复杂网络基础1(M.Chang)
复杂网络基础理论
无标度网络
定义：无标度网络是指节点的度分布遵循幂律分布的网络即少数节点拥有大量连接大部分节点 只有少数连接。
特性：无标度网络具有高度的异质性其结构可以抵抗随机攻击但容易受到定向攻击。
构建方法：无标度网络的构建通常采用优先连接机制即新节点更倾向于与已经具有大量连接的 节点相连。
应用场景：无标度网络在现实世界中广泛存在如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
07
复杂网络的未来研究方向和挑战
跨领域交叉研究
复杂网络与计算机 科学的交叉：研究 网络算法、网络安 全和网络流量控制 等。
复杂网络与生物学 的交叉：研究生物 系统的网络结构和 功能如蛋白质相互 作用网络和基因调 控网络等。
复杂网络与物理学 的交叉：研究网络 的拓扑结构和动力 学行为如复杂系统 、自组织系统和非 线性系统等。
复杂网络的演化过程中节点和边 的动态变化会导致网络的拓扑结 构和性质发生改变。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
复杂网络具有非线性和自组织的 特性能够涌现出复杂的结构和行 为。
复杂网络在现实世界中广泛存在 如社交网络、生物网络、交通网 络等。
复杂网络的特征
节点数量巨大且具有自组织、 自相似、小世界等特性
03
复杂网络的基本理论
网络拓扑结构
节点：复杂网络中的基本单元
连通性：网络中节点之间是否存 在路径
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
边：连接节点的线段表示节点之 间的关系
聚类系数：衡量网络中节点聚类 的程度
网络演化模型
节点增长模型：节点按照一定概 率在网络中加入形成无标度网络
节点属性演化模型：节点属性随 时间发生变化影响网络的演化
复杂网络的基础知识
第二章复杂网络的基础知识2.1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。
如果节点对（i，j）与（j，i）对应为同一条边，那么该网络为无向网络（undirected networks），否则为有向网络（directed networks）。
如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks），否则为无权网络（unweighted networks），如图2-1所示。
图2-1 网络类型示例(a) 无权无向网络(b) 加权网络(c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”（regular networks），如图2-2所示。
如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。
如果节点按照某种（自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”（complex networks）。
图2-2 规则网络示例(a) 一维有限规则网络(b) 二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度（average path length ）、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。
2.2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。
定义网络的直径（diameter ）为网络中任意两个节点之间距离的最大值。
即}{max ,ij ji l D = （2-1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。
即∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2）其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。
复杂网络
表现
复杂网络复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性的主要表现以下几个方面：
1）结构复杂的主要表现为节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化的主要表现为节点或连接的产生与消失。例如world-wide network，网页或链接随时可能出现 或断开，导致网络结构不断发生变化。
复杂网络
具有自组织、自相似或全部性质的网络
01 概念
03 内容 05 研究方向
目录
02 表现 04 特性
