趋势外推法
第六讲 趋势外推法
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
（1）趋势外推法
（1）趋势外推法（一）趋势外推法趋势外推法是利用惯性的原理，对企业人力资源需求总量进行预测。
根据调研结果，A企业人员总量的数据见表1—3，其中t表示年份，为自变量；L表示人员总数，为因变量。
1．定性分析（1）根据近些年来的企业人力资源管理所采取的减员增效策略，可以作出“短期内该企业的人数将持续降低，至少将保持持平的发展状态”的推断；（2）实际上，企业人数不可能一直下降到0，因为在现实的生产条件下，企业要保证生产产品的销售量，赚取利润，还必须具备一定规模的员工人数，而不可能是“无人工厂”或采用“机器人”的生产模式。
因此，做函数拟合的曲线不应具有一直向下的趋势。
2．函数拟合将上表输入到SPSS，选用9种函数对企业员工总数的趋势做出拟合，见表1—4．（1）对数函数，其函数形式为：L＝b。
+ b１·ln（t）（2）双曲线，其函数形式为：L＝b。
+ b１／t（3）二次函数，其函数形式为：L＝bo+ b１·t+ b2·t ２（4）三次函数拟合，其函数形式为：L＝b。
+ b１·t+ b2·t ２+ b3·t 3（5）复合模型，其函数形式为：L＝b。
×b１t（6）幂指数，其函数形式为：L＝b。
t o b１（7）S曲线拟合，其函数形式为：L＝e（bo+b１）（8）生长模型，其函数形式为：L＝e（bo+b１·t）（9）指数函数，其函数形式为：L＝b。
·e b1·t上述公式中，L为人员总数，t为时间变量，b。
为系数。
通过SPSS分析，上述9种函数做拟合的结果如表1－4所示。
表1—4 曲线拟合结果表3．模型筛选根据表1－5所反映的信息，可以判断，在时间序列曲线估计的9种模型中，所有模型的F值都大于10，其显著度p都基本接近O，这说明用这些曲线做人数估计拟合是符合要求的，也就是说可以选用这些曲线做拟合。
表1—5各个模型的显著性、判定系数及标准误差值表观察表1－5第二列的数据，发现双曲线与S曲线模型的R。
第7章趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能 等基本保持不变，即假定根据过去资料 建立的趋势外推模型能适合未来，能代 表未来趋势变化的情况。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型 （7.1.1） 对式（7.1.1）两端取对数，得 令 则 这样就把指数曲线 模型转化为直线模型
在利用包络曲线预测时首先要建立包络曲线，具体步骤为： 第一步：分析各类预测对象的预测参数的发展趋势； 第二步：求出各技术单元功能相对增长速度最快的点（xi，yi），i=1，2，…，m； 第三步：绘制包络曲线，即在点（ xi，yi ）处与i（i=1，2，…，m）技术单元曲线相切的曲线。
二、应用范围 某项技术发展的前期阶段，采用包络曲线对技术发展进行深入研究，可以外推出新的远景技术，从而可以未雨绸缪，提前完成技术贮备，以便及时进行技术更新。 当某一技术的发展趋于极限时，采用包络曲线外推可能出现的新技术。 用包络曲线外推未来某一时刻的特性参数水平，借以推测将会出现那种新技术。 验证决策中制定的技术参数是否合理。如果拟定的参数在包络曲线之上，则可能有些冒进，如在其下则可能偏于保守。合理的技术参数应与包络曲线相吻合，偏高偏低皆需调整。
0
y
a
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
第2节 修正指数曲线法
修正指数曲线预测模型 （7.2.1） 式中：a、b、c为待定参数。 为求出a、b和c三个参数，可应用分组法。通常的做法是先把整个时间序列数据分成三组，使每组数据个数相等，然后通过各组数据之和求出参数的具体数值。
表7.2.1 修正指数曲线模型差分计算表
第3节 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段。发生初期成长速度较慢；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。 指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。 本节主要介绍两种最为常用的生长曲线 龚珀兹曲线 皮尔曲线。
趋势外推法
根据上表，将年度作为横坐标，人数作为纵坐标，绘制出散 点图。
由散点图可知，应建立直线趋势方程： Y =a +bX 其中：Y — 人数 X — 年度 利用最小二乘法，可以得出a、b的计算公式：
可得：a = 390.7，b = 41.3
Y = 390.8 + 41.3X
所以，未来第三年的人力资源需求量为：
