模糊推理
模糊控制——理论基础（4模糊推理）
模糊控制——理论基础（4模糊推理）1、模糊语句将含有模糊概念的语法规则所构成的语句称为模糊语句。
根据其语义和构成的语法规则不同，可分为以下⼏种类型：（1）模糊陈述句：语句本⾝具有模糊性，⼜称为模糊命题。
如：“今天天⽓很热”。
（2）模糊判断句：是模糊逻辑中最基本的语句。
语句形式：“x是a”，记作（a），且a所表⽰的概念是模糊的。
如“张三是好学⽣”。
（3）模糊推理句：语句形式：若x是a，则x是b。
则为模糊推理语句。
如“今天是晴天，则今天暖和”。
2、模糊推理常⽤的有两种模糊条件推理语句：If A then B else C；If A AND B then C下⾯以第⼆种推理语句为例进⾏探讨，该语句可构成⼀个简单的模糊控制器，如图3-11所⽰。
其中A，B，C分别为论域U上的模糊集合，A为误差信号上的模糊⼦集，B为误差变化率上的模糊⼦集，C为控制器输出上的模糊⼦集。
常⽤的模糊推理⽅法有两种：Zadeh法和Mamdani法。
Mamdani推理法是模糊控制中普遍使⽤的⽅法，其本质是⼀种合成推理⽅法。
注意：求模糊关系时A×B扩展成列向量，由模糊关系求C1时，A1×B1扩展成⾏向量3、模糊关系⽅程①、模糊关系⽅程概念将模糊关系R看成⼀个模糊变换器。
当A为输⼊时，B为输出，如图3-12所⽰。
可分为两种情况讨论：（1）已知输⼊A和模糊关系R，求输出B，这是综合评判，即模糊变换问题。
（2）已知输⼊A和输出B，求模糊关系R，或已知模糊关系R和输出B，求输⼊A，这是模糊综合评判的逆问题，需要求解模糊关系⽅程。
②、模糊关系⽅程的解近似试探法是⽬前实际应⽤中较为常⽤的⽅法之⼀。
模糊推理
第七章 模糊推理一、判断句 1．句型：“x a是”，a ：表示概念的一个词（组），简记为()a2．普通判断句及其集合表示若a 表示确切概念，则称()a 为普通判断句。
例如：a ：“大学生”，“研究生”，“河北人”…()a :“张三是研究生”，“李四是研究生”，“张三是河北人”…()a 可真，可假，使()a 为真的x 构成一个集合。
定义1设()a 是一个判断句，则称集合{|()}A x a x X=⊆对真为()a 的集合表示或真域。
3．模糊判断句及其集合表示若a 是模糊概念，则()a 为模糊判断句。
例如：a ：“老人”，“阴天”，“年轻”等。
x ：“张三”，“李四”，此时只能取[0，1]中的数表示()a 对x 的真值程度，记为：[()]T a 张三，一般记[()]T a x定义2()[()]A x T a x ∆=称为()a 的集合表示或真域。
{}X =全体教职工，()a ：“x 是老人”()a 的真域为：210, 50()50[1()], 5xA x x x x --⎧⎪=⎨-+⎪⎩的年龄小于表示的年龄 4．F 真、假取1/2为界区分F 真假 若1()()2a x >，则称()a 对x 为F 真；若1()()2a x <，则称()a 对x 为F 假；若1, ()()2x X a x ∀∈>，则称()a 为F 真； 若1, ()()2x X a x ∀∈<，则称()a 为F 假。
5．判断句的逻辑运算()()a b ∨：“x 是a 或x 是b ” ()()a b ∧：“x 是a 且x 是b ”()a ：“x 不是a ”例1()a 表示“明天是晴天”；()b 表示“明天是多云”； ()a 表示“明天不是晴天”。
6．逻辑运算的集合表示（或，与，非）()()a b ∨：A B ⋃ ()b ∧(a)：A B ⋂()a ：cA二、推理句（同一论域X上）1．句型：“若x 是a ，则x 是b ”，称为推理句，简记为“()()a b →”。
模糊推理以及逻辑运算(重点参考第5页后的内容)
对数据要求高
模糊推理需要大量的数据和样本 进行训练和优化，对于数据量较 小的情况可能无法得到理想的结 果。
如何克服模糊推理的局限性
引入人工智能技术
利用人工智能技术如深度学习、强化学习等，可以进一步提高模 糊推理的精度和效果。
结合其他方法
可以将模糊推理与其他方法如概率论、统计方法等相结合，形成混 合模型以提高精度和可靠性。
灵活性高
模糊推理不要求精确的数学模型，可以根据实际需求灵活地调整模 糊集合和隶属度函数。
适用范围广
模糊推理适用于许多领域，如控制、决策、模式识别等，能够解决许 多实际问题。
模糊推理的局限性
主观性较强
模糊推理中的模糊集合和隶属度 函数的定义往往基于专家经验或 主观判断，具有较强的主观性。
精度有限
由于模糊推理的原理，其结果的 精度往往受到一定限制，难以达 到与精确数学模型相当的水平。
根据模糊规则库中的模糊条件 语句和结论语句进行推理，得 出模糊结论。
去模糊化模块
将模糊结论转换为精确值，以 便于输出和决策。
模糊推理系统的设计流程
确定输入输出变量
首先需要确定系统的输入和输出变量， 并了解它们的变化范围和特性。
02
选择隶属度函数
根据输入输出变量的特性，选择合适 的隶属度函数，将输入的精确值转换 为模糊集合中的隶属度值。
01
03
建立模糊规则库
根据实际问题的需求，建立合适的模 糊规则库，包括条件语句和结论语句。
去模糊化处理
将推理得到的模糊结论转换为精确值， 以便于输出和决策。
05
04
设计推理算法