复杂网络（Complex Network），是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的 网络。特征：小世界、集群即集聚程度的概念、幂律的度分布概念。
概念
复杂网络钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部 分或全部性质的网络称为复杂网络。
第二，集群即集聚程度(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈， 其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念 反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的 相互关系。
3）连接样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体， 万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络 需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间 的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
复杂网络基础理论 1剖析
定在欧氏平面上，就称为欧几里德旅行商问题，但是
它也是NP难的。因此，通常用来解决TSP问题的解法都
是近似算法。第一个欧几里德旅行商问题的多项式近
似算法是由Arora于1998年使用随机平面分割和动态规
划方法给出的。
11
1.2.2 随机网络理论阶段
1959年，两个匈牙利著名的数学家Erdös和Rényi建
在由N个节点构成的图中，可以存在N（N－1）/2条边，
从中随机连接M条边所构成的网络就叫随机网络。如果
选择M=pN（N－1）/2，则这两种构造随机网络模型的
方法就可以联系起来。
12
1.2.2 随机网络理论阶段
随机图和经典图之间最大的区别在于引入了随机的
方法，使得图的空间变得更大，其数学性质也发生了 巨大的变化。Erdös和Rényi系统研究了当N→∞时随机图 性质与概率p的关系，他们发现：随机网络的许多重要 的性质都是随着网络规模的扩大而突然出现的，也就 是说对于给定概率p，随着网络规模的扩大，要么几乎 所有的随机图具有某种性质，要么几乎每一个图都不 具有该性质。
4
1.1 引言
随着生命科学的发展、网络时代的到来以及人们交 流和经济活动的全球化，人们早就开始观察和思考生 命网络、技术网络、交通网络、社会网络等呈现的一 些普遍现象或问题。所有这些问题看上去互不相关， 实际上这些都是复杂网络所反映的普遍规律和复杂网 络领域学者们所要研究的课题。
近10年来，复杂网络的研究正渗透到众多不同的学 科。推进复杂性科学的交叉研究，深入探索和科学理 解复杂网络的定性特征与定量规律，使它获得广泛的 应用，对全球科学和社会的发展具有十分重大的长远 意义。
3.四色猜想
1852年，毕业于伦敦大学的格思里来到一家科研单 位做地图着色工作时，发现了一个有趣的现象：每幅 地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家
复杂网络的基础知识
第二章複雜網路の基礎知識2.1 網路の概念所謂“網路”（networks），實際上就是節點（node）和連邊（edge）の集合。
如果節點對（i，j）與（j，i）對應為同一條邊，那麼該網路為無向網路（undirected networks），否則為有向網路（directed networks）。
如果給每條邊都賦予相應の權值，那麼該網路就為加權網路（weighted networks），否則為無權網路（unweighted networks），如圖2-1所示。
圖2-1 網路類型示例(a) 無權無向網路(b) 加權網路(c) 無權有向網路如果節點按照確定の規則連邊，所得到の網路就稱為“規則網路”（regular networks），如圖2-2所示。
如果節點按照完全隨機の方式連邊，所得到の網路就稱為“隨機網路”（random networks）。
如果節點按照某種（自）組織原則の方式連邊，將演化成各種不同の網路，稱為“複雜網路”（complex networks）。
圖2-2 規則網路示例(a) 一維有限規則網路(b) 二維無限規則網路2.2 複雜網路の基本特徵量描述複雜網路の基本特徵量主要有：平均路徑長度（average path length ）、簇係數（clustering efficient ）、度分佈（degree distribution ）、介數（betweenness ）等，下麵介紹它們の定義。
2.2.1 平均路徑長度（average path length ）定義網路中任何兩個節點i 和j 之間の距離l ij 為從其中一個節點出發到達另一個節點所要經過の連邊の最少數目。
