三角函数的图像与性质

一、选择题

1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5

4，－1]

C ．[－5

4，1]

D ．[－1，5

4

]

[答案] C

[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2

＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5

4

≤y ≤1，选C.

2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π

3]上单调递增，

在区间[π3，π

2

]上单调递减，则ω＝( )

A ．3

B ．2 C.32 D.2

3

[答案] C

[解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π

ω，

∴2πω＝43π，∴ω＝32

.

故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C

[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π

2＝π，

且f (x )是奇函数．

(理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π

2)上是递增的

B ．f (x )的图像关于原点对称

C ．f (x )的最小正周期为2π

D ．f (x )的最大值为2 [答案] B

[解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关

于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π

8对称，则a 的值为

( )

A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－1

[答案] D

[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋a cos2x 可联想到形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π

8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从

而将x ＝－π

8

代入原式，可使函数取最大值或最小值．

即－22＋2

2a ＝±a 2＋1，∴a ＝－1.

解法2：由于函数图像关于直线x ＝－π

8对称

∴f (0)＝f (－π

4

)，∴a ＝－1，故选D.

5．已知函数f (x )＝3sin πx

R 图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[答案] D

[解析] f (x )的周期T ＝2π

πR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知

R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.

6．(文)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )

A ．ω＝2，θ＝π

2

B ．ω＝12，θ＝π

2

C ．ω＝12，θ＝π

4

D ．ω＝2，θ＝π

4

[答案] A

[解析] y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π， 所以θ＝π

2，y ＝2cos ωx ，

∴y ∈[－2,2]．又∵|x 1－x 2|min ＝π，

故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2π

ω＝π，所以ω＝2.故选A.

(理)(2011·安徽理，9)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为实数，若f (x )≤|f (π

6)|

对x ∈R 恒成立，且|f (π

2

)|>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )

A ．[k π－π3，k π＋π

6](k ∈Z)

B ．[k π，k π＋π

2](k ∈Z)

C ．[k π＋π6，k π＋2π

3](k ∈Z)

D ．[k π－π

2，k π](k ∈Z)

[答案] C

[解析] 本题主要考查正弦函数的有界性以及正弦函数的单调性． 若f (x )≤|f (π

6)|对x ∈R 恒成立，

则|f (π6)|＝|sin(π

3

＋φ)|＝1，

所以π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π

6，k ∈Z ，

由f (π

2)>f (π)，(k ∈Z)，可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．

即sin φ<0，所以φ＝2k π－5π

6，k ∈Z.

代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得f (x )＝sin(2x －5π

6)．

由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π

2，得

k π＋π6≤x ≤k π＋2π

3，故选C.

二、填空题

7．比较大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π10. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5________cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－17π4. [答案] (1)> (2)<

[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π

2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，

∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π10.

(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π5＝cos 3π5，

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4π＋π4＝cos π

4.

∵0<π4<3π

5

<π，

且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，