根据模糊规则库，设计合适的推理算 法，实现从输入到输出的映射。
模糊推理系统的应用实例
模糊推理
④你好 ④ ④多重模糊条件句
总结
(i)在模糊控制中，模糊条件语句的条件对应于模糊控制器的输入，语 句则对应于输出。 (ii)每一条模糊条件语句对应一种控制策略。 (iii) 控制策略 模糊关系 模糊推理 推理结论 (模糊结合形式表示的输出控制量) 模糊条件语句
目前我们已经学习了三种基本的模糊条件语句，简单小结如下： 类型
若 A且B，则C； ɶ ɶ ɶ 如今 A1且 B1； ɶ ɶ 结论C1 = [( A1 × B1 ) L ]T R
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
( A × B) ∪ ( A × E ) ɶ ɶ ɶ ɶ
( A × B) ∪ ( A × C ) ɶ ɶ ɶ ɶ
A × B × C = ( A × B) L C ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
结论: 结论: y1=0.4/1+0.4/2+0.4/3+0.7/4+1/5 y1=0.4/1+0.4/2+0.4/3+0.7/4+1/5 y= 0.4/3+0.7/4+1/5 与[大]比较: y1[较大] 比较: y1[较大] 较大
② 若A则B否则C型
ɶ
ɶ
ɶ
（举例）
设模糊集合A 的论域为X， B 和 C 的论域为Y。则由 “ A则B否则C型 ” 若 ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 条件语句所决定的在X×Y上的模糊关系 R 为：
(1 0.6 0.3 0.2 0) °
0 0.3 0.6 1 1
0 0.3 0.6 1 1
0.4 0.4 0.6 1 1
0.7 0.7 0.6 1 1
1 0.7 0.6 1 1
=[0.4 0.4 0.4 0.7 1] y1=0.4/1+0.4/2+0.4/3+0.7/4+1/5 y1=0.4/1+0.4/2+0.4/3+0.7/4+1/5
模糊推理
F = ∑ µ F (u i ) / u i
i =1 n
• 也可写成
• 其中，为ui对F的隶属度；“ F (ui ) / ui ”不是相除关系，只是一 其中， 的隶属度； µ 不是相除关系， 的隶属度 不是相除关系 个记号； 也不是算术意义上的加， 个记号；“+”也不是算术意义上的加，只是一个连接符号。 也不是算术意义上的加 只是一个连接符号。 F = {µ F (u1 ) / u1 , µ F (u2 ) / u2 ,⋯, µ F (un ) / un } •
2. 模糊集的表示 模糊集的表示(1/3)
•
•
(1) 离散且为有限论域的表示方法
为离散论域， 设论域 U={u1, u2, … , un}为离散论域，则其模糊集可表示为： 为离散论域 则其模糊集可表示为：
•
•
F={ µ F (u1 ) , µ F (u 2 ) , … ,
µ
F
(u n )
}
为了能够表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系， 为了能够表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，扎德 引入了一种模糊集的表示方式： 引入了一种模糊集的表示方式：先为论域中的每个元素都标上其隶 属度，然后再用“+”号把它们连接起来 号把它们连接起来， 属度，然后再用“+”号把它们连接起来，即
F F
为定义在U上的一个隶属函数， 则称 µ F 为定义在U上的一个隶属函数，由 µF (u)（对所有 u ∈ U ） 所构成的集合F称为U上的一个模糊集， 称为u 的隶属度。 所构成的集合F称为U上的一个模糊集µF (u) ， 称为u对F的隶属度。 说明： 说明： 模糊集F完全是由隶属函数 来刻画的， ① 模糊集 完全是由隶属函数 µ F 来刻画的，µ F 把U中的每一个元素 中的每一个元素 u都映射为 1]上的一个值 µF (u) 。 都映射为[0, 上的一个值 都映射为 的值表示u隶属于 的程度，其值越大，表示u隶属于 隶属于F的程度 隶属于F的程 ② µF (u) 的值表示 隶属于 的程度，其值越大，表示 隶属于 的程 度越高。 仅取0和 时 模糊集F便退化为一个普通集合 便退化为一个普通集合。 度越高。当 µ (u)仅取 和1时，模糊集 便退化为一个普通集合。
模糊推理
1. 模糊取式推理
假设 A F ( X ), B , C F ( Y ), 则
C ( y ) ( A ' ( x ) R ( x , y ))
x X
( A ' ( x ) A ( x ) B ( y ))
x X
[ ( A ' ( x ) A ( x ))] B ( y )
x X
( A ' ( x ) (1 A ( x )) ( A ' ( x ) B ( y ))
x X
[ ( A ' ( x ) (1 A ( x )))] [( A ' ( x )) B ( y )]
x X x X
在前例中，若
A' 不大， A ' ( x ) 1 A ( x ),
C ( y ) 1, 即 C Y ( 未知 ).
