大学物理习题课3
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习题课
静电场力作功
电势与电势能的计算 1. 利用点电荷电势公式及电势叠加原理求电势.
dq dU 4 0 r 1
电势能
电势
U
dU
Q
2. 已知场强分布,由U a a
零势点
E dl 求电势.
3.电场力作功和电势能的计算 Aab q 0 (U a U b )
q R O
r0
l
解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx， 其上电荷为 d q d x 均匀带电球面场强分布
0 E= (r<R)
dx O R r0 x r0+l
x
1 4 0
q r2
(r>R)
均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布 当 r > R 时, U p r 当 r < R 时,
Up
q q 2 dr 4 0 r 4 0 r
R 1 q 1 q E dl 0dr 2 dr r R 4 40 R 0 r
1
r
均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布 当 r > R 时, U p r 当 r < R 时,
在距圆心o为b的位置时, 粒子的速度为v0, 求
粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性
始终不变).
q v0
o R b
x
解：均匀带电圆板在轴线(x轴)方向上任一点的电势 为：
U
4
0
R
2rdr
0
r 2 x 2
r 2 x 2 2 0
R 0
[ R2x2 x ] 2 0
Up
q q 2 dr 4 0 r 4 0 r
R 1 q 1 q E dl 0dr 2 dr r R 4 40 R 0 r
1
r
电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qdx) / (40 x)
O R r0 dx x r0+l x
整个线电荷在电场中具有电势能：
q W 4 0
r0 l r0
dx q r0 l ln r x 4 0 0
4. 一半径为 R 的均匀带电圆板, 其电荷面密度为
(>0), 今有一质量为m, 带电量为q的粒子
(q>0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动. 已知
设带电粒子击中圆板时的速度为v，根据能量守恒，可 求得v ：
1 2 1 2 2 2 R mv 0 q [ R b b] mv q 2 0 2 2 2 0
5 一半径为R的带电q的球体，其电荷体密度分布 qr 为
R 4
（r R）
p
求：球内，外各点的电势. 解:方法（1）
dW Udq
W U dq
1.试验电荷q沿半径为R的3/4 圆弧轨道由a点移到d点，电场 R +Q 力作功为________， d 0 q 从d点移到无穷远处，电场力 a
qQ 4 0 R 作功为______________ 。
Aad q(U a U d ) 0 Ad qUd
qQ 4 0 R
2. 一电偶极矩为 P 的电偶极子放在场强为 E的均匀 外电场中，P 与 E 的夹角为 ，在此电偶极子饶垂 直于 （P ， ）平面的轴沿 角增加的方向转过 E
1800 的过程中，电场力做功 A =_________________ 2PE cos
p
r r r q q l r 0
0
Er 0，
E
40 r
Pe
3
电偶极子中垂线上一点的场强。
r
l r r cos 2
r r r q q l
已知电偶极子的电势为
1 Pe cos U 2 40 r U 2 Pe cos Er r 40 r 3 U Pe sin E 3 r 40 r
当θ =π / 2 时
2
r
q
球内各点的电势
qr 2 q U Edr dr dr 4 2 4 0 R 4 0 r r r R
R
球内各点的电势
U Edr qr2 q dr dr 4 2 4 0 R 4 0 r r R
r R
U Edr
r
qr 2 E 4 0 R 4
dq 40 r
dq 40 r
（r R）
球外各点的电势
r
R o
r
U
dq 4 r
0 0
1
R
q 4 0 r
（r R)
方法（2）: U Edr 在球内取半径r的球面为高斯面，则 S qr4 R r R q 1 qr qr 4 2 2 o 4r E 4 4r dr 4 S 0 0 R 0R 0 2 qr 方向沿半径向外 E 4 （r R） 4 0 R 在球外取半径r的球面为高斯面，则 4r E 0 q （r R) 方向沿半径向外 E 2 4 0 r
（r R）
E
q 4 0 r
2
q 12 0 R q
4
r
3 R r
q 4 0 r
（r R)
R
r3 (4 3 ) 12 0 R R
（r R）
球外各点的电势
U Edr
r r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
（r R)
6： 解：
电偶极子在均匀电场中所受的力矩为：
P E
M PE
M PE sin
A Md
PEsind
3：如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷 q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷 线密度为λ，长度为l，细线左端离球心距离为 r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响， 试求细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势 为零)．
求电偶极子的电势分布及其
场强的分布。
p
Up Leabharlann Baidu
q 4 0 r
q 4 0 r
当 r》 l
时,可做如下近似：
l r r cos , 2
q
r r q l cos Up ( ) 2 2 2 40 r r 40 (r l cos 4) Pe cos 2 40 r 1
r
dq dV 4r2dr
视为许多半径不等的均匀带电球面,利用均匀带电 球面的电势公式及叠加原理,得:
均匀带电球面(r/)在 球内p(r)点的电势
r
o r
dq
R
U
r r du
r r du
dq 40 r
dq 40 r
dq 4 r
0 0
1
r
r
R
40 r
R
4r 2dr 4r 2dr 4 0 r 0 4 0 r r
1
r
qr 4r 2 dr r R 1 qr 2 R 4 U R 4 4r dr 4 0 r 4 0 r 0 r
球内各点的电势
dq dV 4r2dr
p r
r
o r
R
qr 4 4 4 0 r R 1
q
qr 3 0 3 0 R 4
r
3
R r
均匀带电球面(r/)在 球内p(r)点的电势
r (4 3 ) 12 0 R R
r r du
r r du
静电场力作功
电势与电势能的计算 1. 利用点电荷电势公式及电势叠加原理求电势.
dq dU 4 0 r 1
电势能
电势
U
dU
Q
2. 已知场强分布,由U a a
零势点
E dl 求电势.
