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一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)
专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______． 答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1， 由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3； 设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点； 综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1， 即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0， 则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。
高一数学函数知识点归纳
高一数学函数知识点归纳高一数学函数知识点归纳1高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。
2、函数定义域的解题思路：⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。
⑵偶次方根的被开方数不小于0。
⑶对数式的真数必须大于0。
⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。
⑸指数为0时，底数不得为0。
⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵定义域一致，对应法则一致。
4、函数值域的求法⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。
⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵伸缩变换：在x前加上系数。
⑶对称变换：高中阶段不作要求。
6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。
⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。
⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
7、分段函数⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。
高一上数学必修一第三章《3.3 函数的应用》知识点梳理
高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义.（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。
（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。
【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活，又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。
【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。
解（1）不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：当0<x≤220时，有f（x）=3.45x；当220<x≤300时，有f（x）=220×3.45+（x-220）×4.83=4.83x-303.6；当x>300时，有f（x）=220×3.45+（300-220）×4.83+（x-300）×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x，0<x≤220，f（x）=14.83x-303.6，220<x≤300，=5.83x-603.6，x>300.（2）因为220<260≤300，所以f（260）=4.83×260-303.6=952.2，因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。
由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。
高一数学必修一第三章函数的应用知识点总结.docx
第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =f(x)(xeD)的零点。
2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标。
即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.3、函数零点的求法：①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根；© (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点：①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。
②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。
x③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。
④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。
⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。
6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。
高一函数有哪些应用知识点
高一函数有哪些应用知识点函数作为数学的重要概念之一，其应用广泛而深入。
在高一的学习中，函数作为数学课程的重点内容之一，不仅有理论性的学习，还有具体的应用知识点。
接下来，我们就来探讨一下高一函数中的一些常见应用知识点。
一、函数与数据的关系在实际生活中，我们经常会遇到各种数据的分析和处理问题，而函数作为数学工具，可以用来描述和分析数据之间的关系。
通过观察数据的变化趋势，可以建立对应的函数关系，从而更好地理解和解释数据。
这一知识点在高中数学中被广泛应用，如统计学中的回归分析，经济学中的需求曲线分析等。
二、函数与图像的关系函数与图像密不可分，通过分析函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
在高一的数学课程中，函数图像是一个重要的学习内容。
我们需要学会通过函数关系来确定图像的形状、特点和变化趋势。
