整体分析及总体刚度矩阵的性质

m2 4
i2 j3 5 m4
i4 6
[K jj](1)
[K jm ](1)
[K ji ](1)
[K mm ](1) [K jj](2) [K ii ](3)
[K mi ](1) [K im ](3)
[K jm ](2)
[K ii ](1)
[K mm](3) [K jj](4)
[K ji ](2) [K ij ](3)
1
2
3
4
56
7 8 9 10
1
2
3
6
54
7 8 9 10
1
2
9
3 10 8
4 567
[K mj](3) [K jm ](4)
[K ji ](4)
[K mm](2) [K mi](2)
[K ii ](2) [K jj](3) [K mm](4)
[K mi](4)
[K ii ](4)
2. 整体刚度矩阵的特点
在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在 解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体 刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。
整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
一般，一个节点的相关结
1
点不会超过九个，如果网格中
2
有200个节点，则一行中非零
3
子块的个数与该行的子块总数
4
相比不大于9/200，即在5%以
5
下，如果网格的节点个数越多，
6
则刚度矩阵的稀疏性就越突出。
பைடு நூலகம்
7
利用矩阵[K]的稀疏性，
是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。
整体分析
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。
建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有
考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以 处理。
在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四
个支杆处相应位移已知为零：
大刚度矩阵 K%e 。 B、将各单元的扩大刚度矩阵
K%e 迭加，得出结构刚度
矩阵[K]。
2）R R1 L RnT 为节点载荷向量， 1 L nT
为节点位移向量。
局部码
j1
m1, j2 ,i3 i1, m3 , j4
m2
i 2 , j3 , m4
i4
总码
1
2
3
4
5
6
j1 1
m1 j2 2 i3 i1 m3 3 j4
零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中， 表示j节kij 点 单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i节点 引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、 j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。
如上图结构，计算 k23 时，与节点2和3相关的单元有单元 ①和③，当节点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在节点 2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构 在节点2的节点力 k23 k213 k233 。由此看出，结构的刚度 系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是 相关单元的对应子块的集成。
e
• 整理可得，整体平衡方程： K R
整体刚度矩阵的形式
整体平衡方程：
K R
1）其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩
阵：
K K%(1) K%(2) K%(3) K%(4) K%(e)
集成包含搬家和迭加两个环节：
A、将单元刚度矩阵 K e 中的子块搬家，得出单元的扩
n
d
•
•
•
•
n
••••• •
•
•
•
•
(a)[K]
矩阵[K] d
•
对角线
•
•
•
r行
••••• •
n
•
r列
•
•
•
r行s列
(b) [K]*
元素
矩阵 [K]* 第1列 r行 45度斜线 r行s-r+1列元素
整体刚度矩阵的特点
同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带 宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节 点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。 因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带 宽，从而节省存贮容量。
1、对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。
2、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
节点5只与周围的六个节点 (2、3、4、6、8、9)用三角形 单元相连，它们是5的相关节 点。只有当这七个相关节点产 生位移时，才使该节点产生节 点力，其余节点发生位移时并 不在该节点处引起节点力。因 此，在矩阵[K]中，第5行的非 零子块只有七个(即与相关节 点对应的七个子块)。
F 2
K
21
K 22
K 23
K 24
K 25
K
26
2
F F
34
K31 K 41
K32 K 42
K33 K 43
K34 K 44
K35 K 45
K36 K 46
3 4
FF56
K51
K61
K52 K62
K53 K63
K54 K64
K55 K65
K56 K66
5 6
其中子向量 i 和 Fi 都是二阶向量，子矩阵 Kij
整体分析 及总体刚度矩阵的性质
整体分析
单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组
合成结构，进行整体分析。
图示结构的网格共有四
1 Py1
个单元和六个节点。在节 点1、4、6共有四个支杆支
承。结构的载荷已经转移
a
①
Py3
2
Px2
a
3
Px3 ③
②
4
④
5
为结点载荷。 整体分析的四个步骤：
1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体 刚度矩阵； 6 3、解方程组，求节点位移；
② 4 m2
i2j3 m 4 ④ i4
在单元刚度矩阵中，把节点 的局部码换成总码，并把其
5
6 中的子块按照总码次序重新
排列。
a
a
整体刚度矩阵的形式
以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此 k (2)
子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 K%(2) 为：
局部码
j2
m2
i2
而相应的单元刚度
总码 1
2
34
56
方程为（或节点力表
1
达式）：
j2 2 3
m2 4 5
i2 6
[K jj](2)
[K jm](2) [K ji](2)
[K mj](2) [Kij ](2)
[K mm](2)[K mi](2) [Kim ](2) [Kii ](2)
0
F22
0
F42
1
K%
(
2)
4、根据节点位移求出应力。
a
a
整体分析
1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)
上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12 个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，
转换关系为： F K
分块形式为：
F 1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1
这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之 间的对应关系。
整体刚度矩阵的形式
结构中的节点编码称为
1
j1
a
节点的总码，各个单元的三 个节点又按逆时针方向编为 i,j,m,称为节点的局部码。
①
单元刚度矩阵中的子块
2 m1
i1 3
是按节点的局部码排列的，
j2 i3
m3 ③
j4
a
而结构刚度矩阵中的子块是 按节点的总码排列的。因此，
8
可设法只存贮非零元素，从而
9
可大量地节省存贮容量。
10
整体刚度矩阵的特点
3、带形分布规律。
上图中，矩阵[K]的非零元素分布在以对角线为中心 的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角 线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。 半带宽的一般计算公式是：
半带宽 d = ( 相邻结点码的最大差值 + 1 ) * 2 上图中相邻节点码的最大差值为4，故d=(4+1)*2=10
整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则：
1）在整体离散结构变形后，应保 证各单元在节点处仍然协调地相互 连接，即在该节点处所有单元在该 节点上有相同位移，
2
1
i
2
i
L
in i
1
4
③
④
②
i
①
3
2）整体离散结构各节点应满足平 衡条件。即环绕每个节点的所有单 元作用其上的节点力之和应等于作 用于该节点上的节点载荷Ri，
Fie Ri
2
e
1
4
③
Ri
④ i
②
①
3
整体刚度矩阵的形式
• 2、整体刚度矩阵的集成方法
• 具阵体集k e成，方然法后是将：其先中对的每每个个单子元块求出k单ij 元送刚到度结矩构刚 度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构 刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。
• 关键是如何找出 k e 中的子块在[K]中的对应位置。
u1
0，u4
0，v4
0，v6
0
建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
3、解方程组，求出节点位移。
通常采用消元法和迭代法两种方法。
4、根据节点位移求出应力。
整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵 K 是单元刚度矩阵 k e 的集成。
1、刚度集成法的物理概念：
在单元刚刚度阵矩阵中中的k元，e素，即表ki由示ej 节j节点点作单单位位位位移移，时其引他起节的点节位点移力为。
2 34
F52
0
56
整体刚度矩阵的形式
•
用同样的方法可得出其他单
元的扩大的单元刚度方程:
F1e
F2e
1 2
F3e F4e
K%(e)
34
e=1,2,...4
F5e
F6e
56
• 据节点力平衡，各个单元相 应节点力叠加：
Fie Ri i=1,...6
利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的 元素，叫半带存贮。
整体刚度矩阵的特点
图(a)中的矩阵[K]为n行n列矩阵，半带宽为d。半带存贮
时从[K]中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵 [K]* 的排列方
式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量 与[K]中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。