• 当时点数列不存在长期趋势和季节性变动时，采用平滑方法 预测； • 当时点数列存在长期趋势但不含季节变动时，宜采用趋势外 推方法预测； • 当时点数列存在长期趋势和季节变化时宜采用趋势季节模型 方法预测。
步骤：
• 运用定性方法确定因变量是否适合运用趋势外推法。如果适 合，则搜集y的历史数据，对其进行初步处理。（画出趋势 线） • 对y 的历史数据和X进行回归分析，求出a,b,得到趋势外推 模型。 • 运用趋势外推模型预测y值。
Y = 390.8 + 41.3×15 = 1010(人)
满足两个前提： 1、企业要有历史数据（一般使用过去五年的数据进 行预测）； 2、是这些数据要有一定的发展趋势可循。 • 比较简单，只能预测大概走势，作为初步预测时比 较有价值。源需求量在时间上
表现出明显的均等趋势时才使用的。
• 根据历史数据，在坐标轴上绘出散点图；然后根据
图形可以直观地判断拟合哪种趋势线，从而建立相 应的趋势方程； • 根据趋势方程可以对未来某一时间的人力资源需求 进行预测。
表1 某企业过去12年的人力资源数量
年度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数 510 480 490 540 570 600 640 720 770 820 840 930
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法（Trendextrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于 科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。 趋势外推的基本假设是未来系过去和现在连续发展的结果。当预测对象依时间变化呈现某种上升或下 降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法 进行预测。 趋势外推法的基本理论是：决定事物过去发展的因素，在很大程度上也决定该事物未来的发展，其变 化，不会太大；事物发展过程一般都是渐进式的变化，而不是跳跃式的变化掌握事物的发展规律，依据这 种规律推导，就可以预测出它的未来趋势和状态。
运用一：预测未来的销售量或需求量等 【例 4-2】品种销售量如表 1 所示 表1 产品销售量资料(单位：万件) 2003 10 2004 18 2005 25 2006 30.5 2007 15 2008 38 2009 40 2010 39.5 2011 38
试预测 2012 年的销售量，并要求在 90%的概率保证程度下给出预测的置信区间。 【实验步骤】 ： 1．确定预测模型； 2．模型参数估计； 3．预测结果的置信区间估计。 注：Matlab 软件在数据计算方面比较容易，而 SAS 软件更体现在数据的整理和统计方面 第一步，确定预测模型，利用 Matlab 软件画出产品销售量与年份之间的关系图，结果 见图 1。 >> t=[2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011]' >> y=[10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38]' >> plot(t,y)
SE
( y yi^)
趋势外推法的手段
趋势外推法的手段趋势外推法是一种预测未来发展方向和趋势的方法，其基本原理是根据过去的数据和趋势，通过一定的数学模型和推理方法，对未来的可能发展进行预测和判断。
下面将介绍趋势外推法的几种常见手段。
1. 线性外推法：线性外推法是一种基于线性趋势的外推方法。
根据一组数据点的线性趋势，计算出其斜率和截距，从而得出线性方程，并利用该方程预测未来的发展趋势。
线性外推法常用于简单的线性发展趋势，适用于数据变化比较稳定的情况。
例如，我们可以通过过去几年的销售数据，计算出销售额与时间之间的线性关系，然后根据线性方程的参数，预测未来销售额的发展趋势。
2. 指数平滑外推法：指数平滑外推法是一种基于指数趋势的外推方法。
它根据过去数据的指数增长或指数衰减趋势，对未来数据进行预测。
指数平滑外推法适用于有明显趋势变化的数据，并且能够较好地适应数据的变化。
例如，在预测某产品的未来销售量时，可以利用指数平滑外推法，根据过去销售量的变化趋势，对未来销售量进行预测。
3. 趋势函数外推法：趋势函数外推法是一种基于数学函数的外推方法。
它通过拟合历史数据的变化趋势，找出最适合数据变化的函数，并利用该函数预测未来的趋势。
常用的趋势函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
例如，我们可以通过拟合历史数据的变化趋势，找到一个最适合该数据的多项式函数，然后利用该函数预测未来的数据发展趋势。
