超静定问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关键：变形协调条件
注意：力与变形一致
例1.已知:1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度
为E3A3,F，求各杆内力。
解: 1、分析A结点 一次超静定问题。
13
2
l
Fx 0,
FN1 FN 2
FN1 FN3 FN2
A F
A
F
Fy 0, (FN1 FN 2 )cos FN 3 F
2、考虑变形几何相容条件
=1mm，材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横 截面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试作杆的
轴力图。
RA
解: 若B端不接触，则杆件总变形为
A
60kN
1.2m
l
40
103 2.4 210 109
100103 1.2 600106
m
1.71mm
2.4m
l ＞ B端必接触
C
静力平衡方程 RA RB 100kN
mb mA l
mB
m l
a
四、简单超静定梁
用“多余未知力”代替“多余”约束， 就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原 静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。
综合考虑变形的几何方程、力和变形关 系可求解多余未知力。
40kN
1.2m
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
轴
1.2m
力
60kN
2.4m
图
85kN
⊕ 25kN
C
40kN
1.2m
B
15kN
RB
l
RA 103 1.2 210109 600106
(RA 60)103 2.4 210109 600106
RB 103 1.2 210109 300106
RA 85kN RB 15kN
FNBD ADB
31261.2M1P0a3 N
200 mm 2
D
30kN / m
FBD B
A
C
B FBD
1m
CE
FNCE ACE
39846.04M0Pm1am0 32N
2m
E LCE
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。
平衡方程：
FN1 FN 2
13
2
l
FN 3 (FN1 FN 2 )cos
由对称性知:
l1 l2
l1 l3 cos
3、物理关系
l1
FN 1l
E1A1 cos
13
2
l
A
A*
l3
FN 3l E3 A3
4、联解方程
F
FN 1
2 cos
E3 A3
E1 A1 cos2
FN 3
1 2
F E1 A1
cos3
E3 A3
2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl
GI p
T ( x)dx
l GI p
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面 C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力 偶矩。
m
A
C
a
B
b
解：
A
m
C
ɑ
m
B
b
mA
mB
静力平衡方程为： mA mB m
变形协调条件为： AB AC CB 0
即： mA a mB b 0 GIp GIp
第六章 简单的超静定问题 q
1.超静定问题及其解法
A
B
l
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由 平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静 定问题,相应的结构称为静定结构.
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程 无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问 题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
例题 6.1
有载荷F,垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横 梁AB的自重不计,求两杆中的内力.
MA 0
1
A
C
2
L1
FN1a FN22a F2a 0
B
变形协调方程
a
a
F
FN1
FN 2
A
B
C L1
L2
a
a
F
2L1 L2
2 FN1L FN 2L E1 A1 E2 A2
FN1
1
2F 4E2 A2
a
B 物理关系
F1
变形协调条件
l1 a
l2 2a
பைடு நூலகம்
F2
l1
F1 l EA
F1
4 5
l
EA
（拉力）
l2
F2 l EA
F2
2 5
l
EA
（压力）
温度应力的计算：
温度由
A
l
t1 t2 , t t2 t1
平衡方程
FA FB 0
FA
A l
变形相容条件
lt lF 物理方程 lt l t
E1 A1
FN 2
4
4F E1 A1
E2 A2
L
1.8L LDB
例题 6.2 图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和 C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积
ADB=200mm2，ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，
试校列核静力钢平杆衡的方强程度。MA 0
E1 A1
C
E2 A2
1
P 2
B RB
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件。
解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。
关键：变形协调条件（几何相容条件）
拉（压）杆超静定问题的解法
解超静定问题必须找出求解所有未 知约束反力所缺少的补充方程。结构 变形后各部分间必须象原来一样完整、 连续、满足约束条件----即满足变形 相容条件（变形协调条件）。
B
FB
lt
Lt FBl
EA
FB EAt
温度应力：
FB Et
A
碳素钢线胀系数为
12.5 10 6
1 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
练习2：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离
A
变形协调条件：
l3
l1 cos
FN1
F N3 F N2
A
l3
l1 l2
A
练习：图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度
均为EA，制造时1杆比原长L短，将1杆装到横梁后，求
两杆内力。
解: 装配后1杆伸长，
1
2
2杆缩短。
l1
l 研究AB 静力平衡方程
l2
F1 a F2 2a 0
Aa
超静定次数：未知力个数与平衡
方程数之差，也等于多余约束数
由于超静定结构能有效降低 结构的内力及变形，在工程上 （如桥梁等）应用非常广泛。
多余约束：在静定结构
上加上的一个或几个约束， 对于维持平衡来说是不必 要的约束（对于特定地工 程要求是必要的）称为多 余约束。对应的约束力称 多余约束反力。
RA A
FNCE 135 kN 3FNBD
变形协调方程 FLNDCBE31mLCE30kN / m 230m0FN1B1D0.5F6m1Nm.B8D2lFNEB65DF4N3C0mE0310F0NC6Em2l E
D
30kN / m
B
A
C
