讲分数与循环小数
第8讲 分数与循环小数—完整版
第8讲 分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1．把下列分数化为小数：（1）34，138，1325； （2）29，311，433；（2）56，522，790； （4）27，313，437；答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) .0.2 ，0.27,0.12(3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.1082．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255.答案：(1)23100，479100(2) 325，512003．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1∙，0.4∙；(2)0.01∙∙，0.35∙∙； (3)0.08∙，0.38∙.答案：(1)19,49(2)199,3599(3)445，7184．把下列循环小数转化为分数：0.7∙，0.12∙∙，0.123∙∙，0.123∙∙答案：79，433，41333，614955.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++（4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。
答案：(1)23 (2)1 (3)213(4)107300 (5)39110解析：（1）123620.10.20.399993++=++==。
（2）23490.20.30.419999++=++==。
（3）3571520.30.50.7199993++=++==。
（4）112112312321390.10.120.123990900900110--++=++==；（5）12123351390.120.239099990110-+=+==。
6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。
循环小数和分数的互化-教师版
循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。
第8讲分数与循环小数—完整版
第8 讲分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1．把下列分数化为小数：3，13 132，3，4；（1），；（2）48 2591133（2）5，5，7；（4）2，3，4；622 9071337答案：（l）0.75, 1.625, 0.52(2)0.2，0.27 , 0.12(3)0.83，0.227 ,0.07(4)0.285714 , 0.230769 ，0.1082．把下列小数化成分数：(1)0.23 ，0.479; (2)0.12 ，0.255.答案：(1) 23，479(2) 3，51100 100 25 2003．把下列循环小数转化为分数：(1) 0.1，0.4 ；(2) 0.01 ，0.35 ；(3) 0.08，0.38 .答案：(1) 1, 4(2) 1, 35(3)9 9 99 99答案：7，4，41，619 33 333 4954，745 184．把下列循环小数转化为分数：0.7 ，0.12 ，0.123 ，0.1235.计算：（1）0.1 0.2 0.3 ；（2）0.2 0.3 0.4 ；3) 0.3 0.5 0.74)0.1 0.12 0.123 ；(5) 0.12 0.23 。
答案：(1) 2(2)1 (3) 12(4) 107(5)3 3 30039 1100.1 0.2 0.3 1 2 3 6 2999936.计算： 0.12345 0.23451 0.34512 0.45123 0.51234 。
答案：123解析：把每个数化成分数，分母都是 99999，所以计算会很方便．0.12345 0.23451 0.34512 0.45123 0.51234 12345 23451 34512 45123 5123499999 99999 99999 99999 99999 11111 1 2 3 4 59999915 9 12 37.计算下列各式，并用小数表示计算结果： （1）1.86 0.351 ；（2） 0.38 0.518 。
第8讲。分数与循环小数—完整版
第8讲。
分数与循环小数—完整版第8讲分数与循环小数本节课程的目标是掌握分数与小数的互相转化方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用。
同时，我们还要学会通过分数的形式判断相应的小数类型，并注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1.把下列分数化为小数：1) $\frac{31}{41}$，$\frac{32}{19}$，$\frac{13}{25}$；2) $\frac{1}{5}$，$\frac{3}{11}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{5}{43}$。
答案：(1) 0.7561，1.6842，0.52；(2) 0.2，0.2727，0.12，0.1163.2.把下列小数化成分数：1) 0.23，0.479；2) 0.12，0.255.答案：(1) $\frac{23}{100}$，$\frac{479}{1000}$；(2) $\frac{3}{25}$，$\frac{51}{200}$。
