张量分析总结讲课稿

张量分析总结

一、知识总结

1 张量概念

1.1 指标记法

哑标和自由指标的定义及性质

自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：

3

33323213123232221211

313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)

式(1.1)可简单的表示为下式：

i j ij B x A =

(1.2)

其中：i 为自由指标，j 为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker 符号

定义ij δ为：

⎩

⎨

⎧≠==j i j

i ij ,0,1δ

(1.3)

ij

δ的矩阵形式为：

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1

1

1

ij

δ(1.4)

可知3

ij ij ii jj

δδδδ

===。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：

ij jk ik

ij jk kl il

δδδ

δδδδ

=

=

(1.5)

ij

δ的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci符号

为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

-

=

其余情况

为奇排列

为偶排列

,0

,

,

,1

,

,

,1

k

j

i

k

j

i

l

ijk

(1.6)

图1.1 i,j,k排列图

ijk

l的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换

图1.2 坐标转换

如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。有

''i j i j ij e e e e δ==

'i e 在i e 下进行分解：''11'22'33'i i i i i j j e e e e e ββββ=++=

j e 在'i e 下进行分解：''''1'12'2

3'3'j j j j i j i e e e e e ββββ=++= 其中，''''cos(,)i j i j i j j i e e e e e e β==⋅=⋅ 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P 在新老坐标系矢径：

⎪⎩

⎪

⎨⎧'

+='⋅='⋅'='0r r r e x r e x r j j i i (1.7)

其中'0r 为上图中坐标原点的位移矢量。 将'r 向新坐标轴上投影的矢量的分量：

''''''''

'

''''''''0000()()()()i k k i k ki i i k k i j j i k ki j i j i j i j

r e x e e x x r r e x e e x e e x x x x δδββ⋅=⋅==+⋅=⋅+⋅=+=+即

由此得新坐标用老坐标表示的公式：

ij j i i x x x β+'='0)(

(1.8)

类似地，将i 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：

''0()j j i ij x x x β=+

(1.9)

特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时

'0()0i x =，上两式的矩阵形式为：

{}[]{}

{}[]{}[]{}

'

1

'

'

T

x x x x x βββ-===

(1.10)

由上可知，[][][]T

I ββ= ，[]β是正交矩阵，则'1i j β=。 综合以上可知：

''''''''''''

''''

i j l k lk i l j k i l j k i k j k i k j k i j i j i j e e e e e e ββββδββββδδ⎫⋅=⋅==⎪

⇒=⎬⋅=⎪⎭

(1.11)

同理，可推出：''ij k i k j ββδ=

将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，''()i i j x x x =； 将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，'()j j i x x x =

''

i i

j j x dx dx x ∂=∂，其中'i j x x ∂∂为常数，称'

i j

x J x ∂=∂为雅克比行列式。若J 处处不

为0，则说明存在相应的逆变化，即：'''

j

i i j j i x x x x β∂∂==∂∂ 1.5 张量的分量坐标转换规律 1.5.1 一阶张量

一阶张量在新老坐标系中的分解为：

j j i i e a e a a =''=

(1.12)

其中：

i j i j e e '='β (1.13)

则：

i j i j i i e a e a a '=''='β (1.14)

得到：

j i j i a a '='β (1.15)

同理：

j j i i e e '='β (1.16)

得：

i j i j a a '='β (1.17)

矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。 1.5.2 二阶张量