第二节初等函数00372
基本初等函数公式总结推荐文档
基本初等函数公式总结推荐文档在数学中，基本初等函数是指由已知的基本函数通过基本运算（如加、减、乘、除和函数复合）而产生的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
1.常数函数：常数函数是指函数的取值在一个集合上恒为常数。
常见的常数函数有零函数和单位函数。
零函数的公式为f(x)=0，单位函数的公式为f(x)=12.幂函数：幂函数是指以一个固定的实数为底，以自变量的不同次幂为指数的函数。
常见的幂函数包括平方函数和立方函数等。
平方函数的公式为f(x)=x^2，立方函数的公式为f(x)=x^33.指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，其中底数为常数且大于0且不等于1、常见的指数函数包括以e为底的自然指数函数和以10为底的常用对数函数。
自然指数函数的公式为 f(x)=e^x，常用对数函数的公式为 f(x)=log(x)。
4.对数函数：对数函数是指以对数为自变量的函数，其中底数为常数且大于0且不等于1、常见的对数函数包括自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数的公式为 f(x)=ln(x)，常用对数函数的公式为f(x)=log(x)。
5.三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，其中常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的公式为f(x)=sin(x)，余弦函数的公式为 f(x)=cos(x)，正切函数的公式为f(x)=tan(x)。
6.反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，其中常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
反正弦函数的公式为f(x)=asin(x)，反余弦函数的公式为 f(x)=acos(x)，反正切函数的公式为 f(x)=atan(x)。
总结起来，基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
掌握这些基本函数的公式和性质，能够帮助我们解决很多数学问题。
推荐的文档是《初等函数与普通函数》一书，该书详细介绍了基本初等函数的公式和性质，同时还包括了基本初等函数的图像和应用等内容。
基本初等函数知识总结
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性 质
底数互为倒数的两个指数
一 函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数 函数的图象关于x轴对称。
性
质 在 y轴的右边看图象,图象 二 越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象 越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常 数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数 性质
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是指在数学中常见且重要的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学中广泛应用于各种数学问题和实际应用中，对于学习和理解高等数学和物理等学科具有重要意义。
本文将对这些基本初等函数进行详细介绍。
首先，常数函数是最简单的一个函数，它的函数值始终保持不变。
常数函数的一般形式为f(x)=c，其中c是常数。
常数函数在数学中常用于表示等级和水平等不变的情况。
例如，常用的数学常数π就是一个常数函数，表示圆周长与直径之比。
其次，幂函数是一类形如f(x)=x^n的函数，其中x是变量，n是常数。
幂函数的特点是通过改变幂指数n的大小可以得到不同形状的函数图像。
比如当n为正偶数时，函数图像是一个开口朝上的平滑曲线；当n为正奇数时，函数图像是一个开口朝下的平滑曲线；当n为负数时，函数图像则是一个经过坐标轴原点的曲线。
指数函数是一类形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的特点是函数值随着自变量的增大而指数级增长或指数级衰减。
当a大于1时，函数图像是一个增长的指数曲线；当0小于a小于1时，函数图像是一个衰减的指数曲线。
对数函数是指数函数的反函数，它表示一些数在一个给定的底数下的指数。
对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1、对数函数和指数函数是一对互逆函数，它们的图像是关于y=x对称的。
三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的一般形式为f(x) = A*sin(Bx+C)，余弦函数的一般形式为f(x) = A*cos(Bx+C)，正切函数的一般形式为f(x) = A*tan(Bx+C)。
其中A、B、C是常数，分别表示振幅、频率和初相位。
三角函数的图像具有周期性和对称性，常用于描述波动和周期性现象。
反三角函数是三角函数的反函数，它表示一些角度在三角函数中的对应值。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。
对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。
三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。
第2讲 基本初等函数、函数与方程
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第二部分 专题七 函数与导数
7
[对点训练]
1．(2020·高考天津卷)设 a＝30.7，b＝13－0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大 小关系为( )
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
√D．c<a<b
解析：由题知 c＝log0.70.8<1，b＝(13)－0.8＝30.8，易知函数 y＝3x 在 R 上单调
(6，8]，…上的图象．再由 f(x)的图象关于 y 轴对称得到 f(x)在(－∞，0)上
的图象，从而得到 f(x)在其定义域内的图象，如图所示：
