第10章电磁场的量子化

考虑 sin kz
2
(10.1.51)
1 ，因此 2
1 n | Ex2 | n E02 n 2
其中
1 2 E0 是零点振动的光强， nE02 那是 n 个光子的光强，因此 E0 就是一个光子的光场。 2
既然 n 表示有 n 个光子的态，为什么光场的平均值为零呢？这是因为，光子 n 与相位是一对测不准
(a a ) sin kz E0 (a a ) sin kz V0
(10.1.24)
E0
V0
(10.1.25)
是一个光子的电场。 将 q , p 和 N n 的表达式(10.1.22)和(10.1.21)代入 H 的表达式(10.1.13)，有：
H
1 1 [(a a)(a a), (a a )(a a)] a a 4 2

(10.1.26)
这样，可以得到 H 和 a, a 的对易关系如下：
[ H , a ] [a a, a ] [a , a]a a
247
(10.1.27a)
[ H , a ] a
由海森堡方程可证明 a 和 a 分别对就于光场的正频部分与负频部分，

比较(10.1.15)和上式，可得：
(10.1.20)
Nn
2 V0

(10.1.21)
与简谐振子的量子化过程一样，引入产生算符和湮灭算符 a 和 a ，它们与 q 和 p 的关系是：
q
(a a) 2 (a a) 2
(10.1.22a)
pi
(10.1.22b)
利用 q 和 p 的对易关系，并将上式代入(10.1.17)，有：
n | aa | n n | (aa 1) | n n 1
(10.1.44) (10.1.45)
由式(10.1.45)还可以看出， n 的归一化形式是
n
1 (a ) n 0 n!

(10.1.46)
容易看出是， n 是 a a 的本征态
249
aa n n n
与简谐振子一样，也可以写出本征函数在坐标表象中的表达式，引入新的变量 ，有
Sn n ,
(10.1.40)
a n n n 1

(10.1.41)
另一方面，产生算符 a 使光子数增加一个
a n S n 1 n 1
* n a Sn 1 n 1
(10.1.42) (10.1.43)
n | aa | n | Sn 1 |2 ,
S n 1 n 1
光Fra Baidu bibliotek数态

由于简谐振子在量子光学中的重要性，下边求出光子数算符 a 和 a 的本征态，即光子数态 n 。
H H H Ha H [aH , a ] H ( )a H
(10.1.29) (10.1.30)
因此 a H 也是能量的本征态，但本征值是 ( ) 。由于 a 使能量降低 ，所以称为湮灭算符。重复 使用湮灭算符，便得到真空态，其本征能量最低，记为 0 ，
10.1
光场的量子化
在研究光与物质相作用，有些现象，如激光现象必需用全量子理论才能解释。因此首先要将光场量子 化。
10.1.1
单模光场的量子化
在真空中，MKS 单位制下的麦克斯韦方程为：
244
D t B E t H
B 0 E 0
(10.1.1a) (10.1.1b) (10.1.1c) (10.1.1d) (10.1.1e) (10.1.1f)
上两式代入(10.1.13)式，有：
1 1 H ( M 2 q '2 P'2 ) 2 M
(10.1.15)
上式与简谐振子的哈密顿量完全一样， M 相当于振子的质量。在简谐振子量子化时，曾引入对易关系：
[ q ' , p ' ] i
由(10.1.14)式， q 和 p 也有同样的对易关系：
(10.1.11)
q
H p H q
(10.1.12a)
p
(10.1.12b)
由(10.1.7)、(10.1.10)和(10.1.12)，可知，哈密顿量为：
1 H ( p 2 q 2 ) 2
作如下变换：
(10.1.13)
q M q'
p 1 p' M
(10.1.14a) (10.1.14b)
(10.1.27b)
i (t ) [ H , a] a a
(t ) a a
(10.1.28a) (10.1.28b) (10.1.28c) (10.1.28d)
a(t ) a(0)e a a (t ) a (0)e a
10.1.2
p2 V (r , t ) 出发，应用算子法 E i ， p i 得出薛定谔 2m t
方程(10.0.1)为一次量子化，而由 ( r , t ) 出发应用场算子的对易规则使场量子化为二次量子化。光与原子 相互作用本身就包含了场与粒子两个方面。 故只讨论由粒子得出物质波 ( r , t ) 所满足的薛定谔方程(10.01) 是不够的。还必须讨论电磁场及物质波场 ( r , t ) 的量子化，由此得出的粒子表象也是全量子化理论中常用 的表象。 电磁场的量子化是量子光学中一个重要的基本问题。人们对光亦即电磁波场的认识，是经历了一个漫 长过程。在经典力学范围内，最先有牛顿的光微粒假设，后来有惠更斯的波动学说，最后定论在 Maxwell 的光的电磁波理论。在量子力学范围内，最先有黑体辐射的简谐振子理论，后来有爱因斯坦为了解释光电 效应提出的光子学假说。如何将电磁波与光子学说统一起来，就是我们要讨论的电磁场的量子化问题。
同样， H y 的平均值也为零
(10.1.49)
n | Hy | n 0
然而，光强的平均值却不为零
(10.1.50)
n | Ex2 | n E02 sin 2 kz n | (a a )(a a ) | n E02 sin 2 kz n | aa aa a a a a ) | n 1 2 E02 sin 2 kz n 2
k
则有：
， c
c2
1
0 0
Hy
令：
1 (t ) N n cos kz q 0c
(10.1.6)
p(t )
则，
(t ) q
(10.1.7)
Hy
1 p(t ) N n cos kz 0c
245
(10.1.8)
再利用方程(10.1.1b)，则有：
H y Ex 0 t z
第十章
电磁场的量子化
在辐射场的作用下，原子的波函数 ( r , t ) 所满足的薛定谔方程为：
i
( H 0 H ) t
(10.0.1)
在经典极限情形，原子是粒子，满足经典力学粒子运动方程。经过量子化得出的薛定谔方程，却赋予 波场经过量子化后便给出光场的 原子以波函数 ( r , t ) 的描述。同样在经典极限情形光满足 Maxwell 方程， 粒子即光子描述。 当然， 实际上， 场的量子化不仅适用于光场， 也适用于满足薛定谔方程的物质波场 ( r , t ) 。 虽然 ( r , t ) 经量子化后又回到但不是简单地回到粒子，而是由单粒子理论向多粒子理论的转化。最重要的 是包含了粒子的产生与湮灭算符及算符对易规则所蕴含的粒子统计。 习惯上称由经典的能量守恒 E
(10.1.47)
q
M
(10.1.48)
则本征函数 n ( ) q n 。 光子数态 n 的一个重要而有趣的性质是光场的平均值为零
n | Ex | n n | E0 (a a ) sin kz | n E0 n | (a a ) sin kz | n 0
248
(10.1.35)
因此， ( a ) 0 的能量本征值是
n
1 n n 2
因为
(10.1.36)
1 1 n | H | n n a a n n 2 2
则有
n | aa | n n
下面求出 a 和 a 作用于 n 的公式以及 n 的归一化的形式。 由式(10.1.30)可知， a 作用是使光子数减少一个，

