每个原子对X射线进行弹性散射
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hkl
a, b , c 为与 G h
对应的正格 矢 R 的基矢 n
f je
j
S
i 2 ( hu j kv j lw j )
几何结构因子不一定为实数！ 一个晶胞产生的散射波在所考虑的方向上的强度：
2
I hkl S G hkl
S j
* S G hkl S G hkl
S j
I hkl [ f j cos 2 (hu j kv j lw j )]2 [ f j sin 2 (hu j kv j lw j )]2
k k k Gh
0
k k k Gh
1 (Gh ) ( r )e iGh r dV
证明: 当 k
F = dV Gh e dV G e
0 h Gh
0 k k Gh 时，F dV Gh0
dV f j e
j 1
iGh rj
如果晶体中含有N个晶胞，每个晶胞含有S个原子：
F N f je
j 1
S
iGh r j
G h 对应的正格矢为 R n(布拉伐格子的基矢)
rj
代表基元中原子的位置
iGh rj
几何结构因子：S
Gh
f je
j
S
几何结构因子——晶胞中所有原子的散射波在所考虑的方
(实空间)
反射球 —— 爱瓦尔德(Ewald )球
设入射线沿CO方向，取线段 CO= 2π/ ，其中是X射线的波 长，再以C为圆心，以2π/为半径 所作的球就是反射球。
—— 若P是球面上的一个倒格点，则有
CP就是以OP为倒格矢的一族晶面(h1 h2 h3)的反射方向 —— 和 Gn 垂直的虚线，表示晶面族(h1 h2 h3)的迹
i ( Gh k )r
0 i ( Gh k )r
dV G e
' h
' Gh
' i ( Gh k )r
0 dV Gh
0
' Gh k
F dV Gh e
Gh k k k Gh
i [ Gh ( k k )]r
电子产生的散射 )
原子散射因子： f j
e
iGh
dV
原子散射因子—— 原子内所有电子的散射波的振幅的几何 和与一个电子的散射波的振幅之比 （在上面的推导中，电子的散射波振幅被当作1）
F e
j 1
iGh rj
e
j
iGh
5. 衍射强度
假定一个体积元 dV 对X射线的 散射波的振幅正比于该处的电子 数，设电子浓度为 (r ) ，则 dV 在 k 方向上的散射波的振幅为：
A
B
C
e
i ( k k )r
(r )dV
iGh r ( r ) G e 其中 h Gh
晶体在 k 方向上的散射振幅为所有体积元在该方向上的散射 波振幅之和：
向上的振幅与一个电子的散射波振幅之比
F N f je
j 1
S
iGh rj
NSG
h
几何结构因子：SG
h
fe
j j
S
iGh rj
设晶胞内第j个原子的位矢： rj u j a v j b w j c
设倒格矢： Ghkl ha* kb * lc * 几何结构因子： S G
dV Gh 0
当 k ' k Gh(劳厄方程)时， 散射波的振幅为
k k k Gh
1 (G h )
( r ) e iG h r dV
F dV Gh (Gh )V
晶体对X射线的衍射是所有电子的散射波发生相长干涉时产
—— 如果已知原子的散射因子，由衍射强度可以得到原胞中原子的排列 —— 如果已知原胞中原子的排列，则可以决定衍射加强和消失的规律
结构因子有可能使Laue条件允许的某些衍射斑点消失！ 【例1】体心立方晶胞 —— 两个原子:
(0.0, 0.0, 0.0) (0.5, 0.5, 0.5)
如果晶体由一种原子构成，原子散射因子相同， 晶面族(h k l)的衍射波的结构因子：
将电子浓度 (r ) 写成晶胞中每个原子j 在 r 处贡献的
电子浓度函数
j (r rj ) 的叠加：
r j r rj
j 1
F dV r e
令： r rj
iGh r
wk.baidu.com
j r rj e
上讲回顾
布拉格定律： 2d sin
Bragg假设入射波在原子平面作镜面反射 布拉格定律只是晶体周期性的结果 不涉及到基元中原子的具体排列情况 每个原子对X射线进行弹性散射，晶体 对X射线的衍射是所有原子的散射波发
生相长干涉时产生的最大衍射峰
劳厄方程：
k k0 Gn (倒空间)
2dh1h2h3 sin n
生的。电子浓度的晶格空间周期性决定了衍射极大的条件， 也就是说Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件。
散射波的振幅为： F
dV r e
i k k r
(最初的表达式)
iGh r
满足衍射条件 k ' k Gh 时： F dV r e
F dV r e
Gh
i k k r
F dV Gh e
i[ Gh ( k k )]r
F dV Gh e
Gh
i[ Gh ( k k )]r
dV Gh
j 1 iGh ( rj )
iGh r
dV
F j e
j 1
dV
F j e
j 1
iGh ( rj )
dV
e
j 1
iGh rj
e
j
j
iGh
dV
