自由曲线及曲面(二)
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《自由曲线与曲面》PPT课件
7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
数字媒体系
• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面
自由曲线与曲面
如果想使用三次样条获得一条通过各个型值点
的连续曲线，需要利用三次样条分段插值得到通过 每个型值点的分段三次样条曲线。对n+1个型值点， 分段插值时段与段之间要建立合适的边界条件，既 能使各段之间平滑连续，又可建立起足够的方程数， 求出所有的系数。
2019/7/26
7
7.2.1 Hermite 样条插值曲线
2．参数样条表示 在计算机图形学应用中使用几种不同的样条描述。
每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊 类型。
2019/7/26
5
例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下：
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1] 或
同样，如果用u,w表示参数，二维空间自由曲面的参数方程
表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w)
u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)]
三维空间自由曲面的参数方程表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
Hermite样条插值（以法国数学家Charles Hermite命名）使用值点和型值点处的一阶导数建立边界条
件。设Pk和Pk+1为第K个和第K+1个型值点，Hermite样 条插值边界条件规定为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：
二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。
的连续曲线，需要利用三次样条分段插值得到通过 每个型值点的分段三次样条曲线。对n+1个型值点， 分段插值时段与段之间要建立合适的边界条件，既 能使各段之间平滑连续，又可建立起足够的方程数， 求出所有的系数。
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7.2.1 Hermite 样条插值曲线
2．参数样条表示 在计算机图形学应用中使用几种不同的样条描述。
每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊 类型。
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5
例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下：
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1] 或
同样，如果用u,w表示参数，二维空间自由曲面的参数方程
表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w)
u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)]
三维空间自由曲面的参数方程表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
Hermite样条插值（以法国数学家Charles Hermite命名）使用值点和型值点处的一阶导数建立边界条
件。设Pk和Pk+1为第K个和第K+1个型值点，Hermite样 条插值边界条件规定为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：
二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
《自由曲线与曲面》课件
课件演示流程及时间安排
开场介绍：5分钟 添加标题
自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
15分钟
进：10分钟
添加标题
添加标题
提问与互动：5分钟 添加标题
添加标题
自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
添加标题
自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
添加标题 总结与展望：5分钟
课件素材及资源获取方式
结论与展望
课件页码及内容安排
• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
单击此处添加副标题
自由曲线与曲面PPT课件
大纲
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
添加目录项标题
02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力
自由曲线与曲面
主要内容
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
自由曲线与曲面
例如，x=r cos , y=r sin 表示圆
x=a cos cos
y=b cos sin
z=c sin
表示椭球面
3
矢量形式：
4
(2) 表示形式的比较 非参数方程的表示有以下缺点： 1) 与坐标轴相关;