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第二部分 专题七 函数与导数
14
令 g(x)＝0，得 f(x)＝0 或 f(x)＝1，由图可知直线 y＝0 与 y＝1 和函数 y＝f(x) 的图象共有 6 个交点， 所以函数 g(x)共有 6 个零点．故选 C. 【答案】 (1)B (2)C
C．6
D．7
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第二部分 专题七 函数与导数
12
【解析】 (1)因为 a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b， 所以 f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0， 所以 f(－1)·f(0)<0，则由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1，0)上存在零 点．
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6
基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数 a 的值不 确定时，要注意分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论：当 a>1 时，两函数在定义 域内都为增函数；当 0<a<1 时，两函数在定义域内都为减函数． (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往 通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性 质与相关函数的性质之间的关系进行判断． (3)对于幂函数 y＝xα 的性质要注意 α>0 和 α<0 两种情况的不同．
高等数学初等函数ppt课件
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
函数基本初等函数
当$n=-1$时，幂函数为$y=x^{-1}$，表示反比例函数。
当$n=0.5$时，幂函数为$y=x^{0.5}$，表示一个半次函数。
应用场景
在数学领域，幂函数广泛应用于 代数、几何和微积分等领域。
在物理领域，幂函数可以描述一 些自然现象，如电磁波的传播、
热传导等。
在工程领域，幂函数可以用于建 模和预测一些实际问题的结果，
函数基本初等函数
目录
• 常数函数 • 指数函数 • 三角函数 • 对数函数 • 幂函数 • 反三角函数
01 常数函数
定义与性质
定义
常数函数是指函数表达式中不含 有自变量，因变量始终等于某个 常数的函数。
性质
常数函数具有水平渐近线，即当 自变量趋于无穷时，因变量始终 等于该常数。
举例
常数函数y=5
ห้องสมุดไป่ตู้
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数学
在数学中，三角函数用于证明定理、 解决方程和不等式等问题，以及与 其他数学领域进行交叉研究。
04 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是数学中的一种函数，它以 幂运算为基础，表示为 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其中 x > 0。
性质
对数函数具有反函数性质、运算性质 、换底公式等基本性质，这些性质在 数学和实际应用中具有重要意义。
在物理学中，对数函数被用于描述声 学、光学和热力学等领域的现象。
05 幂函数
定义与性质
定义
幂函数是形如$y=x^n$（$n$为实数）的函数，其中$x$是自 变量，$n$是实数指数。
性质
幂函数具有非负性、递增性、递减性、奇偶性等性质，具体 性质取决于指数$n$的取值。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点1.函数的定义与性质函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的运算关系。
函数可以通过一条或多条有序对来表示，其中每个有序对由自变量和对应的函数值组成。
常见的函数表示方法有显式函数、隐式函数和参数方程等。
函数的性质有定义域、值域、奇偶性、增减性等。
其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
奇偶性描述了函数图像的对称性，增减性描述了函数在定义域的变化趋势。
2.常见初等函数常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
-多项式函数是形如f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀的函数，其中aₙ,aₙ₋₁,...,a₁,a₀是常数，x是自变量，n是非负整数。
-指数函数是形如f(x)=aᵢx的函数，其中a是一个正常数，x是自变量。
- 对数函数是指数函数的逆运算，形如 f(x) = logₐx 的函数，其中a 是正常数，x 是自变量。
-三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
-双曲函数是以指数函数为基础构造的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。
3.函数的运算函数之间可以进行四则运算、函数的复合和逆函数的求解等运算。
-四则运算是指两个函数之间进行加减乘除的运算。
加法运算表示两个函数的对应值相加，减法运算表示两个函数的对应值相减，乘法运算表示两个函数的对应值相乘，除法运算表示两个函数的对应值相除。
-函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数可以通过符号f(g(x))表示，其中f和g是两个函数。
-逆函数是指将一个函数的自变量和函数值交换后得到的新函数。
逆函数可以通过符号f^(-1)(x)表示，其中f是一个函数。
4.函数的图像与性质函数的图像是函数关系在一些坐标系中的几何表现。
函数的图像可以用来研究函数的性质和变化趋势。
-函数的图像可以用点集、曲线或面积等形式来表示。
-函数的对称性可以通过图像来判断，如关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称等。
人教版《第二章 基本初等函数》PPT全文课件1
人 教 版 《 第 二章 基 本 初等 函数》 PPT名 师课件 1
四、幂函数、指数函数、对数函数的综合
2x , x ,1,
【典例 4】
设
f(x)=
log3
x 3
log3
x 9
,
x
1,
.
