高一数学必修四,平面向量知识点总结,2020最新版

平面向量知识点专题

知识点梳理：

一、向量的基本概念

1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。

2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。

3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。

4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显|

|a a ±

是与向量a 共线（平行）的单位向量。

5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。

6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。

7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。

二、向量的线性运算

1. 向量的加法：

1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。

1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图：

1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。

1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法：

2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。

2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图：

3. 向量的数乘运算：

3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下：

①||||||a a λλ=

②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。

3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则

①a a a μλμλ+=+)(；

②a a )()(λμμλ=；

③b a b a λλλ+=+)(。

三、重要定理和性质

1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。

2. 平面向量基本定理：

2.1. 如果21,e e 是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数21λλ，，使得2211e e a λλ+=。

2.2. 基底：我们把不共线的向量21,e e 叫做表示该平面内所有向量的一组基底，记为{21,e e }。2211e e λλ+叫做向量a 关于基底{21,e e }的分解式。

2.3. 平面向量基本定理又叫做平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础。

3. 线段定比分点的向量表达：如图，在△ABC 中，若点D 是边BC 上的点，且)1(-≠=λλDC BD ，则向

量λ

λ++=1AC AB AD 。

4. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使OC OB OA μλ+=,其中1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线⇔OC OB OA μλ+=（1=+μλ）

5. 中线向量定理：如图，在△ABC 中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量)(2

1AC AB AD +=。

四、平面向量的坐标表示及坐标运算

1. 平面向量的坐标表示：

2. 已知),(11y x A ，),(22y x B 坐标，那么向量),(1212y y x x AB --=

3. 平面向量坐标运算：设),(),,(2211y x b y x a ==则：

3.1. 加法：),(2121y y x x b a ++=+；

3.2. 减法：),(2121y y x x b a --=-；

3.3. 数乘：)()(1111y x y x a λλλλ+=+=；

3.4. 模长：2121||y x a +=，22

22||y x b +=。

五、平面向量的数量积

1. 向量的夹角：已知两个非零向量b a ,，记b OB a OA ==,，则）（πθθ≤≤=∠0AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记为>∈

2. 向量的数量积：>

><=⋅b a b a b a ,cos ||||。

3. 向量数量积坐标表示:设非零向量),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y y x x b a +=⋅。

4. 向量数量积的几何意义：

4.1. 投影：向量a 在b 方向上的投影θcos ||a ；向量b 在a 方向上的投影θcos ||b 。

4.2. 数量积几何意义：数量积b a ⋅等于a 的模长||a 与b 在a 方向上的投影θcos ||b 的乘积。即： ><=⋅b a b a b a ,cos ||||。

5. 平面向量数量积的重要性质：

5.1. 性质1.θcos ||a e a a e =⋅=⋅，（e 为单位向量）；

5.2. 性质2.002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a ；

5.3. 性质3.当b a ,同向时，||||b a b a =⋅；当b a ,反向时，||||b a b a -=⋅；

5.4. 性质4.22||a a a a ==⋅；22||a ||a a ==；

性质4可推广至θcos ||||2||||2)(||22222b a b a b a b a b a b a ++=⋅++=+=+

θcos ||||2||||2)(||22222b a b a b a b a b a b a -+=⋅-+=-=-

5.5. 性质5.2222222

12

121||||cos y x x x y y x x b a b a +⋅++=⋅=θ；

5.6. 性质6.||||||b a b a ≤⋅。

6. 平面向量数量积满足的运算律：

6.1. a b b a ⋅=⋅（交换律）；

6.2. c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(（分配律）；

6.3. b a b a ⋅=⋅λλ)(（λ为实数）；

6.4. 数量积运算不满足结合律，)()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅，不可约分c a b a ⋅=⋅不能推出c b =。

六、两个重要的结论：

1. 1221y x y x b a b a ⋅=⋅⇔=⇔λ∥

2. 002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a