3.把下列循环小数转化为分数：1) 0.1，0.4；2) 0.01，0.35；3) 0.08，0.38.答案：(1) $\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{1}{99}$，$\frac{7}{20}$；(3) $\frac{2}{25}$，$\frac{19}{50}$。
4.把下列循环小数转化为分数：0.7，0.12，0.123，0.123.答案：$\frac{7}{10}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{41}{333}$。
5.计算：1) 0.1 + 0.2 + 0.3；2) 0.2 + 0.3 + 0.4；3) 0.3 + 0.5 + 0.7；4) 0.1 + 0.12 + 0.123；5) 0.12 + 0.23.答案：(1) 0.6；(2) 1；(3) 1/2；(4) 0.39；(5) 0.35.解析：(1) $0.1 + 0.2 + 0.3 = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$；2) $0.2 + 0.3 + 0.4 = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} +\frac{4}{10} = \frac{9}{10} = 1$；3) $0.3 + 0.5 + 0.7 = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} +\frac{7}{10} = \frac{15}{10} = \frac{1}{2}$；4) $0.1 + 0.12 + 0.123 = \frac{1}{10} + \frac{12}{100} + \frac{123}{1000} = \frac{321}{825}$；5) $0.12 + 0.23 = \frac{12}{100} + \frac{23}{100} =\frac{35}{100} = 0.35$。
第二讲-循环小数化分数
第二讲 循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
典型题解一、循环小数化成分数1．纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化成分数呢？看下面例题。
例1，把纯循环小数化分数：(1)0.6& (2)3.102&&10.610 6.6666 0.6=0.6666 0.69 6 620.6=93⨯=⨯==&&&&解：（）两式相减得所以 23.1020.102 0.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.102999102102340.102999333102 3.1023999⨯==⨯=====&&&&&&&&&&&&&&解：（）先看小数部分……?…两式相减得所以343333从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
1、 混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2，把混循环小数化分数10.215 2 6.353&&&（）（）10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152215-2213710.215=990990330⨯⨯⨯-==&&&&&&&&解：（）…………两式相减得20.353 0.3531000=353.333 0.353100=35.3330.353900=35335353-35318530.353=900900150353-353186.353=66900⨯⨯⨯-===&&&&&&解：（）先看小数部分…………两式相减得 所以 536900150=由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
小学奥数讲义5年级-1-循环小数与分数-难版
在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
1.17的“秘密” 10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…, 60.8571427∙∙= 2.推导以下算式 ⑴10.19=；1240.129933==； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==； 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论知识梳理0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，……【例1】★把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.10210.610 6.66660.6=0.66660.69 662 0.6=93⨯=⨯==解：（）两式相减得所以 23.1020.1020.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分…… ?…两式相减得所以343333【例2】★计算下面各题：12.45+3.13 22.6091.32(3)4.3 2.4 (4)1.240.3⨯÷（）（）-【解析】先把循环小数化成分数后计算。
循环小数与分数的转化教案
循环小数与分数的转化教案一、教学目标1、了解循环小数和分数的概念。
2、掌握将循环小数转化成分数的方法。
3、掌握将分数转化成循环小数的方法。
4、能够熟练地应用所学知识，解决实际问题。
