3.4 线性方程组解的判别条件
线性方程组的解的判定
R(C) R(CT ) R(BT MCT ) R(BT ) R(B)
k
- 2 1 0
3 0 2
(k R).
有关矩阵秩的重要结论：
(1) 0 R( Amn ) minm, n
(2) 设矩阵Amn , 若 R( A) s 则存在可逆矩阵P,Q
使得
PAQ
Es o
o
o
即矩阵A可以经过初等变换化为
Es o
o
o
形式。
(3) 若 P,Q 都可逆，则 R( A) R(PA) R( AQ) R(PAQ)
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
x5为任意实数 .
定理3 矩阵方程AX B有解的充要条件是
R( A) R( AMB) 证：设 Ams X sn Bmn , 对X、B按列分块，得
X ( X1, X 2 ,L X n ), B (b1,b2 ,L bn ), 则AX B等价于A( X1, X2,L Xn ) (b1,b2,L bn )
(2)当p 2时,有
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0
1 0
2 0
-1 2
1 4
~
0 0
1 0
2 0
线性方程组的解的判定及解法 演示文稿
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 2 1 0
c2
3 4
3 0
1
.
例4
x1 x2 a1
证
明
方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2.
0 0 0 0 0
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
二。齐次线性方程组
齐次：rr((AA))＝ <nn无唯穷一多零解解 cor：1）m<n 无穷多解; 2)An；当 A ＝0 无穷多解;
例3。 求解齐次线性方程组
x1 2 x1
2x2 x3 x2 2x3
x4 0 2x4
0
.
x1 x2 4 x3 3 x4 0
解：
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
Ax b RA RB n Ax b有唯一解; RA RB n Ax b有无穷多解.
解法：
齐次线性方程组：系数矩阵化成行 最简形矩阵，便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成 行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解 ．若有解，化成行最简形矩阵，便可 写出其通解；
秩：线性方程组保留方程组 的个数；
矩阵中最高阶非零子式的 阶数；
将矩阵化阶梯型后的阶梯 的个数
线性方程组中非自由变量个 数
秩：的应用之一：
3.4 线性方程组的解(教案)
【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
解法1 对增广矩阵无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。
初中方程组的解的判定
初中方程组的解的判定初中阶段，学生开始接触方程组的求解，并学习如何判断一个方程组是否有解、有唯一解还是有无穷多解。
本文将介绍初中方程组解的判定方法，帮助学生更好地理解和掌握这个知识点。
一、方程组的类型在进行解的判定之前，我们首先需要了解不同类型的方程组。
根据方程的个数和变量的个数，方程组可以分为三类：含有相同个数的线性方程、含有多个变量的方程和含有不同数量的方程。
1. 含有相同个数的线性方程组线性方程组是指其中的方程都是一次方程的方程组。
当方程个数和未知数个数相等时，我们称之为含有相同个数的线性方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y = 72. 含有多个变量的方程组含有多个变量的方程组指的是方程组中的方程含有多个未知数。
例如：2x + 3y - z = 54x - 5y + 2z = 73x + 2y + z = 33. 含有不同数量的方程的方程组当方程的个数和未知数个数不相等时，我们称之为含有不同数量的方程的方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y + 2z = 7二、方程组解的判定方法1. 含有相同个数的线性方程组的解判定对于含有相同个数的线性方程组，我们可以通过消元法或代入法来判断其解的情况。
a. 消元法通过消元法，将方程组化为行简化阶梯矩阵，然后根据行简化阶梯矩阵的形式进行解的判断。
如果行简化阶梯矩阵中的行数与列数相等，并且每个未知数对应的列都有主元素（主元素是指矩阵中所在行的首个非零元素），则方程组有唯一解。
如果行简化阶梯矩阵中的行数小于列数，那么方程组有无穷多解。
如果行简化阶梯矩阵中出现了全为0的行，且主元素不在最后一列，那么方程组无解。
b. 代入法通过代入法，将一个方程的变量表示为其他变量的表达式，然后代入到其他方程中进行求解。
如果代入后的方程组得到了一个恒等式，即等式为真，则方程组有无穷多解。
如果代入后的方程组得到了一个矛盾式，即等式为假，则方程组无解。
2. 含有多个变量的方程组的解判定对于含有多个变量的方程组，我们需要使用高斯消元法或矩阵求逆的方法进行解的判断。
01线性方程组有解的条件
1 1 B ~ 0 1 0 0
1 2
1
1 2 1 1
2
2
1 1 当 1时, B ~ 0 1 1 0 0 2
2 1 2
定理6 矩阵方程Am×nXn×l=O只有零解的充要条件
是R(A)=n. R(A)=n
Amn Bnl AmnCnl
Bnl Cnl
四、小结
齐次线性方程组 Ax 0
R A n Ax 0只有零解;
R A n Ax 0有非零解.