通过观察函数图像，我们可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
这些知识点在物理、化学等应用领域中非常重要，如物体的运动轨迹分析、化学反应速率等问题。
三、函数与方程的关系函数与方程密切相关，通过函数关系可以建立对应的方程，从而解决各种实际问题。
在高一的数学学习中，函数方程是一个重要的知识点。
我们需要学会根据实际问题建立函数方程，并通过求解方程来解决问题。
这一应用知识点在物理学、几何学等领域中被广泛应用，如物体的运动方程、几何图形的方程等。
四、函数与最值的问题函数的最值问题是高一数学学习中的一个重要内容。
通过求解函数的最值，我们可以确定函数的最大值、最小值，进而解决各种实际问题。
这一应用知识点在经济学、管理学等领域中被广泛应用，如成本函数的最小化问题、收益函数的最大化问题等。
五、函数与导数的关系导数作为函数的重要工具，可以帮助我们分析函数的变化率和极值情况。
在高一的数学学习中，导数是一个重要的知识点。
我们需要学会通过求导来确定函数的变化率，并通过求解导数方程来确定函数的极值问题。
这一知识点在物理学、经济学等领域中非常重要，如物体的速度、加速度分析、边际效应分析等。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结一、基本概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在高中数学课程中，函数是一个重要的内容，学生需要掌握函数的基本概念以及相关的解题技巧。
1.1函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
数学上通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用一个公式、一个图象、一个表格或者一段描述来表示。
1.2函数的分类函数可以根据其性质进行分类，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每种函数都有其特定的表达式和性质。
1.3函数的性质函数有很多性质，例如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
学生需要了解这些性质，以便在解题中灵活运用。
二、题型及解题技巧在高一数学中，关于函数的题型多种多样，接下来我们将针对常见的函数题型及解题技巧进行总结。
2.1函数的图象和性质这种题型要求学生根据函数的表达式画出函数的图象，并分析其性质。
解题时，学生需要掌握函数的图象特征，如开口方向、交点、极值点等，可以通过计算一阶导数和二阶导数来判断函数的单调性和凹凸性。
2.2函数的定义域和值域在这类题型中，学生需要根据函数的表达式确定其定义域和值域。
解题时，可以通过分析函数的分式和根式部分来确定函数的定义域和值域，需要注意的是，对于分式函数，分母不能为0。
2.3函数的性质和变化这类题型要求学生根据函数的表达式和图象，分析其性质和变化规律。
解题时，学生可以通过变换函数的参数来研究函数的性质和图象的变化。
2.4函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用，如匀速运动、生长模型、利润最大化等。
在解决这类问题时，学生需要将实际问题转化为数学模型，并根据函数的性质来解决问题。
2.5函数的求值与方程这类题型包括函数值的计算和方程的解法。
解题时，学生需要根据函数的表达式和条件，求出函数的值或解出方程。
在解决方程时，可以通过化简、配方、倒代入等方法来得到解。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结1. 函数概述在高一数学学习中，函数是一个重要的概念。
函数描述了自变量和因变量之间的关系，并在各个数学领域中被广泛应用。
通过掌握各种函数题型及解题技巧，我们能够更好地理解和运用函数，提升数学解题能力。
2. 一次函数一次函数是最基础的函数之一，形式为y=ax+b。
其中a表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
在解一次函数的题目时，可以利用函数的定义、斜率和截距等性质来求解。
此外，还需要注意直线与x轴和y轴的交点，以及直线与其他线段的关系。
3. 二次函数二次函数是一个抛物线，通常由形式为y=ax^2+bx+c的方程表示，其中a、b、c为常数且a≠0。
解题时需要掌握二次函数的性质和基本特征。
例如，抛物线的开口方向由a的正负确定，顶点的坐标可以通过求解x的值来确定。
4. 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是一对互为反函数的特殊函数。
指数函数形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
对数函数形式为y=loga(x)，表示以a为底，x的对数。
在解题时，需要掌握指数函数和对数函数的定义、性质和常用公式。
例如，指数函数与对数函数之间的关系可以帮助我们快速求解方程。
5. 三角函数三角函数是解析几何和三角学的重要内容。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解题时，需要熟悉三角函数的周期性、正负性和基本关系。
例如，利用正弦函数和余弦函数的和差化积公式可以简化复杂的三角函数表达式。
6. 分段函数分段函数在解决实际问题和图像绘制中起到重要作用。
分段函数由多个不同的函数组成，每个函数在一定的区间内有效。
解题时需要找到各个区间的特点，并且针对不同区间使用相应的函数表达式。
7. 综合题型高一数学中的函数题往往是综合性的，要求综合运用多个函数的知识和技巧进行分析和求解。
这种题型常常需要从不同的角度考虑问题，运用多种函数的特性及相关知识，找到问题的关键点并进行适当的变换和求解。
总结：在高一数学学习中，函数题型及解题技巧是数学学习的核心内容之一。
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇高一新生对数学的函数知识是相当头疼的，函数知识面广，思维灵活，题型更是千奇百怪，要想学好函数，就需要一份准确的函数知识点归纳。
高一函数知识点归纳总结1函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
高一函数归纳总结2一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：\2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
高一数学必修一知识点归纳
高一数学必修一知识点归纳1.高一数学必修一知识点归纳1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.2.高一数学必修一知识点归纳方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
高一数学函数的知识点总结
高一数学函数的知识点总结高一数学函数的知识点总结 11. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B 中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高一数学函数知识点总结(五篇)