定義網路の直徑（diameter ）為網路中任意兩個節點之間距離の最大值。
即}{max ,ij ji l D = （2-1） 定義網路の平均路徑長度L 為網路中所有節點對之間距離の平均值。
即∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2）其中N 為網路節點數，不考慮節點自身の距離。
复杂网络系统的基础和应用
复杂网络系统的基础和应用一、引言随着信息技术的发展，网络系统在社会经济领域中的应用越来越广泛。
复杂网络系统已经成为一个热门话题，它涉及计算机科学、物理学、生物学、社会学、经济学等多个领域。
在网络系统的建立和维护过程中，需要考虑到复杂网络系统的基础和应用，这对于我们建立高效、稳定的网络系统至关重要。
二、复杂网络系统的基础1.什么是复杂网络系统？复杂网络系统是指由大量的节点和链接组成的网络，在这个系统中，节点之间的联系构成了一个复杂的网络结构。
2.复杂网络系统的分类复杂网络系统可以按照不同的方式进行分类，例如：根据节点的属性，网络的拓扑结构或者是节点之间的联系分布等。
3.节点的度数分布节点的度数是指与某个节点相连的边数，度数分布是指网络中各个节点的度数占比。
4.网络的拓扑结构网络的拓扑结构可以分为完全图、随机图、小世界网络、无标度网络等不同类型。
这些类型的网络结构具有不同的特点，需要根据实际需求来选择合适的结构。
5.网络中的聚类系数和平均路径长度聚类系数和平均路径长度反映了网络中节点之间的联系密切程度和信息传递的效率。
6.网络的模型与算法网络模型和算法是构建复杂网络系统的关键部分，例如:Erdos-Renyi模型、Watts-Strogatz模型、Barabasi-Albert模型等多种模型，以及PageRank算法、社区发现算法等。
三、复杂网络系统的应用1.社交网络社交网络是最为广泛的应用之一，其涵盖了各个行业和领域。
社交网络系统需要考虑到用户之间的互动、信息传递及数据处理等。
2.金融网络金融网络系统涵盖金融市场、银行系统、保险及证券交易等各个方面。
在金融网络系统中需要考虑到对已经存在的网络进行监管和风险控制等方面的问题。
3.交通网络交通网络系统涵盖城市交通、物流、航空、铁路及船运等方面。
在交通网络系统中需要考虑到管理及优化不同交通方式之间的协调与有效性。
4.生态网络生态网络系统涵盖了水、空气及土壤污染、气候变化等方面，需要通过复杂网络系统来理解和解决这些问题。
复杂网络基本概念
复杂⽹络基本概念1.复杂⽹络：随机⽹络，⼩世界⽹络和⽆标度⽹络2.⼩世界⽹络的属性：平均路径长度（Average Path Length,APL）⼩于正则⽹络的；⼩世界⽹络具有较低的平均聚类系数（Average Clustering Coefficient,ACC）3.复杂⽹络⾯对的挑战：⾼数据量；物理系统到真实复杂⽹络模型映射过程中的复杂性；⾼计算复杂性4.图信号处理将经典信号处理中的概念和⼯具（如平移，卷积，傅⾥叶变换，滤波器组和⼩波变换）扩展应⽤于任意⽹络中的数据5.加权图，有向图6.图在计算机的存储器中⽤矩阵表⽰，如邻接矩阵，关联矩阵，权重矩阵，度矩阵以及拉普拉斯矩阵等。
7.如果在两个节点之间存在多条边，称该图为多重图（multigraph）;如果存在⾃环，则称该图为伪图（pseudograph）8.包含原始图所有顶点的⼦图称为⽣成⼦图（spanning subgraph）9.图g的补图是指与图G具有同样的顶点集，但边集中的边则由那些在图g中不存在的边组成，也称为反向图（inverse graph）10.图在计算机中以矩阵或者链表的⽅式存储11.权重矩阵：图的权重矩阵包含图中相应边的权重。
权重矩阵是图的拓扑结构的完整表⽰。
所有的其他矩阵（邻接，度，拉普拉斯）都可以通过权重矩阵推导得出。
对于⾮加权图，权重矩阵和邻接矩阵是⼀样的。
12.邻接矩阵：包含图连接的N*N矩阵13.关联矩阵：每⼀⾏对应图中的⼀个顶点，⽽每⼀列对应图中的⼀条边。
14.度矩阵：是⼀个对⾓线矩阵，在对⾓线上包含了顶点的度。
节点的度是所有与该节点相关联的边的权重之和。
⼀些⼤的⽹络通常通过度的频率分布来刻画。
15.拉普拉斯矩阵：L=D-W，D是图的度矩阵，W是图的权重矩阵。
具有正边权重的⽆向图的拉普拉斯矩阵的基本性质:对称性；每⼀⾏之和为0，具有奇异性，det(L)=0；半正定；其特征值是⾮负实数。
16.归⼀化拉普拉斯矩阵：L(norm)=D(-1/2)LD^(-1/2)17.有向拉普拉斯矩阵：L=Din-W; Din是⼊度矩阵18.基本图测度：平均邻居度（AND），平均聚类系数（ACC，局部连通性属性），平均路径长度（APL，全局⽹络属性），平均边长度（AEL），图的直径和体积。
复杂网络的理论及应用
复杂网络的理论及应用随着科技的不断发展，人们的生活和社会组织方式也在不断变化。
在这个过程中，网络的作用越来越显著。
复杂网络作为网络科学的一支重要学科，研究的是网络的结构和性质。
