恒成立问题中参数范围的求解方法

合集下载

求恒成立问题中参数范围(精)

| f ( x) | 1 的充要条件是 a b 1
练习： 1、求使不等式 2 x 1 m( x 2 1)对于 | m | 2的一切实数m 恒成立的实数 x的取值范围
2、已知函数f ( x) ax2 bx c(a 0), f (1) 0, 且对于一切 1 x2 x R恒有x f ( x) 成立，求f ( x)的表达式。 2
令g (a) ( x 2)a x 2 4 x 4
则g (a) 0对a [1 ,1]恒成立，
g (1) 0 所以 g (1) 0
解得：x 3或x 1
故x的取值范围是 (,1) (3,)
一次函数f ( x) ax b的图象性质 f ( m) 0 1、f ( x) ax b 0在区间 [ m, n]上恒成立 f ( n) 0 f ( m) 0 2、f ( x) ax b 0在区间 [ m, n]上恒成立 f ( n) 0 a 0 3、f ( x ) ax b 0在区间 [ m,)上恒成立 f ( m) 0
f 2 ( x) 0对于x [0,1]恒成立的充要条件是
a 2b a 2b 解得或 a b 1 a 2 b
这样，当 b 1 时，对任意 x [0,1],| f ( x) | 1 b 1 a 2 b
① 式恒成立，对任意当0 b 1 时， x [0,1],
1 x 2 1 x 当0 x 1时，原不等式可变形为 ( ) sin cos 0 x x 1 x 令t , 则f (t ) t 2 sin t cos (t 0) x sin 0 f (t ) 0,当t 0时恒成立，故 1 4 sin cos 0

求解不等式恒成立中参数问题的五大策略

当ｚ＋ｂｘ＋ｃ＜０对于 ∈Ｒ时恒成立时．得到
ｆａ＜０，
【 △＝６ — ４ ∞＜０．
．
策略一：利用一次函数的性质
若已）一＋６＞０对叵成 ’
例２．已知关于的二次不等式（Ｊ｝－５）（１）ｘ＋３＞０的解集为Ｒ．则实数ｋ的取值范围为解析：当．＿５＝０时．要使原不等式的解集为
解析：如果将两边分别设成两个函数ｙｌ＝（Ｘ一１）和
因为当 ≥ｅ时，（ — ｌｎｘ一１）＝１一＞０，所以 — ｌ眦一
１ ≥ｅ — ｌｎｅ－ｌ＝ｅ一２＞０．
所以（）＞０，所以＾（）（ｅ）＝＿，所以ｎ≤一旦＿＿．
ｅ－ｌｅ－Ｉ
若已
）
删
’
＞乱一
Ｒ，则必有一次项系数也为零，且常数项大于零．
ｆ－５＝Ｏ．
例１．对于满足Ｏ ≤ｐ ≤４的实数Ｐ，使
３恒成立的的取值范围是．
即｛４（１－ｋ）＝０，解得ｋ＝１．
１３＞０，
）＝Ｉ
一１厂
．
Ｄ／２
然后观察两个图像（尤其要注意交点处和临界处）的位置关系，进而列出含参数的不等式．例５．不等式（一１）＜】ｏ在 ∈（１，２）上恒成立，
则ａ的取值范围为．
ｘ＞３或１，所以的取值范围是（一，一１）Ｕ（３，＋）．

求解恒成立问题的常见方法

求解恒成立问题的常见方法摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。

因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。

关键词：恒成立；参数；解题方法一、一元二次不等式中的恒成立问题例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。

解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。

解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立①当m=0时显然成立②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0<m<1综上可知0<m<1方法归纳：令f（x）=ax2+bx+c，若f（x）>0（或f（x）≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。

二、在给定区间上恒成立问题例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。

解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ）令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5∴-（x+ ）<-5∴a≥-5例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。

分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立，即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0）∴a≥0或a≤-4方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等价变形，将参数a从整体中分离出来，转化为a>（或f（x）（或a≥f（x）恒成立？圳a>m（或a≥m）；（2）若f（x）在定义域内存在最小值m，则a<f（x）或（a≤f（x））恒成立？圳a<m（或a≤m）；（3）若f（x）在其定义域内不存在最值，只需找到f（x）在定义域上的最大界（或最小下界）m，即f（x）在定义域上增大（或减小）时无限接近但永远达不到的那个位置来代替上述两种情况下的m，此时要注意结果所求参数范围在端点处是否要取到等号。

(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略

条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中可以判断函数 1#2&是周期为 ,4的周期
函数的条件是
C
D0设函数 1#2&的定义域为 E3任取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出下列 I
个关系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每一个 2都成立3其中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中判断函数 1#2&是偶函数的条件是
又设 25 4 1)%则它是过原点%斜率为 1的直线 9& 在同一直角坐标系下作出
它们的图像-如图 3/&依题意%半圆 8恒在直线 9上方时%只有 1: #时成立%故 1
图3

不等式恒成立、存在性问题的解题方法

不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用变换主元的方法，将m 看作主变元，即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是231,271(++-∈x 。

2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。

3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

01一元二次不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧一、用一元二次方程根的判别式二、利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立（2）对任意x都成立。

简单记作：大的大于最大的，小的小于最小的。

三、变更主元法对于一次函数有：四、分离参数法恒成立，则；恒成立，则.五、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例1对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形1：已知不等式2220-+>对x∈R恒成立，求实数a的取值范x ax围。

变式2：已知不等式mx2-x+1＜0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围。

变形3：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形4已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

例2 已知函数，在时恒有，求实数k 的取值范围。

变形1已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。

变形2已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。

例3已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

变式：已知二次函数，如果x ∈［0，1］时，求实数a 的取值范围。

例4已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。

变形1对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

例5已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是变形1当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