（1）求 f(log2 3 )的值； 2
4
人 教 版 《 第 二章 基 本 初等 函数》 PPT名 师课件 1
人 教 版 《 第 二章 基 本 初等 函数》 PPT名 师课件 1
规律方法 研究指数函数与对数函数及幂函数的综合问题，需灵
活利用换元法将复合函数分解为两个简单函数，进而将问 题转化为常见函数问题来处理。但要注意函数定义域的变 化。
规律方法 （1）比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法等。 （2）当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对 数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。 （3）比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各 部分内再利用函数性质比较大小。 （4）含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论。
题型探究 真题体验
题型探究·素养提升
一、指数、对数的运算
【典例1】 计算下列各题：
1
（1） 0.00814
+(
3
44
)2+
8
4 3
-16-0.75；
（2）(lg
5)2+lg
2·lg
50+
1
2
1 2
log 2
5
。
解：（1）原式=
0.34
高数课件1-2-初等函数
单调性是指函数在某点或某区间 上的增减性
单调性可以通过函数的导数来判 断
添加标题
添加标题添加标题添 Nhomakorabea标题单调性是初等函数的基本性质之 一
单调性在解决实际问题中具有重 要意义
周期函数的定义：对于任意x， f(x+T)=f(x)
周期函数的应用：在信号处理、 物理、工程等领域有广泛应用
添加标题
添加标题
旋转变换：将函 数图像绕原点旋 转一定角度
对称变换：将函 数图像沿x轴或y 轴翻转，形成对 称图形
轴对称：函数图像关于y轴对称 中心对称：函数图像关于原点对称 奇偶性：函数图像关于y轴对称，且关于原点对称 单调性：函数图像在某点处具有单调性，即函数值随自变量变化而变化
初等函数的图像是函数值的集合 图像的形状和位置由函数的解析式决定 图像的斜率表示函数的变化率 图像的拐点表示函数的极值点
微分性质：线性性、保号性、 可加性、可减性
微分定义：函数在某一点的 切线斜率
微分公式： d(f(x))=f'(x)dx
微分应用：求极限、求导数、 求积分、求极值等
求极限：通过导数可以求解函数的极限 求导数：通过微分可以求解函数的导数 求最大值和最小值：通过导数可以求解函数的最大值和最小值 求积分：通过微分可以求解函数的积分
极限的定义：函数在某点处的极限是指函数在该点附近的变化趋势
极限的性质：极限具有唯一性、局部性、保号性、有界性等性质
极限的存在性：函数在某点处的极限存在，当且仅当函数在该点附近的变化趋势趋于一个 确定的值
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用
连续性定义： 函数在某点处 连续，是指在 该点处有极限， 且极限值等于
初等函数(高等数学课件
正切函数 定义 性质
余切函数 定义 性质
函数的单调性及其判定方法
什么是单调函数？
如何判定单调性？
单调函数是保持增减关系的函数。
可以通过导数或一阶导数的符号 来判定函数的单调性。
单调递减函数
函数值随自变量递减的函数。
函数的周期性及其判定方法
1
周期性定义
函数在某个区间内与其在该区间外的部分完全相同。
性质
它们具有整数次幂、可加性和可乘性的特点。
指数函数和对数函数的定义
1
指数函数
指数函数是以自然常数e为底的幂函数。
对数函数
2
对数函数是指数函数的逆运算。
3
性质
它们具有特定的增长和衰减规律，应用 广泛。
三角函数的定义和性质
正弦函数 定义 性质
余弦函数 定义 性质
三角函数是描述角度和周期性现象的重要工具。
初等函数在实际问题中的应用
1 数学模型
利用初等函数构建数学模型，解决实际问题，如物体的抛体运动等。
2 经济学
初等函数在经济学中广泛应用，如收益函数、成本函数、供需曲线等。
3 物理学
初等函数用于描述物理现象，如波动、震动、电路等。
2
周期性的判定方法
可以通过函数的表达式或图像来判断函数是否具有周期性。
3
周期性的应用Biblioteka 周期函数常用于描述震动、波动和周期性运动等现象。
函数的图像和变换
平移
保持函数形状不变，改变函数 在坐标系中的位置。
伸缩
改变函数在坐标系中的纵坐标 或横坐标的范围。
翻折
改变函数的对称中心，使函数 关于坐标轴或直线对称。
初等函数(高等数学课件)
第二节初等函数-
正割函数 ysexc
ysexc
余割函数 ycsxc
ycsxc
5、反三角函数
反正弦 y函 ar数 cxsin
yarcsxin
反余弦y函 ar数 ccxos
yarcxcos
反正切y函 ar数 ctxan
yarctxan
反余切y 函 arc数 coxt
yarccoxt
练习题答案
一 、 1、 基 本 初 等 函 数 ； 2、 [e,e 3 ]；
3 、 y e ； x 2
4 、 y sin u , u ln v , v 2 x ；
5 、 [ - 1 , 1 ] , [ 2 k , 2 k ] , [ a ,1 a ],
[
