抛物线与切线问题
不愤不启 不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评
{
· 22·
中学教研 （ 数学）
2013 年
思考：把 2 条切线的交点作为起始点， 再观察切线 QA 与 QB ， 它们是对称的， 可否从设切线方程入手？ 解 由 Q （ x0 ，－ 1 ） ， 可 设 切 线 QA： y + 1 = k （ x － x0 ） ， 代入得 x2 － 4 kx + 4 kx0 + 4 = 0 ， 利用 得 从而
2 Δ = 16 k － 4 × 4 （ x0 k + 1 ） = 0 ，
在的弦方程为 y =
x0 x － y0 ． 2
k2 － x0 k － 1 = 0 ， k1 ·k2 = － 1 ． 点评 引导本题时， 体现的思想方法是： 先借 助于图像进行粗略判断， 再进一步借助于特殊点进 行验证， 最后用数学思想方法进行严密证明， 从而 ． ， 得到结论 这种思想方法 特别是对开放题会有明 显的效果． 本题的条件多样， 如何更有效整合利用 就显得更加重要． 这些信息， 3 ． 4 问题导练， 及时反馈 2 例 3 已知抛物线 C ： x = 4 y A， B 是抛物线上的 2 的焦点为 F ， → → AF = λ FB （ λ ＞ 0 ） ． 过点 个动点， A， B 分别作抛物线的切线， 设其 → → 证明：FQ·AB 为定值． 交点为 Q， （ 学生板演． ） 图3 解法 1 x + x2 x1 － x2 y1 － y2 → → = FQ·AB = 1 ， －2 · ， 2 2 2
2 2 x2Байду номын сангаасx2 1 － x2 1 － x2 － = 0． 4 4
(
) (
)
解法 2
AB 的方程为 y = k AB =
x0 x + 1， 从而 2
与抛物线相切有关的三种直线方程的统一形式
与抛物线相切有关的三种直线方程的统一形式吴家华（四川省遂宁中学 629000）在高三数学复习中，笔者惊奇地发现与抛物线相切的三类问题的三种直线方程的形式是完全一样的. 现介绍如下：（1）过抛物线py x 22=上一点),(00y x P 的切线方程为)(00y y p x x +=.（2） 过抛物线py x 22=外一点),(00y x P 引抛物线的两条切线，切点为B A ,，则直线AB 的直线方程为)(00y y p x x +=.（3） 过不在抛物线py x 22=上一点),(00y x P 的直线与抛物线相交于B A ,两点，则过B A ,两点的切线的交点的轨迹是一条直线，其方程也为)(00y y p x x +=. 证明 (1) 由py x 22=得：221x p y =，对x 求导，得：x py 1='， ∴ 01|0x py x x ='= 又∵点),(00y x P 在抛物线py x 22=上，∴0202py x =。
∴切线方程为)(1000x x x py y -=-，即0020002py x x x x x py py -=-=-， ∴切线方程为)(00y y p x x +=.（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则由（1）可得：切线PB 、PA 的方程分别为： )(11y y p x x += ， )(22y y p x x +=。
∵点),(00y x P 在切线PB 、PA 上，∴)(1001y y p x x += ，)(2002y y p x x += 由此可见，B A ,两点在直线)(00y y p x x +=上，即直线AB 的方程为)(00y y p x x +=。
（3）设)21,(211x p x A ，)21,(222x px B )(21x x ≠，则直线AB 的方程为 )(212121112212221x x x x x p x p x p y ---=-，即 2121)(2x x x x x py -+=，∵点),(00y x P 在直线AB 上， ∴210210)(2x x x x x py -+= ①又由（1）知：过抛物线上A 点的切线方程为)21(211x py p x x += ，即 21122x x x py -= ② 同理：过抛物线上B 点的切线方程为22222x x x py -= ③由②、③解得：x x x 221=+， py x x 221=，代入①，得：)(00y y p x x +=，即为过B A ,两点的切线的交点的轨迹方程.同理，对于抛物线标准方程的其它几种形式：py x 22-=，px y 22=，px y 22-=，它们对应的直线方程的统一形式分别为：)(00y y p x x +-=，)(00x x p y y +=，)(00x x p y y +-=.类似地，可以证明，对于解析几何中的圆、椭圆、双曲线的类似于抛物线的上述三种情形，我们也有相应的直线方程的统一形式，它们是1. 圆222R y x =+，对应的直线方程的统一形式为200R y y x x =+； 2. 椭圆12222=+by a x ，对应的直线方程的统一形式为12020=+b y y a x x ； 3. 双曲线12222=-by a x ，对应的直线方程的统一形式为12020=-b y y a x x . 应用上述结论，我们可迅速地解答和编拟一些新问题.。
直线与抛物线切线问题
直线与抛物线切线问题
1.直线和抛物线的基本概念
直线是两个不在同一直线上的点之间的最短距离的集合，可用y=kx+b表示。
抛物线是平面内，到定点F和定直线L距离相等的点P的轨迹，可用y=ax^2+bx+c表示。
2.切线的基本概念
切线是曲线上某一点处的局部直线，与曲线在该点处相切且方向相同。
对于抛物线，它在顶点处的切线是水平线，因为此时斜率为0。
3.直线和抛物线的切线问题
对于直线和抛物线，它们可能存在交点，也可能没有交点。