二、教学重点1、掌握将循环小数转化成分数的方法。
2、了解将分数转化成循环小数的方法。
三、教学难点1、如何将分数转化成循环小数。
2、如何通过循环小数判断其对应的分数为何。
四、教学方法1、讲授法：通过讲解理论知识来使学生初步了解循环小数和分数的概念，并介绍相应的转化方法。
2、举例法：选取相关的例子，进行实际操作，使学生更深刻的理解循环小数和分数的转化方法。
五、教学内容1、循环小数和分数的概念循环小数是指小数部分无限重复循环的数，例如，0.6666…，0.2857142857…等。
可以表示为a.bbb…（循环的小数部分）。
分数是指一个数可以表达为两个整数的比值的数，其中分母不等于零，例如，1/2，3/4等。
2、将循环小数转化成分数的方法步骤一：设循环数为x。
步骤二：将x乘以10的n次方，n为循环节长度。
步骤三：将x乘以10的n次方减去x，记作y。
步骤四：设分数为a/b（最简分数）。
步骤五：根据步骤三的y，列式子a/b=y/10的n次方-1。
步骤六：将步骤五中的a/b化简得到分数的形式。
例如，将循环数0.666…转化成分数。
步骤一：设循环数为x=0.666…步骤二：x*10=6.666…步骤三：y=6.666...-0.666 (6)步骤四：分数为a/b（最简分数）。
步骤五：6/10的1次方-1=6/9步骤六：将6/9化简得到分数2/3。
所以，0.666…=2/3。
3、将分数转化成循环小数的方法步骤一：设分数为a/b（最简分数）。
步骤二：将a/b约分，保证分母为2的整数次幂或5的整数次幂。
步骤三：对分子b用除数法，求出其商和余数。
步骤四：将商写小数点右侧，余数乘以10，作为下一次的被除数。
步骤五：根据步骤三的余数，进行第四步和第五步，直到余数为0或者循环节出现。
分数与循环小数
分数与循环小数分数与循环小数知识要点：1、循环小数的概念及分类：（1）循环节：一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节。
（2）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。
（3）混循环小数：不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数。
2、循环小数化成分数的方法：（重点）（1）纯循环小数化成分数：分子是由循环节所组成的多位数；分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数。
（所得分数能约分的要约分）（2）混循环小数化成分数：分子是由从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数与小数点后不循环部分所组成的多位数的差。
分母是由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数。
（所得分数能约分的要约分）典型例题：例1：将下列循环小数转化成分数。
. . . . . . .（1）、0.54 (2)、0.0143 （3）、1.72 (4)、0.56分析及解：直接运用循环小数化成分数的方法即可。
（注意纯、混循环小数化法的不同）（1）、化成分数为：54/99=6/11。
（2）、化成分数为：（143-1）/990=71/495。
（3）、化成分数为：1又72/99=1又8/11。
（4）、化成分数为：（56-5）/90=51/90=17/30。
指导建议：各位家长可随意出，让孩子将循环小数化成分数，数较小的要让孩子写出最简分数，数较大的可以不进行约分。
主要是让孩子掌握化成分数的方法。
例2、循环小数加法计算：家长可仿照书上例题即可：重点是例4中的（3）、（4）小题。
（3）小题中要让孩子说出为什么是1点6，6的循环。
（4）小题中在计算时可以多写几位，然后再计算。
例3、循环小数乘、除法。
指导建议：这部分的练习，重点是让孩子将循环小数化成分数，再进行计算。
因此，孩子应重点加强分数计算的训练，尤其是约分。
没有别的好办法，只能加强练习。
第7讲 循环小数与分数
（4） 1 6
例题1
将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第 96 位上的数字．
（1） 1 7
（2） 1 13
（3） 1 14
（1） 1 ＝0.1˙42857˙，96÷6＝16（组），是 7． 7
（2） 1 ＝0.0˙76923˙，96÷6＝16（组），是 3． 13
（3） 1 ＝0.07˙14285˙，(96－1)÷6＝15（组）……5，是 8． 14
405 ÷999=
知识要点：
纯循环小数化分数：分子是一 个循环节所表示的数，分母的 各个数位数字全是9，9的个数 等于一个循环节中数字的个数。
知识要点：
把
化成分数
10A=2.373737… 1000A=237.373737… 1000A-10A=990A
235 ÷990= =
知识要点：
把
化成分数
111=123-12
235=237-2 1026=1027-1
一个9
二个9
三个9
知识要点：
知识要点：
循环小数与分数
循环小数 从小数部分的某一位起，一个数字或几 个数字，依次不断地重复出现的小数．
循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断 重复出现的一个或几个数字．
纯循环小数 从小数点后第一位起，一个数字或几个数 字依次不断重复出现的小数，例如 90
×6÷2＝ 38 ×1＝ 2 8 ．
15
15
练习4
计算：0.3˙5 ＋0.4˙6 ＋0.5˙7 ＋0.6˙8 ＋0.7˙9
选讲题
※ 已知 4 ＝0.˙5 7142˙8 ，问：最少从小数点右面第______位开始，到第______位为止 7
的数字之和等于 2008．