2) 会出现斜率为无穷大的情况;
3) 非平面曲线曲面难以用常系数非参数化函 数表示;
得:
2m0+m1=C0 mn-1+2mn=Cn
27
(3) 特别当M0=0或Mn=0时，称为自由端点条件。 此时端点为切点，曲率半径无限大。例如，在曲线 端点出现拐点或与一直线相切时。
在求得所有mi后，分段三次曲线即可由(6-4)确定。 整条三次样条曲线的表达式为： y(x) = yi(x) ( i=1, 2, ... ,n)
, 0 , 1
19
y (u ) y0 F0 (u ) y1 F1 (u ) y G0 (u ) y G1(u )
, 0 , 1
（6-1）
F0 (u ) 1 3u 2 2u 3 其中： F1 (u ) 3u 2 2u 3 G0 (u ) u 2u 2 u 3 G1 (u ) u 2 u 3
imi-1+2mi+ imi+1=ci
( i= 1,2, ..., n-1 )
(6-5)
hi+1 i = hi + hi+1 ci =3（i
， + i
i=1-i
yi-yi-1 hi
yi+1-yi ） hi+1
25
式(6-4)、(6-5)包含m0，m1，…,mn共n+1个未知量， 对应整条曲线的x0、x1，…，xn的n+1型值点，式(65)包含n-1个方程个数，还不足以完全确定这些mi ， 须添加两个条件。 这两个条件通常根据对边界节点x0与xn处的附加 要求来提供，故称为端点条件。常见有以下几种：
第七讲自由曲线与曲面-2
四个角点处的混合导矢（扭矢）
p0v1
p0u1
p01
puv 01
p1v1
p11
p1u1
p1u1v
v
p0v0
p00
puv 00
p0u0 u
puv 10
p1v0
p10 p1u0
双三次参数曲面的边界条件
puv p uv
p p p p uv uv uv 00 10 01
uv 11
a33 a32 a31 a30 v3
4 Bezier曲面的定义-张量积曲面
给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n）， 则Bezier曲线定义为：
将Bezier曲线的方法推广到Bezier曲面。设有 (n+1) ×(m+1)个控制顶点，则构成的n×m次Bezier 曲面方程为：
双三次Bezier曲面
当n=m=3时，即为双3次 Bezier曲面，由16个控制 顶点组成的网格决定。
由边界条件确
pu,v u3
u2
u
1 a23
a22
a21
a20
v
2
定的方程可求 解出各aij
aa1033
a12 a02
a11 a01
a10 a00
v 1
v
B
u
pu, v F1u
F2 u
F3 u
F4 u
p00 p10
p0u0 p1u0
Fu F1u F2 u F3u F4 u u3 u2 u
pu ,v p1,0
u
pu,v p0,v u p1,v p0,v pu,v 1 u p0,v up1,v
pu,v 1 u 1 vp0,0 vp0,1 u 1 vp1,0 vp1,1
p0v1
p0u1
p01
puv 01
p1v1
p11
p1u1
p1u1v
v
p0v0
p00
puv 00
p0u0 u
puv 10
p1v0
p10 p1u0
双三次参数曲面的边界条件
puv p uv
p p p p uv uv uv 00 10 01
uv 11
a33 a32 a31 a30 v3
4 Bezier曲面的定义-张量积曲面
给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n）， 则Bezier曲线定义为：
将Bezier曲线的方法推广到Bezier曲面。设有 (n+1) ×(m+1)个控制顶点，则构成的n×m次Bezier 曲面方程为：
双三次Bezier曲面
当n=m=3时，即为双3次 Bezier曲面，由16个控制 顶点组成的网格决定。
由边界条件确
pu,v u3
u2
u
1 a23
a22
a21
a20
v
2
定的方程可求 解出各aij
aa1033
a12 a02
a11 a01
a10 a00
v 1
v
B
u
pu, v F1u
F2 u
F3 u
F4 u
p00 p10
p0u0 p1u0
Fu F1u F2 u F3u F4 u u3 u2 u
pu ,v p1,0
u
pu,v p0,v u p1,v p0,v pu,v 1 u p0,v up1,v
pu,v 1 u 1 vp0,0 vp0,1 u 1 vp1,0 vp1,1
自由曲线曲面造型技术
自由曲线曲面造型技术
自由曲线曲面造型技术是一种基于自由曲线和曲面的造型设计技术，通过使用计算机辅助设计软件，设计师可以创建出各种复杂的曲线和曲面形状，实现高精度的造型设计。
随着计算机技术和CAD/CAM技术的不断发展，自由曲线曲面造型技术已成为现代工业设计中必不可少的一部分。
它在汽车、飞机、船舶、建筑、家具等领域发挥着重要作用，可以帮助设计师更快速、更准确地实现设计目标。
自由曲线曲面造型技术的主要优点包括：可以快速地进行多样化的设计，能够精确地控制曲线和曲面的形状和大小，可以减少设计过程中的错误和重复工作，可以提高产品的品质和创新性。
在实际应用中，自由曲线曲面造型技术需要设计师具备良好的数学和计算机技能，同时还需要丰富的工程经验和实践能力。
只有将理论知识和实践技能完美结合，才能创造出更加出色的设计作品。
- 1 -。
自由曲面加工理论与应用(第02讲--自由曲面加工基础)
一、自由曲面加工概述
SSM系统的信息处理需要解决的问题
根据SSM系统的3个输出，对应3个信息处理阶段 • 基于特征的处理阶段（feature-based processing stage）
以最小的P/M-rate生成UMOs
• 几何处理阶段（geometric processing stage）
自由曲面加工理论与应用 第02讲--自由曲面加工基础
一、自由曲面加工概述 二、自由曲面加工数学基础 三、刀具路径生成基础
一、自由曲面加工概述