若要求它们的切线，需要先求出它们的交点，然后求出在该交点的切线斜率。
具体步骤如下：
①列出方程组，求解交点坐标。
方程组为y=kx+b和
y=ax^2+bx+c，将它们相减得到cx^2+(b-k)x+(c-b)=0。
求解得到交
点坐标后，即可得到在该点的斜率。
②切线斜率的求解。
对于抛物线，它在交点处的切线斜率为导数，在该点导数为2ax+b。
对于直线，它本身的斜率即为切线斜率。
4.实际应用
直线和抛物线的切线问题在物理、工程学或者经济学中经常出现，例如物体的抛射运动、管道的水流分析等等。
5.总结
直线和抛物线的切线问题需要先求解交点坐标，再求解斜率。
它们在实际应用中具有广泛的应用价值。
过抛物线焦点弦端点的切线的探究
过抛物线焦点弦端点的切线的探究抛物线是数学中研究物体受到重力作用时行进轨迹的重要平面曲线。
它求解物理抛物线的运动规律和运行轨迹的研究成为学生数学的重要课题。
本文将研究抛物线焦点弦端点的切线，分析它们的性质和影响，以期为进一步的数学研究提供有益的参考。
抛物线的焦点弦端点的切线就是过抛物线上的任意两个点，再以其中一个点为焦点，将该抛物线最切线作为切线，称为抛物线焦点弦端点的切线。
根据几何原理，由两点围成的弦上的每一点均不在所求的切线上，而这样两点之间的切线就是弦端点的切线，也就是抛物线焦点弦端点的切线。
从抛物线的几何性质可以看出，抛物线焦点弦端点的切线具有以下性质：首先，抛物线焦点弦端点的切线的斜率是有限的，并且斜率的绝对值与两点间的距离成正比；其次，这条切线的直线斜率与焦点弦的抛物线相同；再次，切线的斜率的绝对值的和为0；再者，这条切线的焦点与两点间的距离之和等于焦点弦的长度。
有时，在研究计算抛物线问题时，可以借助抛物线焦点弦端点的切线来求解抛物线的特性，这样就可以很快地解决抛物线的问题，可以有效地避免重复计算的困难。
在实际应用中，抛物线的焦点弦端点的切线可应用于工程中的吊桥，求解类似吊桥问题，可以使用抛物线上路径的焦点弦端点的切线。
抛物线是求解吊桥位置最佳，并可以很容易地计算出一桥梁的一定数量和形状来满足工程要求的最优方案。
此外，抛物线焦点弦端点的切线也可以用来研究体积、重量问题，以决定物体的某些有限的数量和形状，以此节省时间和精力。
总而言之，抛物线焦点弦端点的切线的性质和影响是独特的，超出了抛物线的几何性质本身，因此，有必要深入研究抛物线焦点弦端点的切线，从而可以更好地进行抛物线的相关研究。
抛物线外一点做两条切线轨迹方程
抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。
本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。
2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。
根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。
设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。
4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。
设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。
根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。
由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。
5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。
这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。
抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。
希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。
抛物线中的切线问题(推荐完整)
式表示）
. .
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x p( y y0 )
x2
x1x0 x2 x0
p( x12 2p
p( x22 2p
y0 ) y0 )
A、M、B三点的横坐标成等差数列
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
抛物线中的切线问题
例题：（山东高考）如图，设抛物线方程为
x2 2 py( p 0) ， M 为直线 y 2 p 上任意 一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ． 求证： A，M，B三点的横坐标成等差数列
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
xx0 yy0 r2
2. 设P(x0,
y0
)为椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yy0 b2
1
3. 设P(
x0
,
y0
)为双曲线
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1
抛物线中的切线问题(解析版)
抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。
抛物线中切线问题
变式 3：如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求过
A, B 两点的直线方程.（直线 AB 用 x0、y0 的形式
表示）
. .