高一数学函数知识点总结函数的图象函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.高一数学函数知识点总结（二）函数的值域与最值(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(____)与其反函数f-1(____)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(____)变形为关于____的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，____]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-____]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如____>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.高一数学函数知识点总结（三）函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量____有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tan____(____∈R，且k∈Z)，余切函数y=cot____(____∈R，____≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(____)的定义域是[a，b]，求f[g(____)]的定义域是指满足a≤g(____)≤b的____的取值范围，而已知f[g(____)]的定义域[a，b]指的是____∈[a，b]，此时f(____)的定义域，即g(____)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(____)=a____+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(____)]的表达式时，可用换元法求函数f(____)的表达式，这时必须求出g(____)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(____)满足某个等式，这个等式除f(____)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-____)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(____)的表达式.高一数学函数知识点总结（四）函数的单调性1、单调函数对于函数f(____)定义在某区间[a，b]上任意两点____1，____2，当____1>____2时，都有不等式f(____1)>(或<)f(____2)成立，称f(____)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的____1，____具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设____1、____2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(____1，f(____1))、(____2，f(____2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(____)是增(减)函数，且(或____1>____2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(____)]的单调性若u=g(____)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(____)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
高一数学知识点大全电子版
高一数学知识点大全电子版一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数的概念、函数的定义域和值域、函数的图像及性质等。
2. 一次函数一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质与应用。
3. 二次函数二次函数的定义、二次函数的图像、二次函数的性质与应用。
4. 指数函数与对数函数指数函数的概念、指数函数的图像、指数函数的性质与应用。
对数函数的概念、对数函数的图像、对数函数的性质与应用。
5. 幂函数与反比例函数幂函数的概念、幂函数的图像、幂函数的性质与应用。
反比例函数的概念、反比例函数的图像、反比例函数的性质与应用。
6. 复合函数与反函数复合函数的概念、复合函数的性质与应用。
反函数的概念、反函数的性质与应用。
7. 解方程与不等式一元一次方程与一元一次不等式的解法与应用。
一元二次方程与一元二次不等式的解法与应用。
8. 线性方程组与矩阵线性方程组的解法与应用。
矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵方程与矩阵的应用。
二、几何与向量1. 平面几何基础点、线、面等基本概念与性质。
相交、平行、垂直、共面等关系与判定方法。
2. 三角形与相似三角形的性质与分类。
三角形的相似与全等。
三角形的内角与外角性质。
3. 圆与圆周角圆的基本概念与性质。
弧长、扇形面积与圆心角。
4. 向量与向量运算向量的概念、向量的运算。
向量的共线、垂直、平行性质与判定方法。
5. 平面向量的应用向量的数量积与夹角。
向量的投影与点乘。
6. 平面与空间几何平面的方程与判定方法。
直线的方程与判定方法。
空间中直线与平面的位置关系与判定方法。
7. 三视图与投影三视图的概念与应用。
正交投影的概念与应用。
斜投影的概念与应用。
三、概率与统计1. 随机事件与概率随机事件的概念与性质。
概率的定义、计算与应用。
2. 随机变量与概率分布随机变量的概念与性质。
离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。
3. 统计与样本调查统计的基本概念与性质。
样本调查的方法与误差分析。
4. 参数估计与假设检验总体与样本的概念与关系。
函数的应用高一知识点归纳
函数的应用高一知识点归纳函数的应用是高一数学课程中的重要知识点之一，在现实生活中也随处可见。
本文将对函数的应用进行归纳和阐述，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一概念。
一、函数的定义与性质函数是数学中的一种基本概念，它描述了一种特定的依赖关系。
简单来说，函数就是一种输入和输出之间的映射关系。
在数学表达中，函数可以用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。