非齐次线性方程组 Ax b RA RB n Ax b有唯一解;
2
2
1 1 当 1时, B ~ 0 1 1 0 0 2
2 1 2
这时又分两种情形：
1) 2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 1. 线性方程组 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm x1 b1 b2 x2 系数矩阵为 A (aij ) , x , b , x b n n 线性方程组可记为： Ax b
R A R B 3, 方程组有无穷多解 .
x1 1 c1 c2 其通解为 x c 2 1 x c 2 3
c1 , c2为任意实数 .
1 1 B ~ 0 1 0 0
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
线性方程组解的情况及其判别准则
摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。
本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。
介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。
关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples.Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank一、线性方程组理论的发展进程早在初等代数的学习中，我们就讨论过一元二次方程和二元一次方程组，他们是线性方程组中最简单的两种形式。
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定是一个重要的数学问题，它涉及到对一组未知量的求解。
解的判定问题的主要内容如下：
1. 系数矩阵存在不等式：在求解线性方程组时，首先要判断系数矩阵是否存在不等式，即是否存在元素值为负的情况：若存在，则解不存在；如果全部元素值都不为负，则判定解存在。
2. 是否存在无穷解：通常情况下，一个线性方程组只有唯一解，即只有一组解。
但也有可能存在无穷多解，即系数矩阵存在元素值全为0，此时解可以是任意一组数，因此可以判定存在无穷解。
3. 闭解的确定：当系数矩阵存在不等式或存在元素值全为0时，可以判定存在无穷解；当系数矩阵存在唯一解时，需要通过计算、符号识别和几何意义的结合，来确定具体的闭解。
4. 压缩可行性：压缩可行性判定法是指将求解所求出来的解，压缩在基本解所构成的空间上，以便表达出更复杂的结果。
5. 方程式系数：也可以通过方程式系数的分析，来判定方程组的解的存在与否，这是一种常用的判定方法。
从上述内容可以看到，线性方程组解的判定是一个复杂的数学问题，要想判断线性方程组的解的存在性，需要结合不等式判定、无穷解判定、压缩可行性判定以及方程式系数等步骤，一步步进行判断，才能正确地确定某个线性方程组的解的存在性。
线性方程组的解的判定
1 4
1
r1
- 2r2
0
0 1
-2 2
-5 3 4
r2
(-3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x4 0 - 2x4
0
.
x1 - x2 - 4 x3 - 3 x4 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 r3
-
2r1 r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
r3 - r2
1 0
2 1
2 2
即( AX1, AX2 ,L AXn ) (b1,b2 ,L bn ) 所以等价于AXi bi ,i 1,2,L n. () : 若R( A) R( AMB), ( AMB) ( A,b1,b2,L bn ), 又R( A) R( AMbi ) R( AMB), R( A) R( AMbi ) 由定理2知，存在X i ,使得AX i bi 故存在X ,使得AX B
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
1 - 1 0 0 0 a1
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
3.4 齐次线性方程组
解:对矩阵 A 作初等行变换,化为行简化阶梯形矩阵:
1 2 1 1 1 1 2 4 3 1 1 0 A= → → 1 2 1 3 3 0 0 0 2 4 2 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 0 0 0 0 2 0 0
x1 = 2 x2 2 x5 得 x3 = x5 ( x2 , x5为自由未知量) x = 0 4
xr +1 1 0 0 xr + 2 0 1 , , ,0 = 1 xn 0 0
共n r个
代入上述一般解公式,即求得AX = O 的基础解系.
