自由曲线及曲面(二)
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曲线的拼接
m
P(t) Pi BEi,Zm(t) i0
n
Q(s) Qj BEi,Zn(s)
j0
17
Bezier曲线（16/19）
零阶几何连续条件
(1) PmQ0
一阶几何连续条件
(1) PmQ0
( 2 ) 0P m P m 1 ( Q 1 Q 0 )
三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧
1
t
3
G BEZ • M BEZ • T
15
Bezier曲线（14/19）
递推公式--De Casteljau算法
P ir ( 1 P it,)P ir 1 tP i 1 r 1
r 0 r 1 ,2 , ,n ,i 0 ,1 , ,n r
计算Baidu Nhomakorabea程
几何解释
16
Bezier曲线（15/19）
二次Bezier曲线
n=2 抛物线
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P(1)
P2
13
Bezier曲线（12/19）
三次Bezier曲线
n=3
P2 P1
P(0) P0
P(1) P3
14
Bezier曲线（13/19）
三次Bezier曲线的矩阵表示
BEZ 0,3 (t )
P (t)
3 i0
Pi
BEZ
u 1
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
u3
1
Bezier曲线（2/19）
Bernstein基函数的性质
正性
Bi E ,n (t)Z 0 ,t [0 ,1 ]
权性 对称性
n
BEi,nZ (t)1 ,t[0,1]
i0
Bi,n E (t) Z Bn E i,n (1 Z t)
P(t)|t0P 1P0 P(t)|t1P nP n1
P1
P2
P0
P3
导数曲线
n 1
P (t)n (P i 1 P i)BiE ,n 1 (t)Zt [0 ,1 ]
i 0
8
Bezier曲线（7/19）
对称性
不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只 是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变
21
B样条曲线（1/17）
产生：
1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的
启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线
优于Bezier曲线之处：
与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便
n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线
n
P(t) P iBE i,n(tZ ) t[0,1]
i0
控制顶点 控制多边形
P1
P2
P0
P3
6
Bezier曲线（5/19）
Bezier曲线的性质
端点位置
P(t)|t0P0 P(t)|t1Pn
P1
P2
P0
P3
7
Bezier曲线（6/19）
端点切矢量
9
Bezier曲线（8/19）
凸包性
点集的凸包 包含这些点的最小凸集
Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内
p1
p0
p3
p2
10
Bezier曲线（9/19）
多值性
P3
P2
P1
P0=P5
P4 P4
11
Bezier曲线（10/19）
几何不变性 平面曲线的变差缩减性
12
Bezier曲线（11/19）
优点：
形状控制直观 设计灵活
20
Bezier曲线（19/19）
缺点：
所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定
顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活
i,3 (t)
[
P0
,
P1
,
P2
,
P3
]
BEZ BEZ
BEZ
1,3
(
t
)
2 3
,3 ,3
(t (t
) )
G BEZ
•
C
0 3
(1
C 31t (1
t)3 t)2
C
32t 2 C
(1 33t 3
t
)
G BEZ
1 • 0
0 0
3 3 0 0
3 6 3 0
1 1
3
t
3t 2
降阶公式 Bi,n E ( t) ( 1 Z t) Bi,n E 1 ( t) Z tB i 1 ,n 1 E ( t)Z 升阶公式 Bi,n ( E t ) n iZ 1 iBi 1 E ,n 1 ( t ) Z n n 1 1 iBi,n E 1 ( t )
4
Bezier曲线（3/19）
第五讲自由曲线与曲面 （二）
Bezier曲线
1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用
2
Bezier曲线（1/19）
Bezier基函数--Bernstein多项式的定义
Bi,n E (t) Z C n iti(1 t)n i ,t [0 ,1 ]
22
B样条曲线（2/17）
定义：
给定m+n+1个空间向量 Bk ，(k=0,1,…,m+n)，称
n次参数曲线
n
P i,n(t) B i lF l,n(t)
l 0
0t 1
为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,…,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性
Cni
n! i!(n i)!
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2
三次Bézier曲线的四个混合函数
BEZ (u) 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4 0.6 0.8
u 1
0.2 0.4 0.6 0.8
u 1
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
导数 积分
Bi,E n (t) Z n (Bi E 1 ,n 1 (tZ ) tB i,n 1 E (t)) Z
1
B
0
Ei,Zn(t)n11
最大值
在t = i/n处取得最大值
线性无关性
BEi,nZ(t)in0 是n次多项式空间的一组基
5
Bezier曲线（4/19）
Bezier曲线的定义
二阶几何连续条件？
自学
18
Bezier曲线（17/19）
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0
... Qi P0Cn0(1i/n)nP1Cn1(1i/n)n1(i/n).. . PnCnn(i/n)n
...