函数有许多重要的性质。
首先，函数具有唯一性，即对于每个输入值x，函数只能对应一个输出值f(x)。
其次，函数有定义域和值域，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值可能的取值范围。
此外，函数可以用图像来表示，图像是自变量和因变量的对应关系在坐标系中的表现。
二、函数的应用举例函数的应用广泛存在于我们的生活中，以下举几个例子加以说明。
1. 银行利息计算假设某家银行的存款利率为5%。
我们可以利用函数来计算存款的增长情况。
设P为本金，t为时间，那么利息f(t)可以表示为f(t) = P × 0.05 × t。
通过输入不同的t值，我们可以得到不同时间段内的利息变化。
2. 温度转换摄氏度与华氏度之间存在着一种线性关系，我们可以用函数进行转换。
设x为摄氏度，y为华氏度，那么转换公式可以表示为y = 1.8x + 32。
通过这一函数，我们可以轻松地进行温度的相互转换。
3. 距离与时间的关系在物理学中，我们学习到物体的速度可以用距离除以时间来表示。
假设某物体在t时间内以v速度行进，那么它所走的距离可以表示为f(t) = v × t。
通过这一函数，我们可以计算出物体在不同时间段内所走的距离。
三、函数的图像与图像分析函数的图像是函数在坐标系中的表现形式，通过分析函数的图像，我们可以得到更多有关函数的信息。
1. 增减性与极值通过观察函数的图像，我们可以确定函数的增减性。
如果函数在某一区间上是递增的，则函数图像向上倾斜；如果函数递减，则图像向下倾斜。
高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结
高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结一、内容描述高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结涵盖了高中阶段关于函数基础概念及其性质的核心内容。
文章首先介绍了函数的基本概念，包括函数的定义、表示方法以及函数的性质等。
文章详细阐述了函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性以及复合函数的性质等。
文章还介绍了函数图像的画法及其与性质之间的关系，以及如何利用函数性质解决实际问题。
文章总结了函数在数学学习中的重要性，强调掌握函数概念与性质对于后续数学学习的基础作用。
通过本文的学习，学生可以更好地理解和掌握函数知识，为后续数学学习打下坚实的基础。
1. 简述函数概念的重要性函数是描述自然现象和规律的重要工具。
在物理、化学、生物等自然学科中，许多现象的变化过程都可以通过函数关系进行描述。
物理学中的运动规律、化学中的化学反应速率与浓度的关系等，都需要借助函数概念进行建模和分析。
函数是数学体系中的核心和基础。
函数连接了代数、几何、三角学等多个分支，是数学知识和方法综合运用的基础。
对函数概念的深入理解，有助于我们更好地理解和掌握数学的其它分支和领域。
函数也是解决实际问题的重要工具。
在现实生活中，很多问题的解决都需要建立数学模型，而函数作为构建数学模型的基本元素之一，能够帮助我们准确地描述问题并找到解决方案。
在经济学、统计学、工程学等领域，函数的运用非常广泛。
函数概念的重要性不言而喻。
高一学生在学习数学时，应深入理解函数的概念，掌握其性质和特点，为后续学习和解决实际问题打下坚实的基础。
2. 引出本文目的：总结函数的概念与性质本文旨在系统梳理和归纳高一数学必修一课程中函数的核心概念与基本性质。
函数是数学中的核心概念之一，具有广泛的应用领域。
在高中阶段，学生需要深入理解函数的基础定义、性质和图像特征，为后续学习奠定坚实基础。
本文的目的在于帮助学生全面总结函数的相关知识点，加深对函数概念与性质的理解，以便更好地掌握和应用函数这一重要的数学工具。
高一数学上函数知识点总结
高一数学上函数知识点总结高一数学，是很多同学初次接触函数的阶段。
函数作为数学中的重要概念，是解决实际问题的有力工具。
在这一学期里，我们主要学习了函数的定义、函数的性质、函数的图像以及函数的应用。
一、函数的定义在高一数学中，我们首先学习了函数的定义。
函数，简单地说，就是一个输入和一个输出之间的规则。
我们可以将函数理解为一个“机器”，输入一个数值，经过某个规则处理后，输出对应的数值。
函数的一般表达形式为：y = f(x)，其中 f(x) 表示函数的运算规则，x 表示自变量，y 表示因变量。
通过这个表达式，我们可以清晰地看出函数的输入和输出，并能直观地理解函数的关系。
此外，我们还学习了其他形式的函数定义例如隐函数、参数方程等。
这些函数定义形式在实际问题中有重要的应用，为我们解决问题提供了更多的思路。
二、函数的性质在学习函数的过程中，我们还学习了函数的一些重要性质。
其中包括函数的奇偶性、周期性、单调性等等。
函数的奇偶性主要研究函数关于坐标原点的对称性。
如果一个函数满足 f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果一个函数满足 f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
通过奇偶性的概念，我们可以更快地研究函数的图像，简化计算过程。
函数的周期性，是研究函数图像在一定范围内是否有规律的重复变化。
例如正弦函数、余弦函数等就是周期性函数的典型例子。
理解函数的周期性，有助于我们更好地掌握函数图像的特点。
函数的单调性，是研究函数图像在区间上的增减规律。
通过研究函数的单调性，我们可以确定函数的最值以及确定函数方程的解等问题。
因此，掌握函数的单调性是高一数学学习的重要内容。
三、函数的图像函数的图像是我们理解函数性质的重要工具。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、最值、极值等信息。
在高一数学中，我们学习了一些常见函数的图像。
例如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
其中，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
高一上数学必修一第四章《4.6函数的应用(二)》知识点梳理