通过探究网络中节点的联系及其交互关系，为许多实际问题提供了解决思路。
1. 复杂网络的理论复杂网络学理论基础主要有三个方面：图论、随机过程、统计物理学。
图论是复杂网络学理论的基础，它将复杂网络看作由节点和边构成的图。
随机过程是强大的工具，它可以描述复杂网络的动态演化。
统计物理学则为复杂网络提供了相当严密的理论基础，将网络中的节点当作对象，基于概率论和热力学的基本假设，研究网络的各种性质。
在以上基础上，复杂网络的理论发展主要包括以下几个方面：1.1. 网络的基本属性网络的基本属性包括：度数分布、聚类系数和平均路径长度。
其中，度数分布指的是每个节点拥有的链接数，而聚类系数和平均路径长度则分别描述了节点间的紧密程度和短距离程度。
1.2. 小世界效应小世界网络是指网络具有高聚类系数和短路径长度的共同特点。
研究表明，许多真实网络都具有小世界特性，表现为较高的聚集指数和较短的平均路径长度。
这种现象被称为小世界效应。
1.3. 无标度网络与节点重要性无标度网络是指网络中节点度数分布呈幂律分布。
具有该特性的网络具有重要的节点。
研究表明，少数节点在网络中的重要性远高于其他节点，这些节点被称为“关键节点”。
识别和保护这些关键节点对于网络的稳定性和鲁棒性至关重要。
1.4. 阻尼振荡阻尼振荡是复杂网络中的一种现象，它可以描述节点之间的同步现象。
研究表明，网络的结构和同步现象密切相关，不同的结构会导致不同的同步行为。
2. 复杂网络的应用复杂网络的应用广泛，尤其在社会学、生物学等领域中有着非常重要的地位。
下面分别介绍常见的应用领域。
2.1. 社交网络社交网络指的是人与人之间的联系网络。
研究表明，社交网络中的节点和联系具有很多特性，比如关闭性、传染性等。
基于这些特性，社交网络可以应用于疾病的传播、信息的传递等领域。
复杂网络的基本统计特征理论知识
复杂网络的基本统计特征理论知识复杂网络的基本统计特征理论知识2.1 路网拥挤核2.1.1路网拥挤核的定义路网的总体拥堵评估，用路网拥挤核这一指标来进行评估。
路网拥挤核为路段拥挤度居全网前k%且相互连通成为一个局部网络，并且不能忽略的是，该网络对于所研究区域整体的人口，经济，政策等与人类活动的因素有着不可忽视的作用，那么这个城市道路局部网络，称为路网拥挤核。
2.1.2路网拥挤核k 值的计算根据宁波市交通工程的实际情况，考虑到宁波市的经济社会发展水平以及交通需求水平，利用宁波市的GDP 增长率、国省道日均流量增长比以及汽车拥有量增长比这三个指标，运用以下公式：；（2.1）本文选择的研究对象为宁波市，所以这里K 值计算暂时只讨论宁波市的路网拥挤核；根据公式，结合你宁波近十年数据，计算可得k=17.7，而考虑到宁波市的经济总量和汽车拥有量较大，在经济总量足够大以及汽车拥有量趋于饱和后，它们的增长率和增长比的数值会有所下降，所以将k 值暂定为15，即路段拥挤度居全网前15%且相互连通成为一个局部网络，就称该局部网络为一个路网拥挤核。
2.2复杂网络的基本统计特征对于城市道路网络演化模型构建与评估必须对于复杂网络的一些基础知识进行必要的了解。
汽车拥有量增长比增长率国省道日均流量增长比??=GDP K2.2.1复杂网络的度与度分布度是对于复杂网络系统里面，最常用同时也是最简单的一种概念。
在一个复杂网络系统里面，具体的每个节点的度m i 是指与这个节点连接在一起的边的具体的数量，而如果给这个复杂网络系统加上方向，那么具体的度可以分为二种：出度和入度；前者指的是从选定的节点，沿着复杂网络系统的方向指向的其他节点的具体的边的数目，后者指的是从选定的节点，反着复杂网络系统的方向指向的其他节点的具体的边的数目。
复杂网络系统的度m i 平均值叫做，网络的平均度用符号表示。
对于有向的复杂网络系统，有如下公式m m m out in i +=；（2.2）其中，m in 表示选定的节点的入度；m out 表示选定的节点的出度。
复杂网络概述ppt课件
二、复杂网络中的基本概念
度(degree)：节点i的度 ki 定义为与该节点连接的其他节点的
数目,对于有向网络分为出度和入度。 ★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
某种意义上越“重要”（“能力大”）。
网络的平均度：网络中所有节点的度和的平均值,记作<k>，并且 <k>=2M/N，M为网络中的边数，N为节点数。
二、复杂网络中的基本概念
最短路径（Shortest path）:两个节点之间边数最少
的路径，最短路径的长度称为两点间的距离，用dij 平均路径长度（特征路径长度）L：
所有节点对之间的距离的平均值。
★ 研究发现：尽管许多实际复杂网络的节点数巨大， 网络的平均路径长度却小的惊人。（小世界效应）
.
三、复杂网络的结构模型
.
一、复杂网络的定义
钱学森给出了复杂网 络的一个较严格的定义： 具有自组织、自相似、吸 引子、小世界、无标度中 部分或全部性质的网络称 为复杂网络。
.