聚焦“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求解

聚焦“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求解246740 安徽省枞阳县会宫中学朱贤良E-MAIL:zxl.ah@新课标中，出现了两个新名词：全称量词“∀”与存在量词“∃”，由它们构成的“不等式恒成立”问题及“不等式、方程有解”问题常常在知识交汇点处设置，极易与导数等其它数学知识交融在一起，渗透着函数与方程、化归与转化、分类讨论及数形结合等数学思想，因而在高考中异常活跃，成为每年高考考查学生分析问题解决问题能力与创新意识的热点题型，长盛不衰.而学生在求解此类问题中参数范围时，常因无法审题而束手无策，或因理解不当而错误连连.本文拟对“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求法作一分类，供读者解这类问题时参考.1.“不等式恒成立”问题中参数范围的求法1.1 直接转化为求函数的最值问题是处理不等式恒成立问题的基本思路例1（2010天津）已知函数()f x =32312ax x -+（x R ∈），其中0a >. （Ⅰ）若a =1，求曲线y=()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 解析：（Ⅰ）略.（Ⅱ）由题意，在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，即11[,]22x ∈-时，min ()0f x >. 因此,问题即转化为求函数()f x 在区间11[,]22-上的最值问题. ()f x '=2333(1)ax x x ax -=-.令()f x '=0，解得x =0或1a.以下分两种情况讨论： ①当112a ≥即02a <≤时,随x 的变化，()f x '的符号与()f x 的单调性如下表：因此11[,]22x ∈-时，min ()0f x >等价于11min (),()022f f ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭，即1()021()02f f ⎧->⎪⎪⎨⎪>⎪⎩⇒50885088a a ⎧-+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩⇒55a -<<⇒02a <≤.②当11a <即2a >时,随x 的变化，()f x '的符号与()f x 的单调性如下表：因此11[,]22x ∈-时，min ()0f x >等价于11min (),()02f f a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭，即1()021()0f f a ⎧->⎪⎪⎨⎪>⎪⎩⇒250881102a a⎧-+>⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩⇒2a <-或52a <<⇒25a <<. 综上所述，a 的取值范围为05a <<.总结：当函数()f x 在区间D 上最值存在时，“x D ∀∈，()0f x >（0≥）”的充要条件是“x D ∈时，min ()0(0)f x >≥”,“x D ∀∈，()f x 0<（0≤）”的充要条件是“x D ∈时，max ()0(0)f x <≤”.1.2 分离主元与参数，再转化为求函数的最值问题是处理不等式恒成立问题的常见策略仍以例1（Ⅱ）为例加以说明.解法二：由题意，在区间11[,]22-上，323()102f x ax x =-+>恒成立，即11[,]22x ∈-时，32312ax x >-恒成立. ①当1[,0)2x ∈-时，即233311322x a x x x -<=-+恒成立. 令313()2g x x x =-+，1[,0)2x ∈-.此时题意等价于min ()a g x <.先换元，再由导数知识可求min ()5g x =，故5a <.②当1(0,]2x ∈时，即233311322x a x x x ->=-+恒成立. 令313()2h x x x =-+，1(0,]2x ∈.此时题意等价于max ()a h x >.易求max ()5h x =-，故5a >-. ③当0x =时，即01a ⋅>-a R ⇒∈. 综上所述，a 的取值范围为05a <<.总结：将不等式中的参数a 与主元x 分离开来，问题变形为“不等式()f x a >（,,a a a <≤≥）恒成立”，进而又演变为求函数()f x 的最值，而此时函数()f x 中不再含有参数，求最值比较简便,甚至于有时不需要分类讨论.读者可以尝试用上述两种方法去解下文中例２，对此将会有更深刻的感受．1.3 二次不等式恒成立问题可借助二次函数图像，从而将问题转化为二次方程根的分布问题例２（2008年全国Ⅰ卷）已知函数()f x =321x ax x +++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间21(,)33--内是减函数，求a 的取值范围．解析：（Ⅰ）略.（Ⅱ）题意等价于导函数2()3210f x x ax '=++≤对21(,)33x ∈--恒成立，即二次方程0)(='x f 的两根中，一根小于或等于32-,一根大于或等于31-．由一元二次方程根的分布，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-'≤-'0)31(0)32(f f ，解得2≥a ．总结：本题转化为一元二次不等式恒成立问题后，借助二次函数图像，利用二次方程根的分布知识，迅速准确地得出正确答案，无疑是此题求解的最佳途径．1.4 四个注意事项1.4.1 注意区分主元与参数例3（2006四川）已知函数,5)()(,13)(3--'=-+=ax x f x g ax x x f 其中)(x f '是)(x f 的导函数.对满足11a -≤≤的一切a 的值,都有g(x)0,<求实数x 的取值范围.解析:由题意()2335g x x ax a =-+-．令()()2335a x a x ϕ=-+-,(11a -≤≤),这是关于a 的一次函数，其中x 为参数．对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<．∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩⇒213x -<<．故2,13x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭．总结：通常情况下，x 为主元，a 为参数，而本题中已知a 的范围求x 的范围，故我们视a 为主元，x为参数，从而把不等式转化为关于a 的一次式形式，最终利用一次函数或常数函数性质求解．1.4.2 注意避免分类讨论如前所述，“恒成立问题”的基本处理方法是将其转化为函数最值问题，而函数最值问题往往要考虑参数的取值进行分类讨论，这也是高考数学中常见的考点，但此类问题往往因学生把握不好分类讨论的标准而造成失分之痛．事实上，在一些不等式恒成立问题，特别是一次与二次不等式恒成立问题中，往往可以借助函数的图像与性质避免分类讨论，这实为解题的首选方法．比如本文中的例2与例3，倘若直接转化为求函数()f x '与()a ϕ的最值，则必须就函数的单调性进行分类讨论，过程较为复杂；一旦我们借助二次函数、一次函数及常数函数的图像与性质，则变多种情况为一种，大大简化解题过程．1.4.3 注意函数最值不存在的情况例4 （1）)2,1(∈∀x ，0ln 212>--a x x ，则实数a 的取值范围是；（2）),1(+∞∈∀x ，0ln 212<--a x x ，则实数a 的取值范围是 .解析：（1）)2,1(∈∀x ，0ln 212>--a x x ⇔)2,1(∈∀x ，x x a ln 212-<.∵)2,1(∈x 时, x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为)2ln 2,21(-,∴21≤a .（2）),1(+∞∈∀x ，0ln 212<--a x x ⇔),1(+∞∈∀x ，x x a ln 212->.∵),1(+∞∈x 时, 函数x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为),21(+∞,∴Φ∈a .