高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.6函数的应用(二)学习目标1.掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用.2.能够选择合适的数学模型分析解决实际问题．一、指数型函数模型例1某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域；(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．解(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.∴经过x 年后木材蓄积量为200(1＋5%)x .∴y ＝f (x )＝200(1＋5%)x .函数的定义域为x ∈N ＋.(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)图像见下图．x 0123…y200210220.5231.5…作直线y ＝300与函数y ＝200(1＋5%)x 的图像交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x 年的值．∵8<x 0<9，则取x ＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．跟踪训练1(1)设在海拔x m 处的大气压强为y kPa ，y 与x 的函数关系可近似表示为y ＝100e ax ，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa ，则根据函数关系式，在海拔2000m 处的大气压强为________kPa.答案81解析将(1000,90)代入y ＝100e ax ，可得a ＝ln 0.91000，y 与x 的函数关系可近似表示为y ＝100ln 0.91000e x ，当x ＝2000时，y ＝100(e ln 0.9)2＝81.(2)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．答案24解析＝e b，＝e 22k ＋b ，b ＝192，11k ＝12，所以当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3e b×192＝24.二、对数型函数模型例2声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lgI10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解(1)当I ＝10－6W/m 2时，代入得Y ＝10lg 10－610－12＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y ＝0时，即10lg I10－12＝0，所以I 10－12＝1，I ＝10－12W/m 2，则能听到的最低声强为10－12W/m 2.(3)当声强I ＝5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg 5×10－710－1210lg(5×105)＝50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．反思感悟(1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义．(2)对数型函数模型的一般表达式为f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a >0，a ≠1)．跟踪训练2我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2O10，单位是m/s ，其中O 表示燕子的耗氧量．(1)当燕子静止时，它的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中公式，可得0＝5log 2O10，解得O ＝10.所以燕子静止时耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量O ＝80代入题中公式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.三、建立拟合函数模型解决实际问题例3某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A 种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.65 1.39 1.852 1.84 1.40投资B 种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A ，B 两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15，所以y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，＝k ＋b ，＝4k ＋b ，＝0.25，＝0，所以y ＝0.25x .即前六个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前六个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x .设下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，A ＋xB ＝12，＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B .所以W ＝－A ＋0.15＋2.6.当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元，此时x B ＝8.8(万元)．即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．跟踪训练3某公司为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该公司的要求？解作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x 的图像(如图所示)．观察图像可知，在区间[5,60]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x 的图像都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图像始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合该公司的要求．1．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km ，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b <a )，再前进c km ，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是()答案C解析B 与C 的区别在于C 中沿原路返回时耗费了时间而B 中没有体现．2．已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是()A.117－1B.712C.127－1D.711答案A解析设月平均增长率为x,1月份产量为a ，则有a (1＋x )11＝7a ，则1＋x ＝117，故x ＝117－1.3．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观测发现2016年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2022年冬有越冬白鹤()A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案C解析当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2022年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000(只)．