2. 模糊拒式推理
假设 A , C F ( X ), B F ( Y ), 则
C ( x ) ( R ( x , y ) B ' ( y ))
yY
( A ( x ) B ( y ) B ' ( y ))
yY
常用的模糊化方法如下:
A( x) e
x x* a
2
高斯模糊化:
三角形模糊化:
| x x* | 1 A( x) b 0
| x x * | b 其它
若认为 x * 直接可用，则不进行模 相当于取 1 A(x) 0 x x* 否则
非常小
1 / 1 0 . 64 / 2 0 . 36 / 3 0 . 16 / 4 0 . 04 / 5 .
模糊推理方法
模糊推理方法模糊推理方法是一种基于模糊逻辑的推理方法，它不同于传统的二值逻辑推理，而是考虑了事物之间的不确定性和模糊性。
在现实生活中，我们经常面对各种模糊的问题，例如天气预报、医学诊断、金融风险评估等等，这些问题都存在一定的模糊性和不确定性。
而模糊推理方法正是为了解决这些模糊问题而被提出的。
模糊推理方法的核心是模糊集合理论，它将模糊性作为一个数学概念进行描述。
在模糊集合理论中，每个元素都可以具有一定的隶属度，表示该元素属于该模糊集合的程度。
通过模糊集合的隶属度，我们可以对事物进行模糊分类和模糊推理。
模糊推理方法主要包括模糊逻辑推理和模糊数学推理两种形式。
模糊逻辑推理是通过对模糊命题的模糊逻辑运算，推导出模糊结论的过程。
模糊数学推理则是利用模糊数学的方法，通过模糊关系的运算，得出模糊结论的过程。
在模糊推理方法中，常用的推理规则包括模糊蕴涵规则、模糊合取规则、模糊析取规则等。
这些推理规则可以根据具体的问题和需求进行选择和组合，以实现对模糊问题的推理和决策。
模糊推理方法的应用非常广泛。
在天气预报中，由于气象数据的不确定性和模糊性，传统的二值逻辑推理往往无法准确预测天气情况。
而模糊推理方法可以通过对多个气象数据的模糊运算，得出更准确的天气预报结果。
在医学诊断中，由于病情的复杂性和多样性，传统的二值逻辑推理往往无法全面考虑各种可能性。
而模糊推理方法可以通过对病情特征的模糊分类和模糊推理，提供更全面的医学诊断结果。
除了天气预报和医学诊断，模糊推理方法还广泛应用于金融风险评估、交通流量预测、工程管理等领域。
在金融风险评估中，由于金融市场的不确定性和复杂性，传统的二值逻辑推理往往无法准确评估风险。
而模糊推理方法可以通过对各种金融指标的模糊运算，得出更准确的风险评估结果。
在交通流量预测中，由于交通数据的不确定性和随机性，传统的二值逻辑推理往往无法准确预测交通流量。
而模糊推理方法可以通过对多个交通数据的模糊运算，得出更准确的交通流量预测结果。
模糊推理方法
几种典型的模糊推理方法根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系),(~Y X R 及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。
对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系),(~Y X R 一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。
根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani 推理法、Larsen 推理法、Zadeh 推理法等等。
一、Mamdani 模糊推理法Mamdani 模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系),(~Y X R M 定义简单，可以通过模糊集合A ~和B ~的笛卡尔积(取小)求得，即)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ= (3.2.1) 例 3.2.1 已知模糊集合3211.04.01~x x x A ++=，33211.03.05.08.0~y y y y B +++=。
求模糊集合A ~和B ~之间的模糊蕴含关系),(~Y X R M 。
解：根据Mamdani 模糊蕴含关系的定义可知：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯=1.01.01.01.01.03.04.04.01.03.05.08.0]1.03.05.08.0[1.04.01~~),(~B A Y X R MMamdani 将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。