总结：当函数)(x f 的最值不存在时，“不等式恒成立”问题可以这样处理: (1)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n m , 则I x ∈∀，)(x f a <⇔m a ≤；I x ∈∀，)(x f a ≤⇔m a ≤； I x ∈∀，)(x f a >⇔n a ≥；I x ∈∀，)(x f a ≥⇔n a ≥.(2)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(+∞m , 则I x ∈∀，)(x f a >⇔Φ∈a ；I x ∈∀，)(x f a ≥⇔Φ∈a .(3)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n -∞, 则I x ∈∀，)(x f a <⇔Φ∈a ；I x ∈∀，)(x f a ≤⇔Φ∈a .读者可自行对例题再作适当改编, 即可得到上述各种类型问题. 1.4.4 注意数形结合例5（2009上海）当01x ≤≤时，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是_______.解析：作出1sin2xy π=与2y kx =的图象，要使不等式sin2xkx π≥成立，由图可知须k ≤1．总结：解题原理是：()()f x g x ≥恒成立()f x ⇔图像在()g x 图像的上方，此思路特别适用于不等式两边是不同类型的不等式恒成立题型．2. “ 不等式有解”问题中参数范围的求法2.1 当函数最值存在时，直接转化为或分离主元与参数后再转化为求函数最值问题例6 [1,2]x ∃∈，21ln 02x x a --≥，则实数a 的取值范围是 . 思路一：直接转化为函数最值问题.题意等价于函数21ln 2y x x a =--，[1,2]x ∈的最大值大于或等于0. 由导数知识得，[1,2]x ∈时, 21ln 2y x x a =--递增,其最大值为2ln 2a --，故2ln 20a --≥⇒2ln 2a ≤-思路二：分离主元与参数，再求函数最值.[1,2]x ∃∈，21ln 02x x a --≥⇔[1,2]x ∃∈，21ln 2a x x ≤-2max 1(ln )2a x x ⇔≤-，[1,2]x ∈.∵[1,2]x ∈时, 21ln 2y x x =-递增, 其最大值为2ln2-,∴2ln 2a ≤-.总结：当函数()f x 在区间D 上最值存在时，“x D ∃∈，()0f x >（0≥）”的充要条件是“x D ∈时，max ()0(0)f x >≥”,“x D ∃∈，()f x 0<（0≤）”的充要条件是“x D ∈时，min ()0(0)f x <≤”.一般地，当不等式中主元与参数易于分离时可考虑分离之，这极可能简化函数最值的求解过程. 2.2 注意函数最值不存在的情况例7 )2,1(∈∃x ，21ln 02x x a --≥，则实数a 的取值范围是 . 解析：)2,1(∈∃x ，21ln 02x x a --≥⇔)2,1(∈∃x ，21ln 2a x x ≤-.∵)2,1(∈x 时, 21ln 2y x x =-递增, 其值域为)2ln 2,21(-,∴2ln 2a <-.总结：当函数)(x f 的最值不存在时的“不等式有解”问题可以这样解决: (1)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n m , 则I x ∈∃，)(x f a <⇔n a <；I x ∈∃，)(x f a ≤⇔n a <； I x ∈∃，)(x f a >⇔m a >；I x ∈∃，)(x f a ≥⇔m a >；(2)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(+∞m , 则I x ∈∃，)(x f a <⇔R a ∈；I x ∈∃，)(x f a ≤⇔R a ∈；(3)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n -∞, 则I x ∈∃，)(x f a >⇔R a ∈；I x ∈∃，)(x f a ≥⇔R a ∈.以上结论，读者不妨加以验证.3. “方程有解”问题中参数范围的求法 3.1 “方程有解”问题的两种转化途径例8（2011辽宁）已知函数()f x =2xe x a -+有零点，则a 的取值范围是 . 思路一：直接将“方程有解”或“函数有零点”转化为“函数图像与x 轴有交点”. 先利用导数研究函数()f x 图像与性质：()20ln 2x f x e x '=-=⇒=，列表：由题知，函数()f x 图像与x 轴有交点，即有(ln 2)22ln 20f a =-+≤2ln 22a ⇒≤-.思路二：将主元x 与参数a 分离，即得关于x 的方程2xx e a -=有解，即得函数12xy x e =-与2y a=的图像有交点.同思路一，可判断函数12xy x e =-在(,ln 2)-∞上递增，在(ln 2,)+∞上递减，因而其值域为(,2ln 22]-∞-.要使两函数图像有交点，则a 的取值范围就是函数12xy x e =-的值域，即(,2l n 22]a ∈-∞-. 总结：“方程有解”问题的求解，不论是直接转化为函数图像与x 轴相交，还是分离主元与参数后再转化为两函数图像相交，其实质是数形结合思想的应用.明白了这一点，读者可尝试具体解决以下问题：例9 （1）（2011北京）已知函数32,2,()(1), 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .（答案：01k <<）（2）（2007广东）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．（答案：题意即关于x 的方程2(21)32x a x -=-在区间[1,1]-上有根⇔关于x的方程23221xa x -=-在区间[1,(-⋃⋃上有解，根据数形结合的思想，函数23221xy x -=-，[1,((2222x ∈--⋃-⋃的值域即为参数a 的取值范围，即a∈3(,[1,)2+-∞-⋃+∞.） 3.2 “一元二次方程有解’问题例10 （1）（2007湖北）设二次函数()f x =2x ax a ++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<，求实数a 的取值范围.（2）函数()421xxf x m =+⋅+有且仅有一个零点，则实数m 的值是 .解析：（1）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，题意即二次方程方程()0g x =在区间(0,1)上有两不等实根．则可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- （2）令2x t =，记2()()1g t f x t m t ==+⋅+，由题知，二次方程2()10g t t m t =+⋅+=在区间(0,)+∞上有且仅有一解，符合题意的情况有三种：①若二次方程()0g t =有两个相等正根，则0202m m∆=⎧⎪⇒=-⎨->⎪⎩； ②若二次方程()0g t =有一正根一零根，则1212000t t m t t ∆>⎧⎪+>⇒∈∅⎨⎪⋅=⎩；③若二次方程()0g t =有一正根一负根，则120m t t ∆>⎧⇒∈∅⎨⋅<⎩．综上，2m =-．总结：“三个二次”问题是高考中经典与热点题型，以上“一元二次方程有解’问题一般都转化为“一元二次方程根的分布”问题，其解决过程往往要结合二次函数图像、二次方程根与系数的关系等相关知识，具有一定的综合性与灵活性．读者还可以沿此思路去求解本文中例9（2）．4.“ 双主元”问题中参数范围的求法4.1 “任意-任意”型例11（2008天津）已知函数()()0≠++=x b x a x x f ，其中R b a ∈,.若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围.思路一：先看成关于x 的不等式恒成立，再看成关于a 的不等式恒成立,逐步确定主元．由题知2()1a f x x '=-．当0a >时，令()0f x '=，解得x =故()f x 在[,1]4上的最大值为()4f 与(1)f 的较大者.由题意,对于任意的1[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当max ()10f x ≤,即10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，即39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩对任意的1[,2]2a ∈成立．