抽样信号与抽样定理
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
理想抽样
1 F ) F ( n s( s) T sn
非理想抽样
p ( t ) ( t ) ( t nT ) T s
n
p ( t) G t nT ( s)
n
p ( ) ( n s s)
n
时域理想抽样的傅立叶变换
f (t )
F()
FT
FT
相乘
1 F ) F ( n s( s) T sn
1 2
相卷积
T(t) (t nT s)
n
FT
p ( ) ( n s s)
n
n 1 E jn t s s P p ( t ) e dt Sa n T T 2 s
连续
抽样 还原（有条件）
离散
自然抽样 （矩形抽样）
时域 理想抽样 （冲激抽样）
抽样 频域 平顶抽样
低通
带通(3-42)
二. 时域 抽样
抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数p(t) 的乘积来描述。 fs( t ) f( t ) p ( t )
时域抽样简图
连续信 号f(t) 抽样脉冲
抽样信号 fs(t)
p ( ) 2 P ( n n s)
n
Pn
1 Ts
E n s P Sa n T 2 s
1 F ( ) F ( ) * p ( ) s 2
1 F ( ) F ( ) * p ( ) s 2
(2)通过冲激抽样的方法在数字信号处理中有着广泛的应用。 （点抽样；均匀抽样）
２）冲激抽样
若抽样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激抽样” 或“理想抽样”。设Ts为抽样间隔，则抽样脉冲为
p ( t ) ( t ) ( t nT T s)
由于T(t)的傅立叶系数为： T s 1 2 1 jn t w s P ( t ) e dt T n T s T T s s 2 所以冲激抽样信号的频谱为：
1 F w ) F ( w nw s( s) T s
上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数， 所以F(w)是以ws为周期等幅地重复，如下图所示：
F(w) Fs(w) 1/Ts
-wm
wm
w
-ws
ws
w
抽样前信号频谱
抽样后信号频谱
下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和 小结：
* 抽样率的选择 s m m
s 2 m
结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。
若 0时 矩 形 脉 冲 冲 激 信 号
表示为一系列的冲激函 数：
(1)如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时 候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分 析简化。
数 字
语 音 信 号 输 出
语 音
信 号 输 入
A/D
pulse code modulation(PCM)
DCM
时域抽样简图：
连续信 号f(t) 抽样脉冲
抽样信号 fs(t)
量化 编码
数字信号
问题：
1）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与 未被抽样的连续信号的频谱有什么关系？ 2）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的 所有信息？即在什么条件下，可以从抽样的 信号还原成原始信号？
由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于它 们的频谱在频域里相卷积。 1 F ( w ) F ( w ) P ( w ) s 2 把计算出的P(w)代入上式得：
抽样性 周期
信号在时域被抽样后，它的频谱Fs(w)是连续 信号的频谱F(w)以抽样频率Ws为间隔周期地重复 而得到的。在重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的 傅立叶系数所加权，加权系数取决于抽样脉冲序列 的形状。
2 w fs s 2 T s
n 1 E jnw t s s P p ( t ) e dt Sa ( ) n T T 2 s
T s 2 T s s 2
p ( w ) 2 P ( w nw n s)
n
nw E s F ( w ) Sa ( ) F ( w nw ) s s T 2 sn 上式表明：
T s 2 T s s 2
关于非理想抽样
n E s F ( ) Sa F ( n ) s s T 2 sn
1 p ( ) 2 P ( n ( ) F ( ) * p ( ) n s) F s n 2
§3.10~3.11抽样信号与抽样定理
*时间抽样与空间抽样的实例演示
模 拟 信 号 输 入
A/ D 转换器
数字信号 处理器
模 拟 信 号 输
D/ A 转换器
出
数字信号处理系统简单框图
一.抽样的目的及所遇到的问题
模 拟
目的 : 模拟信号变成 比特流的数字 信号
反混迭失真
滤波器 取 样 量 化 码 化 器
量化 编码
数字信号
1)矩形脉冲的抽样（自然抽样） 此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t) 抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种 采样称为“自然抽样”。
*抽样信号频谱推导：
令模拟带限信号傅立叶变换为F(w).即f(t)F(w)
抽样脉冲序列的傅立叶变换为p(t) P(w) 设抽样为均匀抽样，周期为Ts，则抽样频率为 由于p(t)是周期信号，可知p(t)的傅立叶变换为： 其中
F (w )
1
F ) s(w
E w s
－ w m
w m
w
抽 样 后 频 谱
w w m w s
抽 样 前 频 谱
由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时， 幅度以Sa函数的规律变化。从Fs(w)的频谱图可见 抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个 经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率 及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而 呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所 以其频谱所占的频带几乎是无限宽的。