在此定义下，Mamdani 模糊推理过程易于进行图形解释。
下面通过几种具体情况来分析Mamdani 模糊推理过程。
(i) 具有单个前件的单一规则设*~A 和A ~论域X 上的模糊集合，B ~是论域Y 上的模糊集合，A ~和B ~间的模糊关系是),(~Y X R M ，有大前提(规则)： if x is A ~ then y is B ~小前提(事实)： x is *~A结论： y is ),(~~~**Y X R A B M =当)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ=时，有 )()}()]()({[V )]}()([)({V )(~~~~Xx ~~~Xx ~***y y x x y x x y BB A AB A AB μωμμμμμμμΛ=ΛΛ=ΛΛ=∈∈ (3.2.2)其中)]()([V ~~Xx *x x AA μμωΛ=∈，称为A ~和*~A 的适配度。
模糊推理的简单例子
模糊推理的简单例子模糊推理的简单什么是模糊推理？模糊推理是一种逻辑推理方法，用于处理模糊或不确定的信息。
它通过使用模糊集合的概念来推断出结论，并且能够处理模糊的、部分真实的或不确定的信息。
模糊推理在人工智能、模式识别和决策支持系统等领域有广泛的应用。
模糊推理的例子例子1：天气预测假设我们要根据一些数据来预测明天是否会下雨。
我们收集到的数据包括湿度、温度和云量等信息。
根据经验，我们可以建立一些模糊规则来做出预测：1.如果湿度高或云量大，那么有可能下雨。
2.如果温度高，那么有可能不下雨。
3.如果湿度适中、温度适宜且云量少，那么有可能不下雨。
通过模糊推理，我们可以根据这些规则和输入的模糊数据，例如湿度为“高”、温度为“适宜”、云量为“少”，来推断出结论：“可能不下雨”。
例子2：模糊控制模糊控制是模糊推理的一种应用，用于控制模糊系统的行为。
举个简单的例子：假设我们要设计一个自动调节室内温度的控制系统。
我们可以设置一些模糊规则来决定应该如何调节加热器的功率：1.如果室内温度高且温度上升趋势明显，那么应该减少加热器的功率。
2.如果室内温度低且温度下降趋势明显，那么应该增加加热器的功率。
3.如果室内温度适宜，那么加热器的功率可以保持不变。
通过模糊推理，系统可以根据当前的室内温度和温度趋势，来推断出应该采取的控制动作，例如减少功率或增加功率，从而实现自动调节。
例子3：模糊匹配模糊匹配是模糊推理的一种应用，用于在一组数据中找到与给定模糊查询最匹配的项。
举个例子：假设我们要在一份学生成绩表中找到数学成绩与给定查询”良好”最匹配的学生。
我们可以根据一些模糊规则来定义”良好”的数学成绩范围：1.如果数学成绩大于80且小于90，那么可以判定为”良好”。
2.如果数学成绩大于70且小于80，也可以判定为”良好”。
3.如果数学成绩大于60且小于70，也可以判定为”良好”。
通过模糊推理，我们可以将这些规则与每个学生的数学成绩进行匹配，然后找到与查询”良好”最匹配的学生。
模糊推理
• 模糊推理： • 以模糊集合论为基础描述工具，对以一般集合论 为基础描述工具的数理逻辑进行扩展，从而建立了 模糊推理理论。是不确定推理的一种。在人工智能 技术开发中有重大意义。 • 模糊推理主要应用于模糊控制，其方法被用于工 业过程的控制以及新型家电产品的开发。
模糊集合论： • 设A是论域U到[0, 1]上的一个映射， • 即 A: U → [0, 1]，x ↦A(x) • 则称A是论域U的模糊子集，或者论域U上的模 糊集合，简称为模糊集；而函数A(⋅)称为模糊集A的 隶属函数，A(x)称为x相应于模糊集A的隶属度。 • 也就是说模糊集合就是允许在一个集合部分隶属。 即对象在模糊集合中的隶属度可为从0 - 1之间的任 何值。即可以从“不隶属”到“隶属”逐步过渡。
• 由定义可见，模糊集完全由它的隶属函数来描述。 而隶属函数在区间[0, 1]上取值，所以模糊集非常适 合刻画亦此亦彼、模棱两可的模糊现象。 • 为了直观地描述和分析模糊集及其性质，也经常 用如图 1 所示的 隶属函数示意图来大致 展示模糊集的数学或逻 辑联系。
• 模糊推理原则：
• 模糊推理主要有以下两种形式：
模糊推理
模糊的概念： 从属于该概念到不从属于该概念之间。 没有明显的分界线。 比如： 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、 小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨。