(10.1.37)
a n Sn n 1
由于 a 不是厄米算符，所以 S n 是复数，将式(10.1.38)两端取共轭，
(10.1.38)
n a a n



* Sn n 1
(10.1.39)
将式(10.1.38)与式(10.1.39)相乘
n | a a | n | Sn |2 n 1 n 1 | S n |2 n Sn 的相位是任意的，我们令它的相位为零。则
0
Ex t
(10.1.3)
将(10.1.2)式代入上式，可得：

这样有：
H y z
(t ) N n sin kz 0q
(10.1.4)
(t ) N n sin kzdz H y 0q
考虑到其中：
0
k
(t ) N n cos kz q
(10.1.5)
(10.1.16)
[ q , p ] i
下面求出归一化常数 N n ，利用电磁场的哈密顿量的公式，并将 E x , H y 代入，则有：
(10.1.17)
H
1 1 2 [ 0 Ex2 0 H y ]dxdydz 0 N n [q 2 sin 2 kz p 2 cos]dxdydz 2 2
a 0 0
由式(10.1.31)和式(10.1.26)式，可求出真空态的本征能量，
(10.1.31)
1 1 H 0 a a 0 0 2 2
(10.1.32)
0
1 2
(10.1.33)
1 就称为零点能量。 2
同样可以分析 a 的作用，利用式(10.1.27b)，考虑
将 E x , H y ，即式(10.1.2)和(10.1.8)代入上式，可得：
(10.1.9)
(t ) q (t ) p
将(10.1.7)式入上式，可得到频率为 的谐振子方程：
(10.1.10)
(t ) 2 q(t ) q
将(10.1.7)和(10.1.10)写成哈密顿方程的形式，如下：
量，满足测不准关系，既然态 n 的光子数是完全确定的，就必然使相位完全混乱，频率为 而相位完全 混乱的电场的测量便是零。
i [q, p] i [(a a), (a a)] i[a, a ] 2
即有：
[ a, a ] 1
将 q 和 N n 的表达式(10.1.22a)和(10.1.21)代入光场的表达式(10.1.2)，有：
(10.1.23)
Ex ( z, t )
式中：

1 a H a 0 a 0 Ha 0 2

(10.1.34)
因此 a 的作用是把能量增加 ，将 a 连续作用 n 次，将得到的本征态称为 n ，本征值为 n ，
1 H (a ) n 0 n (a ) n 0 2
B 0 H D 0E
考虑偏振方向在 x 方向的谐振腔内的驻波场，
E x ( z , t ) q(t ) N n sin kz
式中， q (t ) 是光场的时间部分， sin kz 是光场的空间部分(驻波)， N n 是归一化系数。 由(10.1.1a)有：
(10.1.2)

H y z
2
(10.1.18)
如果谐振腔的截面各为 S ，长度为 L 和 sin kz 积分为：
246
S dxdy sin 2 kzdz cos 2 kzdz
0 0
L
L
1 L 2
(10.1.19)
上式代入(10.1.18)式，并注意谐振腔的体积为： V LS ，所有有：
1 1 H 0 N n V (q 2 p 2 ) 2 2