从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞．思路二：分离双主元a 与x ，再转化为两个独立函数的最值大小问题，一步到位．由题意, 任意的1[,2]2a ∈，不等式10a x b x ++≤在1[,1]4上恒成立22max min11,2,,1,(10)2411,2,,1,[(10)]24a x a x b xa x a xb x ⎡⎤⎡⎤⇔∀∈∀∈≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⇔∀∈∀∈≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即1102716442110b b b -⎧≤-+⎪⇒≤⎨⎪≤-+-⎩．总结：求解多元变量的不等式恒成立问题，通常可以利用逐步确定主元的策略．在本例中，涉及到的变量有三个，固定a 与b ，先解决关于x 的不等式恒成立问题，进而求解关于a 的不等式恒成立问题，是为思路一．一般地，若双主元易于分离，可分离之，则问题演变为“112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∀∈≤”，等价于“1122,x D x D ∈∈时，1max 2min ()()f x g x ≤”，从而实现一步到位，是为思路二．4.2 “任意-存在”型例12 （1）已知24(),(0,2)1xf x x x =∈+；设0a ≠，(),(0,2)g x ax a x =-∈．若对任意1(0,2)x ∈，总存在2(0,2)x ∈，使12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．（2）（2010山东）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()24g x x bx =-+．当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.解析：（1）1(0,2)x ∀∈，2(0,2)x ∃∈，12()()f x g x =12(0,2),(0,2)x x ⇔∈∈时，函数1()f x 值域是2()g x 值域的子集.先求函数1()f x 的值域：1(0,2)x ∈时，11211144()11x f x x x x ==++，其值域为(0,2]；再求函数2()g x 的值域：当0a >时，22()g x ax a =-在(0,2)上递增，其值域为(,)a a -；当0a <时，22()g x ax a =-在(0,2)上递减，其值域为(,)a a -.∴题意等价于0(0,2](,)a a a >⎧⎨⊆-⎩或0(0,2](,)a a a <⎧⎨⊆-⎩(,2)(2,)a ⇒∈-∞-⋃+∞.（2）第(Ⅰ)问答案为：当0a ≤时，()f x 在(0,1)减，(1,)+∞增；当102a <<时，()f x 在(0,1)减，1(1,1)a -增，1(1,)a-+∞减；当12a =时，()f x 在(0,)+∞减. 第（Ⅱ）问中，1(0,2)x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使12()()f x g x ≥ (0,2)⇔，[]21,2x ∈时，1min2min ()()f x g x ≥.由（Ⅰ）知，11,(0,2)4a x =∈时，1min1()(1)2f x f ==-. 又2222()24g x x bx =-+，[]21,2x ∈， ①当1b ≤时，2min ()(1)52g x g b ==-，故1522b b -≥-⇒∈∅；②当12b <<时，22min ()()4g x g b b ==-，故2142b b -≥-⇒∈∅； ③当2b ≥时，2min ()(2)84g x g b ==-，故1178428b b -≥-⇒≥.综上，178b ≥. 总结：这两题中，12,x x 都是主元，这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈=1122()()f x D g x D ⇔⊆在上的值域在上的值域； 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈>1122()()f x D g x D ⇔>在上的最小值在上的最小值； 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈<1122()()f x D g x D ⇔<在上的最大值在上的最大值.读者可以小试下例：例12 （1）（2008天津）设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值的集合为（）A ．{}12a a <≤B ．{}2a a ≥C ．{}23a a ≤≤D ．{}23，（答案:由题意,[]32,2,,,a x a a y a a y x ⎡⎤∀∈∃∈=⎣⎦．[]32,2,a x a a y a a x ⎡⎤∈=⎣⎦即时，的值域是的一个子集222,, 2.2a a a a a ⎡⎤⎡⎤⊆⇒≥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即）（2）设1a >，若对于[][],2,,2x a a y a a ∀∈∃∈满足l o g l o g 3a a x y +>,这时a 的取值范围为 .（答案:由题意,[][]3,2,,2,a x a a y a a y x∀∈∃∈<． []32,2,[,]a x a a y a a x∈∈即时，的最大值小于y 的最大值，即221 2.a a a <⇒<<）4.3 “存在-存在”型例13 （1）若实数0m ≠，存在[]121,,1,1x x ⎡∈∈-⎣21mx =+，这时m 的取值范围为 .（2）若实数0m ≠，存在[]121,,1,1x x ⎡∈∈-⎣21mx ≤+，这时m 的取值范围为 .解析:（1）记函数11()1f x x =⎡∈⎣，[]222()11,1,g x x mx =+∈-.- 11 -则题意中，[]121,,1,1x x ⎡∃∈∈-⎣，12()()f x g x =[]121,,1,1x x ⎡⇔∈∈-⎣时，函数1()f x 值域与2()g x 值域的交集非空. 即0[3,4][1,1]m m m >⎧⎨⋂-+≠∅⎩或0[3,4][1,1]m m m <⎧⎨⋂+-≠∅⎩，即013m m >⎧⎨+≥⎩或013m m <⎧⎨-≥⎩22m m ⇒≥≤-或. （2）题意中，[]121,,1,1x x ⎡∃∈∈-⎣，12()()f x g x ≤[]121,,1,1x x ⎡⇔∈∈-⎣时，函数1min 2max ()()f x g x ≤. 即031m m >⎧⎨≤+⎩或031m m <⎧⎨≤-⎩22m m ⇒≥≤-或. 总结：本例中这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略可总结为：112212,,()()x D x D f x g x ∃∈∈=1122()()f x D g x D ⇔在上值域与在上值域的交集非空；112212,,()()x D x D f x g x ∃∈∈>1122()()f x D g x D ⇔>在上的最大值在上的最小值.以上探讨的四大类“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求法，具体结合了转化与化归等重要数学思想，具有一定的普遍意义，属于高考所强调的“通性通法”的范畴. 只有在不断的解题实践中，逐渐摸索与总结，才能恰当选择、灵活运用相关方法与策略去合理地解题. 所谓云开雾散、柳暗花明，这不正是我们所追求的解题境界吗？参考文献：[1] 蒋寿荣．新高考试卷中的全称量词和存在量词[J]．数学通讯，2009，5(下半月).[2] 朱贤良，付朝华.另类“恒成立”与“有解”问题[J]．中学数学教学，2010，1.[3] 程贤清，景亚晓，徐小艳．破解不等式恒成立问题的十大策略[J]．中学数学，2011，6．[4] 孙枫，许成文．含“全称量词”与“存在量词”的数学问题[J]．中小学数学(高中)，2010，6.作者概况：朱贤良，男，1981年12月生，安徽枞阳人．中学一级教师，任教于安徽省级示范高中枞阳县会宫中学．主要从事中学数学教学研究、高考试题研究与初等数学研究等，近两年在《中学数学教学参考》、《数学通讯》、《中小学数学》、《中学数学教学》等杂志发表论文十余篇．通讯地址：246740 安徽省枞阳县会宫中学E-MAIL:zxl.ah@QQ:326516975。