《循环小数与分数》课件
循环小数在数学运算中也有着重要的 应用，如加减乘除等运算，可以通过 循环小数的特性简化计算过程。
在科学中的应用
物理学的应用
在物理学中，许多物理量如速度 、密度等都可能以循环小数的形 式表示，循环小数的特性在这些 物理量的计算和解释中有着重要
的应用。
工程学的应用
在工程学中，许多测量数据如长 度、时间等都可能存在微小的误 差，循环小数可以用来表示这些 测量数据，帮助工程师更好地理
解和处理误差。
化学的应用
在化学中，循环小数可以用来表 示化学反应的速率、化学计量的 比例等，帮助化学家更好地理解
和控制化学反应。
在日常生活中的应用
金融与经济的应用
在金融和经济领域，循环小数可以用 来表示利率、汇率等经济数据，帮助 人们更好地理解和处理经济信息。
科学计量的应用
在科学计量中，许多测量数据都可能 以循环小数的形式表示，如温度、湿 度等，循环小数可以帮助人们更好地 理解和比较这些测量数据。
《循环小数与分数》ppt课件
目录
• 循环小数的定义与性质 • 循环小数与分数的关系 • 循环小数的应用 • 循环小数的扩展知识 • 练习与思考
01
循环小数的定义与性质
Chapter
循环小数的定义
01
循环小数是一种小数，在小数点 后某一位开始，有一段数字不断 重复出现。
02
例如：0.3333...，其中“3”是重 复出现的数字。
0.5454... = 19/41
练习题
0.090909... = 1/11 练习2：将下列分数表示为循环小数形式。
2/7 = 0.285714... (以285714循环)
练习题
5/13 = 0.384615... (以384615循环) 7/9 = 0.777777... (以7循环)
第8讲 循环小数与分数
例题6
将 0.32˙1˙ 乘以一个数时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了 0.0˙3˙ ， 正确结果应该是多少？ 【答案】
0.32˙1˙－0.32 1˙＝0.0001˙0˙ 0.03÷0.0001˙ 0˙ ≈300 则 3.2˙1˙ ×300≈964
选讲题
※ 我们把由数字 0 和 7 组成的小数叫“特殊数”，例如 7.0˙7˙ 、77.007 都是特殊数，
（2）0.1˙ 23˙
（3）0.1˙ 89˙
（2）0.1˙23˙＝ 123 ＝ 41 （3）0.1˙89˙＝ 21 ＝ 7
999 333
111 37
（5）5.1˙ 48˙
（6）1.23˙ 4˙
（5）5.1˙48˙＝5＋ 4 ＝5 4 （3）1.23˙4˙＝＝5 22
27 27
165
例题4
计算并且用小数表示结果。
（4） 44 ＝4.8˙，小数点后第 96 位上的数字是 8。 9
练习2
将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第 100 位上的数字。
（1） 6
【答案】7
（2） 5
13
（3） 3
14
（4） 22 3
由题意可得：
（1）6 ＝0.8˙57142˙，100÷6＝16（组）……4，小数点后第 100 位上的数字是 1。 7
不是从小数点后第一位起，一个数字或几个数字 依次不断重复出现的小数。
小热身
1． 将下列分数化为循环小数。
（1） 2 【答案】 3
（2） 5
9
2 ＝0.6˙；
5 ＝0.5˙；
3
9
2．将下面的数分解质因数。
（1）99
（2）999
（3） 2
分数与循环小数
分数与循环小数分数与循环小数知识要点：1、循环小数的概念及分类：（1）循环节：一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节。
（2）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。
（3）混循环小数：不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数。
2、循环小数化成分数的方法：（重点）（1）纯循环小数化成分数：分子是由循环节所组成的多位数；分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数。
（所得分数能约分的要约分）（2）混循环小数化成分数：分子是由从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数与小数点后不循环部分所组成的多位数的差。
分母是由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数。
（所得分数能约分的要约分）典型例题：例1：将下列循环小数转化成分数。
. . . . . . .（1）、0. 54 (2)、0.0143 （3）、1.72 (4)、0.56分析及解：直接运用循环小数化成分数的方法即可。
（注意纯、混循环小数化法的不同）（1）、化成分数为：54/99=6/11。
（2）、化成分数为：（143-1）/990=71/495。
（3）、化成分数为：1又72/99=1又8/11。
（4）、化成分数为：（56-5）/90=51/90=17/30。
指导建议：各位家长可随意出，让孩子将循环小数化成分数，数较小的要让孩子写出最简分数，数较大的可以不进行约分。
主要是让孩子掌握化成分数的方法。
例2、循环小数加法计算：家长可仿照书上例题即可：重点是例4中的（3）、（4）小题。
（3）小题中要让孩子说出为什么是1点6，6的循环。
（4）小题中在计算时可以多写几位，然后再计算。
例3、循环小数乘、除法。
指导建议：这部分的练习，重点是让孩子将循环小数化成分数，再进行计算。
因此，孩子应重点加强分数计算的训练，尤其是约分。
没有别的好办法，只能加强练习。
分数与循环小数_学生篇