4. 时间序列分析外推法：时间序列分析外推法是一种基于时间序列数据的外推方法。
它通过对时间序列数据的周期性、波动性等特征进行分析，找出其规律性，并利用规律性预测未来的趋势。
时间序列分析外推法常用的方法包括自回归（AR）、滑动平均（MA）、自回归滑动平均（ARMA）等。
例如，在对某商品的销售数据进行预测时，可以使用时间序列分析外推法，通过对历史销售数据的波动性和周期性进行分析，预测未来销售的发展趋势。
综上所述，趋势外推法是一种常用的预测未来发展趋势的方法，其手段包括线性外推法、指数平滑外推法、趋势函数外推法和时间序列分析外推法等。
趋势外推法 和用水定额法
趋势外推法和用水定额法趋势外推法是一种通过分析过去的数据，预测未来趋势的方法。
在商业领域中，趋势外推法被广泛应用于销售预测、市场趋势预测等方面。
通过对历史数据的趋势进行分析，可以帮助企业更好地制定未来的发展战略。
趋势外推法的基本原理是假设未来的发展趋势会延续过去的趋势。
通过对历史数据的趋势进行分析，可以发现数据的变化规律，并基于这种规律来预测未来的发展趋势。
趋势外推法通常包括线性外推法、指数外推法、曲线外推法等多种方法。
在实际应用中，趋势外推法通常需要以下几个步骤来进行：1. 收集历史数据：首先需要收集相关的历史数据，包括销售数据、市场数据等。
2. 分析趋势：通过对历史数据的趋势进行分析，可以发现数据的变化规律。
3. 选择外推方法：根据数据的特点选择合适的外推方法，例如线性外推法、指数外推法等。
4. 进行外推预测：利用选定的外推方法对未来的数据进行预测。
5. 评估预测结果：对预测结果进行评估，检验预测的准确性，并可以对预测模型进行调整和优化。
另外，用水定额法是一种用于确定水资源利用定额的方法。
在农业生产中，用水定额法被广泛用于确定作物的灌溉水量，以保证作物的正常生长。
用水定额法的核心是根据作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况，合理确定每单位面积的用水量。
用水定额法的基本原理是根据作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况来确定灌溉水量。
具体的步骤包括以下几点：1. 确定作物的需水量：根据作物的生长期、生长阶段和生长环境等因素，确定作物的需水量。
2. 考虑灌溉系统的水利设施：根据灌溉系统的水源、水质、输水能力等因素，考虑灌溉系统的水利设施情况。
3. 确定用水定额：综合考虑作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况，确定每单位面积的用水定额。
4. 实施灌溉：根据确定的用水定额，进行灌溉作业，保证作物的正常生长。
用水定额法的优势在于可以根据作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况，合理确定每单位面积的用水量，从而保证作物的正常生长，提高水资源的利用效率。
第4章 趋势外推预测
§4.2 趋势外推预测法概述
一、趋势外推预测法的意义 趋势外推预测法上根据事物的历史和现实数据 寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而 推测其未来状况的一种常用的预测方法。
§4.2
趋势外推预测法概述
二、趋势外推预测法假设条件 1、假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事 物发展变化是渐进型的 2、假设所研究系统的结构、功能等基本保持 不变，即假设根据过去资料建立的趋势外推 方程模型能适合未来，能代表未来趋势变化 的情况
3ห้องสมุดไป่ตู้
4
9
8
27
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375 385
4
5 6
16
25 36
64
125 216
430
7
49
343
Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析
0.99999 0.99997 0.99994 0.41786 7
df 回归分析 残差 总计 3 3 6 Coefficients Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 90.4286 206.274 -48.202 3.66667
Coefficients 标准误差 t Stat P-valueLower 95% Intercept 4.60803 0.01513 304.557 1.1E-15 4.57225 X Variable 0.49814 1 0.00269 185.271 3.5E-14 0.49178