解:由结论1可知过A(x1, y1), B(x2, y2)的切线 方程分别为:x1x p( y1 y), x2x p( y2 y)
p( x22 2p
-2 p)
-2 p. )
.
整理得x0
=
x1 +x2 2
A、M、B三点的横坐标成等差数列.
变式 2：如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线 的切线，切点分别为 A，B ．问: A，M，B三点的
横坐标成等差数列.
y，
x p
，
y，
x
x1
x1 p
，同理可得y，
x
x2
x2 p
x12 P
kAM
x1 p
2p 2 x1 x0
,即x12 -2x0 x1-p2
0
x22 P
kBM
x2 p
2p 2
x2
x 0
,即x22 -2x0 x2 -p2
0
x1、x2是方程x2 -2x0 x-p2 =0的两根，
x1x2 =-p2
xx0 =p(y+y0 )
类比拓展：
1. 过圆 x2 y2 r2上一点 M(x0, y0) 的切线方程: xx0 yy0 r 2
2.
设P(
x0
抛物线的切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程和切点弦方程
本文将探讨抛物线的切线方程和切点弦方程两个重要的概念。
切线方程的推导
我们知道，抛物线的一般式方程为 y=ax^2+bx+c，对其求导得到 y'=2ax+b， y' 即为切线斜率。
假设某一点的坐标为 (x0, y0)，则该点处的切线斜率为 y'=2ax0+b。
但是仅仅知道切线斜率并不能唯一确定切线方程，我们还需要另一个已知条件。
我们可以利用该点的坐标 (x0, y0) 推导出该点的切线方程。
已知某点坐标为 (x0, y0)，切线斜率为 k，则其切线方程为 y-y0=k(x-x0)。
将 k=y'，即得到切线方程：y-y0=(2ax0+b)(x-x0)。
切点弦方程的推导
切点弦方程也称作法向弦方程，它表示的是过切点且垂直于切线的直线方程。
我们可以通过该点的切线方程推导出该点的切点弦方程。
对于切线方程 y-y0=(2ax0+b)(x-x0)，其中切点坐标为 (x0, y0)，斜率为 k=2ax0+b。
由于切点弦垂直于切线，则其斜率 k' = -1/k。
切点弦过点 (x0, y0)，另一端点为 (x, y)，设切点弦方程为 y = k'(x-x0) + y0。
将 k' 代入得到 y = (-1/(2ax0+b))(x-x0) + y0，整理得到切点弦方程 y+((x-x0)/(2a)(y-y0)) = x/2a + (x0^2)/(2a)+y0。
以上即为抛物线的切线方程和切点弦方程的推导及表达方式。
【圆锥曲线】11抛物线切线(含经典题型+答案)
抛物线切线的性质例1：点M （2，1）是抛物线x 2=2py 上的点，则以点M 为切点的抛物线的切线方程为 ．解：将点M （2，1）代入抛物线得：p =2，故以点M 为切点的切线方程为()122+=y x ，即01=--y x例2：过点A （0，2）且和抛物线C ：y 2=6x 相切的直线l 方程为 ．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()003x x yy +=代入点A （0，2）得：0032x y =，与抛物线方程联立得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=⎪⎭⎫⎝⎛004386230000020y x y x x x 或，故切线方程为0843=+-y x 或0=x 。
例3：直线l 经过点（0，2）且与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，满足这样条件的直线l 有 条．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()004x x yy +=代入点A （0，2）得：002x y =，与抛物线方程联立得：()⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒=4200820000020y x y x x x ，或，故存在两条切线，还有一条直线2=y 与抛物线只有一个公共点，故答案为3条。
1.在曲线y=x 2上切线的倾斜角为的点的坐标为 ．2.过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.抛物线2x y =在点M(21,41)处的切线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.设曲线2ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A.12-B.12C.1D.1- 5.函数24x y =在点P （2, 1）处的切线方程为__________________________.6.抛物线x 2=4y 的准线l 与y 轴交于点P ，若直线l 绕点P 以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t= ．7.过点（2，﹣1）引直线与抛物线y=x 2只有一个公共点，这样的直线共有 条．8.过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为 ． 9.（2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于 点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知点A 为抛物线C ：x 2=4y 上的动点（不含原点），过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则△ABF （ ）A ．