理想抽样
1 F ) F ( n s( s) T sn
非理想抽样
p ( t ) ( t ) ( t nT ) T s
n
p ( t) G t nT ( s)
n
p ( ) ( n s s)
n
时域理想抽样的傅立叶变换
f (t )
F()
FT
FT
相乘
1 F ) F ( n s( s) T sn
1 2
相卷积
T(t) (t nT s)
n
FT
p ( ) ( n s s)
n
n 1 E jn t s s P p ( t ) e dt Sa n T T 2 s
连续
抽样 还原（有条件）
离散
自然抽样 （矩形抽样）
时域 理想抽样 （冲激抽样）
抽样 频域 平顶抽样
低通
带通(3-42)
二. 时域 抽样
抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数p(t) 的乘积来描述。 fs( t ) f( t ) p ( t )
时域抽样简图
连续信 号f(t) 抽样脉冲
抽样信号 fs(t)
p ( ) 2 P ( n n s)
n
Pn
1 Ts
E n s P Sa n T 2 s
1 F ( ) F ( ) * p ( ) s 2
1 F ( ) F ( ) * p ( ) s 2
(2)通过冲激抽样的方法在数字信号处理中有着广泛的应用。 （点抽样；均匀抽样）
２）冲激抽样
若抽样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激抽样” 或“理想抽样”。设Ts为抽样间隔，则抽样脉冲为
p ( t ) ( t ) ( t nT T s)
由于T(t)的傅立叶系数为： T s 1 2 1 jn t w s P ( t ) e dt T n T s T T s s 2 所以冲激抽样信号的频谱为：
1 F w ) F ( w nw s( s) T s
上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数， 所以F(w)是以ws为周期等幅地重复，如下图所示：
F(w) Fs(w) 1/Ts
-wm
wm
w
-ws
ws
w
抽样前信号频谱
抽样后信号频谱
下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和 小结：
* 抽样率的选择 s m m
s 2 m
结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。
若 0时 矩 形 脉 冲 冲 激 信 号
表示为一系列的冲激函 数：
(1)如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时 候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分 析简化。
数 字
语 音 信 号 输 出
语 音
信 号 输 入
A/D
pulse code modulation(PCM)
DCM
时域抽样简图：
连续信 号f(t) 抽样脉冲
抽样信号 fs(t)
量化 编码
数字信号
问题：
1）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与 未被抽样的连续信号的频谱有什么关系？ 2）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的 所有信息？即在什么条件下，可以从抽样的 信号还原成原始信号？
由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于它 们的频谱在频域里相卷积。 1 F ( w ) F ( w ) P ( w ) s 2 把计算出的P(w)代入上式得：
抽样性 周期
信号在时域被抽样后，它的频谱Fs(w)是连续 信号的频谱F(w)以抽样频率Ws为间隔周期地重复 而得到的。在重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的 傅立叶系数所加权，加权系数取决于抽样脉冲序列 的形状。
2 w fs s 2 T s
n 1 E jnw t s s P p ( t ) e dt Sa ( ) n T T 2 s
T s 2 T s s 2
p ( w ) 2 P ( w nw n s)
n
nw E s F ( w ) Sa ( ) F ( w nw ) s s T 2 sn 上式表明：
T s 2 T s s 2
关于非理想抽样
n E s F ( ) Sa F ( n ) s s T 2 sn
1 p ( ) 2 P ( n ( ) F ( ) * p ( ) n s) F s n 2
§3.10~3.11抽样信号与抽样定理
*时间抽样与空间抽样的实例演示
模 拟 信 号 输 入
A/ D 转换器
数字信号 处理器
模 拟 信 号 输
D/ A 转换器
出
数字信号处理系统简单框图
一.抽样的目的及所遇到的问题
模 拟
目的 : 模拟信号变成 比特流的数字 信号
反混迭失真
滤波器 取 样 量 化 码 化 器
量化 编码
数字信号
1)矩形脉冲的抽样（自然抽样） 此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t) 抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种 采样称为“自然抽样”。
*抽样信号频谱推导：
令模拟带限信号傅立叶变换为F(w).即f(t)F(w)
抽样脉冲序列的傅立叶变换为p(t) P(w) 设抽样为均匀抽样，周期为Ts，则抽样频率为 由于p(t)是周期信号，可知p(t)的傅立叶变换为： 其中
F (w )
1
F ) s(w
E w s
－ w m
w m
w
抽 样 后 频 谱
w w m w s
抽 样 前 频 谱
由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时， 幅度以Sa函数的规律变化。从Fs(w)的频谱图可见 抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个 经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率 及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而 呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所 以其频谱所占的频带几乎是无限宽的。