4．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2018年的湖水量为m ，从2018年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为________．答案y ＝500.9x ·m解析设每年湖水量为上一年的q %，则(q %)50＝0.9，解得q %＝1500.9，即x 年后的湖水量为500.9x ·m .5．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a ，则经过x 年后植树的棵树y 与x 之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a ＝________.答案 6.4(1＋a )x 25%解析经过x 年后植树的棵数y 与x 之间的解析式是y ＝6.4(1＋a )x ，由题意可知6.4(1＋a )3＝12.5，所以(1＋a )3＝12564，所以1＋a ＝54，故a ＝14＝25%.1．知识清单：(1)指数型函数模型．(2)对数型函数模型．(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．方法归纳：数学建模．3．常见误区：(1)实际应用题易忘定义域和作答．(2)忽视指数与对数的运算方法而致错．1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N＋)，该产品的产量y满足() A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x答案D解析经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．研究人员发现某种物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律是：y＝2·2x＋21－x(x≥0)，当物质温度为5摄氏度时，需经过()A．1分钟B．2分钟C．4分钟D．8分钟答案A解析某种物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律是：y＝2·2x＋21－x(x≥0)，当y＝5时，2·2x＋21－x＝5，由x≥0，解得x＝1.所以经过1分钟，该物质温度为5摄氏度．3．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．8B．9C．10D．11答案B解析设至少需要过滤n次，则0.02≤0.001，即≤1 20，所以n lg 34≤－lg20，即n≥lg20lg4－lg3＝1＋0.30102×0.3010－0.4471≈8.40，又n∈N，所以n≥9，所以至少过滤9次才能使产品达到市场要求．4．今有一组数据如下表所示：t 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121s 1.501 4.4137.49812.0417.93现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是()A．s＝2t－3＋1B．s＝32log2tC ．s ＝12t 2－12D ．s ＝2t －2答案C解析画出数据点如图所示．由图可知该函数是增函数，但增长速度较慢，则排除选项A ；此函数的图像不是直线，排除选项D ；此函数的图像不符合对数函数的图像，排除选项B.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年答案C解析根据题意，设第n 年开始超过400万元，则130×(1＋12%)n－2010>400，化为(n －2010)lg 1.12>2lg 2－lg 1.3，解得n －2010>2lg 2－lg 1.3lg 1.12≈9.8，则n ≥2020.6．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E ＝4.8＋1.5M .已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则E1E 2＝________.答案100.75解析因为lg E ＝4.8＋1.5M ，所以lg E 1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E 2＝4.8＋1.5×7.5＝16.05，所以E 1＝1016.8，E 2＝1016.05，所以E1E 2＝100.75.7．某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元；销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．答案1024解析log 48＋b ＝1，log 464＋b ＝4，＋b ＝1，＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2.∴y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，2log 4x －2＝8，解得x ＝1024.故他的销售额应为1024万元．8．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数型函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为12T .现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：t (单位时间)0246810A (t )3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t )＝________.答案4320·42t -(t ≥0)解析从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间t 的剩余质量为A (t )＝A 0·1212t T ⎛⎫⎪⎝⎭＝320·42t-(t ≥0)．9．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式Q ＝Q 0400et -，其中Q 0是臭氧的初始量．(1)随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到年，参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)解(1)因为Q 0>0，－t400<0，e>1，所以Q ＝Q 0400et -为减函数，所以随着时间的增加，臭氧的含量减少．(2)设x 年以后将会有一半的臭氧消失，则Q ＝Q 0400ex -＝12Q 0，即400e x-＝12，取对数可得－x 400＝ln 12，解得x ＝400ln 2≈277.2.