一定是直角 B ．一定是锐角C ．一定是钝角 D ．上述三种情况都可能11.抛物线x 2=y 在第一象限内图象上一点（a i ，2a i 2）处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i ∈N *，若a 2=32，则a 2+a 4+a 6等于（ ）A ．64 B ．42C ．32D ．2112抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A ．B ．C ．D ．13.已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A 、B.过点A 的抛物线C 的切线y 轴交于点D ，求证；︱AF ︱=︱DF ︱；14.已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1（x 1＞0），过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线于点M ，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1值．15如图所示，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）与直线AB ：y=x+b 相切于点A ．（1）求p ，b 满足的关系式，并用p 表示点A 的坐标；（2）设F 是抛物线的焦点，若以F 为直角顶角的Rt △AFB 的面积等于25，求抛物线C 的标准方程． 例4：已知点P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，过点P 的直线与抛物线C 相切于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为（ ）A ．1B ．C ．D ．3解：P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，故p =6，抛物线C ：y 2=12x ，根据秘籍中的性质（1）可知，AB 中点的纵坐标与P 点纵坐标相等（如图），即20=y ，且AB 过抛物线的焦点；设AB 方程为3+=ky x ，代入抛物线方程得：036122=--ky y ，312621221021=⇒==+=⇒=+k k y y y k y y ，故直线AB 的斜率为3。
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。
本文将详细探讨该问题。
1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。
早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。
随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。
在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。
1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。
通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。
此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。
以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。
接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。
2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。
其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。
抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。
- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。
- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。
2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。
切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。
切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。
抛物线切线方程推导过程
抛物线切线方程推导过程引言抛物线是一条受物理规律支配的曲线，在数学和物理中都有着重要的应用。
抛物线的切线是与抛物线曲线相切且方向相同的一条直线。
推导抛物线的切线方程是解决与抛物线相关问题的关键步骤之一。
本文将详细介绍抛物线切线方程的推导过程。
一级标题概述首先，我们先来回顾一下抛物线的定义和性质。
抛物线是一类曲线，其定义可以由以下方程表示：y=ax2+bx+c其中，a、b、c为常数，x和y分别为抛物线上的点的横纵坐标。
抛物线的特点是以顶点为对称轴，两边呈开口形状。
抛物线的切线切线是曲线上一点的一条特殊直线，与曲线相切于该点且方向相同。
要推导抛物线的切线方程，我们需要找到抛物线上某一点的切线斜率。
二级标题寻找切线斜率的方法为了寻找抛物线上某一点的切线斜率，我们可以借助导数的概念。
在数学中，导数表示函数在某一点的切线斜率。
因此，我们需要先求得抛物线的导数。
求导对于一般形式的抛物线方程y=ax2+bx+c，我们可以通过求导来得到抛物线的切线斜率。