a
,1
a] 0 a a1 2
1 2
.
1, x 0
三、
f [ g ( x )]
0,
x
0
；
1 , x 0
e, x 1
g[
f ( x )]
1,
x
1
.
1
,
x
1
e
0 x20 四 、 y 0.2x,2 0x50
1 00.3(x5)0x , 50
练习 题
1、幂函数，指数对函数数函，数，三角函数
反三角函数_统 __称 ___.___
2、函 f(x)的 数定[义 1， 3]， 域则 为 f(函 lx n ) 数 的定_义 __域 _._为 _____
3、由y函 eu， 数 ux2复合而成 __ 的 _._ 函 __ 数
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点在数学的世界里，基本初等函数就像是构建高楼大厦的基石，它们是我们解决各种数学问题的基础工具。
接下来，就让我们一起深入了解一下这些重要的基本初等函数。
首先，我们来认识一下常函数。
常函数的表达式为 f(x) ＝ C，其中C 是一个常数。
这意味着无论 x 取何值，函数的值都保持不变。
比如f(x) ＝ 5，无论 x 是 1、2 还是－100，函数值始终是 5。
常函数的图像就是一条平行于 x 轴的直线。
接下来是幂函数。
幂函数的一般形式是 f(x) ＝x^α ，其中α 是一个常数。
当α 为正整数时，幂函数的性质会有所不同。
比如，当α ＝ 1 时，f(x) ＝ x 就是我们最常见的一次函数，它的图像是一条过原点的直线。
当α ＝ 2 时，f(x) ＝ x²是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。
而当α 为负数时，情况又会有所变化。
指数函数也是基本初等函数中的重要一员，其表达式为 f(x) ＝ a^x ，（a ＞ 0 且a ≠ 1）。
指数函数的特点是当 a ＞ 1 时，函数值随着 x 的增大而迅速增大；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数值随着 x 的增大而迅速减小。
比如 f(x) ＝ 2^x ，当 x 从 0 增加到 1 时，函数值从 1 增加到 2；当 x 从1 增加到2 时，函数值从 2 增加到 4，增长速度越来越快。
指数函数的图像恒过点（0, 1)。
对数函数与指数函数密切相关，它是指数函数的反函数。
对数函数的一般形式是 f(x) ＝logₐ x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
当 a ＞ 1 时，对数函数在定义域上是单调递增的；当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数在定义域上是单调递减的。
例如，f(x) ＝ log₂ x ，当 x 从 1 增加到 2 时，函数值从 0 增加到 1；当 x 从 2 增加到 4 时，函数值从 1 增加到 2，增长速度逐渐变慢。
对数函数的图像恒过点（1, 0)。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。
当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。
当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。
当b等于0时，函数图像经过原点。
二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。
一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。
2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。
3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
-Δ/4a)。
当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。
-b/2a)上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。
-b/2a]上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。
三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。
2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。
四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。
2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。
正数的负分数指数幂没有意义。
非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。
对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。
初等函数概念
x2
x2 1
设u( x),v( x) 都是初等函数，则幂指函数
u( x)v( x)
也是初等函数.
