迭代法解非线性方程
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。
下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。
第一种迭代法是逐次缩小区间法。
逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。
算法步骤如下：1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。
2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。
3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。
逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。
第二种迭代法是割线法。
割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。
算法步骤如下：1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。
2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。
3. 重复步骤2，直到满足精度要求。
割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。
弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。
弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。
三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。
在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。
2.2 迭代法
= ϕ ' (ξ )( x * − x * *) ≤ L x * − x * *
又， L < 1
⇒ x* = x * *
计算方法
② ∀x0 ∈ [a, b] 则 xk +1 − x *= ϕ ( xk ) − ϕ ( x*) = ϕ ' (ξ )( xk − x*)
≤ L xk − x * ≤ L2 xk −1 − x * x k +1 − x *
计算方法
二、收敛性分析
定理2.1 （全局收敛定理） 全局收敛定理） 定理
在区间[a,b]上可导 上可导 设ϕ ( x )在[a, b] 在区间
a （1）当a ≤ x ≤ b时， ≤ ϕ ( x ) ≤ b;
( 2) ∀x ∈ [a, b], | ϕ ' ( x ) |≤ L < 1 ( L为常数） 为常数）
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
x n +1 = ϕ ( x n )
Remark1：全局与局部收敛定理中的条件都是充分 Remark1： 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。
p! p!
由迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ) 及 x * = ϕ ( x * ) 有 ϕ ( p ) (ξ ) * * p
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
第4章 非线性方程求根的迭代法
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18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
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19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
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20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
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30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
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31
简单迭代收敛情况的几何解释
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32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
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48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
数值分析第四章 解非线性方程的迭代法
即
(xk+1-α)2≈(xk-α)(xk+2-α) xk+12-2xk+1α+α2≈xkxk+2-(xk+xk+2)α+α2
解得
x k x k + 2 x k2+1 α≈ x k + 2 2 x k +1 + x k
( x k +1 x k ) 2 = xk x k + 2 2 x k +1 + x k
可见,|xk-xk-1|充分小可保证|xk-α|充分小, 而且对任 一ε>0,要使|xk-α|<ε, 只要 k > ln ε (1 L) ÷ ln L x1 x 0
证 记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a≥0, (b)=(b)b≤0, 由(x)的连续性,必存在α∈[a,b]使(α)=(α)-α=0, 即α=(α), 又′(x)=′(x)-1<0, 所以x=(x)的根唯一. |xk+1-xk|=|(xk)-(xk-1)| =|′(ξ)(xk-xk-1)|≤L|xk-xk-1| |xk+1-α|=|(xk)-(α)|=|′(ξ)(xk-α)|≤L|xk-α| |xk-α|=|(xk-xk+1)+(xk+1-α)| ≤|xk-xk+1|+|xk+1-α|≤L|xk-xk-1|+L|xk-α| 于是有:
k 0 1 2 3 4 5 xk 0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 |xk-xk-1| 0.10653 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 k 6 7 8 9 10 xk 0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00631 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究
牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究摘要：牛顿迭代法是求解非线性方程的根的常用方法。
在实际计算中往往会遇到重根情况，针对这种情况，我们在牛顿迭代法的理论基础上，探讨了三种不同的迭代格式。
为了对比这三种方法，本文进行了两个实验，分别是含有重根的非线性方程求解问题实例和牛顿迭代法在求解购房按揭利率的应用实例。
在分析运算结果后，得出了三种算法优势和劣势。