求导的过程如下：1.对方程两边同时求导：dy dx =d(ax2+bx+c)dx2.求导后，使用常见的导数公式：dydx=2ax+b3.得到抛物线的导数后，我们可以任选一个x值，计算对应的导数值。
这个x值即为我们想要求切线的点的横坐标。
求切线方程有了切线斜率和切线上的一点，我们就可以得到切线的方程了。
一条直线的方程可以表示为y=mx+b，其中，m为斜率，b为截距。
1.切线斜率已经通过求导的过程得到，将该值代入直线方程中，得到：y=(2ax+b)x+c2.将我们想要求切线的点的横坐标代入上式，得到切线上的纵坐标。
3.最终，我们得到切线方程的一般形式为：y=2ax2+bx+c三级标题例子为了更好地理解抛物线切线方程的推导过程，我们来看一个具体的例子。
例子：已知抛物线方程为y=2x2+3x−5，求抛物线在点(1,0)处的切线方程。
解：1.求导得到抛物线的导数：dy=4x+3dx2.将横坐标x=1代入导数式中，求得切线斜率：dy|x=1=4(1)+3=7dx3.将切线斜率和切线上的一点(1,0)代入切线方程y=mx+b中，可得：0=7(1)+bb=−74.得到切线方程为y=7x−7。
巧破解，妙拓展——一道抛物线中两条切线交点问题的探究
课程篇巧破解，妙拓展———一道抛物线中两条切线交点问题的探究张新村（江苏省张家港市乐余高级中学，江苏张家港）一、问题呈现问题：已知抛物线C ：x 2=4y 。
过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两条切线交点，O 为坐标原点。
PA ·PB 则直线OA ，OB 斜率之积为（）A.-14B.-3C.-18D.-4分析：本题主要考查抛物线标准方程及性质，直线与抛物线相切，考查学生的运算能力和抽象概括能力，也考查学生的核心素养数学，其中涉及的运算工具是导数和向量。
二、问题破解解法一：（特殊位置定结论）本题是选择题，并且是圆锥曲线动态中求定值问题，可以利用特殊位置或特殊值来得出结论。
满足PA ·PB =0的点P 有无数个，其中特殊位置是点P 在y 轴上，则一切点A ，B 关于y 轴对称，又与PB 垂直，则切线PA ，PB 斜率分别为-1，1，由y ′=12x ，可得12x 1=-1，12x 2=1，即x 1=-2，x 2=2，得出A （-2，1），B （2，1），显然直线OA ，OB 斜率之积为-14。
解法二：（几何关系代数化）分析：巧设点A ，B 坐标，利用导数求切线斜率，将PA ·PB =0转化两直线垂直，再将垂直的几何关系转化为斜率之积为-1，整体代入直线OA ，OB 斜率乘积表达式中得出结论。
设A （x 1，x 124），B （x 2，x 224），则直线OA ，OB 斜率之K OA ·K OB =x 1x 216①由抛物线C ：x 2=4y ，得y =x 24则y ′=12x ，∴K AP =12x 1，K BP =12x 2由PA ·PB =0，可得K AP ·K BP =-1，即x 1·x 2=-4②将②代入①得：K OA ·K OB =-14.点评：解法一由特殊得到一般结论，对于动态下求定值或定点问题，往往可以由特殊位置或特殊值锁定结论，然后再对一般情况进行论证；解法二则是通过解析法论证解法一的结论。
抛物线的切线方程
抛物线的切线方程引言在数学中，抛物线是一个经典的图形，在物理学和工程学等领域也有广泛的应用。
学习抛物线的性质和特点，其中之一是了解如何求抛物线上某点处的切线方程。
本文将介绍如何通过求导和一般的方程化方法来得出抛物线的切线方程。
抛物线的一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y=ax2+bx+c其中，a、b和c是常数，可以为任意实数。
在这个方程中，抛物线在平面坐标系中是对称的，并且开口的方向取决于a的值。
求解切线方程要求抛物线上某点处的切线方程，我们需要计算该点处的斜率，并使用点斜式或一般方程式来表示切线。
求解切线斜率假设我们有一个抛物线，其一般方程为：y=ax2+bx+c现在我们想要求解该抛物线上某点(x₀, y₀)处的切线斜率。
为了做到这一点，我们需要对一般方程进行求导。
对于该抛物线的导数可以表示为：y′=2ax+b将x的值替换为x₀，我们可以得到切线在该点的斜率：m=2ax₀+b使用点斜式求解切线方程通过求解切线的斜率，我们可以使用点斜式来表示切线方程。
点斜式的一般形式为：(y−y₀)=m(x−x₀)其中，(x₀, y₀)是抛物线上的某点，m是该点处的斜率。
通过将x₀的值替换为给定的x坐标，并将m的值替换为切线的斜率，我们可以得到该点处的切线方程。
使用一般方程式求解切线方程另一种方法是使用一般方程式来表示切线方程。
一般方程的形式为：Ax+By+C=0其中，A、B和C是常数。
我们可以令A的值为m，B的值为-1，然后将x₀和y₀代入方程中解出C的值。
结论在本文中，我们介绍了如何求解抛物线上某点处的切线方程。
通过求导数，我们可以求出切线的斜率，并通过点斜式或一般方程式表示切线方程。
这些方法可以帮助我们更好地理解和应用抛物线的性质和特点。
高中数学抛物线中的切线问题
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M 为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切
点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表示过 A
的切线方程
解: x2 2 py 得 y x2 ，得 y x
2p
p
y'
x x1
x p
x x1
x1 p
过A( x1 ,
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求 过 A, B 两点的直线方程。
.
10
.