一、复杂网络的定义
小世界特性： 小世界特性又被称之为是六度 空间理论或者是六度分割理论。 小世界特性指出：社交网络中 的任何一个成员和任何一个陌 生人之间所间隔的人不会超过 六个。
边的介数： Bij N lm eij / N lm 所l,有m l,mi;,ljm 式中，Nlm表示节点vl和vm之间的最短路径条数，Nlm （eij）表示节点vl和vm之间的最短路径经过边eij的条数
.
二、复杂网络中的基本概念
★ 许多大规模的实际网络都具有
明显的聚类效应。事实上，在很多类 型的网络(如社会关系网络)中，你的 朋友同时也是朋友的概率会随着网络 规模的增加而趋向于某个非零常数， 即当N→∞时，C=O(1)。这意味着这 些实际的复杂网络并不是完全随机的， 而是在某种程度上具有类似于社会关 系网络中“物以类聚，人以群分”的 特. 性。
《复杂网络简介》课件
100%
小世界网络
指网络中节点间的平均距离很短 ，即信息在网络中传播的速度很 快。
80%
随机网络
节点和边的出现是随机过程的结 果，网络结构相对均匀。
03
复杂网络的演化
网络演化的基本规律
自相似性
复杂网络在演化过程中表现出 自相似性，即在不同尺度上网 络的结构和性质具有相似性。
无标度性
复杂网络中节点的度分布遵循 幂律分布，即少数节点拥有大 量连接，而大多数节点只有少 数连接。
小世界效应
复杂网络中的节点平均距离较 小，信息在网络中传播迅速。
网络演化的机制
01
02
03
增长
随着时间的推移，网络中 的节点数量不断增加，新 的节点通过与已有节点建 立连接加入网络。
优先连接
新加入的节点更倾向于与 已有节点中连接数较多的 节点建立连接，从而形成 层次结构。
自组织
网络中的节点通过局部规 则和相互作用，在演化过 程中形成复杂的结构和模 式。
复杂网络的重要性
揭示现实世界中复杂系统的内在规律和机制
复杂网络是描述现实世界中复杂系统的重要工具，可以帮助我们 揭示系统内在的规律和机制。
促进跨学科研究
复杂网络涉及多个学科领域，如数学、物理、计算机科学、社会 学等，通过复杂网络的研究可以促进跨学科的合作与交流。
复杂网络的应用领域
01
02
03
04
网络控制的基本概念
1 2
状态反馈控制
通过测量节点的状态，并利用状态反馈控制方法 调整节点的输入，实现网络的控制。
输出反馈控制
通过测量节点的输出，并利用输出反馈控制方法 调整节点的输入，实现网络的控制。
3
复杂网络基础理论 1
1.1 引言
21世纪是复杂性和网络化的世纪。 从20世纪七八十年代开始，在国际上形成了非线 性科学和复杂性问题的研究热潮。 尤其是20世纪90年代以来，人类已经生活在一个 充满各种各样复杂网络的世界中，许多复杂性问题都 可以从复杂网络的角度去研究。 从网络观点重新认识事物并带来革命性变化的典 型实例——Google的诞生。它的PageRank算法利用了 WWW的网络结构。
返回 目录
5
1.2 网络科学理论发展的三个时期
1.2.1 规则网络理论阶段 1.2.2 随机网络理论阶段 1.2.3 复杂网络理论阶段
6
1.2.1 规则网络理论阶段
规则网络理论的发展得益于图论和拓扑学等应用 数学的发展。图论是一种强有力的研究工具和研究方 法。 历史上著名的四个图论问题： 1.哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是当时东普鲁士的首都，今俄罗斯加里 宁格勒市，普莱格尔河横贯其中，这条河上建有七座 桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来，如图所示。 有人在闲暇散步时提出：能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置。
14
1.2.3 复杂网络理论阶段
2.社会网络中弱连接优势的发现 哈佛大学Granovetter的弱连接优势理论指出：与 一个人的工作和事业关系最密切的社会关系并不是“ 强连接”，而常常是“弱连接”。“弱连接”虽然不 如“强连接”那样坚固，却有着极快的、可能具有低 成本和高效能的传播效率。而在强连接关系下，成员 彼此之间具有相似的态度，他们高度的互动频率通常 会强化原本认知的观点而降低了与其它观点的融合， 故强连接网络通常不能提供创新机会。相对于强连接 关系，弱连接则能够在不同的团体间传递非冗余性的 讯息，使得网络成员能够增加修正原先观点的机会。 因此，拥有更多弱连接的人拥有信息流通的优势，往 往可得到更多工作机会和业务选择机会。
复杂网络基础理论(ppt)
IP
朋
地
友
址 网
关系
网
数理统计基础