所以278年以后将会有一半的臭氧消失．10．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？解设第x 天所得回报是y 元，则方案一可用函数f 1(x )＝40(x ∈N ＋)进行描述；方案二可用函数f 2(x )＝10x (x ∈N ＋)进行描述；方案三可用函数f 3(x )＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)进行描述．作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．我们再看累计回报数，列表如下：天数回报/元方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．11．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y (℃)与时间t (min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (℃)与时间t (min)近似满足函数的关系式为y ＝b (a ，b 为常数)，通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为()A ．35minB ．30minC ．25minD ．20min答案C解析由题意，当0≤t ≤5时，函数图像是一条线段，当t ≥5时，函数的解析式为y ＝b ，点(5,100)和点(15,60)，解得a ＝5，b ＝20，故函数的解析式为y ＝＋20，t ≥5.令y ＝40，解得t ＝25，∴最少需要的时间为25min.12．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝80720vv 2＋18v ＋20l，若l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时．答案2018解析当l ＝6.05时，F ＝80720vv 2＋18v ＋121＝80720v ＋121v＋18，因为v ＋121v≥2121＝22，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取等号．所以F ≤8072022＋18＝2018.13．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL ，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)答案5解析设经过n 小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n .根据题意，有0.3(1－0.25)n ≤0.09，即(1－0.25)n ≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有n lg34＝n (lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n (0.48－0.6)≤0.48－1，解得n ≥133＝413，故至少经过5小时才能开车．14．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t min 后物体的温度θ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e －0.24t 求得，且把温度是100℃的物体放在10℃的空气中冷却t min 后，物体的温度是40℃，那么t 的值约等于________．(参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693)解析由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，化简可得e－0.24t＝1 3，所以－0.24t＝ln 13＝－ln3，所以0.24t＝ln3＝1.099，所以t≈4.58.15．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图像如图所示，假设其关系为指数函数，并给出了下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3.其中正确的说法有________．(请把正确说法的序号都填在横线上)答案①②④解析该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以①正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以②正确；由f(x1)＝12x＝4和f(x2)＝22x＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以③错误；设2t1＝2,22t＝3,32t＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以④正确．16．20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2体积分数增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x(即当年数与1989的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，且b>0，b≠1)．(1)根据题中的数据，求f(x)和g(x)的解析式；(2)如果1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解(1)根据题中的数据，＋q＋r＝1，p＋2q＋r＝3，p＋3q＋r＝6＋c＝1，2＋c＝3，3＋c＝6，＝12，＝12，＝0＝83＝32＝－3，∴f(x)＝12x2＋12x，g(x)＝83·－3.(2)∵f(5)＝15，g(5)＝17.25，f(5)更接近于16，∴选用f(x)＝12x2＋12x作为模拟函数较好．。
高一数学知识点归纳总结
高一数学知识点归纳总结高一数学知识点归纳总结（一）一、函数1.函数的定义：对于每一个自变量，函数都给出唯一的因变量值。
2.函数的表示：y=f(x)，x为自变量，y为因变量，f(x)为函数。
3.函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
4.常见数学函数：指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、幂函数、根式函数。
5.函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，反映了函数自变量和因变量之间的函数关系。
6.函数的运算：加减、乘除、复合运算。
7.函数的极限：当自变量接近某一特定值时，函数趋于一个确定的极限。
8.导数与微分：导数是函数变化率的极限值，微分是函数的一个微小变化量。