推理的概念： • 根据一定的规则，从一个或几个已知判断引伸 出一个新判断的思维过程。 • —般说来，推理包含两个部分的判断，一部分 是已知的判断，作为推理的出发点，叫做前提。一 部分由前提所推出的新判断，叫做结论。 • 推理的形式主要有直接推理和间接推理。只有 一个前提的推理称为直接推理，由两个或两个以上 前提的推理称为间接推理。
模糊推理规则
其隶属度函数为：
C
(
z
)
x
A
(
x)
[
A
(
x)
C
(
z)]
y
B
(
y)
B
(
y)
C
(
z
)
x
A
(
x)
A
(x)
C
(z)
y
B
(
y)
B
(
y)
C
(z)
(A C (z)) (B C (z)) (A B) C (z)
其中，
A
(
x
A
(
x)
A
(
x))
B
(
y
B
(
x)
B
(x))
分别是指模糊集合 A 与 A、B 与 B 交集的
“大” 0.4 0.7 1 3 45
“小” 1 0.7 0.3 12 3
“较小”1 0.6 0.4 0.2 12 3 4
已知规则：若x小，则y大 问题：当x较小时，y应是多少？
解：已知模糊子集“大”、“小”、“较小” 的隶属度函数分别为：
b (x) 0,0,0.4,0.7,1
s (x) 1,0.7,0.3,0,0
ls (x) 1,0.6,0.4,0.2,0
由玛达尼(Mamdani)推理法,
AB (x, y) A (x) B ( y) Rmin(x, y)
可以得到由“小”到“大”的模糊关系矩阵：
0 0 0.4 0.7 1
0 0 0.4 0.7 0.7
Rmin 0 0 0.3 0.3 0.3
0 0 0
高度。
AA ”
模糊推理规则
i
i
B ( y ) [ Bi ( y ) Ci ( z )]
y
x A
( x) Ai ( x) Ci ( z )
( Ai Ci ( z )) ( Bi Ci ( z )) ( Ai Bi ) Ci ( z )
y
B
2.4 模糊逻辑推理
Fuzzy Logic Implication
1、近似推理 2、模糊条件推理 3、多输入模糊推理 4、多输入多规则推理
前提1：如果x是A，则y是B 前提2：如果x是 A , 结论： y是 B A ( A B)
第一步： 求 ( A B) 的关系矩阵 R
R A B
“如果A且B，那么C”的隶属度函数表达式 就是：
A ( x) B ( y) C ( z)
其模糊关系矩阵 R AB C ，矩阵的计算 就变成：
[ A ( x) B ( y)] C ( z)
于是，规则的推理结果为：
C ( A B) [( A B) C ] [ A ( A C )] [ B ( B C )]
系列规则中，“否则”的含义是“OR”，在推 理计算过程中可以写成并集形式。 由此，整个系列的推理结果为：
第一条条件规则 C ( A B) [( A1 B1 ) C1 ] [( A2 B2 ) C2 ] ( Am Bm ) Cm C1 C2 Cm 模糊关系
B2
B2” C2
C2”
第二步：求y
B A R
X Y
A
( x)B ( y) /( x, y)
A B
R
模糊推理方法
模糊推理方法
模糊推理方法是一种基于非确定证据的推断方法，它是集合概念和统
计推理相结合的结果，由著名的模糊理论创始人洛洛·塔夫斯基在1965
年提出。
其基本思想是基于模糊集合的本质，建立了对普通语言的数学模型，使我们能够从有限的观测集合中提取出更多的有价值的信息，从而更
好地支持现有的决策。
模糊推理方法的主要过程可以分为三步：
（1）提出假设。
首先，在假设的基础上，需要把系统划分为若干假
设集，让假设集内的每一种情况都有一定权重，根据权重来控制假设的实现，以及概率对应权重的变化。
（2）分析和推断。
根据提出的假设和假设集，根据概率和统计原理，对系统事件进行分析推断，运用模糊变量和模糊模型，分析其内在规律，
从而推断出系统动态的变化情况。
（3）多模态决策。
最后，根据前两步推断出的结果，运用模糊语言，把推断出来的决策转换为多模态决策。
模糊推理方法，有三种重要的技术，分别为模糊规则，模糊数学和模
糊统计。
1.模糊规则：即把模糊规则作为系统推理过程的调控工具。
非经典逻辑中的模糊推理与模糊集合
非经典逻辑中的模糊推理与模糊集合模糊推理和模糊集合作为非经典逻辑的重要分支，对于处理不确定性和模糊性的问题具有重要的意义。
本文将介绍模糊推理和模糊集合的基本概念、特点以及在实际应用中的作用。
一、模糊推理模糊推理是用来处理模糊信息的一种推理方法。
与传统的经典逻辑推理方式不同，模糊推理允许信息的不确定性和模糊性存在。