概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念
图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。
间的距离dij和从节点vj到vi之间的距离dji是不同的。距离dij 定义为从节点vi出发沿着同一方向到达节点vj所要经历的弧的 最少数目，而它的倒数1／dij称为从节点vi到节点vj的效率， 记为εij。
有向连通简单网络的平均距离L
因为效率可以用来描述非连通网络，所以可以定义有向网 络的效率LC为
介数
介数 节点的介数Bi定义为
式中，Njl表示从节点vj到vl的最短路径条数，Njl（i）表示 从节点vj到vl的最短路径经过节点vi的条数。 边的介数Bij定义为
式中，Nlm表示从节点vl到vm的最短路径条数，Nlm（eij ）表示从节点vl到vm的最短路径经过边eij（方向相同）的 条数。
加权网络的静态特征
核度 一个图的k－核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后
，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。 节点核度的最大值叫做网络的核度。 节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然
就对应着网络结构中最中心的位置。
度中心性
度中心性分为节点度中心性和网络度中心性。 节点vi的度中心性CD（vi）定义为
网络G的度中心性CD定义为
介数中心性
介数中心性分为节点介数中心性和网络介数中心性。 节点vi的介数中心性CB（vi）定义为
复杂网络与网络安全
复杂网络与网络安全引言随着互联网的迅猛发展，网络已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
随之而来的网络安全问题也日益突出。
复杂网络理论作为一种描述和研究网络结构的数学工具，对解决网络安全问题具有重要意义。
本文将介绍复杂网络的基本概念和特性，并探讨其在网络安全中的应用。
复杂网络的基本概念复杂网络是一种由大量节点和连接构成的网络结构。
在传统的网络中，节点之间的连接方式比较简单，节点的度数（连接的数量）往往是相对均匀的。
而在复杂网络中，节点的度数分布呈现出一定的不规则性，存在少数节点度数非常高的情况，被称为“幂律分布”。
复杂网络还具有“小世界效应”和“无标度特性”等重要特点。
复杂网络的重要特性小世界效应小世界效应是指在复杂网络中，任意两个节点之间的最短路径长度较短。
也就是说，即使网络中的节点规模非常大，节点之间的距离仍然相对较近。
这一特性使得信息在复杂网络中的传播速度较快，有利于进行高效的通信和数据传输。
无标度特性无标度特性是指在复杂网络中，部分节点的度数远远高于其他节点。
这些高度连接的节点被称为“关键节点”。
在网络中，攻击和破坏关键节点可能导致整个网络的崩溃。
研究和保护网络中的关键节点对于网络安全至关重要。
复杂网络在网络安全中的应用复杂网络理论可以应用于多个领域，包括网络安全。
以下是几个复杂网络在网络安全中的应用示例：网络攻击与防御复杂网络理论可以帮助分析网络攻击的传播路径和速度，并提出相应的防御策略。
通过研究网络中的关键节点和连接模式，可以找到最脆弱的环节，并采取相应的安全措施来确保网络的安全性。
异常检测复杂网络理论可以用于检测网络中的异常行为。
通过研究网络中节点之间的连接模式和信息传播规律，可以发现与正常行为不匹配的异常行为，提前预警和阻止潜在的网络攻击。
数据保护与隐私保护复杂网络理论可以用于设计高效的数据加密和隐私保护算法。
通过研究网络中节点之间的连接模式和数据传输规律，可以为数据的保护和隐私提供更佳的解决方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.系统和网络 系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分结
合的具有特定功能的有机整体。 从三个方面理解系统的概念： ①系统是由若干要素（部分）组成的。 ②系统有一定的结构。 ③系统有一定的功能。
系统有如下的属性：集合性、相关性、层次性、整体 性、涌现性、对环境的适应性
19
1.3.1 复杂网络的概念
网络如此广泛、如此重要。
如何开辟出一条研究思路，揭示网络拓扑结构的 形成机制，探索网络的演化规律和整体行为，认识网 络内部深奥的动力学特性，挖掘网络展现出的广泛、 潜在的应用价值等问题，正引起国内外学术界的高度 重视。
3
1.1 引言