1m
2m
E
FNBD 32.2kN
FNCE 38.4kN
BD
注意：力与变形一致
例1.已知:1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度
为E3A3,F，求各杆内力。
解: 1、分析A结点 一次超静定问题。
13
2
l
Fx 0,
FN1 FN 2
FN1 FN3 FN2
A F
A
F
Fy 0, (FN1 FN 2 )cos FN 3 F
2、考虑变形几何相容条件
=1mm，材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横 截面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试作杆的
轴力图。
RA
解: 若B端不接触，则杆件总变形为
A
60kN
1.2m
l
40
103 2.4 210 109
100103 1.2 600106
m
1.71mm
2.4m
l ＞ B端必接触
C
静力平衡方程 RA RB 100kN
mb mA l
mB
m l
a
四、简单超静定梁
用“多余未知力”代替“多余”约束， 就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原 静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。
综合考虑变形的几何方程、力和变形关 系可求解多余未知力。
40kN
1.2m
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
轴
1.2m
力
60kN
2.4m
图
85kN
⊕ 25kN
C
40kN
1.2m
B
15kN
RB
l
RA 103 1.2 210109 600106
(RA 60)103 2.4 210109 600106
RB 103 1.2 210109 300106
RA 85kN RB 15kN
FNBD ADB
31261.2M1P0a3 N
200 mm 2
D
30kN / m
FBD B
A
C
B FBD
1m
CE
FNCE ACE
39846.04M0Pm1am0 32N
2m
E LCE
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。
平衡方程：
FN1 FN 2
13
2
l
FN 3 (FN1 FN 2 )cos
由对称性知:
l1 l2
l1 l3 cos
3、物理关系
l1
FN 1l
E1A1 cos
13
2
l
A
A*
l3
FN 3l E3 A3
4、联解方程
F
FN 1
2 cos
E3 A3
E1 A1 cos2
FN 3
1 2
F E1 A1
cos3
E3 A3
2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl
GI p
T ( x)dx
l GI p
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面 C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力 偶矩。
m
A
C
a
B
b
解：
A
m
C
ɑ
m
B
b
mA
mB
静力平衡方程为： mA mB m
变形协调条件为： AB AC CB 0
即： mA a mB b 0 GIp GIp
第六章 简单的超静定问题 q
1.超静定问题及其解法
A
B
l
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由 平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静 定问题,相应的结构称为静定结构.
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程 无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问 题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
例题 6.1
有载荷F,垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横 梁AB的自重不计,求两杆中的内力.
MA 0
1
A
C
2
L1
FN1a FN22a F2a 0
B
变形协调方程
a
a
F
FN1
FN 2
A
B
C L1
L2
a
a
F
2L1 L2
2 FN1L FN 2L E1 A1 E2 A2
FN1
1
2F 4E2 A2
a
B 物理关系
F1
变形协调条件
l1 a
l2 2a
பைடு நூலகம்
F2
l1
F1 l EA
F1
4 5
l
EA
（拉力）
l2
F2 l EA
F2
2 5
l
EA
（压力）
温度应力的计算：
温度由
A
l
t1 t2 , t t2 t1
平衡方程
FA FB 0
FA
A l
变形相容条件
lt lF 物理方程 lt l t
E1 A1
FN 2
4
4F E1 A1
E2 A2
L
1.8L LDB
例题 6.2 图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和 C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积
ADB=200mm2，ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，
试校列核静力钢平杆衡的方强程度。MA 0
E1 A1
C
E2 A2
1
P 2
B RB
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件。
解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。
关键：变形协调条件（几何相容条件）
拉（压）杆超静定问题的解法
解超静定问题必须找出求解所有未 知约束反力所缺少的补充方程。结构 变形后各部分间必须象原来一样完整、 连续、满足约束条件----即满足变形 相容条件（变形协调条件）。
B
FB
lt
Lt FBl
EA
FB EAt
温度应力：
FB Et
A
碳素钢线胀系数为
12.5 10 6
1 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
练习2：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离
A
变形协调条件：
l3
l1 cos
FN1
F N3 F N2
A
l3
l1 l2
A
练习：图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度
均为EA，制造时1杆比原长L短，将1杆装到横梁后，求
两杆内力。
解: 装配后1杆伸长，
1
2
2杆缩短。
l1
l 研究AB 静力平衡方程
l2
F1 a F2 2a 0
Aa
超静定次数：未知力个数与平衡
方程数之差，也等于多余约束数
由于超静定结构能有效降低 结构的内力及变形，在工程上 （如桥梁等）应用非常广泛。
多余约束：在静定结构
上加上的一个或几个约束， 对于维持平衡来说是不必 要的约束（对于特定地工 程要求是必要的）称为多 余约束。对应的约束力称 多余约束反力。
RA A
FNCE 135 kN 3FNBD
变形协调方程 FLNDCBE31mLCE30kN / m 230m0FN1B1D0.5F6m1Nm.B8D2lFNEB65DF4N3C0mE0310F0NC6Em2l E
D
30kN / m
B
A
C
1m
2m
E
FNBD 32.2kN
FNCE 38.4kN
BD