自由曲面（Sculptured Surface or Free Formed Surface）
The term “sculptured surface” denotes those surface shapes which “cannot be continuously generated ” and have the arbitrary character of the forms traditrs —— Duncan and Mair （1983） 随着自由曲面复杂程度的增加，需要数控编程技术 的发展
基于特征的信息处理 (feature-based processing) • 特征提取：由设计曲面提取加工特征 • CAPP（ computer-automated process planning）： 根据加工特征产生一系列UMO。
需解决的问题：如何定义加工特征，如何根据特征定义和生成UMO
一、自由曲面加工概述
几何信息处理（Geometric information processing）
• 刀具路径规划（ Tool-path planning）：根据设计曲面为每个UMO生 成刀触点轨迹（CC-paths）或初始刀位点轨迹（initial CL-paths） • 刀位计算（CL-data computation）：由CC-paths计算CL-paths • 加工仿真（Cutting simulation） • 干涉检查（过切检查，Gouge detection）
自由曲线和曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第2讲 三次参数样条曲线
第2讲 三次参数样条曲线
第3讲 Bezier曲线
第3讲 Bezier曲线
3．Bezier曲线的性质
第3讲 Bezier曲线
4．Bezier曲线的性质(续)
第3讲 Bezier曲线
5．常用Bezier曲线的矩阵表示
第3讲 Bezier曲线
6．常用Bezier曲线的矩阵表示
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第4讲 B样条曲线
1．B样条基函数
第4讲 B样条曲线
2．B样条基函数的性质
第4讲 B样条曲线
3．B样条曲线
第4讲 B样条曲线
4．B样条曲线的性质
第4讲 B样条曲线
5．B样条曲线的性质(续)
第4讲 B样条曲线
第4讲 B样条曲线
第4讲 参数曲线相关概念
第4讲参数曲线相关概念
第4讲参数曲线相关概念
第2讲 三次参数样条曲线
第2讲 三次参数样条曲线
1．Hermite曲线的二阶导数形式
第2讲 三次参数样条曲线
2．三次参数样条曲线 设有点列{Pi}(i=0,1,…,n)，用Hermite三次 参数曲线将相邻点连接起来，使得最终的曲线 在已知点处具有连续的二阶导数，该曲线是一 条三次样条曲线。
(计算机图形学)自由曲线曲面
参数连续性，用C 表示 C0连续（0阶参数连续） —— 指曲线相连，前一段曲线的终点
阶数
t=1与后一段曲线的起点t=0相同，即 相邻两段曲线结合点处有相同坐标。
C1连续（一阶参数连续） ——代表两个相邻曲线段的方程在相交
点处有相同的一阶导数（切线）。 （一阶导数反映了曲线对参数 t 的变 化速度）
B2,3(t)ຫໍສະໝຸດ Ot4个基函数
7.2.2 Bernstein基函数及曲线的性质
Bi ,n (t ) n! i i t i (1 t ) ni C n t (1 t ) ni i!(n i)!
t∈〔0，1〕（i＝0，1，2……n） ，t∈〔0，1〕
1.非负性： Bi,n (t ) 0
void CTestView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线 { CDC *pDC=GetDC(); CPen NewPen,*pOldPen; NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));//曲线颜色 pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen); pDC->MoveTo(P[0]); for(double t=0.0;t<=1.0;t+=0.01) { double x=0,y=0; for(int i=0;i<=n;i++) { x+=P[i].x*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i); y+=P[i].y*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i); } pDC->LineTo(Round(x),Round(y)); } pDC->SelectObject(pOldPen); NewPen.DeleteObject(); ReleaseDC(pDC); }
计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2
(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧
二阶几何连续条件？
自学
21
4.6 Bezier曲线
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
17
4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线
n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：
26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
计算机图形学基础教程课件
i 0
n
n! Bi ,n (t ) t i (1 t ) n i i!(n i)!