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x p( y y0 )
11
结论2:
1.P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物 线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则
直线AB的方程为: x0 x=p(y+y0 )
12
变式4:设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，若 M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
y1)的切线方程为:y-y1
x1 p
(x
x1 )
即: py py1 x1x x12 x1x 2 py1
4
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ， M(x0,y0)为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切 线，切点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表
6
抛物线上点的切线方程
抛物线上点的切线方程
《抛物线上点的切线方程》是数学中的一个重要概念，它是抛物线上任意一点的切线的方程。
抛物线是一种二次曲线，它的方程一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
抛物线上任意
一点的切线方程可以用一般式y-y1=k(x-x1)表示，其中(x1，y1)是抛物线上的任意一点，k
是抛物线上任意一点切线的斜率。
抛物线上任意一点的切线方程可以用微积分的概念来求解，即抛物线的导数就是抛物线上任意一点的切线斜率，这样就可以求出抛物线上任意一点的切线方程。
抛物线上点的切线方程是求解抛物线的重要步骤，它在求解几何问题中也有着重要的作用，比如求解抛物线上两点的连线，求解抛物线上点的切点等等。
《抛物线上点的切线方程》是一个重要的概念，它在数学中有着重要的作用，可以用微积分的概念来求解，并且在几何问题中也有着重要的应用。
【圆锥曲线】12抛物线切线2(含经典题型+答案)
抛物线切线的性质2 秒杀秘籍：切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。
（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。
且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。
（图1,3） 定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。
证明：（1） 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得px p x y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120 将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()0211011222py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB方程为()()0000x y x y xx p y y p=+-⇒=+ （2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型问题类型一：已知抛物线上一点求切线方程已知抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线上一点为$(x_1, y_1)$，求该点处的切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将已知点 $(x_1, y_1)$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，求出切线的斜率 $k$。
3. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y_1=k(x-x_1)$。
问题类型二：已知切线斜率求切线方程已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知切线的斜率为$k$，求切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将切线的斜率 $k$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y=k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为切点坐标。
问题类型三：已知抛物线与切线重合求切点坐标已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线与切线重合，求切点的坐标。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将导数$\frac{dy}{dx}$ 与抛物线方程相等，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 切点的坐标为 $(x, y)$。
以上是利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型及解题步骤。
希望对你有所帮助！。
求抛物线在点处的切线方程
求抛物线在点处的切线方程好吧，今天我们来聊聊抛物线和它的切线方程。
听起来有点严肃，但别担心，我会让它变得轻松有趣。
抛物线，这个名字听起来是不是就有点高大上？它就是一种数学图形，形状像个大碗，或者像我们常说的“放飞自我”的感觉，哈哈。
想象一下，抛物线就像一个在空中优雅飞舞的小鸟，曲线优美，婉转动人。
什么是切线呢？切线就像是一根温柔的手，轻轻触碰抛物线的某个点，就那么一瞬间，它和抛物线有了亲密接触。
就像你跟朋友一起喝茶，随便聊聊，瞬间的默契，就是切线的感觉。