( 第 j 个原子的所有
a, b , c 为与 G h
对应的正格 矢 R 的基矢 n
f je
j
S
i 2 ( hu j kv j lw j )
几何结构因子不一定为实数！ 一个晶胞产生的散射波在所考虑的方向上的强度：
2
I hkl S G hkl
S j
* S G hkl S G hkl
S j
I hkl [ f j cos 2 (hu j kv j lw j )]2 [ f j sin 2 (hu j kv j lw j )]2
k k k Gh
0
k k k Gh
1 (Gh ) ( r )e iGh r dV
证明: 当 k
F = dV Gh e dV G e
0 h Gh
0 k k Gh 时，F dV Gh0
dV f j e
j 1
iGh rj
如果晶体中含有N个晶胞，每个晶胞含有S个原子：
F N f je
j 1
S
iGh r j
G h 对应的正格矢为 R n(布拉伐格子的基矢)
rj
代表基元中原子的位置
iGh rj
几何结构因子：S
Gh
f je
j
S
几何结构因子——晶胞中所有原子的散射波在所考虑的方
(实空间)
反射球 —— 爱瓦尔德(Ewald )球
设入射线沿CO方向，取线段 CO= 2π/ ，其中是X射线的波 长，再以C为圆心，以2π/为半径 所作的球就是反射球。
—— 若P是球面上的一个倒格点，则有
CP就是以OP为倒格矢的一族晶面(h1 h2 h3)的反射方向 —— 和 Gn 垂直的虚线，表示晶面族(h1 h2 h3)的迹
i ( Gh k )r
0 i ( Gh k )r
dV G e
' h
' Gh
' i ( Gh k )r
0 dV Gh
0
' Gh k
F dV Gh e
Gh k k k Gh
i [ Gh ( k k )]r
电子产生的散射 )
原子散射因子： f j
e
iGh
dV
原子散射因子—— 原子内所有电子的散射波的振幅的几何 和与一个电子的散射波的振幅之比 （在上面的推导中，电子的散射波振幅被当作1）
F e
j 1
iGh rj
e
j
iGh
5. 衍射强度
假定一个体积元 dV 对X射线的 散射波的振幅正比于该处的电子 数，设电子浓度为 (r ) ，则 dV 在 k 方向上的散射波的振幅为：
A
B
C
e
i ( k k )r
(r )dV
iGh r ( r ) G e 其中 h Gh
晶体在 k 方向上的散射振幅为所有体积元在该方向上的散射 波振幅之和：
向上的振幅与一个电子的散射波振幅之比
F N f je
j 1
S
iGh rj
NSG
h
几何结构因子：SG
h
fe
j j
S
iGh rj
设晶胞内第j个原子的位矢： rj u j a v j b w j c
设倒格矢： Ghkl ha* kb * lc * 几何结构因子： S G
dV Gh 0
当 k ' k Gh(劳厄方程)时， 散射波的振幅为
k k k Gh
1 (G h )
( r ) e iG h r dV
F dV Gh (Gh )V
晶体对X射线的衍射是所有电子的散射波发生相长干涉时产
—— 如果已知原子的散射因子，由衍射强度可以得到原胞中原子的排列 —— 如果已知原胞中原子的排列，则可以决定衍射加强和消失的规律
结构因子有可能使Laue条件允许的某些衍射斑点消失！ 【例1】体心立方晶胞 —— 两个原子:
(0.0, 0.0, 0.0) (0.5, 0.5, 0.5)
如果晶体由一种原子构成，原子散射因子相同， 晶面族(h k l)的衍射波的结构因子：
将电子浓度 (r ) 写成晶胞中每个原子j 在 r 处贡献的
电子浓度函数
j (r rj ) 的叠加：
r j r rj
j 1
F dV r e
令： r rj
iGh r
wk.baidu.com
j r rj e
上讲回顾
布拉格定律： 2d sin
Bragg假设入射波在原子平面作镜面反射 布拉格定律只是晶体周期性的结果 不涉及到基元中原子的具体排列情况 每个原子对X射线进行弹性散射，晶体 对X射线的衍射是所有原子的散射波发
生相长干涉时产生的最大衍射峰
劳厄方程：
k k0 Gn (倒空间)
2dh1h2h3 sin n
生的。电子浓度的晶格空间周期性决定了衍射极大的条件， 也就是说Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件。
散射波的振幅为： F
dV r e
i k k r
(最初的表达式)
iGh r
满足衍射条件 k ' k Gh 时： F dV r e
F dV r e
Gh
i k k r
F dV Gh e
i[ Gh ( k k )]r
F dV Gh e
Gh
i[ Gh ( k k )]r
dV Gh
j 1 iGh ( rj )
iGh r
dV
F j e
j 1
dV
F j e
j 1
iGh ( rj )
dV
e
j 1
iGh rj
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j
j
iGh
dV
( 第 j 个原子的所有