三角函数的图像与性质

一、选择题1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23[答案] C[解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2πω，∴2πω＝43π，∴ω＝32.故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且f (x )是奇函数．(理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋a cos2x 可联想到形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a 2＋1，∴a ＝－1.解法2：由于函数图像关于直线x ＝－π8对称∴f (0)＝f (－π4)，∴a ＝－1，故选D.5．已知函数f (x )＝3sin πxR 图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.6．(文)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4[答案] A[解析] y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π， 所以θ＝π2，y ＝2cos ωx ，∴y ∈[－2,2]．又∵|x 1－x 2|min ＝π，故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2πω＝π，所以ω＝2.故选A.(理)(2011·安徽理，9)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且|f (π2)|>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z)C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)D ．[k π－π2，k π](k ∈Z)[答案] C[解析] 本题主要考查正弦函数的有界性以及正弦函数的单调性． 若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，则|f (π6)|＝|sin(π3＋φ)|＝1，所以π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，由f (π2)>f (π)，(k ∈Z)，可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．即sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，k ∈Z.代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得f (x )＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，故选C.二、填空题7．比较大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5________cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4. [答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π5＝cos 3π5，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3) [解析]f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图像可知1<k <3.三、解答题9．(2012·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图像上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)， 求tan(α＋β)的值．[解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． (2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)，∴f (x )图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.(3)由f (α)＝f (β)得：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6， 又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z)， 即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.一、选择题1．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z) B ．k π＋π6 (k ∈Z)C ．k π＋π3 (k ∈Z)D ．k π－π3(k ∈Z)[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x ＋θ.由f (x )是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z)⇒θ＝k π－π3(k ∈Z)．故选D.解法2：∵函数f (x )为奇函数，定义域为R. ∴f (0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3(k ∈Z)．2．(文)(福建质量检查)若函数y ＝f (x )＋sin x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π4，3π4内单调递增，则f (x )可以是( )A ．sin(π－x )B ．cos(π－x )C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x D ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x [答案] B[解析] 若f (x )＝sin(π－x )，则y ＝f (x )＋sin x ＝2sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4内不是单调递增的，故排除A ；若f (x )＝cos(π－x )＝－cos x ，则f (x )＋sin x ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.因为－π4<x <3π4，所以－π2<x －π4<π2，故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间 ⎝⎛⎭⎪⎫－π4，3π4内单调递增，应选B.(理)(2011·新课标卷理，12)函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] 本题主要考查了正弦函数的性质以及数形结合法． 依题意：两函数的图像如下图所示：由两函数的对称性可知：交点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8的横坐标满足x 1＋x 8＝2，x 2＋x 7＝2，x 3＋x 6＝2，x 4＋x 5＝2，即x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8，故选D.二、填空题3．(2011·辽宁理，16)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如下图，则f (π24)＝______.[答案]3[解析] 本小题考查内容为正切函数的图像与解析式． ∵T ＝π2＝πω，∴ω＝2.当x ＝0时，f (0)＝A tan φ＝1，当x ＝3π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，∴φ＝π4，A ＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.4．(文)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． [答案]32[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋2π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. (理)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是______________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)．∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6. 当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知， 2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z)． ∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z)．当k ＝0时 ，－5≤t ≤1；当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]．三、解答题5．(2012·深圳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋a cos2x2，a为常数，a∈R，且x＝π2是方程f(x)＝0的解．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．[解析](1)f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝sinπ2＋a cos2π4＝0，则1＋12a＝0，解得a＝－2.所以f(x)＝sin x－2cos2x2＝sin x－cos x－1，则f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π4－1.所以函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由x∈[0，π]，得x－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则2sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π4－1∈[－2，2－1]，所以y＝f(x)值域为[－2，2－1]．6．(2011·北京理，15)已知函数f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ∴f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取到最大值2； 当2x ＋π6＝－π6即x ＝－π6时，f (x )取到最小值－1. ∴f (x )的最大值和最小值分别是2和－1.7．已知函数f (x )＝log 12(sin x －cos x )． (1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4入手．对于(3)则看f (x )的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f (x ＋T )＝f (x )先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sin x －cos x >0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4>0，从而得2kπ<x －π4<2kπ＋π(k ∈Z)． ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2kπ＋π4<x <2kπ＋54π，k ∈Z . ∵0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，∴0<sin x －cos x ≤2， 即有log 12 2≤log 12(sin x －cos x )． 故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)∵sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在f (x )的定义域上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z)， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z)； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z)． (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数．(4)∵f (x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sin x －cos x )＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π.[点评]本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sin x－cos x 化为A sin(ωx＋φ)的形式．。