3. 齐次线性方程组的结构式通解 定理 设 A 是一个 m × n 矩阵,若秩( A) = r < n ,
而有 b1 = b2 = = bm = 0 ,故有 AX 0 = O ,即 X 0 也是 方程组 AX = O 的解.因此,方程组 AT AX = O 的基 础解系可由方程组 AX = O 的基础解系线性表示, 从而有 n r ( AT A) ≤ n r ( A) ,所以 r ( AT A) ≥ r ( A) . 综上述可得 r ( AT A) = r ( A) .再用 AT代替 A 就可得
复习
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件 及解的结构
齐次线性方程组的三种形式: 齐次线性方程组的三种形式: 一般形式 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0
程组 AT AX = O的解都是齐次线性方程组AX = O的解. 事实上,设 X 0 ∈ n 是方程组 AT AX = O 的一个解, 令 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T,则 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T ∈ m.
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的判定线性方程组是数学中常见的一类方程组，它的解的判定对于求解方程组和解释方程组所代表的实际问题具有重要意义。
本文将介绍线性方程组的解的判定方法，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的解。
一、线性方程组的定义和形式线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程的形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b，其中a₁、a₂、...、aₙ和b都是已知的常数，x₁、x₂、...、xₙ分别表示未知数。
二、线性方程组的解的分类1. 无解的情况当线性方程组中存在矛盾的方程时，即使尝试任何的解法，也无法找到满足所有方程的解。
这种情况下，线性方程组被称为无解。
2. 唯一解的情况当线性方程组中的所有方程可以通过某种方法相互线性无关地表示出来时，存在唯一的解。
这种情况下，线性方程组被称为有唯一解。
3. 无穷多解的情况当线性方程组中的某些方程可以通过某种方法表示为其他方程的线性组合时，存在无穷多的解。
这种情况下，线性方程组被称为有无穷多解。
三、线性方程组解的判定方法1. 利用高斯消元法判定解的情况高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，通过将线性方程组化简为阶梯形矩阵，可以判定解的情况。
具体判定如下：- 如果阶梯形矩阵中存在行中全为0但右侧常数项不为0的情况，则线性方程组无解。
- 如果阶梯形矩阵中行的个数（非全0行）等于未知数的个数，则线性方程组有唯一解。
- 如果阶梯形矩阵中行的个数（非全0行）小于未知数的个数，则线性方程组有无穷多解。
2. 利用矩阵行列式判定解的情况根据线性代数的知识，矩阵行列式的值可以用来判定线性方程组的解的情况。
具体判定如下：- 如果线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则线性方程组有唯一解。
- 如果线性方程组的系数矩阵的行列式等于0，且增广矩阵的行最简形式中，最后一列除了主元所在的行外，其他行均为全零行，则线性方程组有无穷多解。
- 如果线性方程组的系数矩阵的行列式等于0，但增广矩阵的行最简形式中，最后一列除了主元所在的行外，存在非全零行，则线性方程组无解。
线性方程组有解的判别定理
非齐次线性方程组同解的讨论摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解.关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。
下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出11121121222212n n m m mn ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，b= 12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
即非齐次线性方程组可写成Ax b =。
一 、线性方程组同解的性质引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为212,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。
从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.引理[1]2 设A 、B 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =.证明 充分性显然成立。
线性方程组有解的判定定理
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
-5 3 4
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
2c1
5 3
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 - 2 3 - 1 1 B 3 -1 5 - 3 2
2 1 2 - 2 3
1 - 2 3 - 1 1
0 5 - 4 0 -1
0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
c2 ,
x2
-2c1
-
4 3
c2 ,
x3 c1,
x4
c2
,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
3 -4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
线性代数7.方程组解的判定、向量的线性运算
定义 n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n维向量， 这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量
(1,3i,3 i)
3维复向量
n 维向量的表示方法
c2 ,
x3 c1,
x4 c2 ,
或：
x1 x2 x3 x4
5 2c1 3 c2
2c1
4 3
c2
c1
c2
5
c1
2 2 1
c2
3 4
3
.