u( x)v( x) ev( x)ln u( x)
x e sin x
sin xln x
1.4.1 三角函数的基本不等式
结论 1.4.1 当 x (0, ) 时,有
2
sin x x tan x ．
5-20
1.4.3 三角函数和反三角函数有关等式
结论 1.4.4
结论 1.4.5 结论 1.4.6
sin sin 2sin cos ，
2
2
cos cos 2sin sin ．
2
2
arcsin x arccos x , 1 x 1．
2
arctan x arccot x , x ．
2
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5-21
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5-19
1.4.2 均值不等式
结论 1.4.3 对任意 n 个正数 a1, a2 , , an ，有
n
a1a2 . . .an
a1
a2
... an n
，
其中
a1
a2 an
分别称为 a1, a2 ,
算术平均值和几何平均值．
, an 的
证明从略。
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它们均为有界函数.
2.初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算和有限 次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函 数，称为初等函数.例如
f (x) x , 1 x2
sin2 1
g( x) 2 x (1 x) log2(1 x),
( x) ex2 sin 1 2arctan x2 1 1
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cos1
y e x 是由
y eu , u cos v, v x1
复合而成的。
思考题
下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]?
y f (u) ln u, u g( x) sin x 1
思考题解答 不能．
g( x) sin x 1 0
g( x)的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
例如y=arcsinu, u 2 x2 y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cos x , 2
yபைடு நூலகம்
u,
u cos v,
v
x. 2
cos1
例 分别指出函数 y sin 5x, y e x
是由哪些简单函数复合而成的。
解 y=sin5x是由y=sinu,u=5x 复合而成的；
y arctanx
反余切函数 y arc cot x
y arc cot x
y arc cot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.（简称：指、 三、幂、对、反。）
返回
二.初等函数(elementary function)
1 复合函数：设y是u的函数y=f(u),u是x的函数
y tan x
余切(cotangent)函数 y cot x y cot x
5.反三角(inverse trigonometric)函数
反正弦(arc sine)函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
2.指数函数(exponential function)
y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
y=ax过（0，1）点，当a＞1时单增，当0<a＜ 1时单减。
3.对数函数(logarithmic function)
y loga x (a 0,a 1) y ln x
返回
(1,0)
y log a x
•
(a 1)
y log 1 x
a
对数函数都过（1，0）点，当底数大于1时 单增，底数小于1时单减。
4.三角函数(circular function)
正弦(sine)函数 y sin x
余弦(cosine)函数 y cos x
正切(tangent)函数y tan x
u= (x).如果u= (x)的值域或其部分包含在
y=f(u)的定义域中，则y通过中间变量u构成x 的函数，称为x的复合函数，记作
y f x
2 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限 次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.
注意 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
第二节 初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 初等函数 三、小结
一、基本初等函数及 其图象
1.幂函数(power function)
y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
y=x2,y=x,y=x1/2的图象过（0，0）和（1，1）， 且在（0，+∞）上单调增加。y=x（-1）过（1，1） 点，在（0，+∞）上单调减少。