公式
递推公式:F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)。
斐波那契数列的通项公式
通项公式:F(n) = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5),其中phi = (1 + sqrt(5)) / 2。
序列的极限
极限是数列中数值随着项数无限增加时的趋势或稳定值。极限理论既是数学学科中的重要内容,也有广 泛的应用。

第五章数列-PPT精品.ppt

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2
了解数列是自变量为正整数的一类函数.
考纲点击
基础知识梳理 聚焦考向透析 学科能力提升 微 课 助 学
基础知识梳理
梳 理 一 数列的有关概念
梳理自测1
1.数列-3,7,-11,15,…的通项公式可能是( C)
A.an=4n-7
B.an=(-1)n(4n+1)
C.an=(-1)n(4n-1) D.an=(-1)n+1(4n-1)
聚焦考向透析 考 向一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
1.据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分 析,抓住以下几方面的特征:
(1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征. 2.观察、分析要有目的,观察出项与项数之间的关系 、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇 偶数列等)转换而使问题得到解决.
梳 理 一 数列的有关概念
基础知识系统化4
数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
基础知识梳理
梳 理 二 Sn与an的关系
梳理自测
1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8 的值为( A)
A.15 B.16 C.49 D.64
观察数列中每项的共同特 征及随项数变化规律,写 通项公式.
聚焦考向透析 考 向 一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各项的绝对值的排列规 律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an =(-1)n(6n-5).

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等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d),其中 S_n 表示前 n 项的和,a_1 表示首项,d 表示公差, n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列,其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列,其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比, 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$,如果当$n$ 趋于无穷大时,$a_{n}$趋于某个
常数$a$,则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中,很多问题也可以转化为求和问题,例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此,数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和,可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性,级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法

《数学必修⑤《数列》课件

《数学必修⑤《数列》课件
数学必修⑤《数列》PPT 课件
本PPT共计312个token,通过本课件学习你可以全面掌握数列的相关知识,帮 助学生更好地应对数学考试。
引入
定义数列和通项公式
数列是按照一定规律排列的一列数字,通项公 式是一种规律性的表达式,可以用来求出数列 中的任意一项。
举例介绍数列
斐波那契数列、等差数列、等比数列等各种数 列可应用于金融、工程等领域,具有广泛的使 用价值。
3 求等比数列通项公式
的系数
通过已知的首项a1和比值 q,可得到等比数列的通 项公式为an = a1 × q^(n1)。
特殊数列
斐波那契数列
斐波那契数列中的每一项都为前两项的和,该 数列常在金融领域中应用。
阶乘数列
阶乘数列中的每一项都为前一项与当前项的乘 积,可用于计算排列组合问题。
数列的求和
1
等差数列
定义等差数列和通项公式
等差数列是指一个数列中,从第二项开始,每一项 与前一项的差相等的数列。其通项公式为an = a1 + (n-1)d。
求等差数列前n项和
等差数列前n项和的通项公式为Sn = n(a1 + an) / 2, 其中n表示项数,a1表示首项,an表示末项。
求等差数列通项公式的系数
等差数列求和公式推导
根据等差数列的性质,可以推导出等差数列的求和公式Sn = n(a1+an)/2。
2
等比数列求和公式推导
根据等比数列的性质,可以推导出等比数列的求和公式Sn = a(1-q^n)/(1-q)。
3
数列求和实例分析
通过实例分析掌握不同数列求和方法的应用场景以及注意事项。
数列的应用
应用场景介绍
数列在金融领域中被广泛应用,如复利计算、收益 分析等。

数列(共84张PPT)

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Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中,能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数:
0,2,4,6,8,10,12,16, ⋯ .
偶数数列的第1项是0,从第2项起,每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起,每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知,4 = 7,9 = 22,根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7,

1 + 9 − 1 = 22.
整理,得
1 + 3 = 7,

1 + 8 = 22.
解得
1 = −2, = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示,那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式(2)是斐波那契数列的递推公式,1 ,2 称为初始项.
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式,分别求出它们的前4项:
(1) = 3 + 1;
(2) =
1


(3) =
1

2
(4) = −1
= 1 + ,
⋯,
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ,
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −

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数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的,无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数,等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列,无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ,则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ,则存在正数$M$,使得当$n$
充分大时,有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ,且当$n$充分大时,有$a_n > 0$(或$a_n < 0$),则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用,如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
THANKS
感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知,an=a1+(n-1)d,当n=1时,a1=a1+(1-1)d,即 a1=a1+0d=a1,当n=2时,a2=a1+d=(a1+d),当n=3时, a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推,得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$, 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。

数列的概念ppt课件

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故数列的一个通项公式为

an (1)n.
6.1.2 数列的通项公式
巩n
1 2n
,写出数列的前5项.
固 知

a1
1 21
1; 2

a2
1 22
1; 4
典 型 例
a3
1 23
1; 8
a4
1 24
1; 16

a5
1 25
1. 32
练习
1.数列“1,2,3,4,5”与数列“5 ,4, 3,2,1 ”是否
(4)

6.1.2 数列的通项公式
观察下面数列的特点,用适当的数填空。

设 (1) 1,3,( 5 ),7,9, ( 11 ),13…
情 境
(2) 2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 )… (3) ( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49…

趣 导
: 思考2 数列项与项数是何关系?
第6章 数列
6.1 数列的概念
6.1.1 数列的定义
将正整数从小到大排成一列数为
1,2,3,4,5,….
(1)

将所有正偶数从小到大进行排成一列数为

2,4,6,8,10,….
(2)
情 境
-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…排成的一列数为
-1,1,-1,1,….
(3)

趣 导
17建筑施工3+2班学生的学号由小到大排成一列数为

为同一个数列?