9.应用：求函数的最值、拐点、渐近线、曲率等，还可以用于物理、经济、工程学等领域中的问题求解。
二、集合与命题1.集合的概念：由若干个元素构成的整体。
2.基本集合运算：并集、交集、差集、补集。
3.集合的性质：子集、相等、空集、全集、互斥、互补。
4.命题：是可以用真假判断的陈述句，并且只有真假两种可能。
5.命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含。
6.命题的等价关系与充分必要条件。
7.谓词与量词：谓词是具有“真假”性质的函数，量词包括全称量词和存在量词，它们用于指定谓词中的变量范围。
三、平面与立体几何1.欧氏几何：以欧氏公理为基础的几何学，研究点、线、面的性质以及它们之间的关系。
2.平面几何：研究平面上点、线、面及其相互关系的几何学。
3.直线和圆的性质：如平行线公理、垂线定理、相交线夹角定理、圆的周长、面积等。
4.三角形和四边形的性质：如勾股定理、海伦公式、三角形周长公式、正方形、矩形、平行四边形、菱形的周长、面积等。
5.立体几何：研究空间中点、线、面、体及其相互关系的几何学。
6.球的性质：如球的体积、表面积等。
7.多面体的性质：如正四面体、正六面体、正八面体等体积、表面积等。
四、数列与数学归纳法1.数列的概念：按一定顺序排列的一列数。
高一数学必修一函数知识点总结归纳
高一数学必修一函数知识点总结归纳（5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;２. 复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法:若已知的定义域为［a,b］,其复合函数f[g(ｘ）］的定义域由不等式ａg（x) b解出即可；若已知f［g（ｘ)］的定义域为［a,b］，求f（ｘ）的定义域，相当于x ［a,b]时，求g(x）的值域（即f （x）的定义域）;研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由同增异减判定;３。
函数图像（或方程曲线的对称性)(1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点对称中心（对称轴)的对称点仍在图像上;(２)证明图像C1与Ｃ2的对称性,即证明C1上任意点对称中心（对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然；(3)曲线C1:f(x,ｙ）=0,y=xa(y=-ｘa)的对称曲线C2的方程为ｆ(y—a,x ａ）=0(或f(-ｙa，—xａ)＝0）；（4）曲线C1:f(x,ｙ）=0点（a,b)的对称曲线C２方程为：f（2a—ｘ，2b-y）=0；(5）若函数y=f(x)对x R时，f（ax)=f(a-x)恒成立，则y=f（x）图像直线x=a对称；(６)函数ｙ=f(x-a）与y=f（b—ｘ）的图像直线x=对称;4．函数的（1）ｙ＝f（x)对x R时，f（x a）＝f（x-a）或f（x－2a )＝f(x)(ａ0）恒成立,则y=f（x）是周期为2a的周期函数;（2）若ｙ=ｆ(ｘ）是偶函数,其图像又直线ｘ=a对称，则f（x）是周期为２︱ａ︱的周期函数;(3）若ｙ=f(x）奇函数,其图像又直线x＝a对称，则f（x)是周期为4︱ａ︱的周期函数；(4）若y=f(ｘ）点（a,0),(b，0）对称，则ｆ（x）是周期为2 的周期函数；（５)y=f（x）的图象直线x=a，x=b(a b）对称,则函数y=f（ｘ）是周期为２的周期函数；（6）y＝f（ｘ)对ｘR时,ｆ（ｘa)=—f(x）（或f(xａ)＝,则y＝f(ｘ）是周期为２的周期函数；5。
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2017高一数学函数的应用知识点总结
2017高一数学函数的应用知识点总结
高一数学函数的应用知识点
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数
yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.
3、函数零点的求法：
1(代数法)求方程f(x)0的实数根;○
2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，○
并利用函数的性质找出零点.
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。
k(k0)没有零点。
x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。
②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0).
(1)△0，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.
(2)△=0，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△0，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.
⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。
⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.
⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2(基本初等函数)个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。
6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。
7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。
8、函数零点的性质：
从数的角度看：即是使f(x)0的实数;
从形的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;
x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点;若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点.
9、二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数
yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法.
10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度;(2)求区间(a，b)的中点x1;(3)计算f(x1)：
①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点;
②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);
指数函数模型：l(x)abxc(a0,b 0，b1)。