21世纪是复杂性和网络化的世纪。 从20世纪七八十年代开始，在国际上形成了非线 性科学和复杂性问题的研究热潮。 尤其是20世纪90年代以来，人类已经生活在一个 充满各种各样复杂网络的世界中，许多复杂性问题都 可以从复杂网络的角度去研究。 从网络观点重新认识事物并带来革命性变化的典 型实例——Google的诞生。它的PageRank算法利用了 WWW的网络结构。
无标度网络中，绝大部分的节点的度相对较低，
而存在少量的度相对很高的节点，因此这类网络也成
为非均匀网络。大量复杂系统都存在这种少数但高连
通的遵循网络结构都是无标度网络，都
16
是由少数集散节点主控的系统。
1.2.3 复杂网络理论阶段
4.复杂网络研究的新时代 对于大量真实的网络系统而言，它们既不是规则
钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具 有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分 或全部性质的网络称为复杂网络。
原则上说，任何包含大量组成单元（或子系统）
的复杂系统，当我们把构成单元抽象成节点，单元之
间的相互作用抽象为边时，都可以当作复杂网络来研
22
究。
1.3.2 复杂网络的特性
1.复杂性 主要表现在以下几个方面： ①网络规模庞大。 ②连接结构的复杂性。 ③节点的复杂性。 ④网络时空演化过程复杂。 部分IP地址连接示意图 ⑤网络连接的稀疏性。 ⑥多重复杂性融合。
彼此之间具有相似的态度，他们高度的互动频率通常
会强化原本认知的观点而降低了与其它观点的融合，
故强连接网络通常不能提供创新机会。相对于强连接
关系，弱连接则能够在不同的团体间传递非冗余性的
讯息，使得网络成员能够增加修正原先观点的机会。
因此，拥有更多弱连接的人拥有信息流通的优势，往
15
往可得到更多工作机会和业务选择机会。
14
1.2.3 复杂网络理论阶段
2.社会网络中弱连接优势的发现
哈佛大学Granovetter的弱连接优势理论指出：与
一个人的工作和事业关系最密切的社会关系并不是“
强连接”，而常常是“弱连接”。“弱连接”虽然不
如“强连接”那样坚固，却有着极快的、可能具有低
成本和高效能的传播效率。而在强连接关系下，成员
4
1.1 引言
随着生命科学的发展、网络时代的到来以及人们 交流和经济活动的全球化，人们早就开始观察和思考 生命网络、技术网络、交通网络、社会网络等呈现的 一些普遍现象或问题。所有这些问题看上去互不相关， 实际上这些都是复杂网络所反映的普遍规律和复杂网 络领域学者们所要研究的课题。
近10年来，复杂网络的研究正渗透到众多不同的 学科。推进复杂性科学的交叉研究，深入探索和科学 理解复杂网络的定性特征与定量规律，使它获得广泛 的应用，对全球科学和社会的发展具有十分重大的长 远意义。
9
家着上不同的颜色。这个结论能不能从数学上加以严
格证明呢？
1.2.1 规则网络理论阶段
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普 和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证 明了四色定理。但是到了1890年，数学家赫伍德以自 己的精确计算指出了肯普的证明存在漏洞，而不久之 后，泰勒的证明也被人们否定了。
子图）相同，它们的拓扑性质的重大轮廓外形就可能
具有相似性，这种现象被称为超家族特性。
返回 目录 24
1.4 数理统计基础
¢ 1.4.1 概率论基础 ¢ 1.4.2 数理统计基础 ¢ 1.4.3 统计假设及检验 ¢ 1.4.4 一元线性回归分析
1.2.1 规则网络理论阶段
4.旅行商问题
给定N个节点和任意一对节点{vi，vj}之间的距离 为dist（vi，vj），要求找出一条闭合的回路，该回路 经过每个节点有且仅有一次，并且该回路的费用最小 （这里的费用是指每段路径的距离和）。
实际上，旅行商问题就是加权的哈密顿路径问题，
因此求解旅行商问题的精确解是NP难的。若将问题限
返回 目录 5
1.2 网络科学理论发展的三个时期
¢ 1.2.1 规则网络理论阶段 ¢ 1.2.2 随机网络理论阶段 ¢ 1.2.3 复杂网络理论阶段
6
1.2.1 规则网络理论阶段
规则网络理论的发展得益于图论和拓扑学等应用 数学的发展。图论是一种强有力的研究工具和研究方 法。 历史上著名的四个图论问题： 1.哥尼斯堡七桥问题
1.2.3 复杂网络理论阶段
3.无标度性质的发现
Barabási等人于1999年发表了题为《随机网络中
