第四章 地球椭球及其数学计算

Z e '2 b sin3 u

X 2 Y 2 e2a cos3 u

L

arctan
Y X

H X 2 Y 2 cos B Z sin B a 1 e2 sin2 B
纬度的精度可达 1''107
大地高的误差小于106 cm
第四章 地球椭球及其数学计算
第三节 地心纬度、归化纬度及其 与大地纬度间的关系
e2 0.0066944 e8 2109
e10 1.31011
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球几何参数间的相互关系
ab
a
b a 1
a2 b2 e
a
b a 1 e2
e' a2 b2 b
e2 1 1 1 e '2
e '2 1 1 1 e2
✓ 旋转椭球体的特点
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
✓ 椭球长半径
a
✓ 椭球短半径
b
✓ 椭球的扁率

✓ 椭球的第一偏心率e
✓ 椭球的第二偏心率 e'
➢ 在椭球面上的点
X x cos L Y x sin L Z y
X N cos B cos L Y N cos B sin L
Z N (1 e2 ) sin B
➢ 不在椭球面上的点（推导）
X Y
N H cos B cos L N H cos B sin L
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
空间直角坐标转大地坐标
➢ 迭代公式
tan B

z

Ne2
sin
B


x2 y2

1
z
ae2 tan B

x2 y2
1 (1 e2 ) tan2 B
L arctan y arcsin y arccos x
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
Bu
➢ 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间 的差异很小，经过计算，当B=45°时：
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'

Bu
(B )max 11.8'
第四章 地球椭球及其数学计算 第四节 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
对于一条平面曲线 y f (x)
其曲率半径可用下式计算
3


1
( dy )2 dx d2y
2
dx2
x2 y2 1 a2 b2
M dS dB
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M dS dS dx
dB
sin B
M dx 1 dB sin B
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
空间直角坐标与归化纬度间的关系
✓ P点在子午面直角坐标系中的坐标
x a cos u
x2 y2 1
a2 b2 y b sin u
X x cos L Y x sin L Z y
子午圈和卯酉圈圈曲率半径级数展开（实际计算）
M m0 m2 sin2 B m4 sin4 B m6 sin6 B m8 sin8 B N n0 n2 sin2 B n4 sin4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
或
M m0' m2' cos2 B m4' cos4 B m6' cos6 B m8' cos8 B N n0' n2' cos2 B n4' cos4 B n6' cos6 B n8' cos8 B
子午面直角坐标系
引入辅助参数
x a cos B W
y x(1 e2 ) tan B
代入x
y a(1 e2 ) sin B W
令：N a W
则：x N cos B
x N cos B

y

N
(1
e2
)
sin
B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标转空间直角坐标
ab
a
a2 b2 e
a
a2 b2 e'
b
其中a，b称为长度元素，扁率反映了椭球体的扁平程度。
偏心率是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们 也反映椭球的扁平程度，偏心率愈越大，椭球越扁
上述5个参数中任பைடு நூலகம்两个参数就能表示椭球的形状和大小，但其
中至少有一个长度参数 ，通常选 a 和 e
空间直角坐标系是大地测量与导航计算常用的坐标系 空间直角坐标系定义
✓ 坐标原点O：位于总地球椭球(或参考椭球)中心 ✓ Z轴：与地球平均自转轴相重合，指向某段时间的平均北极点； ✓ X轴：指向由平均格林尼治天文台和平均自转轴所确定的子午面
与赤道面的交点Ge； ✓ Y轴：垂直于X轴和Z轴构成右手系

Z
N (1 e2 ) H
sin B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标系到空间直角坐标系的转换推导思路
✓ 建立空间直角坐标系 ✓ 建立子午面直角坐标系（中间过渡） ✓ 推导子午面直角坐标和大地纬度与椭球有关参数之间的关系 ✓ 找到空间直角坐标和子午面直角坐标之间的相互关系 ✓ 建立空间直角坐标和大地坐标之间的关系
✓ 过P点作子午椭圆的切线TP，切线的斜率为 tan(900 B)
x2 y2 1 a2 b2
dy dx


b2 a2

x y

tan(90o
B)

cotB
y x(1 e2 ) tan B
x2 a2

1
e2 sin2 cos2 B
B

1
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 g 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
子午圈曲率半径M
a(1 e2 ) M W3
M

c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
4.4 地球椭球上的曲率半径
卯酉圈
✓ 过椭球面上任意一点P可作一条垂直 于椭球面的法线PF，包含这条法线的 平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线
✓ 过椭球面上一点的法线，可作无限个 法截面，其中与子午面垂直的法截面 称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线 称为卯酉圈
点的两个主曲率半径
4.4 地球椭球上的曲率半径
任意方向法截弧的曲率半径
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
u

arctan
b
aZ X2 Y2
B arctan
Z e '2 b sin3 u X 2 Y 2 e2a cos3 u


u arctan
aZ
1
be '2


b X 2 Y 2
X 2 Y 2 Z 2
B arctan
x a cosB W
dx dB



a

sin
BW cosB W2
dW dB



dW d 1 e2 sin 2 B e2 sin B cos B
dB
dB
W
dx dB


a sin B W3
(1
e2 )
W 1 e2 sin2 B
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
✓ 三角函数级数展开
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
弧度和度的定义
角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示 角度制：规定周角的360分之一为1度的角 弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度
周长=2 gR
180o
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
子午面直角坐标系（大地坐标与空间直角坐标系转换所需的中间坐标系）
✓ P点为空间某点P′ 沿法线方向在地球椭球上的投影点，以过P点的子午 椭圆中心为原点，建立一个平面直角坐标系，x轴与子午椭圆的长轴重 合，y 轴与椭圆的短轴重合。
✓ 在该坐标系中，P点的位置用( x, y)表示