Bernstein基函数有如下性质： 1 非负性 Bi ,n (t ) 0 2 权性
n B ( t ) ((1 t ) t ) 1 i ,n i 0 n
3 对称性 B (t ) B i ,n ni ,n (1 t ), i 1, 2,
7.4 BEZIER曲线
法国雷诺汽车公司的工程师Bezier 和法国雪铁龙汽车公司的de Casteljiau分别提出了一种新的参数曲 线表示方法，称为Bezier曲线。
Bezier的想法从一开始就面向几何而不是面 向代数。Bezier曲线由控制多边形惟一定义， Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在 控制多边形上，且多边形的第一条和最后一条边 表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶 点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的 形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形 的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bezier曲 线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直 接的几何化程度，使用起来非常方便。几种典型 的三次Bezier曲线如图7-7所示。
张力参数在Cardinal样条曲线中的作用
记s (1 u ) / 2, 用类似Hermite曲线样条中的方法， 将Cardinal边界条件代入式7-7可以得到： s 2 s s 2 s Pi 1 2s s 3 3 2s s P i 3 2 P(t ) [t t t 1] s 0 s 0 Pi 1 1 0 0 Pi 2 0 s 2 s s 2 s 2s s 3 3 2s s 称为Cardinal矩阵。 Mc s 0 s 0 1 0 0 0
n
n! Bi ,n (t ) t i (1 t ) n i i!(n i)!
Bernstein基函数有如下性质： 1 非负性 Bi ,n (t ) 0 2 权性
n B ( t ) ((1 t ) t ) 1 i ,n i 0 n
3 对称性 B (t ) B i ,n ni ,n (1 t ), i 1, 2,
7.4 BEZIER曲线
法国雷诺汽车公司的工程师Bezier 和法国雪铁龙汽车公司的de Casteljiau分别提出了一种新的参数曲 线表示方法，称为Bezier曲线。
Bezier的想法从一开始就面向几何而不是面 向代数。Bezier曲线由控制多边形惟一定义， Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在 控制多边形上，且多边形的第一条和最后一条边 表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶 点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的 形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形 的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bezier曲 线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直 接的几何化程度，使用起来非常方便。几种典型 的三次Bezier曲线如图7-7所示。
张力参数在Cardinal样条曲线中的作用
记s (1 u ) / 2, 用类似Hermite曲线样条中的方法， 将Cardinal边界条件代入式7-7可以得到： s 2 s s 2 s Pi 1 2s s 3 3 2s s P i 3 2 P(t ) [t t t 1] s 0 s 0 Pi 1 1 0 0 Pi 2 0 s 2 s s 2 s 2s s 3 3 2s s 称为Cardinal矩阵。 Mc s 0 s 0 1 0 0 0
自由曲线-自由曲面设计
若令 d k x
n
a
j 0
m
k 0
i k
Si ,
d
k 0
n
i yk xk Ti；则可得方程组： k
j
S i j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；
一组实验数据： x 0 10 20 30 40
多项式拟合最小二乘法
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和来衡量：
(a0 , a1 ,..., am ) d k [ F ( xk ) yk ]2
k 0 n
F ( x) a j x j 使得偏 令F(x)为一个m次多项式，
j 0
m
差平方和 达到极小；
最小二乘法解决逼近问题
根据求极值问题的方法可知，使 (a j ) 达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i 2 d k a j xkj y k xk 0 ai k 0 j 0
i 0,1,..... m
1972年，德布尔(de Boor)给出了B样条的标准计算 方法；
1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔 德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样 条曲线、曲面；
1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B 样条方法； 80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将 有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
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Cni
n! i!(n i)!