标度的涌现》的论文，提出了一个无标度网络模型， 指出在复杂网络中节点的度分布具有幂指数函数的规 律（节点的度是指与该节点连接的边数，而度分布是
指网络中所有节点的度的分布情况），其度分布可以 用幂律形式P(k) µ k-g进行描述。
3.复杂系统
一般认为复杂系统具有以下特征：非线性与动态
性、非周期性和开放性、奇怪吸引性、结构自相似性
（分形）。另外，复杂系统还具有突现性、不稳性、
21
不确定性、不可预测性等特征。
1.3.1 复杂网络的概念
4.复杂网络
复杂网络可以看作由一些具有独立特征的又与其 他个体相互连接的节点的集合，每个个体可视为图中 一个节点，节点间的相互连接视为图中的边。复杂网 络包括两个层面：作为其连接拓扑结构的图和作为其 状态和功能的系统。
建立了著名的随机图理论，用相对简单的随机图来描 述网络，简称ER随机图理论。ER随机图理论对图论理 论研究的影响长达近40年，以至于在随后的近半个世
纪，随机图一直是科学家研究真实网络最有力的武器。
随机网络是指在由N个节点构成的图中以概率p随
机连接任意两个节点而成的网络，即两个节点之间连 边与否不再是确定的事，而是由概率p决定。或简单地 说，在由N个节点构成的图中，可以存在N（N－1）/2 条边，从中随机连接M条边所构成的网络就叫随机网 络。如果选择M=pN（N－1）/2，则这两种构造随机
朋友关系网
23
1.3.2 复杂网络的特性
2.小世界特性
大多数网络尽管规模很大，但任意两个节点间却 有一条相当短的路径。
3.无标度特性
节点的度分布具有幂指数函数的规律。因为幂指 数函数在双对数坐标中是一条直线，这个分布与系统 特征长度无关，所以该特性被称为无标度性质。
4.超家族特性
尽管网络不同，只要组成网络的基本单元（最小
哥尼斯堡是当时东普鲁士的首都，今俄罗斯加里 宁格勒市，普莱格尔河横贯其中，这条河上建有七座 桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来，如图所示。 有人在闲暇散步时提出：能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置。
7
1.2.1 规则网络理论阶段
大数学家欧拉用一种独特的方法给出了解答。他 把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥 看作这四个点之间的连线，于是这个问题就简化成： 能不能用一笔就把这个图形画出来？经过进一步的分 析，欧拉得出结论：不可能每座桥都走一遍，最后回 到原来的位置，并且给出了所有能够一笔画出来的图 形所应具有的条件。
定在欧氏平面上，就称为欧几里德旅行商问题，但是
它也是NP难的。因此，通常用来解决TSP问题的解法
都是近似算法。第一个欧几里德旅行商问题的多项式
近似算法是由Arora于1998年使用随机平面分割和动态
规划方法给出的。
11
1.2.2 随机网络理论阶段
1959年，两个匈牙利著名的数学家Erdös和Rényi
20
1.3.1 复杂网络的概念
2.复杂性
复杂性还不能算作一个严格的科学概念，人们也 没有给出一个公认的复杂性定义。
复杂性是相对于简单性而存在的，它是在客观事 物的联系、运动和变化中表现出来的一种状态，表达 了一种不可还原的特征，而不是孤立、静止和显而易 见的特性。复杂性科学打破了线性、均衡、简单还原 的传统范式，极大地促进了科学的发展。
进入20世纪以来，随着电子计算机的问世，由于 演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快 了对四色猜想证明的进程。1976年，美国伊利诺斯大 学哈肯和阿佩尔在大学里的两台不同的电子计算机上， 用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色 定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。 它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为了数 10 学史上一系列新思维的起点。
1.2.3 复杂网络理论阶段
1.小世界效应的发现 美国的瓦茨和斯特罗加茨于1998年发表了题为
《“小世界”网络的群体动力行为》的论文，推广了 “六度分离”的科学假设，提出了小世界网络模型。 “六度分离”最早来自于20世纪60年代美国哈佛大学 心理学家Milgram对社会调查的推断，是指在大多数 人中，任意两个素不相识的人通过朋友的朋友，平均 最多通过6个人就能够彼此认识。 “Kevin Bacon”游戏 /
网络模型的方法就可以联系起来。