§4.3 常用趋势外推预测模型
二、非线性预测模型 （二）三次曲线 1.三次曲线模型测定 （1）时间序列折线图呈呈现三次曲线 （2）三阶差分几乎为常数 三阶差分
趋势外推法
趋势外推法目录什么是趋势外推法？线性外推法指数曲线法生长曲线法包络曲线法[编辑本段]什么是趋势外推法？趋势外推法（Trend extrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。
趋势外推的基本假设是未来系过去和现在连续发展的结果。
趋势外推法的基本理论是：决定事物过去发展的因素，在很大程度上也决定该事物未来的发展，其变化，不会太大；事物发展过程一般都是渐进式的变化，而不是跳跃式的变化掌握事物的发展规律，依据这种规律推导，就可以预测出它的未来趋势和状态。
趋势外推法首先由R.赖恩（Rhyne）用于科技预测。
他认为，应用趋势外推法进行预测，主要包括以下6个步骤：（1）选择预测参数；（2）收集必要的数据；（3）拟合曲线；（4）趋势外推；（5）预测说明；（6）研究预测结果在制订规划和决策中的应用。
趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以此规律进行外推。
为了拟合数据点，实际中最常用的是一些比较简单的函数模型，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等。
[编辑本段]线性外推法线性趋势外推法是最简单的外推法。
这种方法可用来研究随时间按恒定增长率变化的事物。
在以时间为横坐标的坐标图中，事物的变化接近一条直线。
根据这条直线，可以推断事物未来的变化。
应用线性外推法，首先是收集研究对象的动态数列，然后画数据点分布图，如果散点构成的曲线非常近似于直线，则可按直线规律外推。
[编辑本段]指数曲线法指数曲线法（Fxponential curve）是一种重要的趋势外推法。
当描述某一客观事物的指标或参数在散点图上的数据点构成指数曲线或近似指数曲线时，表明该事物的发展是按指数规律或近似指数规律变化。
如果在预测期限内，有理由说明该事物仍将按此规律发展，则可按指数曲线外推。
许多研究结果表明，技术发展，有时包括社会发展，其定量特性往往表现为按指数规律或近似指数规律增长，一种技术的发展通常要经过发生、发展和成熟3个阶段。
第3章 趋势外推预测法讲解
xt*yt
1 200 4 600 9 1050 16 1600 25 2500 36 3780 49 4900 64 6000 81 7650 100 9500 121 11220 506 49000
191 273.7 356.4 439.1 521.8 604.5 687.2 769.9 852.6 935.3 1018
a
Q
b
n
nt xt
t 1
yt
n
a nt xt
t 1
n
b nt xt2
t 1
0
b
第3章0.8时,试用加权拟合直 线方程法预测2004年与2005年的利润额。
解 (1) 列表，分别计算各年的n-t, αn-t, αn-tyt,αntxtyt,αn-txt，αn-tx2t,并加总求和
第3章 趋势外推预测法
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的 项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同,因而只要 将其趋势直线加以延伸,便可预测未来的项值。一般而言, 这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。 常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程 法（又称折扣最小平方法）。
当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对 于未来时点的某个值（经济指标未来值）就可由上述 变化趋势模型（曲线方程）给出。这就是趋势外推的 基本思想。
第3章 趋势外推预测法
3.基本假设 趋势外推法的两个前提假设是： （1）假设事物的发展过程没有跳跃式发展。这一
前提假设实际上是指质的稳定性。 （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，
分别为e1, e2, …, en。其中在AB直线上方一侧的离差为
正离差,下方一侧为负离差。如果简单地以离差代数和
第四讲 趋势外推法
yt yt yt 1 B yt 1 yt 1 yt 2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 y t Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。