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2
三次Bézier曲线的四个混合函数
BEZ (u) 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4 0.6 0.8
u 1
0.2 0.4 0.6 0.8
u 1
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
22
B样条曲线（2/17）
定义：
给定m+n+1个空间向量 Bk ，(k=0,1,…,m+n)，称
n次参数曲线
n
P i,n(t) B i lF l,n(t)
l 0
0t 1
为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,…,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性
1
t
3
G BEZ • M BEZ • T
15
Bezier曲线（14/19）
递推公式--De Casteljau算法
P ir ( 1 P it,)P ir 1 tP i 1 r 1
r 0 r 1 ,2 , ,n ,i 0 ,1 , ,n r
计算过程
几何解释
16
Bezier曲线（15/19）
u 1
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
u3
1
Bezier曲线（2/19）
Bernstein基函数的性质
正性
Bi E ,n (t)Z 0 ,t [0 ,1 ]
权性 对称性
n
BEi,nZ (t)1 ,t[0,1]
i0
Bi,n E (t) Z Bn E i,n (1 Z t)
二阶几何连续条件？
自学
18
Bezier曲线（17/19）
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0
... Qi P0Cn0(1i/n)nP1Cn1(1i/n)n1(i/n).. . PnCnn(i/n)n
...Qn Pn源自19Bezier曲线（18/19）
降阶公式 Bi,n E ( t) ( 1 Z t) Bi,n E 1 ( t) Z tB i 1 ,n 1 E ( t)Z 升阶公式 Bi,n ( E t ) n iZ 1 iBi 1 E ,n 1 ( t ) Z n n 1 1 iBi,n E 1 ( t )
4
Bezier曲线（3/19）
第五讲自由曲线与曲面 （二）
Bezier曲线
1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用
2
Bezier曲线（1/19）
Bezier基函数--Bernstein多项式的定义
Bi,n E (t) Z C n iti(1 t)n i ,t [0 ,1 ]
曲线的拼接
m
P(t) Pi BEi,Zm(t) i0
n
Q(s) Qj BEi,Zn(s)
j0
17
Bezier曲线（16/19）
零阶几何连续条件
(1) PmQ0
一阶几何连续条件
(1) PmQ0
( 2 ) 0P m P m 1 ( Q 1 Q 0 )
三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧
二次Bezier曲线
n=2 抛物线
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P(1)
P2
13
Bezier曲线（12/19）
三次Bezier曲线
n=3
P2 P1
P(0) P0
P(1) P3
14
Bezier曲线（13/19）
三次Bezier曲线的矩阵表示
BEZ 0,3 (t )
P (t)
3 i0
Pi
BEZ
n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线
n
P(t) P iBE i,n(tZ ) t[0,1]
i0
控制顶点 控制多边形
P1
P2
P0
P3
6
Bezier曲线（5/19）
Bezier曲线的性质
端点位置
P(t)|t0P0 P(t)|t1Pn
P1
P2
P0
P3
7
Bezier曲线（6/19）
端点切矢量
导数 积分
Bi,E n (t) Z n (Bi E 1 ,n 1 (tZ ) tB i,n 1 E (t)) Z
1
B
0
Ei,Zn(t)n11
最大值
在t = i/n处取得最大值
线性无关性
BEi,nZ(t)in0 是n次多项式空间的一组基
5
Bezier曲线（4/19）
Bezier曲线的定义
9
Bezier曲线（8/19）
凸包性
点集的凸包 包含这些点的最小凸集
Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内
p1
p0
p3
p2
10
Bezier曲线（9/19）
多值性
P3
P2
P1
P0=P5
P4 P4
11
Bezier曲线（10/19）
几何不变性 平面曲线的变差缩减性
12
Bezier曲线（11/19）
21
B样条曲线（1/17）
产生：
1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的
启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线
优于Bezier曲线之处：
与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便
P(t)|t0P 1P0 P(t)|t1P nP n1
P1
P2
P0
P3
导数曲线
n 1
P (t)n (P i 1 P i)BiE ,n 1 (t)Zt [0 ,1 ]
i 0
8
Bezier曲线（7/19）
对称性
不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只 是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变
优点：
形状控制直观 设计灵活
20
Bezier曲线（19/19）
缺点：
所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定
顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活
i,3 (t)
[
P0
,
P1
,
P2
,
P3
]
BEZ BEZ
BEZ
1,3
(
t
)
2 3
,3 ,3
(t (t
) )
G BEZ
•
C
0 3
(1
C 31t (1
t)3 t)2
C
32t 2 C
(1 33t 3
t
)
G BEZ
1 • 0
0 0
3 3 0 0
3 6 3 0
1 1
3
t
3t 2