在模糊推理中，我们将不确定的信息转化为模糊集合，利用模糊集合的运算和推理规则进行推理。
通过模糊推理，我们可以得到一些模糊性较低的结论。
模糊推理的基本框架为模糊推理系统，它包括了模糊推理的输入、模糊推理的处理和模糊推理的输出三个部分。
在输入部分，我们将模糊信息通过模糊化的方式转换为模糊集合；在处理部分，我们利用模糊集合的运算和推理规则进行推理；在输出部分，我们将推理结果通过反模糊化的方式转换为具体的结论。
模糊推理在人工智能、控制理论和决策支持系统等领域有着广泛的应用。
例如，在智能交通系统中，我们可以利用模糊推理来实现车辆的自动驾驶和交通信号的优化控制；在医疗诊断系统中，我们可以利用模糊推理来对患者的病情进行判断和诊断。
二、模糊集合模糊集合是指在一个特定的空间中，每个元素都具有一定的隶属度，表示该元素属于该集合的程度。
与经典集合不同，模糊集合允许元素的隶属度为一个介于0和1之间的实数。
在模糊集合中，我们通过隶属函数来描述元素与模糊集合之间的隶属关系。
模糊集合具有以下几个特点：模糊性、隶属度、包容性和运算规则。
模糊性表示了元素的隶属度可以是一个连续的区间，而不仅仅是一个确定的值；隶属度表示了元素属于模糊集合的程度，它可以用来度量元素与模糊集合之间的相似度；包容性表示了一个元素可以同时属于多个模糊集合；运算规则包括了模糊集合的并、交和补运算等。
模糊集合在模糊推理、模式识别和人工智能等领域有着重要的应用。
例如，在模式识别中，我们可以利用模糊集合来描述模式的不确定性和模糊性，提高系统对于复杂模式的识别能力；在人工智能领域，我们可以利用模糊集合来表示知识的不确定性和模糊性，提高系统的推理和决策能力。
模糊推理例题
模糊推理例题
例题：
小明每天都要去上学，他通常会早上8点钟离开家，然后走10分钟到达学校。
今天早上因为下雨，小明没有骑自行车去上学，而是坐公交车。
当小明上公交车时，已经是8点15分了。
根据这些信息，可以得出什么结论？
A. 小明迟到了
B. 小明没有迟到
C. 下雨原因造成了小明迟到
D. 小明迟到是因为坐公交车
解析:
根据题干信息，小明通常早上8点离开家，走10分钟到达学校。
今天早上他坐公交车时已经是8点15分了。
可以得出结论：小明迟到了。
选项A正确。
选项B错误，因为小明确实迟到了。
选项C错误，虽然下雨原因造成了小明改变了交通工具，但是没有具体的信息说明下雨原因导致小明迟到。
选项D错误，虽然小明迟到是因为坐公交车，但是没有说明迟到的原因。
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Zadeh模糊推理法 Zadeh模糊推理法
与Mamdani推理法相比，Zadeh推理法也是 Mamdani推理法相比，Zadeh推理法也是 采用取小合成运算法则，但是其模糊关系 的定义不同。
Takagi－Sugeno模糊推理法 Takagi－Sugeno模糊推理法
这种推理方法便于建立动态系统的模糊模 这种推理方法便于建立动态系统的模糊模 型，因此在模糊控制中得到广泛应用。T-S ，因此在模糊控制中得到广泛应用。T 模糊推理过程中典型的模糊规则形式为： 模糊推理过程中典型的模糊规则形式为： 如果x 如果x是 A and y是B，则z=f（x，y） y是 ，则z=f（ 其中A 其中A和B是前件中的模糊集合，而z= 是前件中的模糊集合，而z= f（x，y）是后件中的精确函数。
模糊逻辑对应于模糊集合论，模糊逻辑运 模糊逻辑对应于模糊集合论， 算除了不满足布尔代数里的补余律 补余律外 算除了不满足布尔代数里的补余律外，布 尔代数的其它运算性质它都适用。 尔代数的其它运算性质它都适用。除此之 外，模糊逻辑运算满足德 摩根(De外，模糊逻辑运算满足德摩根(De-Morgan) 模糊逻辑运算满足德 代数，即 代数，即 对于补余运算，De-Morgan代数中是这样定义 对于补余运算，De-Morgan代数中是这样定义 的：
模糊推理系统
模糊逻辑 模糊命题 模糊规则 模糊推理
模糊逻辑
语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工 语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的 语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观 念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是 由于自然语言中经常用到大量的模糊词( 由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、 模范、优美、拥护等) 模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设 计语言，如我们熟悉的C 计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工 语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