要找切线方程，首先得知道我们想要在哪个点上“握手”。
这点就叫做“切点”，听起来是不是很浪漫？好啦，我们要切线的点一般是给定的，比如（x₀, y₀）。
这时候，我们得先确定抛物线的方程。
假设这条抛物线的方程是y = ax² + bx + c。
哇哦，听起来像是开车上路的那种感觉。
a、b、c就像是车子的发动机、轮胎和车身，缺一不可。
每个参数都对我们的抛物线有影响，真是太神奇了。
我们得求导。
别担心，这不是高深的数学，这就像是给我们的车子加油，让它更有动力。
我们求导的结果是y' = 2ax + b。
这个y'代表的是切线的斜率，斜率就像是车子的坡度，爬坡的时候会累，但能让你欣赏到美丽的风景，对吧？好，我们要把切点（x₀, y₀）代入导数，得到切线的斜率。
就是y' = 2ax₀ + b。
就这么简单！想象一下，这个斜率像是一杯热咖啡的温度，让你感觉到温暖。
然后，切线的方程就可以用点斜式公式来表示，公式是y y₀ = m(x x₀)，其中m就是我们刚刚求出的斜率。
这就像是在给你的切线加个标记，告诉它你从哪儿出发，往哪儿去。
一旦代入这些值，你会得到一个具体的切线方程。
这样一来，抛物线和切线就像是好朋友一样，互相依偎，完美地结合在一起。
你看，数学有时候就像人生一样，虽然有些复杂，但只要慢慢来，总能找到方向。
再说说，这个切线方程的意义。
切线就像是一个指引，告诉你在这个点上抛物线的走势。
抛物线切线方程的求法
抛物线切线方程的求法抛物线切线方程的求法，这个话题听起来是不是有点严肃呢？别担心，我们今天轻松聊聊这个“弯弯的曲线”。
抛物线就像是你在阳光下看到的优雅的弓，弯得恰到好处。
想象一下，当你把一个球扔出去，球的轨迹就像一条美丽的抛物线。
我们要说的切线，就是在某一个特定点上跟这个抛物线“握手”的那条直线。
哦，没错，它就像你跟朋友见面时的一句“你好”，一瞬间的交汇。
如何找到这条切线呢？咱们得知道抛物线的方程，一般是这样的，y = ax² + bx + c，听起来有点复杂，但放轻松，咱们一步一步来。
你可以把a、b、c想象成抛物线的调味料，决定了这道菜的风味。
想找切线，就得找个特定的点，咱们叫它P（x₀, y₀），这可是个关键哦。
在找到点P之后，咱们就得找出这个点的导数，简单来说，就是抛物线在这个点的斜率。
这可是个神奇的东西，斜率就像你上坡的时候的角度，越大越陡。
计算导数的方法并不复杂，使用公式就可以了。
对y = ax² + bx + c求导，你就能得到y' = 2ax + b。
好了，搞定了斜率，接下来的事情就简单多了。
想象一下，你已经知道了切点P的坐标，也算出了斜率。
现在，就是时候把这些信息放进切线方程里了。
切线方程的标准形式是y y₀ = m(x x₀)，这里的m就是刚刚算出来的斜率。
别害怕，用这个公式代入你的数据，啪！切线就出现在你面前了。
想象一下，你在操场上画一个抛物线，然后在上面找到一个点，画出切线，嘿，这条直线简直就像是给抛物线搭了个台阶，一下子就能让你攀升到新的高度。
找到这条切线的过程，就像是把复杂的数学问题简化成几步简单的操作。
你只需要耐心一点，慢慢来，就能体会到其中的乐趣。
抛物线切线方程的应用可不止于此，生活中处处可见它的影子。
比如，投掷运动中的抛物线轨迹，或者工程设计中的拱形结构。
每当你看到那些优雅的桥梁或者建筑，背后可能都藏着这些数学原理呢。
嘿，数学不仅是枯燥的公式，它也能让我们看到美的存在。
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数学本质是试题之源——由2014年浙江省高考数学(理科)试题21想到的嘉善高级中学钱卫红引言：任何事物的存在都不是孤立的，它必与其它事物有着内在的必然联系.《课程标准》指出，高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质．《浙江高考考试说明》也规定，高考要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平．2014年浙江省高考数学(理科)试题21正是命自解析几何最本质的地方．2014年浙江省高考数学(理科)试题21：如图，设椭圆2222:1x yCa b+=（0a>，b>），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用,,a b k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为a b-．据了解，很多考生走出考场时就直呼：做了这么多的圆锥曲线题算是白做了．问其原因，说平时习惯圆锥曲线的题目，第一小题难度极低，求解曲线方程之类的；第二小题联立方程、韦达定理之类的套路．而此题从头到尾几乎全是字母，这是考生不曾料到的．很多考生一看题就心里发怵，不敢做．即使做了，也没把握是否正确，解出第一小题便不敢尝试第二小题．一、试题分析本题主要考查椭圆的方程、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．满分15分．本题命题依据是《课程标准》对直线和圆锥曲线的要求，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；及对不等式的要求，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．二、本题第（Ⅰ）问的解法解法1：（命题组给出的解答）设直线l 的方程为m kx y +=（0<k ），由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a xm kx y ，消去y 得 02)(2222222222=-++++b a m a kmx a kmx a x k a b ．由于l 与C 只有一个公共点，故0=∆，即02222=+-k a m b ，解得点P 的坐标为),(22ka b mb k a b km a ++-．又点P 在第一象限，故点P 的坐标为),(22222222ka b b ka b k a P ++-．解法1是解析几何最本质的方法，用代数的方法联立方程，解方程组即可．然而因解题过程中字母多，较多考生有解题思路，知道设直线方程和椭圆方程联立解方程组，却没信心解下去．即便解出了答案，也不自信是否正确，于是很多学生选择了放弃第（Ⅱ）问．通性通法解题是根本，但对学有余力的学生可以更灵活地选择解题思路．如果把椭圆变为“圆”，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程是200r y y x x =+，学生大多很熟悉．那么能否根据类比得出过椭圆上一点),(00y x P 的切线方程就是12020=+b y y a x x 呢？证法一、对椭圆方程求导 0'2222=+byy a x ，得y a x b y 22'-=．所以切线斜率202y a x b k -=．证法二、设椭圆的方程为12222=+b y a x （0,0>>b a ），点),(00y x P 。