关键词：牛顿迭代法；MA TLAB；重根Abstract：Newton iteration method is a common method to solve the roots of nonlinear equations. In order to solve this problem, we discuss three different iteration schemes based on Newton iteration method. In order to compare the three methods, two experiments are carried out in this paper, one is the solving of nonlinear equations with heavy roots, and the other is the application of Newton iteration method in solving house mortgage interest rate. The advantages and disadvantages of three algorithms are obtained after analyzing the results.Key words：Newton iterative method；MA TLAB；Root weight目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)目录 (Ⅱ)1 相关概念 (1)1.1 非线性方程 (1)1.2 重根问题 (1)1.3 不动点和不动点迭代法 (1)1.4 迭代法的收敛性 (2)2 牛顿迭代法 (2)2.1 牛顿迭代算法 (2)2.2 重根情形 (3)3 牛顿迭代法的数值实验 (5)3.1 实验一 (5)3.2 实验二 (7)4 结论 (8)参考文献： (9)附录 (10)附录A 算法1 (10)附录B 算法2 (10)附录C 算法3 (11)附录D 实验一程序 (11)附录E 算法1 (12)附录F 算法2 (12)附录G 算法3 (13)附录H 实验二程序 (13)1 相关概念1.1 非线性方程在科学和工程计算中存在大量的方程()0f x =求根的问题，比如代数方程10110n n n n a x a x a x a --++++=，其中00a ≠，当1,2n =时其解是熟知的，当3,4n =时解的公式可以在数学手册上查到，但是当5n ≥时，方程的跟是不能用四则运算和根式运算的公式表示出来的。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
改进的牛顿迭代法
改进的牛顿迭代法求解非线性方程摘要：牛顿法思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，但是其对初值、波动和可能出现的不收敛等缺点，而牛顿下山法克服了可能出现的发散的缺点。
关键词：牛顿法、牛顿下山法、非线性方程一、牛顿法的迭代公式设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当*0x x →时，由Taylor 公式有：))(()()(000x x x f x f x f -'+≈以方程0))(()(000=-'+x x x f x f近似方程0)(=x f ，其解)()(0001x f x f x x '-= 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式),1,0(,)()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 该方法称为牛顿迭代法。
二、牛顿法的改进由于牛顿法缺点对牛顿法进行改进，使其计算简单，无需每次迭代都去计算)(x f '，且能够更好的收敛。
2.1简化的牛顿法牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算)(k x f '。
为回避该问题，常用一个固定 )(k x f '迭代若干步后再求)(k x f '。
这就是简化牛顿法的基本思想。
简化牛顿法的公式为：)(1k k k x cf x x -=+迭代函数 )()(x cf x x -=ϕ若 2)(0,1)(1)(<'<<'-='x f c x f c x 即ϕ，在根*x 附近成立，则迭代法局部收敛。
显然此法简化了计算量，却降低了收敛速度。
2.2牛顿下山法牛顿法的缺点二是其收敛依赖与初值0x 的选取，若0x 偏离所求根*x 较远，则牛顿法可能发散。
为防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项条件，即具有单调性：)()(1k k x f x f <+保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
非线性解法
解非线性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。
几何非线性有限元方法：1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation）在整个分析过程中，以t=0时的位形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为完全的拉格朗日列式（T.L法）对于任意应力-应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：式（1）式中各量分别为：应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵；单元的应力向量；杆端位移向量；V是单元体积分域，对T.L列式，是变形前的单元体积域；单元杆端力向量；直接按上式建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。
在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。
将式（1）写成微分形式变形后得：式（2）这就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。
式中为：单元弹性刚度矩阵、单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵、初应力刚度矩阵、三个刚度矩阵之和，称为单元切线刚度矩阵。
2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation）在建立t+∆t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U.L列式）。
增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：式（3）3、T.L列式与U.L列式的比较T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到多个实际例题的证明。
T.L列式与U.L列式的不同点比较内容| T.L列式| U.L列式| 注意点计算单刚的积分域| 在初始构形的体积域内进行| 在变形后的t时刻体积域内进行| U.L列式必须保留节点坐标值精度| 保留了刚度阵中所有线性与非线性项| 忽略了高阶非线性| U.L列式的荷载增量不能过大单刚组集成总刚| 用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程不变| 用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变| U.L列式中组集荷载向量也必须注意方向余弦的改变本构关系的处理| 在大应变时，非线性本构关系不易引入| 比较容易引入大应变非线性本构关系| U.L方法更适用于混凝土徐变分析从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析。