ln y t ln A bt Yt ln y t , a ln A Yt a bt
年份
1963 1964 1965 1966 1967
时序 （t）
12 13 14 15 16
总额 （ yt ）
604.5 638.2 670.3 732.8 770.5
年份
1974 1975 1976 1977 1978
时序 （t ）
23 24 25 26 27
总额 （ yt ）
1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆt K abt y
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线 模型为:
yt 615.641 205.667 (0.9172)t
差分特性 使用模型
一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等
一次线性模型 二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法
y t a bt
将 t 19 代入模型,得到2003年我国卫生 机构总人数的预测值:
趋势外推法
趋势外推法趋势外推法是一种使用历史数据来预测未来趋势的方法。
它基于一个基本假设，即未来的发展将延续过去的趋势。
这种方法常常被应用于经济、市场和社会领域的趋势预测。
本文将介绍趋势外推法的基本原理和应用，并通过一个实例来解释其实际应用。
趋势外推法基于观察到的趋势和周期性模式进行预测。
它假设未来变化的方向与历史数据中的变化方向一致，但可能会有一些变化幅度上的差异。
因此，它可以提供有关未来可能发展的大致方向和范围的预测。
这种方法可以应用于各种趋势预测，例如经济增长、市场销售额和人口发展等。
首先，收集一段时间内的历史数据，并通过绘制曲线或制作图表来分析这些数据。
然后，根据观察到的趋势和模式，推断未来可能的变化趋势。
举一个实际的例子，我们可以使用趋势外推法来预测一家公司未来一年的销售额。
首先，我们收集了公司过去五年的销售额数据，并将其绘制成图表。
通过观察到的趋势，我们可以看到公司销售额呈现逐年增长的趋势。
接下来，我们可以利用这个趋势来预测未来一年的销售额。
通过简单地延续过去几年的增长率，我们可以估计未来一年公司的销售额可能在一个特定的范围内，例如增长10%-15%。
然而，需要注意的是，趋势外推法并不能完全准确地预测未来的变化。
它只能提供一个大致的预测，没有考虑到其他可能影响未来趋势的因素。
因此，在实际应用中，必须结合其他方法和因素来进行综合分析和预测。
总之，趋势外推法是一种常用的趋势预测方法，它利用历史数据来判断未来的发展趋势。
它能够提供一个大致的预测范围，但不能完全准确地预测未来的变化。
因此，在实际应用中，需要结合其他因素和方法进行综合分析和预测，以提高预测的准确性和可靠性。
趋势外推预测法(精)
利润额 yt 系列2 线性 (利润额 yt)
y a2 b2 x
y a1 b1x
y a3 b3 x
使用最小二乘法拟合直线
y a1 b1x
?
★
最小二乘法原理 ★
ˆt 离差：et yt y
ˆt ) 离差和： et ( yt y
t 1 t 1 n n
1200 1000 800 600 400 200 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
b
n xt yt ( xt )( yt )
t 1 t 1 t 1
n
n
n
n xt2 ( xt ) 2
t 1 t 1
n
n
x y
t 1 n t 2 x t t 1
y a ebt
10000
总需求量（件）
9000 8000
y a bx cx2
45 45 40 40 35 35 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 55 00
00 11 22 33 44 55 66 77 88 10 9 9 10
销售量（万件） 销售量（万件）
n
t
拟合直线方程法的特点
2 ˆ e ( y y ) t t t 2 t 1 t 1
n
n
拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）
ˆt 1 b ˆt y ˆt y y
只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。
对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。
ˆt ) 2 离差平方和 et ( yt y
2 t 1 t 1
第三章-趋势外推预测法
