3.4 线性方程组解的判别条件

λ2
(1) 当λ = 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
R ( A ) = R ( B ) < 3, 方程组有无穷多解 .
x1 = 1 − x2 − x3 其通解为 x2 = x2 x = x 3 3
( x 2 , x 3为任意实数 ).
证 必要性． 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) < R(B ), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０ 方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾. 因此 R(A) = R(B ).
充分性. 充分性. 设 R(A) = R(B ), 设 R(A) = R(B ) = r (r ≤ n ),
1 1 λ λ2 2 ~ 0 λ −1 1− λ λ −λ 0 0 2 − λ − λ2 1 + λ − λ 2 − λ3 1 1 = 0 λ −1 0 0
λ
1− λ (1 − λ )(2 + λ )
λ (1 − λ ) 2 (1 − λ )(1 + λ )
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3,
故方程组无解． 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 − x2 − x3 + x4 = 0 . x1 − x2 + x3 − 3 x4 = 1 x − x − 2x + 3x = −1 2 1 2 3 4
解 对增广矩阵 进行初等变换 对增广矩阵B进行初等变换
非齐次线性方程组 Am×n x = b
R(A) = R(B ) = n ⇔ Ax = b有唯一解;
有无穷多解. R(A) = R(B ) < n ⇔ Ax = b有无穷多解.
§3.3 线性方程组 解的结构
一、线性方程组有解的判定条件
问题： 问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 的秩，
的解． 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R( A) < n. 定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
定理2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩.
B =1 1 λ 1 1 1 1 1 λ ~1 λ2 λ
λ
1
λ λ2 λ 1 λ
1 1 1 1
λ
1 1 λ ~ 0 λ −1 1− λ 0 1 − λ 1 − λ2
λ2 2 λ −λ 1 − λ2
5 1 0 − 2 − 1 2 2 1 3 r3 − r2 4 r1 − 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ÷ ( −3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 − 2x3 − 3 x4 = 0, 4 x2 + 2x3 + x4 = 0, 3
由于R( A) = R( B ) = 2, 故方程组有解，且有 故方程组有解，
x1 = x2 + x4 + 1 2 x = x + 0x x1 = x2 + x4 + 1 2 2 2 4 ⇔ x 3 = 2 x4 + 1 2 x 3 = 0 x 2 + 2 x4 + 1 2 x 4 = 0 x 2 + x4
5 x1 2 3 x2 − 2 c − 4 . ∴ = c1 + 2 3 x3 1 0 0 x 4 1
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换 1 − 2 3 − 1 1 r2 − 2r1 1 − 2 3 − 1 1 r −r B = 3 − 1 5 − 3 2 3 1 0 5 − 4 0 − 1 2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 0 − 4 0 1 2 5 0 解
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ B ~ 0 1 −1 0 0 2 + λ
这时又分两种情形： 这时又分两种情形：
λ2 −λ 2 (1 + λ )
1) λ ≠ −2时, R( A) = R( B ) = 3, 方程组有唯一解 :
(λ + 1) λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ+2 λ+2 λ+2
2来自百度文库
2) λ = −2时,
1 1 − 2 4 B ~ 0 − 3 3 − 6 0 0 0 3
R ( A ) ≠ R ( B ),故方程组无解 . 故方程组无解
三、小结
齐次线性方程组 Am×n x = 0
只有零解 R( A) = n ⇔ Ax = 0只有零解 ; R( A) < n ⇔ Ax = 0有非零解 . 有非零解
个非零行， 则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行， 把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 非自由未知量,
个作为自由未知量, 其余 n − r个作为自由未知量, 个自由未知量全取0 并令 n − r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 即可得方程组的一个解． 证毕
小结 R(A) = R(B ) = n ⇔ Ax = b有唯一解 有无穷多解. R(A) = R(B ) < n ⇔ Ax = b有无穷多解. 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 便可写出其通解； 非齐次线性方程组： 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 便可判断其是否有解．若有解， 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解； 简形矩阵，便可写出其通解；
二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 . x − x − 4x − 3x = 0 1 2 3 4 解
施行初等行变换： 对系数矩阵 A 施行初等行变换： 1 2 2 1 1 2 2 1 r2 − 2r1 A = 2 1 − 2 − 2 0 − 3 − 6 − 4 1 − 1 − 4 − 3 r3 − r1 0 − 3 − 6 − 4
0 0 1 −1 −1 1 1 − 1 − 1 1 B = 1 − 1 1 − 3 1 ~ 0 0 2 − 4 1 1 − 1 − 2 3 − 1 2 0 0 − 1 2 − 1 2
1 − 1 0 − 1 1 2 ~ 0 0 1 − 2 1 2 . 0 0 0 0 0
5 x1 = 2x3 + 3 x4 , 由此即得 4 x2 = −2x3 − x4 , ( x3 , x4 可任意取值 ). 3
令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
5 x1 = 2c2 + 3 c2 , x = −2c − 4 c , 2 2 2 3 x = c , 3 1 x4 = c2 ,
其中x2 , x4任意.
例4 设有线性方程组
λx1 + x2 + x3 = 1 x1 + λx2 + x3 = λ x + x + λ x = λ2 1 2 3
问λ取何值时, 无解 ? 有唯一解？有无穷多个解 ?
作初等行变换， 解 对增广矩阵 B = ( A, b ) 作初等行变换，
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 1 0 0 x = x 2 0 + x4 2 + 1 2 . 3 0 1 0 x 4