则经仿射变换⎪⎩⎪⎨⎧==bry y a rxx ''，得圆222'':'r y x C =+（0>r ），点),('00bry a rx P ．因为圆'C 上过任一点),('00b ry a rx P 的切线方程是200''r b y ry a x rx =+．逆用上仿射变换化为12020=+byy a x x ，正是椭圆在对应点),(00y x P 的切线．因此，过椭圆上一点),(00y x P 的切线方程就是12020=+byy a x x ．有了上述结论，便可得解法2：由题意，点P 是切点，设),(00y x P ，则切线1:2020=+byy a x x l ． 所以0202y a x b k -=，又1220220=+b y a x ，且点P 在第一象限，解方程组得),(22222222ka b b ka b k a P ++-．不同的人对数学本质的理解不同．笔者对数学本质的理解是，数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼、数学理性精神的体验等．通性通法解题是根本，对学有余力的学生还可以适当涉入高等代数，开阔学生解题思路．三、本题第（Ⅱ）问的解法由于直线1l 过原点O 且与l 垂直，故直线1l 的方程为0=+ky x ，所以点P 到直线1l 的距离2222222221||kka b k b ka b k a d ++++-=，整理得22222222k bk a a b b a d +++-=，因为ab kb k a 2222≥+，所以b a aba b b a k b k a a b b a -=++-≤+++-2222222222222．当且仅当abk =2时等号成立． 所以，点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -．事实上，第（Ⅱ）问涉及到的考点也不难．（1）互相垂直的两直线斜率的关系；（2）点到直线的距离公式；（3）基本不等式．四、本题评分细则（1）第一小题中只要有直线方程与椭圆联立方程的意识就给2分，P 点横纵坐标各2分，第一小题6分；（2）第二小题中只要设1l 直线方程就给2分，至于直线方程有没有设对无所谓；看见点到直线的距离公式也给2分，至于公式中有没有写错或加不加绝对值无所谓；把点的坐标代入正确给3分，有没有把表达式整理都没关系；最后有2b k a=的结果或等价形式都给2分．评分标准原则之一是：“多余废话，视而不见”！从评分标准可以看出：本题注重的是解题思路，是考生的思维．第二小题有7分的公式分，第一小题如果能解出P 点坐标，顺势写出P 到1l 的距离，拿13分是轻而易举的．遗憾的是，也许是平时阅卷老师评分过于严格，很多学生不敢亦或不屑在试卷上写思路、想法及联想到的公式等．笔者08年去参加高考阅卷时，一位阅卷组长的话对我很有启发，以至于今天还印象深刻．他说：应当鼓励考生有思想！在高考两个小时内他的想法没有解决这个问题，也许再给两个小时他就能解出来了呢．就如从杭州到上海，如果我买错了票坐到了金华，不是还可以再从金华到上海吗？五、从直线200r y y x x =+和圆)0(222>=+r r y x 的关系想开去 1．切线我们知道，当点),(000y x P 为圆)0(222>=+r r y x 上的一点，则直线200r y y x x =+是该圆过点0P 的切线．上文也已证得，若点),(000y x P 为椭圆12222=+b y a x 上的一点，则该椭圆过点0P 的切线方程是12020=+byy a x x ．更进一步，若点),(000y x P 为双曲线12222=-by a x 上的一点，则该双曲线过点0P 的切线方程是12020=-byy a x x ．若点),(000y x P 为抛物线)0(22>=p py x 上一点，则该抛物线过点0P 的切线方程是)(00y y p x x +=.2.切点弦所在的直线我们还知道，若点),(000y x P 为圆)0(222>=+r r y x 外一点，则该圆过点0P 有两条切线，200r y y x x =+就是这两条切线的切点所在的直线方程.类比圆的这条性质，我们一样可以证得：（1）若点),(000y x P 为椭圆12222=+by a x 外一点，则该椭圆过点0P 的两条切线的切点所在直线方程就是100=+byy a x x ．（2）若点),(000y x P 为双曲线12222=-by a x 两支外一点，且该双曲线过点0P 有两条切线，则两切点所在直线方程就是12020=-byy a x x ． （3）若点),(000y x P 为抛物线)0(22>=p py x 外一点，则该抛物线过点0P 的两条切线的切点弦所在直线方程就是)(00y y p x x +=.3．若点),(000y x P 为圆)0(222>=+r r y x 内一点（0P 不与圆心重合）呢？ 过点),(000y x P 作圆)0(222>=+r r y x 的动弦AB ，设过点A 、B 的两切线交于点),(n m E ．由圆的切点弦方程知2:r ny mx AB =+，因为弦AB 过点),(000y x P ，所以有200r ny mx =+，即两切线的交点在直线200r y y x x =+上．可以证明，这个结论在椭圆、双曲线和抛物线中也一样成立．数学本质是问题之源，是数学高考考查之本．促进学生对数学本质的理解要在数学概念、数学理性思维、数学思想方法的教学上下功夫，体现数学内在的联系，在对比、分析、归纳、概括等思维体验中体验数学的奥妙、思维的价值，提高学生提出问题和解决问题的能力，改变教学中“重结果、轻过程”的现象，加深学生对数学本质的理解．。