非线性方程与非线性方程组的迭代解法一【精选】
二、简单迭代法及其收敛性
1、基本思想 将方程（1）改写成等价形式
x x
构造迭代公式
（2）
xk1 xk , k 0,1,2,
x0 R
（3）
由此产生一迭代序列
xk
k 1
。在一定的条件下我们希望该序列
且收敛于 s。
3、收敛阶
定义1：设序列 xk 收敛于 s , 并且 ek s xk 0 , k 0,1,2,。如果存在常
数 r 1和常数c 0 , 使得 lim ek1 c 成立 , 或者使得当k K (某个正整数)
e k
r
k
时,有
ek 1 ek r
c 成立 , 则称序列 xk 收敛于s 且具有r 阶收敛速度，简称 xk
是 r 阶收敛的 , 常数 c 称为渐近收敛常数 (收敛因子)。
r=1；r=2；r>1
定理4.3：设函数 xCa,b, xCa,b , 且满足以下条件
（1） 当x a,b时 , xa,b；
是收敛的，于是当k充分大时，可取 xk 作为方程（1）的近似根。
迭代法（3）称为求解方程（1）的简单迭代法，x 称为
迭代函数。
注：xk1 xk , 两边取极限 , s s , 即s 是迭代函数 x不动点 。
故简单迭代法又称为不动点迭代法。
收敛情形
不收敛情形
问题1：这样求根的近似值的理论依据是什么？
设 f xC a,b , 并且 f a f b 0 , 对分法具体算法流程参 page67。
k N , s ak ,bk , xk
ak bk 2
,
求解非线性方程的牛顿迭代法
求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。
文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。
紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。
关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。
若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。
这类问题称为求根问题或求零点问题。
此外，方程的根的情况可分为单根和重根。
一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。
若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。
求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。
（2）有根区间的确定。
本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。
（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。
二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
picard迭代法 解方程组 matlab
题目：探究Picard迭代法及其在解方程组中的应用在数值分析领域，Picard迭代法是一种常用的迭代方法，用于求解非线性方程组和微分方程的数值解。
在本文中，我们将深入探讨Picard迭代法的原理、特点以及在解方程组中的应用，并探讨其在Matlab中的实现方法。
一、Picard迭代法的原理和特点1. Picard迭代法的原理Picard迭代法是一种迭代求解非线性方程组的方法，其原理基于不动点定理。
对于一个非线性方程组F(x) = 0，我们可以将其转化为x =G(x)，其中G(x) = x - F(x)。
Picard迭代法的基本思想就是不断迭代求解x = G(x)，直到收敛到方程组的解。
2. Picard迭代法的特点Picard迭代法的收敛性和速度取决于迭代函数G(x)的选择。
一般来说，迭代函数G(x)的选择需要满足Lipschitz条件，以保证收敛性。
Picard 迭代法在迭代过程中需要不断计算迭代函数的导数，因此对于复杂的非线性方程组可能存在收敛困难的问题。
二、Picard迭代法的应用Picard迭代法在解决非线性方程组和微分方程的数值解中有着广泛的应用。
在实际问题中，许多方程组无法通过解析方法求解，因此需要借助数值方法进行求解。
Picard迭代法作为一种简单而有效的数值求解方法，在工程、物理、经济等领域都有着重要的应用价值。
三、Matlab中的Picard迭代法实现在Matlab中，我们可以通过编写函数来实现Picard迭代法的数值求解过程。
需要定义迭代函数G(x)，然后通过编写循环结构来进行迭代计算，直至满足收敛条件为止。
通过Matlab的强大计算功能和图形化界面，我们可以直观地观察迭代过程和结果，从而更加深入地理解Picard迭代法的应用。
四、个人观点和理解作为一种经典的迭代求解方法，Picard迭代法在解决非线性方程组和微分方程的数值解中发挥着重要作用。
在实际工程和科研中，我们常常会遇到涉及非线性方程组的求解问题，此时可以考虑采用Picard迭代法进行数值求解。
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求解非线性方程 的迭代法
一、迭代法原理 二、弦截法
三、牛顿法
四、小结
求解非线性方程的迭代法
一、迭代法原理
1. 迭代法的思想
迭代法是数值计算中的一类典型方法， 不仅用于方程求根，而且可用于方程组求解， 矩阵求特征值等许多问题。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。 首先取一个粗糙的近似值，然后用同一个递推 公式，反复校正这个初值，直到满足给定的精 度为止。迭代法的关键在于构造递推公式。
(x) 的不动点
数
当迭代序列收敛时，称迭代公式收敛或迭代收 敛，否则称迭代发散。 这种求非线性方程根的方法称为迭代法。
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求解非线性方程的迭代法
2. 迭代法的收敛性
关于迭代法的收敛性与迭代函数之间的关系， 我们不加证明地给出如下几个定理。
定理 1
设( x)在区间[a,b]上具有一阶连续的导数，
(3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f
(x)=0在区间[a,b]上的一个根。
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求解非线性方程的迭代法
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
f
ba (b) f (a)
f (a),
xk1 xk1
a b
f f
xk a (xk) f
xk b (xk) f
(a) (b)
xk1xkff'((x xkk)),k1,2,
求解非线性方程的迭代法
3.迭代法的局部收敛性
定理 2
设方程 x (x)有根 x *，且在 x *的某个邻域 D { x x x * }内( x)存在一阶连续的导数，
那么
(1)当 x D ,| '( x) | 1时,迭代公式 xk1 ( xk )
是局部收敛的；
(2)当 x D ,| '( x) | 1时,迭代公式 xk1 ( xk )
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求解非线性方程的迭代法
构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x (x)
从某个近似根 x0 出发，计算
xk1 (xk) k = 0, 1, 2, ... ...