❖ 第二步：确定参数。 ❖ 方法一： ❖ 直接计算公式里面的各个系数。
第五十页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
❖ 方法二：添加趋势线。
12000 10000 8000
y = 56.72x2 + 352.13x + 2762.6 R2 = 0.9988
6000
4000
2000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
第t+1期的预测值。 因此，上式可写成：Ft+1= aYt+(1-a)Ft
T=1,2,3,4….n。
第二十五页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
模型关键：确定平滑系数和初始值 平滑系数a的确定： （1）当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，a
应取小一些，如0.1~0.3，以减小修正幅度。 （2）当时间序列的波动较大时，应选择居中 的a值，如0.3-0.5。
第十页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
const 可选。一个逻辑值，用于指定是否将常量 b 强 制设为 0。如果 const 为 TRUE 或被省略，b 将按通 常方式计算。如果 const 为 FALSE，b 将被设为 0， 并同时调整 m 值使 y = mx。stats 可选。一个逻辑 值，用于指定是否返回附加回归统计值。如果 stats 为 TRUE，则 LINEST 函数返回附加回归统计值。
第二页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
1、最小二乘法确定直线方程
最小二乘法：通过对时间序列拟合直线，使得直线 上的预测值与实际观察值之间的离差平方和最小。
n
2
Q (yt aˆ bˆxt )
t 1
第三页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
趋势外推法法
第四节 趋势外推法趋势外推法，也称趋势延伸法，是根据预测目标的历史时间序列所揭示的变动趋势外推到未来以确定预测值的时序预测法。
可分为随手作图法，拟合直线方程法、拟合曲线方程法。
一、随手作图法这种方法是选定时间作为横轴，预测目标量作为纵轴，先按时间序列数据作出散点图。
然后根据备散在点所显示的趋势走向图形(直线或某种曲线)，运用直尺或曲线板随手画出一条沿各个点拟合度最佳的直线或曲线，并加以延伸，得出待预测时间对应的预测值。
该方法简便易行，不用建立数学模型，预测效果良好。
但这种方法全凭预测者的观察力和作图技巧，它直接影响到预测的精度。
二、拟合直线方程法这种方法是根据呈线性变动趋势的时间序列，拟合出直线方程bx a Y +=∧，再利用方程进行预测外推，得出预测结果。
直线方程bx a Y +=中，x 为按整数序编号的时间序列，Y 为预测目标量，a 、b 为参数。
设时刻为i x 时，对应的观察值为i Y ，n i ,,2,1 =。
根据这些数据我们要利用最小二乘法拟合出一条直线方程bx a Y +=∧即确定参数a 、b ，使拟合偏差i i Y Y ∧-的平方和∑∧-=22)(i i Y Y S 最小。
由微分法，令02=∂∂a S ，02=∂∂bS ，解之可得到∑∑---=-=x b Y x nb Y n a i i 11 （4-13） ∑∑∑∑∑--=22)())((i i i i i i x x n Y x Y x n b （4-14）当时间序列是整数项时，我们取i x 的中间项为0，其余按下列取值 …，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，… （中间项）例如 n=7时，i x 分别取为-3，-2，-l ，0，1，2，3七个数值。
这样规定i x 取值后，n 为奇数时有∑=0i x ，则计算参数a 、b 的公式可以简化为∑==-i Y nY a 1（4-15）∑∑=2ii i xY x b （4-16） 例8 某市五金公司1978年到l984年销售额资料为 年份 l978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 销售额 4923 5811 7171 8248 8902 9860 l0800(万元)试预测l985、1986两年的销售额。
第10章：定量预测4-趋势外推法讲解
函数图形
Yˆ
t
a
ln
b
b
t
Yˆ
t
aln
b2
bt