Qn Pn
19
Bezier曲线（18/19）
m
P(t) Pi BEi,Zm(t) i0
n
Q(s) Qj BEi,Zn(s)
j0
17
Bezier曲线（16/19）
零阶几何连续条件
(1) PmQ0
一阶几何连续条件
(1) PmQ0
( 2 ) 0P m P m 1 ( Q 1 Q 0 )
三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧
1
t
3
G BEZ • M BEZ • T
15
Bezier曲线（14/19）
递推公式--De Casteljau算法
P ir ( 1 P it,)P ir 1 tP i 1 r 1
r 0 r 1 ,2 , ,n ,i 0 ,1 , ,n r
计算Baidu Nhomakorabea程
几何解释
16
Bezier曲线（15/19）
二次Bezier曲线
n=2 抛物线
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P(1)
P2
13
Bezier曲线（12/19）
三次Bezier曲线
n=3
P2 P1
P(0) P0
P(1) P3
14
Bezier曲线（13/19）
三次Bezier曲线的矩阵表示
BEZ 0,3 (t )
P (t)
3 i0
Pi
BEZ
u 1
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
u3
1
Bezier曲线（2/19）
Bernstein基函数的性质
正性
Bi E ,n (t)Z 0 ,t [0 ,1 ]
权性 对称性
n
BEi,nZ (t)1 ,t[0,1]
i0
Bi,n E (t) Z Bn E i,n (1 Z t)
P(t)|t0P 1P0 P(t)|t1P nP n1
P1
P2
P0
P3
导数曲线
n 1
P (t)n (P i 1 P i)BiE ,n 1 (t)Zt [0 ,1 ]
i 0
8
Bezier曲线（7/19）
对称性
不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只 是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变
21
B样条曲线（1/17）
产生：
1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的
启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线
优于Bezier曲线之处：
与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便
n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线
n
P(t) P iBE i,n(tZ ) t[0,1]
i0
控制顶点 控制多边形
P1
P2
P0
P3
6
Bezier曲线（5/19）
Bezier曲线的性质
端点位置
P(t)|t0P0 P(t)|t1Pn
P1
P2
P0
P3
7
Bezier曲线（6/19）
端点切矢量
9
Bezier曲线（8/19）
凸包性
点集的凸包 包含这些点的最小凸集
Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内
p1
p0
p3
p2
10
Bezier曲线（9/19）
多值性
P3
P2
P1
P0=P5
P4 P4
11
Bezier曲线（10/19）
几何不变性 平面曲线的变差缩减性
12
Bezier曲线（11/19）
优点：
形状控制直观 设计灵活
20
Bezier曲线（19/19）
缺点：
所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定
顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活
i,3 (t)
[
P0
,
P1
,
P2
,
P3
]
BEZ BEZ
BEZ
1,3
(
t
)
2 3
,3 ,3
(t (t
) )
G BEZ
•
C
0 3
(1
C 31t (1
t)3 t)2
C
32t 2 C
(1 33t 3
t
)
G BEZ
1 • 0
0 0
3 3 0 0
3 6 3 0
1 1
3
t
3t 2
降阶公式 Bi,n E ( t) ( 1 Z t) Bi,n E 1 ( t) Z tB i 1 ,n 1 E ( t)Z 升阶公式 Bi,n ( E t ) n iZ 1 iBi 1 E ,n 1 ( t ) Z n n 1 1 iBi,n E 1 ( t )
4
Bezier曲线（3/19）
第五讲自由曲线与曲面 （二）
Bezier曲线
1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用
2
Bezier曲线（1/19）
Bezier基函数--Bernstein多项式的定义
Bi,n E (t) Z C n iti(1 t)n i ,t [0 ,1 ]
22
B样条曲线（2/17）
定义：
给定m+n+1个空间向量 Bk ，(k=0,1,…,m+n)，称
n次参数曲线
n
P i,n(t) B i lF l,n(t)
l 0
0t 1
为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,…,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性
Cni
n! i!(n i)!
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2
三次Bézier曲线的四个混合函数
BEZ (u) 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4 0.6 0.8
u 1
0.2 0.4 0.6 0.8
u 1
BEZ (u) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
导数 积分
Bi,E n (t) Z n (Bi E 1 ,n 1 (tZ ) tB i,n 1 E (t)) Z
1
B
0
Ei,Zn(t)n11
最大值
在t = i/n处取得最大值
线性无关性
BEi,nZ(t)in0 是n次多项式空间的一组基
5
Bezier曲线（4/19）
Bezier曲线的定义
二阶几何连续条件？
自学
18
Bezier曲线（17/19）
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0
... Qi P0Cn0(1i/n)nP1Cn1(1i/n)n1(i/n).. . PnCnn(i/n)n
...
Qn Pn
19
Bezier曲线（18/19）