不是


2.设数列 {an} 为“-5,-3,-1,1,3,5,…” ,指出其中a3、a6各是什么数?

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奇偶性是指数列中奇数项和偶数项分别具有不同的性质或规律。例如,奇数项都是正数, 而偶数项都是负数;或者奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列等。
数学表达
如果对于任意的正整数n,都有an=(-1)^n*b(n),其中b(n)是另一个数列,则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计 算得出,具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$,其 中 $a_1$ 是首项,$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算 出来,且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数 列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解,需要通 过递推关系式逐步计算得出。
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• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数,它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列,每个数字都有其对应的位置,并且每个位置上的 数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例,其中自变量是自然数或整数, 因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质,它保证了数列不会发散到无穷大或无穷 小。具体来说,如果存在正数M,使得对于所有n,数列的第n项an都 满足|an|≤M,则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M,使得对于所有n,都有|an|≤M,则称数列{an}有界。

数列 完整版课件PPT

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第七层 第六层 第五层 第四层 第三层 第二层
第一层
4 5 6
7 8 9
10
从1984到2008年金牌数
15, 5, 16, 16, 28,31,51
奥运 之光
认真观察,寻找规律
某种放射性物质不断变为其他物质,每经过一年, 剩留的这种物质是原来的84%,设这种物质最初的质量 是1,则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数:
设问:同学们,31天你们一共收入了多少?付 出了多少呢?
收入了310万元的同时,共付出: 1+2+22+23+……+230 =?
在学习了数列的相关知识后你们会 发现,31天你们一共需要付出 2147483647分,即2000多万元。
第三章 数列 3.1 数列
何曼妮
毕节六中
从上往下钢管的根数依次为多少? 从下 往上钢管的根数依次为多少?
单调递增数列 ( an+1>an)
单调递减数列 ( an+1<an)
摆动数列 ( an+1与an的大小关系不定)
常数列 ( an为一个常数)
2、根据数列的项数可分为:
有穷数列、无穷数列
例1、根据下面数列{an}的通项公式写出它的前5项:
(1)
an
n 2n 1
(2)
an
(1)n

n
变式:
数列{an}中,
1,0.84,0.842, 0.843, ......
探究一: 以下五列数有什么共同特点?
一、二、 1,2, 22,23,24,…,230

均有 是一
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ②
一定
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4
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q的值为 -2 .
(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,
S2 =4,S4 =20,,则公差d = 3 .
例2
数列{an }的前n项和为Sn,a1 =1, an1=2Sn (n N*),求数列{an}的通项.
类型四 数列求和
常用求和公式:
1.公式法 常用的公式有: (1)等差数列{an}的前n项和; (2)等比数列{an}的前n项和 (3)12+22+32+…+n2= 1 nn 12n 1
练习1:数列an满足Sn 2an n,求an.
练习2:数列an满足a1=1,an+1 2an 2n,求an.
例 4 在数列{an
}中,a 1
=1,a
n1
=2a
n
+2n
.
(1)设b = an ,证明:数列是{b }等比数列;
2 n n1
n
(2)求数列{a n }的前n项和Sn .
1.方程思想和基本量思想:在解有 关等差数列的问题时可以考虑化归为a1 和d等基本量,通过建立方程(组)获 得解.
4.错位相减法
利用等比数列求和公式的推导方法 求解, 一般可解决型如一个等差数列 和一个等比数列对应项相乘所得数列 的求和,如求数列{n·3n}的前n项和.
5.裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后, 消去一部分从而计算和的方法,它适用 于通项为 1 的前n项求和问题。
an ·an1
例3 求和:
类型一 灵活运用等差、等比数列 的公式与性质
类型二 根据数列通项公式、求和公式,
列方程组解决问题.
类型三 an与Sn的关系
Sn a1 a2 an
an
a1(n 1), Sn Sn-1(n
2).
例1 (1)设等比数列{an}的公比为q,前n项
和为Sn,若Sn+1, Sn, Sn +2成等差数列,则
6
.
2.倒序相加法
将一个数列倒过来排序,它与原 数列相加时,若有公因式可提,并 且剩余的项易于求和,则这样的数 列可用倒序相加法求和.
3.分组转化法
分析通项虽不是等差或等比数列,但它 是等差数列和等比数列的和的形式,则 可进行拆分,分别利用基本数列的求和 公式求和,如求{n(n+1)}前n项的和.
(1)Sn=(2-3×5)+(4-3×52)+…+(2n-3×5n);
(2)
Sn
1 15 1)(2n
3);
(3)Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.
若{an}成等差数列,{bn}成等比
数列,则若求数列{an bn}的前n项和Sn,
用错位相减法;若求数列{
1 anan1
}的
前n项和,则用裂项相消法.
类型五 等差或等比数列的判定
1.等差数列的判定方法.
(1)定义法:
an+1-an=d(d是常数) {an}是等差数列;
(2)中项公式法:
2an+1=an+an+2 {an}是等差数列; (3)通项公式法:
an=pn+q(p、q
{an}是等差数列;
(4)前n项和公式法:
Sn=An2+Bn(A、B常数) {an}是等差数列.
2.证明数列{an}是等比数列一般有 两种方法:
(1)定义法: an 1 q (n∈N*,q是常数);
an
(2)等比中项法:
a2n+1=an·an+2(n∈N*,an+1≠0).
已知an =Aan-1+B,求an,常用加P法. (A,B R)
2.用函数的思想理解等差数列的通 项公式和前n项和公式,从而解决最值 问题.
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