0
0
1
例 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x23x3 5ຫໍສະໝຸດ 3x4 3 x4R A
R A,b
3
方程组有唯一解
1 1 2 4
当
-2 时，
A,b
r
0
3
3
6
0 0 0 3
R A 2
R
A,b
3
R A
R A,b
方程组无解
1 1 1
当
1 时， A,b
r
0
0
0
由等价方程组：
0 0 0
x1 x2
1
0
0
x3
R A 1
R
A,b
1
1.
R A
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 2
.
x1
x2
2x3
3x4
1
解 写出增广矩阵并进行初等行变换至行阶梯形得：
线性方程组有解判别定理
x1 2bx2 x3 4
何时有解？何时无解？
在有解的时候求出它的一般解．
例2 讨论线性方程组是否有解？
x1 x2 x3 1
aa
ax1 bx2 2 x1 b2 x2 3 x1 b3 x2
cx3 d c2 x3 d c3 x3 d
2 3
a,b,c,d 各不相同．
四、作业 P
一、有解的判别定理
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1
设线性方程组
aa2s11Lxx11L
a22 x2 L LLLL as2 x2 L
a2n xn LLLL asn xn
b2 bs
(1)
其系数矩阵A和增广矩阵 A 分别为
a11 a12 L
A
a21 L
a22 L
a1r L 0, arr
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1
a21 x1 LL
ar1 x1
a22 x2 L LLLL ar2 x2 L
a2n xn LLLL arn xn
b2 br
例1 讨论线性方程组
ax1 x2 x1 bx2
x3 x3
4 3
所以，方程组(1)有解．
总之，线性方程组(1)有解 R( A) R( A).
并且，若 R( A) R(则A)(1)n有, 唯一解；
若 R( A) R(则A)(1)n有无穷多个解.
附
a11 L
若R( A) R( A) r, 且 r 级子式 L L
ar1 L
则方程组(1)与下面的方程组是同解的.
所以 R( A) R( A).
反过来，若 R( A) R( A)，则
rank{1,2 ,L ,n } rank{1,2,L ,n, } 设 i1 ,i2 ,L ,ir 为1,2 ,L ,n 的一个极大无关组， 则 i1 ,i2 ,L ,ir 也为1,2 ,L ,n , 的极大无关组， ∴向量组 1,2 ,L ,n 与 1,2 ,L ,n , 等价， 从而 可由向量组 1,2 ,L ,n 线性表出，
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1 1 λ λ2 2 ~ 0 λ −1 1− λ λ −λ 0 0 2 − λ − λ2 1 + λ − λ 2 − λ3 1 1 = 0 λ −1 0 0
λ
1− λ (1 − λ )(2 + λ )
λ (1 − λ ) 2 (1 − λ )(1 + λ )
其中x2 , x4任意.
例4 设有线性方程组
λx1 + x2 + x3 = 1 x1 + λx2 + x3 = λ x + x + λ x = λ2 1 2 3
问λ取何值时, 无解 ? 有唯一解？有无穷多个解 ?
作初等行变换， 解 对增广矩阵 B = ( A, b ) 作初等行变换，
§3.3 线性方程组 解的结构
一、线性方程组有解的判定条件
问题： 问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 的秩，
的解． 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R( A) < n. 定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
定理2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩.
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 1 0 0 x = x 2 0 + x4 2 + 1 2 . 3 0 1 0 x 4
证 必要性． 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) < R(B ), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０ 方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾. 因此 R(A) = R(B ).
充分性. 充分性. 设 R(A) = R(B ), 设 R(A) = R(B ) = r (r ≤ n ),
5 x1 = 2x3 + 3 x4 , 由此即得 4 x2 = −2x3 − x4 , ( x3 , x4 可任意取值 ). 3
令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
5 x1 = 2c2 + 3 c2 , x = −2c − 4 c , 2 2 2 3 x = c , 3 1 x4 = c2 ,
非齐次线性方程组 Am×n x = b
R(A) = R(B ) = n ⇔ Ax = b有唯一解;
有无穷多解. R(A) = R(B ) < n ⇔ Ax = b有无穷多解.