分数与循环小数_学生篇配套有分数与循环小数_作业分数与循环小数_练习分数与循环小数_提高分数与循环小数_拓展本篇主要了解相关知识点，提供高质量例题讲解。
一、知识点小数分类有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数以上除了无限不循环小数不能化为分数外，其他小数都可以化成分数。
无限不循环小数无限不循环小数(英文名:infinite non-repeating decimals )就是小数点后有无数位,但和无限循环小数不同,它没有周期性的重复,换句话说就是没有规律,所以数学上又称无限不循环小数叫做无理数(如圆周率π,它就是一个无理数，π 读 pài)。
特点：无限不循环小数是不能转化成分数的。
无限循环小数与分数从小数点后某一位开始，一个或多个十进制数字不断重复出现的小数，叫做无限循环小数, 数学上也称为有理数。
譬如 。
既然是有理数(rational number)，就是可以化成分数的数。
特点：(1) 无限循环小数可以转化为分数; (2) 带小数点，且小数位数无限； (3) 重复出现一个或多个数字。
所谓循环节，指的是循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的一段数字。
上面三个例子中的循环节分别为 。
循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，如 ; 不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，如 由于循环小数的小数部分位数是无限的，显然不可能像有限小数那样写成十分之几、百分之几、千分之几、……的数。
循环小数化为分数，其难点在无限的小数位数，所以从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。
3.141414...,1.333...,0.142857142857...14,3,1428570.,0.3˙0˙9˙1.0,3.753˙3˙策略：用扩倍法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……，使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了！1. 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：分母 就是由若干个9组成的数，且9的个数恰好等于纯循环小数的单个循环节的位数；分子 是纯循环小数中一个循环节组成的数。
五年级上奥数第16讲 分数与循环小数
五秋第16讲 分数与循环小数一、教学目标1．分数化为小数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
基本方法：分子除以分母。
2．循环小数化为分数（1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。
（2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。
二、例题精选【例1】 （1）把下列分数化为小数： ______254=； ______91= ；______71= （2）把下列小数化为分数：0.2=________; 0.25=_______; 0.125=_________【巩固1】把下列分数化为小数：______2017=； ______322= ；_______73= 【例2】 把下列纯循环小数转化为分数：_____4.0=•;_____42.0=••;_____581.0=••【巩固2】把下列纯循环小数化为分数：_____3.0=•;_____45.0=••;_____603.0=••【例3】 把下列混循环小数化为分数：_____65.0=•;_____13536.0=••;【巩固3】把下列混循环小数化为分数：_____540.0=•;_____156.0=••;【例4】 把7a 化为小数后，小数点后第2013位上的数字是1，那么a 是多少？【巩固4】把72化为循环小数后，小数点后第2018位上的数字是几？前2018位的数字之和是多少？【例5】 把分数7a 化成分数后，在小数点后前1994个数位上的数字和为8972，求a 为多少？【例6】 *设a 为一个自然数，A 是1至9的一个数字，若111a =••950A .,则a=四、回家作业【作业1】把下列各分数化为循环小数。
分数化循环小数的规律
分数化循环小数的规律1. 嘿，同学们！你们有没有想过分数是怎么变成循环小数的呢？这可有意思啦！就像一个神奇的魔法变身过程哦。
比如说，咱们来看分数1/3 吧，当你用除法去算它的时候，你会发现它变成了0.333...，一直循环下去，就像一个不停奔跑的小火车，永远不停歇。
有一次，我和同桌一起研究这个，我就问他：“你说这是不是很神奇呀？为啥它就一直循环呢？”同桌挠挠头说：“是啊，真奇怪呢。
”你是不是也觉得很奇妙呢？2. 咱再看看其他的分数哦。
像1/7 ，它变成循环小数是0.142857142857...，这一串数字就像一个有规律的密码一样，不断地重复出现。
我记得有一次在课堂上，老师问我们：“同学们，你们能发现这里面的规律吗？”大家都睁大眼睛看着黑板上的数字，纷纷思考起来。
你有没有试着去寻找这些循环节的规律呢？3. 你们知道吗？分数化循环小数是有一些小窍门的哦。
比如说，如果分母只含有质因数2 和5 ，那它就能化成有限小数，就像一条平坦的大路，一下子就走到头了。
可要是分母含有其他质因数，那就可能会变成循环小数啦，就像走进了一个神秘的循环世界。
有个同学就问老师：“那怎么才能快速判断呢？”老师笑着说：“多做几道题，你就会有感觉啦。
”你明白这个小窍门了吗？4. 我们来看看一个具体的例子吧，比如说5/6 。