A
表示。在模糊命题中，“ 称作模糊谓词。简单模糊命题通 表示。在模糊命题中，“is ”称作模糊谓词。简单模糊命题通 过连接词“ 等连接起来， 过连接词“且”、“或”、“非”等连接起来，就构成了 复合模糊命题。复合模糊命题一般形式为 复合模糊命题。复合模糊命题一般形式为
由于模糊命题间的“ 由于模糊命题间的“且”、“或”、“非” 实质上可以通过模糊逻辑“ 实质上可以通过模糊逻辑“交”、“并”、 “补”实现。因此，对于复合模糊命题的 真值，需要通过模糊合成运算来求取。
模糊命题之间的“ 模糊命题之间的“并”、“交”、“补” 基本运算的定义：
模糊规则
模糊规则也称模糊条件语句，其表达式为： if x is A , then y is多个前提条件的称为多维模糊规则。
模糊推理
推理是根据一定的规则，从一个或几个已知判断 推理是根据一定的规则， 引伸出一个新判断的思维过程。 引伸出一个新判断的思维过程。—般说来，推理 都包含两个部分的判断，一部分是已知的判断， 作为推理的出发点，叫做前提(或前件) 作为推理的出发点，叫做前提(或前件)。由前提所 推出的新判断，叫做结论(或后件) 推出的新判断，叫做结论(或后件)。 推理的形式主要有直接推理和间接推理 推理的形式主要有直接推理和间接推理。只有一 直接推理和间接推理。 个前提的推理称为直接推理，由两个或两个以上 前提的推理称为间接推理。间接推理又可分为演 绎推理、归纳推理和类比推理等，其中演绎推理 是生活中最常用的推理方法，它的前提与结论之 间存在着确定的蕴涵关系。
年龄
语言变量 X 语法规则 G
年青 1.0
中年 年老 “年龄”语言变量的五元体
语言值 T(X )
语义规则 M U 论域 （岁）
0
20
40
60
80
“年龄”语言变量的五元体
模糊逻辑
数理逻辑是建立在经典集合论上的研究概念、判断和推理 形式的一门学科，又称为经典逻辑。经典逻辑最大的特点 是所反映的内容非真即假，在客观世界中这样的命题不胜 枚举。比如： ◆ 北京是中华人民共和国的首都 ◆ 石头可以当饭吃 但是，还有一类命题很难做出这样明确的判断。比如： ◆ 机动车比自行车的速度更快 ◆ 南方的天气很热 对于这样的模糊性命题，经典逻辑往往不能给出符合实际 情况的结果。模糊逻辑是二值逻辑的推广，可以在[0,1]区 情况的结果。模糊逻辑是二值逻辑的推广，可以在[0,1]区 间上任意取值。模糊逻辑运算规则也是以经典逻辑运算规 则为基础，经过适当的扩展而形成的 。
( X , T ( X ), U , G , M )
模糊逻辑
一个完整的语言变量可定义为一个五元体 （X,T(X),U,G,M) 其中X——语言变量的名称； 其中X——语言变量的名称； T(X)—— T(X)——语言变量的语言值； ——语言变量的语言值； U——论域； ——论域； G—语法规则； M——语义规则。 ——语义规则。
模糊推理又称模糊逻辑推理，是指在确定的模糊规则下， 模糊推理又称模糊逻辑推理，是指在确定的模糊规则下， 由已知的模糊命题推出新的模糊命题作为结论的过程。 由已知的模糊命题推出新的模糊命题作为结论的过程。模 糊推理是一种近似推理，主要有以下两种形式： 糊推理是一种近似推理，主要有以下两种形式： (1) 已知模糊蕴涵关系“若x是A, 则y是B”，其中A是X上的 已知模糊蕴涵关系“ ，其中A 模糊集，B 模糊集，B是Y上的模糊集，模糊蕴涵关系往往是大量的实 验观测和经验的概括。在模糊推理过程中，认为该蕴涵关 系提供的信息是可靠的，它是近似推理的出发点，相当于 “三段论”的大前提。又知X上的一个模糊集A*，它可能 三段论”的大前提。又知X上的一个模糊集A*，它可能 与A相近，也可能与A相去甚远，那么从模糊蕴涵关系能 相近，也可能与A 推断出什么结论B*? 推断出什么结论B*? (2) 已知模糊蕴涵关系“若x是A, 则y是B”，其中A是X上的 已知模糊蕴涵关系“ ，其中A 模糊集，B 模糊集，B是Y上的模糊集，又知Y上的模糊集B*，那么从 上的模糊集，又知Y上的模糊集B*，那么从 模糊蕴涵关系能推断出什么结论A*? 模糊蕴涵关系能推断出什么结论A*?