个非零行， 则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行， 把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 非自由未知量,
个作为自由未知量, 其余 n − r个作为自由未知量, 个自由未知量全取0 并令 n − r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 即可得方程组的一个解． 证毕
小结 R(A) = R(B ) = n ⇔ Ax = b有唯一解 有无穷多解. R(A) = R(B ) < n ⇔ Ax = b有无穷多解. 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 便可写出其通解； 非齐次线性方程组： 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 便可判断其是否有解．若有解， 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解； 简形矩阵，便可写出其通解；
2
2) λ = −2时,
1 1 − 2 4 B ~ 0 − 3 3 − 6 0 0 0 3
R ( A ) ≠ R ( B ),故方程组无解 . 故方程组无解
三、小结
齐次线性方程组 Am×n x = 0
只有零解 R( A) = n ⇔ Ax = 0只有零解 ; R( A) < n ⇔ Ax = 0有非零解 . 有非零解
5 1 0 − 2 − 1 2 2 1 3 r3 − r2 4 r1 − 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ÷ ( −3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 − 2x3 − 3 x4 = 0, 4 x2 + 2x3 + x4 = 0, 3
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3,
故方程组无解． 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 − x2 − x3 + x4 = 0 . x1 − x2 + x3 − 3 x4 = 1 x − x − 2x + 3x = −1 2 1 2 3 4
解 对增广矩阵 进行初等变换 对增广矩阵B进行初等变换
λ2
(1) 当λ = 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
R ( A ) = R ( B ) < 3, 方程组有无穷多解 .
x1 = 1 − x2 − x3 其通解为 x2 = x2 x = x 3 3
( x 2 , x 3为任意实数 ).
由于R( A) = R( B ) = 2, 故方程组有解，且有 故方程组有解，
x1 = x2 + x4 + 1 2 x = x + 0x x1 = x2 + x4 + 1 2 2 2 4 ⇔ x 3 = 2 x4 + 1 2 x 3 = 0 x 2 + 2 x4 + 1 2 x 4 = 0 x 2 + x4
B =1 1 λ 1 1 1 1 1 λ ~1 λ2 λ
λ
1
λ λ2 λ 1 λ
1 1 1 1
λ
1 1 λ ~ 0 λ −1 1− λ 0 1 − λ 1 − λ2
λ2 2 λ −λ 1 − λ2
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ B ~ 0 1 −1 0 0 2 + λ
这时又分两种情形： 这时又分两种情形：
λ2 −λ 2 (1 + λ )
1) λ ≠ −2时, R( A) = R( B ) = 3, 方程组有唯一解 :
(λ + 1) λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ+2 λ+2 λ+2
0 0 1 −1 −1 1 1 − 1 − 1 1 B = 1 − 1 1 − 3 1 ~ 0 0 2 − 4 1 1 − 1 − 2 3 − 1 2 0 0 − 1 2 − 1 2
1 − 1 0 − 1 1 2 ~ 0 0 1 − 2 1 2 . 0 0 0 0 0
二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 . x − x − 4x − 3x = 0 1 2 3 4 解
施行初等行变换： 对系数矩阵 A 施行初等行变换： 1 2 2 1 1 2 2 1 r2 − 2r1 A = 2 1 − 2 − 2 0 − 3 − 6 − 4 1 − 1 − 4 − 3 r3 − r1 0 − 3 − 6 − 4
5 x1 2 3 x2 − 2 c − 4 . ∴ = c1 + 2 3 x3 1 0 0 x 4 1
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换 1 − 2 3 − 1 1 r2 − 2r1 1 − 2 3 − 1 1 r −r B = 3 − 1 5 − 3 2 3 1 0 5 − 4 0 − 1 2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 0 − 4 0 1 2 5 0 解