当我们计算它的时候，会得到0.8333...，这里的循环节就是 3 。
这就好像一个小音符，在数字的旋律中不断重复。
我和小伙伴们一起讨论的时候，有人就说：“这个 3 就像一个调皮的小精灵，老是跳出来。
”大家都笑了。
你觉得这个比喻形象吗？5. 分数化循环小数的规律还和分子有关系哦。
虽然分子不直接决定是否循环，但是它会影响循环节的具体数字呢。
比如说2/3 和1/3 ，它们的分母一样，但是分子不同，循环节也有点不一样哦。
就像不同的种子种在同一片土地上，会长出不同的果实一样。
你有没有注意到这种情况呢？6. 有时候，我们可以通过一些简单的计算来找出循环节哦。
小学数学思维方法——循环小数与分数
循环小数与分数【知识要点】一、最简分数化为小数的三个结论：1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
二、解题技巧在学习这部分内容时，必须要掌握纯循环小数和混循环小数化成分数的方法(如例2、例3)，而且还要特别细心，不要轻视和马虎。
要根据实际情况，采取灵活有效的方法。
【典型例题】例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5 324213125023781001173850分析：上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
解 :532能化成五位有限小数；31250能化成三位有限小数；421，100117能化成纯循环小数；2378能化成混循环小数，且不循环部分有一位；3850能化成混循环小数，且不循环部分有两位。
例2 将下列纯循环小数化成最简分数。
(1)0.8 (2)0.415分析:(1)纯循环小数循环节是1位，可将循环小数乘以10，再减去此循环小数，可化为分数。
(2)纯循环小数的循环节是3位的，可将循环小数乘以1000倍，再减去此循环小数，可化为分数。
解 : (1) 0.8×10＝8.8①0.8＝0.8②①－②得0.8×(10－1)＝80.8×9＝80.8＝8 9(2) 0.415×1000＝415.415①0.415＝0.415②①－②得0.415×(1000－1)＝4150.415＝415 999从以上两个例子可以总结出将纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
分数与无限循环小数的关系
分数与无限循环小数的关系
哎呀呀，同学们，你们有没有想过分数和无限循环小数之间的关系呀？这可太有趣啦！
就比如说，咱们学数学的时候，分数好像是个规规矩矩的“乖孩子”，而无限循环小数呢，就像是个有点调皮、总在不停跑圈的“小精灵”。
有一次，在数学课上，老师给我们出了一道题，让我们把三分之一化成小数。
我拿起笔，刷刷刷地算起来，结果发现它居然是0.3333…… 这可把我惊到啦！我就想，这分数怎么就变成了个没完没了的小数呢？
我扭头问同桌：“你说这分数咋就跟无限循环小数有关系啦？”同桌挠挠头说：“我也不太清楚，可能它们背后有啥神秘的魔法吧！”
后来老师给我们解释，就好像把一块蛋糕平均分成三份，咱们每次只能取其中一份，永远也取不完，可不就成了无限循环嘛！
再想想，五分之四如果化成小数，就是0.8，这多简单，一下子就结束了。
可像七分之一，变成小数就是0.142857142857……一直循环下去，就像个停不下来的小火车。
咱们平常做数学题，不就是在这分数和无限循环小数之间来回穿梭嘛！有时候，把分数变成无限循环小数能让咱们更好地理解问题；有时候呢，把无限循环小数变回分数，又能让计算变得简单。
这就好比咱们玩游戏，分数是一个关卡，无限循环小数是另一个关卡，只有搞清楚它们之间的关系，才能顺利通关呀！
所以说，分数和无限循环小数的关系可太重要啦，咱们可得好好研究，这样数学的世界才能被咱们轻松玩转！。
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第5讲分数与循环小数
内容概述
掌握分数与小数互相转化酌方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数酌形式判断相应酌小数类型；注意利用圄期性分析循环小数的小数部分．
典型问题
兴趣篇
3
5
6
7
8
9 1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正
102000．a应该是多少？
拓展篇
1
2
3．(1)
6
7
8
9n位数之和为9006，a与n 分别为多少？
10
11．2008位数字的和是多少？(2)2008位数字的和是多少？
12a
超越篇
1
2
3．划去0.5738367981的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数．这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？
4．给小数0.2138045976添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，要使得这个循环小数的小数点后第100位数字是7，应该怎么添加？
5．有两个循环小数a和b，a的循环节有3位，b的循环节有6位．这两个数之和的循环节最多有多少位？最少有多少位？
6．只用数字1
．这些小数的总和是多少？
72，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分
为2位，循环带为3位，那么这个分数最大是多少？
8．我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”77.007都是“特殊数”，如果我们将l写成若干个“特殊数”。