• 指数曲线模型不能预测接近极限值时的特性值， 因为当接近某一极限值时，特性值已不按指数规 律增长。在产品导入期阶段，产品需求增长很慢， 而随着时间的推移，社会需求不断增大，产品在 早期的市场中也逐渐完善起来，因而需求量会快 速增加，当产品的市场容量接近市场上限时，需 求量的增长速度就会慢下来。产品市场发展的全 过程就会经历发生、发展、成熟和衰退四个阶段， 而这正是生长曲线所能描述的。生长曲线又称S 曲线。S曲线（又称逻辑增长曲线）包括龚珀兹 曲线和皮尔曲线。两种曲线模型特别适用于成熟 期商品的预测。
• 例子：某企业某种产品1996~2002年市场 销售量资料如下，试利用趋势外推法对这 种产品进行预测。直线模型实例
• 当数据量较小，可以采用手工算法。这涉 及到将t进行一下处理。奇数和偶数项
• （二）二次曲线趋势外推法
• Y=b0+b1t+b2t2
• 例子：某商店某种产品的销售量如表所示，试预 测1999年的销售量，并要求在90%的概率保证度 下，给出预测的置信区间。(y-t0.10SE, y+t0.10SE),
• t值结合自由度n-p查询。
• 二次曲线实例数据
• 步骤：1选模型 ：①散点图②计算差分
•
2 求模型参数。
• 估计标准误差SE:
n
i Βιβλιοθήκη (YiYˆi2
)
n p
其中，n为时间序列的长度，p为限制条件，即利用最小二乘法时的所列方程 数，可以简单理解为直线模型为2，抛物线模型为3，三次曲线为4，最高次 数加1。
趋势外推法
Q 2 ( yt a bt) a a 2 ( yt a bt) 0
y
t
na bt 0
（2）
Q 2 ( yt a bt) b b 2t ( yt a bt) 0
2 ty a t b t t 0
二、二次曲线外推法(Twice curve extension)
在实际预测中,常常碰到的是其他的曲线 形式。在这样的情况下,就要用到曲线外推 趋势法。这种方法仍然是利用最二乘法来拟 合曲线方程。介绍如下： 设曲线预测模型为：
（一）model
ˆt a bx cx2 y
（ 1）
利用最小二乘法得：
t
a 直线方程的截距，b 斜率，ei 离差 现对yt 作n次观察(t 1, 2, , n), ˆt yt a bt 则有：ei yt y Q e ( yt y t ) 2 [ yt (a bt )]2 最小值
2 i
为了使误差最小,即Q为最小值;可分别对a,b求偏 导,并令其为0.则有:
-4 -3 -2 -1
25
16 9 4 1
-1000
-2000 -1050 -800 -500
191.0
273.7 356.4 439.1 521.8
0
1 2 3 4
0
1 4 9 16
0
300 700 1200 2000
1999
2000 2001
630
700 750
0
1 2
0
1 4
0
700 1500
Q e ( yt y t ) 2 ( yt a bx cx2 ) 2 最小值
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趋势外推法（trend projection）是生产预测中常用的一种方法。
这种方法是找出一系列历史数据的趋势线并外推于将来做中长期预测。
该方法的原理是：给趋势型时间数列拟合以时间单位为自变量的数学模型，然后以顺延的时间单位作已知条件，外推时间数列后续趋势值。
外推预测的准确程度取决于所拟合模型的拟合优度，最小二乘法以其所拟合模型的预测标准误差最小的优势成为最常用的趋势模型的拟合方法。
趋势外推法又分为以下几类：增长型趋势模型外推法（又包括：等差增长趋势模型、二级等差增长趋势模型、等比增长趋势模型等），周期波动趋势模型外推法，生命周期趋势模型法等。
一、增长趋势模型
增长趋势模型包括等差增长趋势模型、二级等差趋势模型、等比增长趋势模型等，详述如下：
（三）等比增长趋势模型
当时间数列逐期变量值以同一比率增长时，可配以指数曲线增长模型：
二、周期波动趋势模型
季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。
尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。
正弦曲线预测模型的一般形式为：
只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得β0～β5，代入预测方程即可开始预测。
三、生命周期趋势模型
当时间数列变化呈前期增长缓慢、中期增长逐渐加速、后期增长逐渐平缓、末期逐渐加速负增长时，可配以生命周期趋势模型。
这类曲线包括能模拟生命周期的前期、中期和后期的龚珀资曲线、罗吉斯蒂曲线（蒲尔-里得）曲线以及能模拟生命周期中后期的修正指数曲线模型。
龚珀资曲线和罗吉斯蒂曲线是拟合从前期至后期的生命周期趋势，而后者是拟合从中后期至后期的生命周期趋势。
----摘自《市场预测方法与案例》。