3.电场力作功和电势能的计算 Aab q 0 (U a U b )
q R O
r0
l
解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx， 其上电荷为 d q d x 均匀带电球面场强分布
0 E= (r<R)
dx O R r0 x r0+l
x
1 4 0
q r2
(r>R)
均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布 当 r > R 时, U p r 当 r < R 时,
Up
q q 2 dr 4 0 r 4 0 r
R 1 q 1 q E dl 0dr 2 dr r R 4 40 R 0 r
1
r
均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布 当 r > R 时, U p r 当 r < R 时,
在距圆心o为b的位置时, 粒子的速度为v0, 求
粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性
始终不变).
q v0
o R b
x
解：均匀带电圆板在轴线(x轴)方向上任一点的电势 为：
U
4
0
R
2rdr
0
r 2 x 2
r 2 x 2 2 0
R 0
[ R2x2 x ] 2 0
Up
q q 2 dr 4 0 r 4 0 r
R 1 q 1 q E dl 0dr 2 dr r R 4 40 R 0 r
1
r
电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qdx) / (40 x)
O R r0 dx x r0+l x
整个线电荷在电场中具有电势能：
q W 4 0
r0 l r0
dx q r0 l ln r x 4 0 0
4. 一半径为 R 的均匀带电圆板, 其电荷面密度为
(>0), 今有一质量为m, 带电量为q的粒子
(q>0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动. 已知
设带电粒子击中圆板时的速度为v，根据能量守恒，可 求得v ：
1 2 1 2 2 2 R mv 0 q [ R b b] mv q 2 0 2 2 2 0
5 一半径为R的带电q的球体，其电荷体密度分布 qr 为
R 4
（r R）
p
求：球内，外各点的电势. 解:方法（1）
dW Udq
W U dq
1.试验电荷q沿半径为R的3/4 圆弧轨道由a点移到d点，电场 R +Q 力作功为________， d 0 q 从d点移到无穷远处，电场力 a
qQ 4 0 R 作功为______________ 。
Aad q(U a U d ) 0 Ad qUd
qQ 4 0 R
2. 一电偶极矩为 P 的电偶极子放在场强为 E的均匀 外电场中，P 与 E 的夹角为 ，在此电偶极子饶垂 直于 （P ， ）平面的轴沿 角增加的方向转过 E
1800 的过程中，电场力做功 A =_________________ 2PE cos
p
r r r q q l r 0
0
Er 0，
E
40 r
Pe
3
电偶极子中垂线上一点的场强。
r
l r r cos 2
r r r q q l
已知电偶极子的电势为
1 Pe cos U 2 40 r U 2 Pe cos Er r 40 r 3 U Pe sin E 3 r 40 r
当θ =π / 2 时
2
r
q
球内各点的电势
qr 2 q U Edr dr dr 4 2 4 0 R 4 0 r r r R
R
球内各点的电势
U Edr qr2 q dr dr 4 2 4 0 R 4 0 r r R
r R
U Edr
r
qr 2 E 4 0 R 4
dq 40 r
dq 40 r
（r R）
球外各点的电势
r
R o
r
U
dq 4 r
0 0
1
R
q 4 0 r
（r R)
方法（2）: U Edr 在球内取半径r的球面为高斯面，则 S qr4 R r R q 1 qr qr 4 2 2 o 4r E 4 4r dr 4 S 0 0 R 0R 0 2 qr 方向沿半径向外 E 4 （r R） 4 0 R 在球外取半径r的球面为高斯面，则 4r E 0 q （r R) 方向沿半径向外 E 2 4 0 r
（r R）
E
q 4 0 r
2
q 12 0 R q
4
r
3 R r
q 4 0 r
（r R)
R
r3 (4 3 ) 12 0 R R
（r R）
球外各点的电势
U Edr
r r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
（r R)
6： 解：
电偶极子在均匀电场中所受的力矩为：
P E
M PE
M PE sin
A Md
PEsind
3：如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷 q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷 线密度为λ，长度为l，细线左端离球心距离为 r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响， 试求细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势 为零)．
求电偶极子的电势分布及其
场强的分布。
p
Up Leabharlann Baidu
q 4 0 r
q 4 0 r
当 r》 l
时,可做如下近似：
l r r cos , 2
q
r r q l cos Up ( ) 2 2 2 40 r r 40 (r l cos 4) Pe cos 2 40 r 1
r
dq dV 4r2dr
视为许多半径不等的均匀带电球面,利用均匀带电 球面的电势公式及叠加原理,得:
均匀带电球面(r/)在 球内p(r)点的电势
r
o r
dq
R
U
r r du
r r du
dq 40 r
dq 40 r
dq 4 r
0 0
1
r
r
R
40 r
R
4r 2dr 4r 2dr 4 0 r 0 4 0 r r
1
r
qr 4r 2 dr r R 1 qr 2 R 4 U R 4 4r dr 4 0 r 4 0 r 0 r
球内各点的电势
dq dV 4r2dr
p r
r
o r
R
qr 4 4 4 0 r R 1
q
qr 3 0 3 0 R 4
r
3
R r
均匀带电球面(r/)在 球内p(r)点的电势
r (4 3 ) 12 0 R R
r r du
r r du