恒成立问题求参数范围的方法

恒成立问题求参数范围的方法
嘿，朋友们！今天咱要来唠一唠恒成立问题求参数范围的方法，这可太重要啦！
比如说，你看那函数 f(x)=x^2+2ax+1，要是让它在某个区间上恒大于0，这不就得想法子找出 a 的范围嘛。

这就好比你要去寻找宝藏，得知道从哪里开始挖呀！
咱先来说说分离参数法。

就是把参数和变量分开来，让参数在一边，变量在另一边。

就像你把好东西和坏东西分开放一样，这样清楚明白！比如说有个式子 mx^2+2x-1>0 恒成立，咱就可以把 m 分离出来，m>1/x^2-2/x。

然后再去研究右边这个式子的最值，不就可以求出 m 的范围啦！
再来就是最值法啦。

你想想，要恒成立，那函数的最值是不是得满足条件呀？好比你要跑赢比赛，总得知道自己的最快速度才行嘛。

比如函数
f(x)=ax^3+bx^2+cx 在区间[1,2]上恒小于 2，那咱就求出这个函数在这个区间上的最大值，让它小于 2 不就得了。

还有图像法呢，通过画函数图像来直观地看出参数的范围。

这就像你看地图找路一样，一目了然呀！比如说知道一个函数的大致形状，然后根据恒成立的条件在图像上找找线索。

哎呀呀，这些方法各有各的好用之处。

分离参数法简单直接，最值法稳妥可靠，图像法直观形象。

所以说呀，恒成立问题求参数范围并不可怕，只要咱掌握了这些方法，就像有了一把钥匙，能打开那扇通往正确答案的门！遇到这种问题咱就不用愁啦，大胆去尝试，肯定能找到答案！。

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略探析

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略探析易凤玲不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。

这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

恒成立问题是高中数学中的一个热点,而不等式更是高考的重点,有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点,这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强,部分考生常感到无从下手,茫然不知所措,那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧 “抓住题型”，这类问题求解中的求不等式恒成立时的参数范围将迎刃而解。

一、直接型：题干中有任意、均有、总是、恒成立等关键词时的不等式恒成立问题 ――――常用“直接代入法、判别式法、参变分离法、数形结合法”解决（－）直接代入法――利用单调性求解如一次函数型“若()1,1-∈x 时，不等式12)1(2-+-a x a >0恒成立，求a 的取值范围？” 解：设f(x)= 12)1(2-+-a x a则 ⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(f f 解得：213≤≤-a（二）判别式法---二次函数型如“当x ∈R 时,不等式042<++mx x 恒成立,求m 的取值范围是?”解：只须0442<⨯-=∆m 即-4<m<4(三）参变分离法----构造新函数求最值如“当x ∈(1,2)时,不等式042<++mx x 恒成立,求m 的取值范围是?” 解：不等式042<++mx x 可化为m x x -<+42即x x 4+<-m 设f(x)= x 4+,当x ∈(1,2)时,f(x)<5,则-m 5,5-≤≥m 即 (四)数形结合法---转化成两函数图像的位置关系求解如“若对任意R x ∈,不等式ax x -≥恒成立,求实数a如图知：11≤≤-a二、间接型----需转化为不等式恒成立解决常见有以下几类（一）已知含参函数的定义域为R ，求参变量的取值范围？如“已知函数11)(22++++=kx kx x x x f 的定义域是R,求k 实数的取值范围是?” 分析：可转化为“x ∈R 时012≠++kx kx 恒成立” 再解决(二)已知含参函数(一般可求导)在给定区间上的单调性,求参变量的取值范围？如“已知函数xa x x f +=2)((x 0≠,a 为常数，R a ∈),若函数f(x)在[)+∞,2为增函数,求a 的取值范围？”分析：可转化为“0)(2≥'≥x f ，x 时恒成立” 再解决（三）已知含参函数在给定区间上有意义，求参变量的取值范围？如“设()3)(1log )(41212x x a x f ++=，其中a R ∈，如果1≥x 时,f(x)有意义,求a 的取值范围?”分析：可转化为“，x 时1≥()()012141>++xx a 恒成立”再解决（四）已知给定区间是含参不等式解集的子集，求参变量的取值范围？如″设命题134:≤-x p ,命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的的取值范围是？”分析：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ⇔P:{}134≤-x x ()(){}0112:2≤+++-⊂a a x a x x Q由于P={}121≤≤x x 则可转化为121≤≤x 时，0)1()12(2≤+++-a a x a x 恒成立。

恒成立条件下参数问题的求解策略

恒成立条件下参数问题的求解策略〔关键词〕恒成立条件；参数；不等式；函数值域；等价转化；分离参数；主参互换所谓恒成立条件下参数的范围是指某个含参数的数学对象在给定条件下的参数允许取值的全体.求参数范围的本质则是根据条件寻求对参数的限制，再由这种限制得出参数范围.参数的范围一般用不等式表示，这样寻求对参数的限制可优先考虑，化归为关于参数的不等式（组）.当然，若所求为另一个变量的函数时，可考虑借助函数值域或范围.求参数范围的一般步骤为：１.由给定条件寻找对参数的限制；２.将对参数的限制化归为不等式（组）或函数的值域；３.由不等式（组）在寻找参数的范围时，可充分考虑利用判别式法、基本不等式法、数形结合法等.在将限制条件划归为不等式（组）或函数值域时常用等价转化、分离参数、主参互换、数形结合等方法.下面通过几个例题对这些方法作以展示，希望对读者有所启示.等价转化有些题目直接入手解决往往比较复杂，但若对题设中的式子作以等价转化，则可以化繁为简，易于问题的解决.例1：设对所有实数x，不等式x2log2+2xlog2+log2＞0恒成立，求a的取值范围.分析：此题直接求解比较麻烦，若令log2=t，则原式可化为（3+t）x2-2xt+2t ＞0恒成立，经过分析可求解.解：设log2=t，则欲使已知不等式大于0恒成立，只需（3+t）x2-2xt+2t＞0恒成立，即3x2+[（x-1）2+1]t＞0恒成立，故只需t＞0，即log2＞0，解得0＜a ＜1.分离参数法对于有些问题若能将已知式子中的未知数和参数分离开来，则可通过求函数的值域求出参数的取值范围.例2：已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：此题可先经过等价转化，由区间[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立，然后将不等式分离参数得g（a）＞f（x）恒成立，再求得f（x）的最大值f（x）max，由g（a）＞f（x）max得a的取值范围.解：在区间[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立.要使x2+2x+a ＞0恒成立，只需a＞-x2-2x=-（x+1）2+1恒成立.由二次函数的性质可得-（x+1）2+1≤-3，故a＞-3.利用函数的最值例3：同例2.分析：此题可等价转化为在区间[1，+∞）上x2+2x+a＞0恒成立，令y=x2+2x+a，x∈[1，+∞），判断y=x2+2x+a在区间[1，+∞）上的单调性从而求出ymin=3+a，再根据ymin=0时f（x）＞0恒成立解得a的取值范围.解：在区间[1，+∞）上f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立.因为函数y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在区间[1，+∞）上为增函数，所以当x=1时，ymin=3+a.于是当且仅当ymin=3+a＞0时，f（x）＞0恒成立，即有a＞-3.利用函数的单调性通过研究函数的单调性确定函数的值域，从而求出参数的范围也是解此类题目常用的方法.例4：同例2.分析：先将f（x）=，x∈[1，+∞）化简为f（x）=x++2，x∈[1，+∞），再通过判断此函数的单调性求出f（x）min=3+a，进而求得a的取值范围.解：f（x）=x++2，x∈[1，+∞），当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；当a ＜0时，y=x+2与y=在[1，+∞）上均为增函数.所以f（x）=x++2在x∈[1，+∞）上为增函数，故当x=1时，f（x）min=3+a.于是当且仅当f（x）min=3+a＞0时，f（x）＞0恒成立.故a＞-3.主参互换在求参数范围时，如果直接求解较为困难，那么在已知条件中将参数和未知数进行换位，则可使问题迎刃而解.例5：已知方程ax2-2（a-3）x+a-2=0中的a为负整数，试求使方程恒有整数解时a的取值范围.分析：可将关于x的二次方程通过变更主元化为关于参数a的一次方程，由方程得（x2-2x+1）a+6x-2=0，再根据a的取值范围求得x的取值范围，从而确定x的取值，再经过讨论可求得a的取值范围.解：因为ax2-2（a-3）x+a-2=0，所以（x-1）2a=2-6x.显然x≠1，得a=.（1）∵a为负整数，∴a≤-1.故≤-1，即x2-8x+3≤0，解得4-≤x≤4+.因此，x的整数值只能为2、3、4、5、6、7，逐个代入（1）式中，可知x=2时，a=-10；x=3时，a=-4.故当a为-4或-10时，方程恒有整数解.注：此解通过变更主元将关于x的二次方程转化为关于a的一次方程，起到了降次、化简的功效，更是避免了不必要的分类讨论.构造函数法根据题目中所给的含参不等式的结构特征构造适当的函数，并利用函数的性质可求参数的范围.例6：已知不等式++…+＞loga（a-1）+对于大于1的一切自然数n恒成立，试求参数a的取值范围.分析：根据题目所给的不等式的特点构造函数f（n）=++…+，并通过判断此函数的单调性求出f（n）的最小值为f（2）=，由f（n）＞loga（a-1）+对于大于1的一切自然数n恒成立，必须有loga（a-1）+＜，从而可求得a的取值范围.解：构造函数f（n）=++…+，则f（n+1）-f（n）=+-=＞0.由此可知，关于n（n＞1，n∈N）的函数f（n）在[2，+∞）上是单调递增函数.又∵n是大于1的自然数，∴f（n）≥f（2）=.故要使f（n）＞loga（a-1）+对于大于1的一切自然数n恒成立，必须有loga （a-1）+＜.∴loga（a-1）＜-1，∴a∈（1，）.。

“恒成立”问题的参数范围

利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a <⇔< max )()(x f a x f a >⇔>例1已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.若2'()1xf x x ax ≤++求a 的取值范围；练习1.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值（1）求a,b 的值,(2)若对于任意的∈x ［0,3］都有2)(c x f <成立,求c 的取值范围答案：1. 解: (1)a=-3,b=4 (2)9+8c<c 2,解得c<-1或c>9（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。

例2. 已知函数x a x x f ln )(2+= (1)e a 2-=时，求函数)(x f 的单调区间和极值，(2)若函数x x f x g 2)()(+=在［1，4］是减函数，求实数a 的取值范围解得：(1)函数)(x f 的单调递减区间是),0(e ，单调递增区间是（,e )∞+，极小值是0)(=e f（2）由x x a x x g 2ln )(2++=得222)(xx a x x g -+='依题意0)(≤'x g 所以0222≤-+x x a x 即222x x a -≤又222)(x xx -=ϕ在［1，4］上是减函数，故 ϕ（4）min =263-所以263-≤a 练习1.已知)10(cos )(<<-+=-x x x ae x f x （1）若对任意的0)(),1,0(<∈x f x恒成立，求实数a 的取值范围。

（2）求证：)10(21sin 2<<+<+-x x x ex 解：（1）1-≤a(2)构造函数)10(21sin )(2<<--+=-x x x e x h x 且0)0(=h 则x x e x h x -+-='-cos )(由（1）知当a=-1时，)10(0cos )(<<<-+-=-x x x e x f x 故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)<h(0)=0即)10(21sin 2<<+<+-x x x e x (3) 恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性例3.设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．解法：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1，(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ． (ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数，又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)，即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立．综上，a 的取值范围是（－∞，1]．练习1 设函数22)1ln()(+-+=x x x x f 证明：当x>0时，0)(>x f。

不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。

恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。

其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。

本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。

变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。

①当m=0时，3>0，显然成立。

②当m>0时，则△<0。

③当m<0时，显然不等式不恒成立。

由①②③知。

关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。

例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。

①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。

</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。

恒成立，即大于时大于函数值域的上界。

八种解法解决不等式恒成立问题

八种解法解决不等式恒成立问题1最值法例1．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（I ）试确定b a ,的值；（II ）讨论函数)(x f 的单调区间；（III ）若对于任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．分析：不等式22)(c x f -≥恒成立，可以转化为2min 2)(c x f -≥解：（I ）（过程略）3,12-==b a ．（II ）（过程略）函数)(x f 的单调减区间为)1,0(，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞．（III ）由（II ）可知，函数)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值．要使22)(c x f -≥（0>x ）恒成立，只需223c c -≥--，解得23≥c 或1-≤c ．所以c 的取值范围为),23[]1,(+∞⋃--∞．评注：最值法是我们这里最常用的方法．a x f ≥)(恒成立a x f ≥⇔)(min ；a x f ≤)(恒成立a x f ≤⇔)(max ．2分离参数法例2．已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(22（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若不等式e n a n ≤++)11(对于任意*∈N n 都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值．分析：对于（II ）不等式e na n ≤++)11(中只有指数含有a ，故可以将函数进行分离考虑．解：（I ）（过程略）函数)(x f 的单调增区间为)0,1(-，)(x f 的单调减区间为),0(+∞（II ）不等式e n a n ≤++)11(等价于不等式1)11ln()(≤++n a n ，由于111>+n ，知1)11ln()(≤++na n n n a -+≤⇔)11ln(1；设x x x g 1)1ln(1)(-+= ]1,0(∈x ，则221)1(ln )1(1)(x x x x g +++-=')1(ln )1()1(ln )1(2222x x x x x x ++-++=．由（I ）知，01)1(ln 22≤+-+x x x ，即0)1(ln )1(22≤-++x x x ；于是，0)(<'x g ]1,0(∈x ，即)(x g 在区间]1,0(上为减函数．故)(x g 在]1,0(上的最小值为12ln 1)1(-=g ．所以a 的最大值为12ln 1-．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当]2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f x x g a log )(=在]2,1(∈x 观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f 与函数x x g a log )(=在(∈x 图象（如右），从图象中容易知道：当0<a )(x g 上方，不合题意；当1>a 且]2,1(∈x 或部分点重合，就必须满足12log ≥a ，即21≤<a ．故所求的a 的取值范围为]2,1(．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法． 4 变更主元法例4．对于满足不等式11≤≤-a 的一切实数a ，函数)24()4(2a x a x y -+-+=的值恒大于0，则实数x 的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以x 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于0对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设)44()2()(2+-+-=x x a x a f ，]1,1[+-∈a ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立的问题．故应该有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(f f ，解得1<x 或3>x ．所以实数x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设0a 是常数，且1123---=n n n a a （*∈N n ）．（I ）证明：对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．（II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意1≥n 有1->n n a a 求出0a 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I ）递推式可以化归为31)3(32311+-=--n n nn a a ，]51)3[(3251311--=---n n n n a a ，所以数列}513{-n n a 是等比数列，可以求得对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．（II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，取2,1=n 就有⎩⎨⎧>=->-=-0603101201a a a a a a 解得3100<<a ；下面只要证明当3100<<a 时，就有对任意*∈N n 有01>--n n a a 由通项公式得011111215)1(2)1(332)(5a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅-+⋅-⋅+⋅=------当12-=k n （*∈N k ）时，02523322152332)(511101111=⋅-⋅+⋅>⋅⋅-⋅+⋅=--------n n n n n n n n a a a当k n 2=（*∈N k ）时，023*********)(51101111=⋅-⋅>⋅⋅+⋅-⋅=-------n n n n n n n a a a ，可见总有1->n n a a ．故0a 的取值范围是)31,0(评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法． 6分段讨论法例6．已知2)(--=a x x x f ，若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围．解：（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈（ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x -＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x=-∈=+∈ 则221)(xx g +='＞0，∴()g x 是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==- 221)(xx h -='＜0，∴()h x 是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h == 此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）．例7．若不等式032>+-ax x 对于]21,21[-∈x 恒成立，求a 的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对x 进行分段讨论，当0=x 时，不等式恒成立，所以，此时R a ∈；当]21,0(∈x 时，不等式就化为x x a 3+<，此时x x 3+的最小值为213，所以213<a ；当)0,21[-∈x 时，不等式就化为x x a 3+>，此时x x 3+的最大值为213-，所以213->a ；由于对上面x 的三个范围要求同时满足，则所求的a 的范围应该是上三个a 的范围的交集即区间)213,213(- 说明：这里对变量x 进行分段来处理，那么所求的a 对三段的x 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在),0(+∞的函数)(x f 满足)()()(xy f y f x f =+，且1>x 时不等式0)(<x f 成立，若不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对于任意),0(,+∞∈y x 恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．解：设210x x <<，则112>x x ，有0)(12<x x f ．这样，0)()()()()()()()(121112111212<=-+=-⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ，则)()(12x f x f <，函数)(x f 在),0(+∞为减函数．因此)()()(22a f xy f y x f +≤+⇔)()(22xy a f y x f ≤+⇔xy a y x ≥+22xy y x a 22+≤⇔；而2222=≥+xy xyxy y x （当且仅当y x =时取等号），又0>a ，所以a 的取值范围是]2,0(．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式012>++ax ax 对于任意R x ∈恒成立．则实数a 的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意R x ∈恒成立，可以选择判别式法．解：当0=a 时，不等式化为01>，显然对一切实数恒成立；当0≠a 时，要使不等式012>++ax ax 一切实数恒成立，须有⎩⎨⎧<-=∆>0402a a a ，解得40<<a ．综上可知，所求的实数a 的取值范围是)4,0[．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于x 的不等式ax xx x ≥-++232525在]12,1[∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵]12,1[∈x ，∴不等式可以化为a x x x x ≥-++5252；下面只要求x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值即可，分段处理如下．当]5,1[∈x 时，x x x x f 256)(2++-=，223225622562)(x x x x x x f -+-=-+-='，再令2562)(231-+-=x x x f ，0126)(21=+-='x x x f ，它的根为2,0；所以在区间)2,1[上有0)(1>'x f ，)(x f 递增，在区间]5,2(上有0)(1<'x f ，)(x f 递减，则就有2562)(231-+-=x x x f 在]5,1[∈x 的最大值是017)2(1<-=f ，这样就有0)(<'x f ，即)(x f 在区间]5,1[是递减．同理可以证明)(x f 在区间]12,5[是递增；所以，x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值为10)5(=f ，即10≤a ．技巧解：由于]12,1[∈x ，所以，25225≥+xx ，052≥-x x 两个等号成立都是在5=x 时；从而有10525)(2≥-++=x x x x x f （5=x 时取等号），即10≤a ．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。

恒成立问题

2.已知关于 x的不等式 x （1 - a) x 2 0
2
在（ 1, 2）上恒成立，则实数 a的取值范围是
解：不等式 x （1 - a ) x 2 0在（ 1, 2）
2
x 2 2 上恒成立，所以 a 1 x 1 x x 2 在（ 1, 2）上恒成立，令 f ( x ) x 1, x 2 则f ( x ) x 1 2 2 1，当且仅当 x
等价条件3：f(x)min≥g(x)
一般地，若f(x),g(x)的最值能容易地求解时，用等价条件1；若其中有一个函数的最值不易求解，则用等价条件2或3中的
一个来求解。
高考题展示
已知关于 x的不等式 x ax 2a 0
2
在R上恒成立，则实数 a的取值范围
类型1：限定定义域的恒成立
已知关于 x的不等式 x ax 2a 0
由于不等式的右边与变量无关，所以本题的本质就是求不等式左边所对应的函数的最小值，注意到左边为分式型，故采用基本不等式来求它的最小值。
类型3：分式型的恒成立
2
类型4：二次函数型的恒成立
1.已知关于 x的不等式 ax x 2 0
2
在（ 1,2）上Байду номын сангаас 成立，则实数 a的取值范围是
恒成立问题
技法攻略
一、求解含参数的恒成立问题，常见方法：
1、分离参数法
2、主参换位法
3、数形结合法 4、构造函数法
二、含参数的恒成立问题，常用等价条件：
1、对于含参的一元二次不等式的恒成立问题，ax2+bx+c>0(a≠0）在R上恒成立的充要条件是

含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略

含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作者：刘飞来源：《理科考试研究·高中》2016年第01期含参不等式恒成立问题是高考中的热点问题，此类问题由于题型多样，有利于考查学生的综合解题能力，解答此类问题主要通过转化来解决问题.下面举几种常见的解答方法.一、分离参数此法是把不等式中的参数t与未知数x分离出来，得到t>f（x）或tf（x）max，或t例1已知对于任意x∈（0，1），不等式|loga（2-x）|>|loga（2+x）|-1恒成立，求实数a 的取值范围.解显然a>0且a≠1，当x∈（0，1）时，loga（2+x）>0，loga（2-x）>0，原不等式可化为lg2+x2-x所以2+x2-x=42-x-1∈（1，3），所以lg2+x2-x∈（0，lg3），因为对于任意的x∈（0，1），不等式lg2+x2-x所以|lga|≥lg3，解得a的范围是：a≥3或0二、联系二次函数如果原不等式可化为二次不等式型，可充分联系二次函数的图象及性质解决问题.例2当x∈[-2，2]时，不等式x2+ax+3-a≥0恒成立，求实数a的范围.解构造二次函数f（x）=x2+ax+3-a=（x+a2）2-a24-a+3.当-a2-a2f（-2）=（-2）2+a（-2）+3-a≥0，解集为空集.当-2≤-a2≤2时，原不等式等价于：-2≤-a2≤2，f（-a2）=（-a2）2+a（-a2）+3-a≥0，解得-4≤a≤2.当-a2>2时，原不等式等价于：-a2>2，f（2）=22+2a+3-a≥0.解得-7≤a≤-4.综上，a的取值范围为-7≤a≤2.三、数形结合某些不等式的恒成立问题，可通过构造函数，借助函数的图象来研究.例3当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2解设f（x）=（x-1）2，g（x）=logax.当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2当0当a>1时，画出f（x）及g（x）的图象，由图象可得，当x∈（1，2）时，要使不等式f（x）则需要f（2）≤g（2），即（2-1）2≤loga2，解得a≤2，故1综上，a的取值范围为1四、变更主元将不等式中的参数与变量地位互换，反客为主，实现难题巧解.例4若x∈（0，13]，不等式1+x+（a-a2）x2>0恒成立，求实数a的取值范围.解原不等式可化为关于a的不等式：x2a2-x2a-（x+1）即[ax-（x+1）]（ax+1）因为x∈（0，13]，所以不等式的解为-1x由条件知[-1x]max所以-3。

高中数学恒成立问题中参数范围的求法

一、变换主元法
2
例1、已知函数f(x)=x+(a-6)x+9-3a,当-1≤a≤1时，f(x)>0恒成立，求x的取值范围。

二、判别式法
2 2
例2、已知函数f(x)=lg[x+(a-1) x+a 的定义域是实数集R,求实数a的取值范围
三、分离参数法例3、不等式x+ax+1≥0,对x (0, ]恒成立，求实数a 的取值范围221
四、利用根的分布例4（同例3）、不等式x+ax+1≥0,对x (0, ]恒成立，求实数a 的取值范围
212
五、数形结合法
x
例5、若函数f(x)=a-x-a(a>0,且a≠1）恒有两个零点，求实数a的取值范围
2
例6、当1<x<2时，不等式(x-1)<logx恒成立，求实数a的取值范围
六、根据函数的奇偶性、周期性等性质•若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)•(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域•中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。

高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结

高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a≥ ;若a≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.解:根据题意得,x+−2>1在x∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x在x∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a−)>0恒成立,求a 的取值范围.解令 =t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为< ,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可.∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且c a mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

恒成立问题中求参数范围的几种方法

恒成立问题中求参数范围的几种方法
袁兆玲
【期刊名称】《中学生数理化（尝试创新版）》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】求解参数的取值范围是一类常见题型，同学们遇到此类问题．较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决此类问题的方法．
【总页数】3页(P55-57)
【作者】袁兆玲
【作者单位】河南
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.不等式恒成立问题中的几种求参方法 [J], 濮志强;
2.恒成立问题中参数范围求解方法大盘点 [J], 范运灵
3.确定不等式恒成立问题中参数范围的策略 [J], 洪兵
4.求恒成立不等式中参数范围的解题方法 [J], 熊光汉;吴纯静
5.不等式恒成立问题中参数范围的求解策略 [J], 沙金城
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。