得到一个迭代序列
xk
k0
迭代公式
迭
f (x) = 0 等价变换 x = (x)
代 函
f (x) 的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精 度,root函数的零点,n迭代次数
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求解非线性方程的迭代法
例 1 用弦截法求方程ln x x 2在区间[1,4]上 的一个根.
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求解非线性方程的迭代法
三、牛顿法
1. 牛顿法的基本思想
用线性方程来近似非线性方程，即采用 线性化方法， 对于非线性方程 f (x)=0 ,将 f (x) 在 xk 处 作 Taylor 展开,去掉高阶项后得
f ( x ) f ( x k ) f ( x k ) x ( x k ) 如果f(xk)≠0,用xk+1代替x,由f(x)=0可得 下列迭代公式
f (a), f (b),
f (a) f (xk)0 f (a) f (xk)0
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求解非线性方程的迭代法
3.弦截法的Matlab编程实现 function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精 度,root函数的零点
显然，p越大收敛越快。
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求解非线性方程的迭代法
4.收敛的阶
定理 3 若( x)在 x *附近的某个邻域内有 p( p 1)
阶连续导数，且
( x*) x*,'( x*) 0, , ( p1)( x*) 0, ( p) 0
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
且满足下面 2 个条件：
（1）当 x [a,b]时，( x)[a,b]；
（2）存在正常数 L 1，使得对任意 x [a,b]，有
| ( x) | L。
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求解非线性方程的迭代法
2. 迭代法的收敛性定来自 1那么（i）方程 x ( x)在[a,b]上有唯一根x*；
（ii）对任意 x0 [a,b]，迭代公式 xk1 ( xk )收
是发散的。
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求解非线性方程的迭代法
4.收敛的阶
为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的 概念：
记ek xk x *，如果
lim
k
ek 1 ekp
c
0
(p N)
则称序列{ xk } 是 p 阶收敛的。
特别地,1阶收敛称为线性收敛，
2阶收敛称为平方收敛；
若p=1,c=0时，通常称为超线性收敛.
敛，且lim k
xk
x *；
（iii）对任意的k,有|
xk
x*
|
L 1 L
|
xk
xk 1
|；
（iv）对任意的k,有|
xk
x*
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|；
(v)
lim xk1 x * ( x*)。
k xk x *
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求解非线性方程的迭代法
在实际计算中，对于给定的允许误差 ，当 L较小 时，常以前后两次迭代近似值 xk , xk1满足
| xk xk1 |
来终止迭代。定理 1 结论中的（iii）、（iv）、（v） 分别称为误差后验估计式、误差先验估计式、渐 进误差估计式。
定理1的两个条件有时较难验证也较难满足， 这时常用的是局部收敛条件。 所谓局部收敛，指的是迭代公式在x*的某个邻 域是收敛的。 关于局部收敛有如下的定理。
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lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
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求解非线性方程的迭代法
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴 有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 )) 作一直线,它与x轴的交点记为x2, 否则过两点 (b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记 为x2；