模糊推理
典型模糊推理方法
Mamdani模糊推理法 Mamdani模糊推理法 Larsen推理法 Larsen推理法 Zadeh 推理法 Takagi－Sugeno模糊推理法 Takagi－Sugeno模糊推理法
Mamdani模糊推理法 Mamdani模糊推理法
Mamdani模糊推理法是最常用的一种推理方 Mamdani模糊推理法是最常用的一种推理方 法，其模糊蕴涵关系R (X,Y)定义简单，可 法，其模糊蕴涵关系RM(X,Y)定义简单，可 以通过模糊集合A 以通过模糊集合A和B的笛卡尔积(取小)求得， 的笛卡尔积(取小) 即
模糊命题
模糊命题是指带有模糊性的陈述句。模糊 模糊命题是指带有模糊性的陈述句。模糊 命题的真值不是绝对的“ 命题的真值不是绝对的“真”或“假”， 而反映其隶属于“ 而反映其隶属于“真”的程度。模糊逻辑 是表征模糊命题的工具，是研究模糊推理 最基本的数学手段。模糊命题可以分为性 最基本的数学手段。模糊命题可以分为性 质命题和关系命题两种， 质命题和关系命题两种，通常用大写字 ……表示 ……表示，如： 表示，如： 母， P~：金属物体的导电性能好； Q~：100比1大得多。 100比
模糊逻辑
一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 ， 它是一种广泛使用的自然语言，如何将模 糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的 思维去推理和判断，这就引出了语言变量 这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、 。语言变量是以自然语言中的词、 词组或句子作为变量 。语言变量的值称为 语言值，一般也是由自然语言中的词、词 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值 变量称作基础变量。 变量称作基础变量。
下面的例子讲解了Mamdani模糊推理方法的 下面的例子讲解了Mamdani模糊推理方法的 具体应用：
Larsen模糊推理法 Larsen模糊推理法
Larsen推理方法又称为乘积推理法，是另一 Larsen推理方法又称为乘积推理法，是另一 种应用较为广泛的模糊推方法。Larsen推理 种应用较为广泛的模糊推方法。Larsen推理 方法与Mamdani方法的推理过程非常相似， 方法与Mamdani方法的推理过程非常相似， 不同的是在激励强度的求取与推理合成时 用乘积运算取代了取小运算。
α , β , γ ∈ { 0,1}
布尔代数运算性质
若 存在 a,b,c∈{0,1}，在布尔代数中则有以下性质 a,b,c∈{0,1}，在布尔代数中则有以下性质 (1) 幂等律 a∧a=a a∨a=a (2) 交换律 a ∧b=b ∧a a ∨b=b ∨a (3) 结合律 （a ∨ b） ∨c= a ∨( b ∨c) （a ∧ b） ∧ c= a ∧( b ∧ c) (4) 吸收律 （a ∨ b） ∧b= b （a ∧ b） ∨b=b (5) 分配律 (6) 复原律 (7) 补余律 （模糊逻辑运算不符合） (8) av1=1 av0=0 a ∧1=a a ∧0=0
实例1 实例1
以“年龄”作为语言变量X，该语言变量的论 年龄”作为语言变量X 域U取[0, ∞)。根据语法规则可知，描述语言 ∞)。根据语法规则可知，描述语言 变量“年龄”的语言值有“年青” 变量“年龄”的语言值有“年青”、“中 年”、“年老”几种，那么T(X)可表示为 年老”几种，那么T(X)可表示为 T(X)＝年青＋中年＋年老 T(X)＝年青＋中年＋年老 语义规则主要是用来反映实际论域中的岁 数与模糊集合“年青” 中年” 数与模糊集合“年青”、“中年”、“年 之间的关系。 老”之间的关系。模糊语言变量的完整描 述见 后图
~ A
模糊命题从构成上划分，又可分为简单模糊命题 模糊命题从构成上划分，又可分为简单模糊命题 和复合模糊命题两种。简单模糊命题的一般形式 和复合模糊命题两种。简单模糊命题的一般形式 ( x) 为: