高二数学上学期开学考试(9月)试题 文
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线tan120x =︒的倾斜角是（ ） A ．60° B ．90°C ．120°D ．不存在【答案】B【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为直线tan120x =︒= 所以直线的倾斜角是90°， 故选：B2．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为11cos ,,,[0,]2||||2a b a b a b a b π⋅<>===<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】因为12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，211322a b c =-++，所以23x =-，12y =，12z =.故选：B.4．下列条件使M 与A ､B ､C 一定共面的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-+ B ．0OM OA OB OC +++= C ．121532OM OA OB OC =++D ．0MA MB MC ++=【答案】D【分析】利用共面向量定理判断.【详解】A 选项：MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-，30OA OB OC OM =++-≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；B 选项：由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，系数和不为1， ∴M ，A ，B ，C 四点不共面；C 选项：1211532++≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；D 选项：0MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-=， 即()13OM OA OB OC =++， 所以能使M 与A ､B ､C 一定共面.故选：D.5．直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①若l 1∥l 2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，判断命题②正确；③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，判断命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，判断命题④正确即可得到答案.【详解】解：直线l 1与l 2为两条不重合的直线：①若l 1∥l 2，当斜率存在时，则斜率k 1=k 2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与x 轴，所以命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，所以命题②正确； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，所以命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.6．经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．260x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=【答案】C【分析】由于所求直线与直线250x y +-=垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】因为直线250x y +-=的斜率为2-， 所以与直线250x y +-=垂直的直线的斜率为12，因为所求直线经过点()3,0B ，所以所求直线方程为1(3)2y x =-，即230x y --=，故选：C7．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C8．下列说法正确的是（ ）A ．斜率和倾斜角具有一一对应的关系B ．直线的截距式方程适合于不过原点的所有直线C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D ．()()()()121121y y x x x x y y --=--表示经过()11,P x y ，()22,Q x y 的直线方程 【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的定义，以及两点式和截距式的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，倾斜角为90时，没有对应斜率，故A 错误；对于B ，直线的截距式方程适合于不过原点，不垂直于x 轴，不垂直于y 轴的所有直线，故B 错误； 对于C ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线，还包括y x =这条直线，故C 错误； 对于D ，根据两点式的定义，选项D 明显正确； 故选：D9．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为A ．2B ．12C D ．【答案】A【分析】将点带入直线可得212a b+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解． 【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当4b aa b=，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选 A 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．10．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++，{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+，根据空间向量基本定理建立关于,,x y z 的方程，解之即可得解.【详解】解：设()()p x a b y a b zc =++-+()()23c a b y a x c x y b z =++-+=++，所以123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论不正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】C【分析】对于A ，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；对于B ，根据三棱锥的体积公式，证明底面11AC D 上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D ，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A ，连接11B D ，记1111AC B D E =，如下图：在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理可得：11DC BD ⊥，1111AC DC C ⋂=，111,A C DC ⊂平面11AC D ，1BD ∴⊥平面11AC D ，故A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CB DA ，1DA ⊂平面11AC D ，1CB ⊄平面11AC D ，1//CB ∴平面11AC D ，则1P CB ∀∈，P 到平面11AC D 的距离相同，即三棱锥11P AC D -中底面11AC D 上的高为一个定值，故B 正确； 对于C ，连接1AB ，AC ，AP ，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1ACB 为等边三角形，则1π3APC AB C ∠≥∠=， 11//DA CB ，APC ∴∠为异面直线1DA 与AP 所成角或者补角，则异面直线1DA 与AP 所成角的取值范围ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：设该正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，设()1,01CP CB λλ=≤≤，且(),,P x y z ，则()12,0,2CB =，(),2,CP x y z =-，即2202x y z λλλ=⎧⎪-=⋅⎨⎪=⎩，可得()2,2,2P λλ，则()12,0,22C P λλ=-，由A 可知1BD ⊥平面11AC D ，则平面11AC D 的一个法向量为()12,2,2BD =--， 设直线CP 与平面11AC D 所成角为θ，则12221404444sin 88412432211143222BD CP BD CPλλθλλλλλ⋅-++-====⋅-+⋅⋅-+⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭， 由[]0,1λ∈，则当12λ=时，sin θ取得最大值为63，故D 正确. 故选：C.12．如图，在三棱锥-P ABC 中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且15AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A 2B 3C ．25D 5【答案】D【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，6BC =，则3BD CD ==，224AD AB BD ∴=-=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，PDAD D =，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD 为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA == 则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,23P ， 由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,2,236,0,036,2,23BM mBP nBC m n m n m m =+=--+-=---， 其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2,23336,42,23AM AB BM m n m m m n m m =+=+---=---， 因为15AM =()()222336421215m n m m --+-+=， 所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+， 故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤， 故33633m n -+-363m n +-3 所以，()6336635cos cos ,615615AM BC m n AM BC AM BCα⋅--=<>==≤=⋅. 故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、填空题13．若()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则与a b +反方向的单位向量是______．【答案】0,⎛ ⎝⎭【分析】由与a b +反方向的单位向量为||a ba b +-+代入可得结果. 【详解】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-∴(0,1,2)a b +=，2||01a b +=+=∴a b +反方向的单位向量为(0,1,2)(0,||a b a b +-=-=+故答案为：(0,. 14．有一光线从点()3,5A -射到x 轴以后，再反射到点()2,15B ，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______． 【答案】4+70x y +=【分析】根据对称性可知：点()2,15B 关于x 轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标即可求解.【详解】因为点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标为()2,15B '-，由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A -和()2,15B '-， 所以条光线的入射光线所在直线的方程为51515(2)32y x ++=---， 也即4+70x y +=， 故答案为：4+70x y +=.15．若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是______.【答案】(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤，从而可求得答案【详解】得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 11,3PA PB k k ==-，1a -≥或13a -≤-，1a ∴≤-或13a ≥. 故答案为：(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__.【答案】[﹣12，0]【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-；当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]．故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.【答案】(1)111222b ac -+6【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM b a c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以62BM =BM18．已知ABC 的三个顶点(,)A m n ､(2,1)B ､(2,3)C -. (1)求BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，BC 边上高线AE 过原点，求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=(2)3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）由题意可得2360-+=m n ，求出BC 边上高线AE 的方程，将点(,)A m n 代入AE 的方程，解关于,m n 的方程组即可求解.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -可得311222BC k -==---， 所以BC 边所在直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=. （2）因为BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=， 所以点(,)A m n 在直线2360x y -+=上，可得2360-+=m n ， 因为12BC k =-，所以BC 边上高线AE 的斜率2AE k =，因为BC 边上高线AE 过原点，所以AE 的方程为2y x =，可得2n m =， 由23602m n n m -+=⎧⎨=⎩可得：323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点A 的坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知直线l ：5530ax y a --+=．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1a =±或3【分析】（1）将直线l 的方程化为点斜式，求出直线所过定点，即可证明结论成立；（2）直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，分三种情况讨论：①横截距和纵截距为0，②横截距和纵截距相反，③横截距和纵截距相等，分别求出此时a 的值即可. 【详解】（1）解：直线l 的方程可整理为：3155y a x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，∵13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． （2）解：由（1）知，直线过定点1355A ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线过原点时，此时，3a =；当直线截距相反且不过原点时，1k =，此时1a =； 当直线截距相等且不过原点时，1k =-，此时1a =-； 综上所述，1a =±或3．21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求点B 到平面P AM 的距离． 【答案】(1)2 (2)77【分析】（1）建立空间直角坐标系，设2BC a =，写出各点坐标，利用0PB AM ⋅=列出方程，求出22a =，从而得到BC 的长； （2）求出平面P AM 的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，∵PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a = 故22BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，()0,1,0AB =，∴点B 到平面P AM 的距离177AB m d m⋅===22．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===.将ADC △沿AC 折起，使得AD BC ⊥，如图②.（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.【分析】（1）先证明AC BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ADC ，由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后用坐标法求解即可【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===， ∴由平面几何知识易得π3ABC ∠=， ∴在ACB △中，222π21221cos 33AC =+-⨯⨯⨯=. 又222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. 在题图②中，∵AD BC ⊥，ADAC A =，∴BC ⊥平面ADC .又BC ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4. 以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由平面ADC ⊥平面ABC ，ADC △是顶角为2π3的等腰三角形，知z 轴与ADC △底边上的中线平行，又由（1）易得3AC =∴()0,0,0C ，()3,0,0A，()0,1,0B ，312D ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()3,0,0CA =，112,23BD ⎛⎫⎪ ⎪⎝=⎭-. 令()01BE tBD t =≤≤，则,,12t E t ⎫⎝-⎪⎪⎭， ∴3,1,22t CE t =-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00CA m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0102t t y z =+-+=， ∴()0210x t y tz =⎧⎨-+=⎩，令y t =，则()21z t =-，∴()()0,,21m t t =-. 由（1）知，平面ADC 的一个法向量为()0,1,0n =.要使二面角E AC D --的平面角的大小为π4，则2πcos 4m n m n t ⋅=== 解得23t =或2t =（舍去）. ∴在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4，此时点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.。
上海市2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)
（2）若 ，求 与 .（用反三角函数表示）
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据 及力的夹角，即可求得 、 的大小。
（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出 与 的值。
【详解】因为关于 的方程 在区间 上有三个解，且函数 的最小正周期为 ，再由三角函数的对称性可知：方程 在区间 上的解的最小值与最大值分别为 和 ；
又它们的和为 ，所以中间的解为 ，
所以有 ，即 ，故 ，
又 ，所以 或 .
故答案为 或
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
由 ， ， 三点共线可得
即 ,所以
又因为
所以
即
当 时， ,此时
当 与 (或 )点重合时,此时 ,此时
所以
由基本不等式 ,可得
当 或 时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。
二、选择题
13.已知函数 的图象是由函数 的图象经过如下变换得到：先将 的图象向右平移 个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的图象的一条对称轴方程为（）
综上, 实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.
11.设 ，若关于 的方程 在区间 上有三个解，且它们的和为 ，则 ________
【答案】 或
2021年高二数学上学期9月月考试卷 文(含解析)
2021年高二数学上学期9月月考试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（） A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 1612．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2，2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是 =，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 16考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2 ），根据正三角形的性质 =tan30°=求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后求得这个正三角形的边长．解答：解：设其中一个顶点是（x，2 ）因为是正三角形所以 =tan30°=即解得x=12所以另外两个顶点是（12，4 ）与（12，﹣4 ）则这个正三角形的边长为故选B．点评：本题主要考查抛物线的应用．利用抛物线性质解决解三角形问题的关键．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 ．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题结果即可．解答：解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，注意否定的形式．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：求出p的等价条件，利用q是p的充分条件，确定m的取值范围．解答：解：由x2﹣7x+10≤0，解得2≤x≤5，即p：2≤x≤5．，设A={x|2≤x≤5}∵命题q可知：m≤x≤m+1，设B={x|m≤x≤m+1}，∵q是p的充分条件，∴B⊆A，，解得：2≤m≤4．∴m的取值范围是2≤m≤4．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．考点：椭圆的标准方程；正弦定理．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，根据椭圆的定义可知：点C的轨迹是椭圆（去掉左右顶点）．解答：解：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，满足椭圆的定义．设椭圆方程为，则a′=5，c′=4，∴=3，则轨迹方程为（x≠±5），图形为椭圆（不含左，右顶点）．点评：本题考查了椭圆的定义，属于基础题．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．27172 6A24 樤t36464 8E70 蹰UeX- ]g33954 84A2 蒢29404 72DC 狜6。
高二数学上学期开学考试试题文含解析 (2)(共17页)
HY中学2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期开学考试试题文〔含解析〕一、选择题：位于〔〕A. 轴上B. 轴上C. 平面内D. 平面内【答案】C【解析】【分析】由所给的坐标的特点可知，它的纵坐标为0，所以点必在平面内，即可得到答案．【详解】因为点的纵坐标为，故点在平面内，应选C．【点睛】此题主要考察了空间直角坐标系的应用，其中正确理解空间直角坐标系等根底知识是解答的关键，着重考察了数形结合意识的应用，属于根底题．2.2.以下三种表达，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的局部是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】根据棱台的构造特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．应选A.，直线(zhíxiàn)，那么与必定〔〕A. 平行B. 异面C. 相交D. 无公一共点【答案】D【解析】【分析】直接利用线面平行的行贿，得到线面的关系及直线间的位置关系，即可得到答案．【详解】直线，所以直线与平面无公一共点，又由，所以直线与平面无公一共点，应选D．【点睛】此题主要考察了直线与平面的位置关系的应用，正确理解直线与平面平行的概念是解答此题的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题．4.4.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图，那么截面的可能图形是〔〕A. ①②B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】C【解析】【分析】根据组合体的性质(xìngzhì)，当截面的角度和方向不同时，球的截面不一样，应分情况考虑即可得到答案．【详解】当截面平行与正方体的一个侧面时，得到的截面如①所示；当截面过正方体的对角线时，得到的截面如②所示；当寂寞不平行与任何侧面也不过对角线时，得到的截面如③所示，但无论如何都不能是④，应选C．【点睛】此题主要考察了有关球的组合体的构造特征的应用，注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．5.5.某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥的外表积是( )A. B. 32 C. 48 D.【答案】A【解析】【分析】根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高作出斜高，做出对应的侧面的面积，再加上底面的面积，即可得到四棱锥的外表积．【详解】由题意可知，原几何体是一个高为2，底面是一个长度为4的正方形的四棱锥，过定点项底面作垂线，垂线段的长为2，过底面的中心项长度是4的边作垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高为，所以(suǒyǐ)侧面积是，底面积是，所以四棱锥的外表积为，应选A．【点睛】此题考察了几何体的三视图及组合体的外表积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．6.6.下面条件中，能断定直线的是〔〕A. 与平面内的两条直线垂直B. 与平面内的无数条直线垂直C. 与平面内的某一条直线垂直D. 与平面内的任意一条直线垂直【答案】D【解析】【分析】令直线与平面的位置关系进展判断，注意直线与平面垂直的断定定理的应用．【详解】由题意，A中，直线与平面内的两条直线垂直，假如平面中的两条直线是平行线，那么无法断定直线，所以不正确；B中，直线与平面内的无数条直线垂直，假如平面中的无数条平行线，那么无法断定直线，所以不正确；C中，直线与平面内的某一条直线垂直，那么直线和平面相交、平行或者直线在平面内，所以不正确；D中，直线与平面内的任意一条直线垂直，那么直线和平面垂直的定义，即可得到，所以是正确的，应选D．【点睛(diǎn jīnɡ)】此题主要考察了直线与平面垂直的断定及应用，其中熟记直线与平面垂直的断定定理和直线与平面垂直的定义是解答的关键，着重考察了推理与论证才能．7.7.是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是〔〕A. B.C. 一共面D. 一共点一共面【答案】B【解析】试题分析：根据空间两条直线所成角的概念“空间中假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补〞可知B选项正确.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．外有两点，它们到平面的间隔相等，那么直线和平面的位置关系一定是〔〕A. 平行 B. 平行或者异面 C. 平行或者相交 D.【答案】C【解析】【分析】直线与平面分成平行和相交两种情形分别研究，画出图象进展断定，即可得到答案．【详解】由题意，平面外有两点，它们到平面的间隔相等，如下图，结合图形可知，直线与平面平行或者相交，应选C．【点睛】此题主要考察了空间中直线与平面之间的位置关系的断定，其中熟记直线与平面的位置关系的情况，以及正确作出图象是解答的关键，着重考察了分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于根底题．①梯形(tīxíng)一定是平面图形；②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；假如两个平面有三个公一共点，那么这两个平面重合.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行或者异面或者相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，假如两个平面有三个公一共点，那么这两个平面相交或者重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)此题主要考察空间直线平面的位置关系，意在考察学生对这些根底知识的掌握程度和空间想象才能.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵敏选择方法判断.的直线的斜率是〔〕A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】由题意，直接利用直线的倾斜角与斜率的关系，即可得到结论．【详解】因为直线的斜率与倾斜角满足关系式，又由直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，应选B．【点睛】此题主要考察了直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系的应用，属于根底题目，其中熟记直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系是解答的关键，着重考察了计算才能．11.11.矩形所在的平面，那么侧面和底面中互相垂直的平面有〔〕A. 1对B. 2对C. 3对D. 5对【答案】D【解析】【分析】由题意，利用面面垂直的断定定理，即可找出题目中的垂直关系，得到答案．【详解】由题意，因为平面，且平面和平面，所以平面平面，平面平面，又由底面为矩形，所以，所以平面，所以平面平面，又由底面为矩形，所以，所以平面，所以平面平面，又由底面为矩形，所以，所以平面，所以平面平面，所以在侧面与底面中互相垂直的平面一共有5对，应选D．【点睛】此题主要考察了平面与平面垂直的断定，属于中档试题(shìtí)，有一定的难度，其中解答中熟记线面垂直的断定定理和面面垂直的断定定理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能．12.12.中国古代第一部数学名著?九章算术?中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种根本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．假设三棱锥为鳖臑，平面，，，，那么三棱锥外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】将三棱锥补全为长方体，如图，那么外接球的直径为,所以，故外接球的外表积为.二、填空题：和两点的直线的斜率为_______.【答案】3【解析】【分析】由题意，直接利用过两点的直线的斜率公式，即可得到答案．【详解(xiánɡ jiě)】由题意，直线过点和，所以直线的斜率为．【点睛】此题主要考察了过两点的直线的斜率公式的应用，其中熟记过两点的直线的斜率的公式是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，试题属于根底题．的三条侧棱两两互相垂直，且，那么此三棱锥的外接球的体积为____________【答案】【解析】分析：先将三棱锥补成长方体，再根据长方体外接球直径等于长方体对角线长，计算球体积.详解：因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，长宽高分别为，因为三棱锥的外接球与长方体外接球一样，所以外接球直径等于，因此三棱锥的外接球的体积等于点睛：假设球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用求解．中，底面，底面是边长为的正三角形，三棱锥的体积为________．【答案】【解析】依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·PA＝×××2×3＝.视频为彼此不重合(chónghé)的三个平面，为直线，给出以下结论：①假设，那么②假设，且那么③假设直线与平面内的无数条直线垂直，那么④假设内存在不一共线的三点到的间隔相等，那么上面结论中，正确的序号为_______.【答案】①②【解析】【分析】根据题意，逐一分析各个选项，利用线面、面面之间的关系，应用有关定理和推理，及举反例等手段，排除错误，即可得到答案．【详解】由题意，对于①中，因为两个平行平面中的一个和第三个平面垂直，那么另一个也和第三个平面垂直，所以①是正确的；对于②中，由两个平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直，所以②是正确的；对于③中，直线和平面内的无数条直线垂直，假设是无数条平行线，此时直线和平面不一定垂直，所以③不正确；对于④中，内存在不一共线的三点到平面的间隔相等，这三个点可能有两个相交平面的两侧，所以④不正确，所以正确命题的序号为①②．【点睛】此题主要考察了空间中点、线、面的位置关系的断定及应用，其中熟记空间中点、线、面的位置关系的断定定理和推理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于中档试题．三、简答题：，侧棱与底面所成的角为，求正四棱锥(léngzhuī)的侧棱长和斜高.【答案】,.【解析】【分析】在正四棱锥中，，那么为底面的中心，，从而得到，作于，连接，那么，由此能得到答案．【详解】如下图，在正四棱锥中，，那么为底面的中心，那么即为和所成的角，故，所以，作于，连接，那么，所以即为正四棱锥的斜高，在中，，所以正四棱锥侧棱长为，斜高为．【点睛】此题主要考察了正四棱锥的构造特征的应用，其中熟记空间几何体的构造特征和准确作出运算是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题．18.18.如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面与平面平行？【答案(dá àn)】是的中点【解析】试题分析：首先确定当为的中点时，平面平面；证明，进而证明面，再利用三角形的中位线的性质证明，进而证明面.，再利用两个平面平行的断定定理证得平面平面.试题解析：当为的中点时，平面平面，∵为的中点，为的中点，∴.连接，∵分别为，的中点，∴，又平面，平面，∴面.再由面，且，∴平面平面.点睛：此题考察平面与平面平行的一般方法，即在一个平面内找到2条相交直线和另一个平面平行，属于中档题；两个平面平行的断定：〔1〕两个平面平行的断定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；〔2〕垂直于同一直线的两个平面平行．即，且，那么；〔3〕平行于同一个平面的两个平面平行，即，那么．19.19.如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，且分别为的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕求证(qiúzhèng)：平面平面；【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔I〕因为分别为的中点，所以，由线面平行的断定定理，即可得到平面；〔II〕因为为的中点，得到，进而证得平面，由面面垂直的断定定理，即可得到平面平面．【详解】〔1〕因为O,M分别为AB,VA的中点，所以OM//VB又因为VB平面MOC，所以VB//平面MOC，〔2〕因为AC=BC,O为AB的中点，所以OC AB，又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB．∴平面MOC平面VAB.【点睛】此题考察线面位置关系的断定与证明，纯熟掌握空间中线面位置关系的断定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．所在平面外一点，且为斜边的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕假设，求证：平面．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕如图，取中点，连结，在中，得到，再由为等腰三角形，得到，进而得到平面，得，再由，得到，由线面垂直的断定定理，即可得到结论．〔2〕由为斜边中点，得，由〔1〕可知，面，得，再利用线面垂直的断定定理，即可证得平面．【详解】〔1〕如图，取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE，∵SD?面SDE，∴AB⊥SD，在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，∴SD⊥AC，∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，∴SD⊥平面ABC．〔2〕∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC，由〔1〕可知，SD⊥面ABC，而BD?面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，∴BD⊥面SAC．【点睛】此题考察线面位置关系的断定与证明，纯熟掌握空间中线面位置关系的断定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行(píngxíng)关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．21.21.如图，在四棱锥中，，且.〔Ⅰ〕证明：平面平面；〔Ⅱ〕假设，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】试题分析：〔1〕推导出，，从而，进而平面，由此能证明平面平面；〔2〕设，那么四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积.〔1〕∵在四棱锥中，，∴，，又，∴，∵，∴平面(píngmiàn)，∵平面，∴平面平面．〔2〕在平面内作，垂足为．由〔1〕知，平面，故，可得平面．设，那么由可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为．中，四边形是边长为的菱形，，平面，，，为的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕假设几何体的体积为，求线段的长度．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕.【解析】【分析】(1)证明(zhèngmíng)：取的中点，连接，，得，，进而得到，利用线面平行的断定定理，即可证得平面．〔2〕连接，得到，证得平面平面，得到平面，再利用几何体的体积公式，即可得到结果．【详解】(1)证明：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，，又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面．〔2〕连接，因为是边长为4的菱形，所以，因为平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，因为，所以，所以几何体的体积为，所以.【点睛】此题主要考察了线面平行的断定，以及几何体的体积公式的应用问题，其中正确认识空间几何体的构造特征，以及熟记线面位置关系的断定定理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于中档试题．内容总结（1）②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行。
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（ ）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（ ） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-） （2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。
浙江省 高二数学9月开学检测试卷 文
9月开学检测考试 高二数学（文科）试卷一、 选择题（每题5分，共50分）1．一个球的表面积是π16，那么这个球的体积为（ ） A ．π316 B. π332C. π16D. π24 2．已知向量(3,2),(,4)a b x ==，且a b ⊥,则x =( ) A.. 6 B.－6 C..38- D.38 3．sin600°的值是（ ）A ．12B ．32C ．－32D ．－22 4．等比数列{a n }中，若a 5＝5，则a 3⋅a 7＝ ．A. 5B. 10C. 25D. 5± 5．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A. sin(2)3y x π=+，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈C. sin(2)3y x π=-，x R ∈D.sin(2)32y x π=+，x R ∈ 6．如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台7．已知圆柱的体积是20πcm 3，侧面积是40πcm 2，那么圆柱的高是( ) A. 24 cm B . 20cm C.16cm D.8cm8．某空间几何体的三视图均为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为（ ） A . 1 B . 2 C. 3 D. 49．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥>-+>-+0,0072052y x y x y x ，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值（ ）A ．13B ．16C ．17D ．1910．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点M 是 对角线1A B 上的动点，则1AM MD +的最小值为 （ ）2二、填空题（每题4分，共28分）11. 已知(2,0),(2,1)a b =-=，则|3|a b += ； 12设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则32S a = 13. 函数14(0)y x x x=+>的最小值是 14．设13(,),(4,0),2a b ==- 则a 与b 的夹角θ= 15．已知函数()2sin(),(0)f x x ωφω=+>的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭16．若△ABC 的三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则△ABC 的最大角的余弦值等于 17． 如图，在体积为15的三棱柱111ABC A B C -中，S 是侧棱1CC 上的一点，三棱锥S ABC -的体积为3，俯视图侧视图 正视图3 2 第15题图第10题图则三棱锥111S A B C -的体积为 _三.解答题（5大题，共72分）18．如图所示，一个简单的空间几何体的正视图和 侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为 正方形，(1) 试描述该几何体的特征并画出直观图; (2) 求该几何体的体积和表面积.19.已知数列{}n a 是等差数列，其中4103,15a a ==. （1）求{}n a 的通项公式;（2）当n 为何值时，数列{}n a 前n 项的和n S 最小； （3）求和354()n a a a a q q q q q R +++∈。
山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案
济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知i 1i z=-，则z = （ ）A ．0B ．1C D ．22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA --=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．1AC uuu rB ．1AC u u u rC ．1D B u u u u rD ．1DB u u u u r3．已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB u u u r的坐标为（ ） A ．()8,8,4--B ．()8,8,4-C ．()8,8,4-D ．()8,8,4--4．如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，AA DB ''⋅=u u u r u u u u r（ ）A．1B C D ．1-5．设1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，其中()11,,2n y =-u r ，()2,2,1n x =-u u r ，若αβ∥，则x y +=（ ）A ．92-B ．72- C ．3 D ．726．已知直线1l 的方向向量为()0,0,1u =r，直线2l 的方向向量为()1v =-r ，则直线1l 与2l 所成角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．已知n r 为平面α的一个法向量，a r 为直线l 的一个方向向量，则“a n ⊥r r”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++r u u u r u u u r u u u r ，向量b OA OB OC =+-r u u u r u u u r u u u r，则与,a b r r不能构成空间基底的向量是( )A ．OA u u u rB ．OB u u u rC ．OC u u u rD ．OA u u u r 或OB u u u r9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,1,1A 在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，且关于y 轴的对称点为点C ，则B ，C 两点间的距离为（ ）AB ．C ．D 10．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B C ．13D ．23-二、填空题11．已知向量()2,3,1a =-r ，则与a r共线的单位向量为.12．已知向量()2,0,1a =-r ，(),2,1b m =-r 且a b ⊥r r，则m =，a b +=r r .13．已知直线l 经过()1,0,1A ，()2,0,0B 两点，则点()2,1,4P 到直线l 的距离为.14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB =u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，()0,0,2AD =u u u r .则CD u u u r 与CB u u ur 的夹角的余弦值为；CD u u u r 在CB u u u r 的投影向量a =r . 15．以下关于空间向量的说法：①若非零向量a r ，b r ，c r满足//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r②任意向量a r ，b r ，c r满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r③若{},,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，且221333OD OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，D四点共面④已知向量()1,1,a x =r ，()3,,9b x =-r ，若310x <，则,a b r r 为钝角其中正确命题的序号是.三、解答题16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为线段11B C 的中点.(1)求证：11AA D E ⊥； (2)求平面1D BE 的法向量； (3)求点1A 到平面1D BE 的距离.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为4，D 为1CC 的中点，E 为11A B 的中点.(1)求证：1//C E 平面1A BD ；(2)求直线BC 与平面1A BD 所成角的正弦值.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，1AA =60BAD ∠=︒，1145BAA DAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，设AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r .(1)试用基底{},,a b c r r r表示向量1OA u u u r ；(2)求1OA 的长；(3)求直线1OA 与直线BC 所成角.19．如图，四棱锥S --ABCD P 为侧棱SD 上的点．（1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求平面P AC 与平面ACD 的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ．若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．。
2023年湖北武汉华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
华科附中2022-2023学年上学期9月月考高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足(1i)i z −=，则下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部为1i 2B. z 的共轭复数为11i 22z =−+ C. z 对应的点在第二象限 D. 1z =【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z −=，得()()()i 1i i 1i11i 1i 1i 1i 222z ×+−+====−+−−×+， 对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 共轭复数为11i 22z =−−，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为12 −，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确； 对于D，z =D 不正确. 故选：C.2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点,,,M A B C 共面的是（ ）A. 2OM OA OB OC −−B. 111532OM OA OB OC =++C. 20MA MB MC ++=D. 0OM OA OB OC +++=【答案】C 【解析】【分析】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=，由此可判断出答案. 的【详解】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=， 由此可得A ，B ，D 不正确，选项C ：2MA MB MC −=−，所以,,,M A B C 四点共面， 故选：C.3. 已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A −在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A −，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA =−− ，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅=.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题4. 已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+ ，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.5. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0,0,,1,2c b C B b a π−=∈，则ABC 的面积为（）A.或14 B.或14C.D.或34 【答案】C 【解析】B ，然后利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可. 【详解】因为2sin 0c bC −=，由正弦定理sin 2sin sin 0C B C −=， 因为0,,sin 02C C π∈≠，所以1sin 2B =，因为0,2B π∈，所以6B π=，根据余弦定理得2222cos b c a c a B +−⋅⋅，得1c =或2c =，所以11222ABC S =×=或11122ABC S =×= ， 故选：C.6. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ） 甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 无法确定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为825<，但丙组不符合“优秀小组”的概念. 故选：A.7. 如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. 78B.1516 C. 2324D. 45【答案】A 【解析】【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =， ∴ 1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=−×××=， ∴ 事件灯亮的概率78P =， 故选：A.8. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，点P 在11A C B △的内部及其边界上运动，且DP =，则点P 的轨迹长度为( )A.B. 2πC.D. 3π【答案】A 【解析】【分析】连接1B D 、11B D 、BD ，1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，证明1B D ⊥平面11A C B 得DO ⊥OP ，求出OP 长度，确定O 的位置，确定P 的轨迹形状，从而可求P 的轨迹长度． 【详解】连接1B D 、11B D 、BD ，则1111AC B D ⊥，111A C DD ⊥，1111B D DD D = ， ∴11A C ⊥平面11B DD ，∴111A C B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． 设1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，由△BOD ∽△1EOB 且BD =12B E 可知OD =12B O ，则123OD B D ==，连接OP ，则OD OP ⊥，∴OP可得点P 的轨迹为以点O 为半径的圆在11A C B △内部及其边界上的部分，OB =2OE ，E 为11A C 中点，及△11A BC 为等边三角形可知O 为△11A BC 中心， OE=1133BE =<OF =，OE =，πcos 6OE EOF EOF OF ∠∠==， 则∠OFE =∠1A =π3，∴OF ∥1A B ，同理易知OG ∥11A C ， 故四边形1A FOG 是菱形，则π.3FOG ∠=∴ FG长度为π3，故点P的轨迹长度为3π． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. PM 2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM 2.5日均值在335/m g µ以下，空气质量为一级：PM 2.5日均值在335~75/m g µ，空气质量为二级：PM 2.5日均值超过375/m g µ为超标.如图是某地12月1日至10日PM 2.5的日均值（单位：3/m g µ）变化的折线图，关于PM 2.5日均值说法正确的是（ ）的A. 这10天的日均值的80%分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 这10天的日均值的中位数为41D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】BD 【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案. 【详解】10个数据为：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，100.88×=，故80%分位数为6078692+=，A 选项错误. 5天的日均值的极差为413011−=，后5天的日均值的极差为804535−=，B 选项正确. 中位数是4145432+=，C 选项错误. 根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以D 选项正确. 故选：BD10. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+ ；③若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中错误的命题是（ ） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答. 【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若A ，B 为两个随机事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+− ，②错误； 对于③：由()()()113434P AB P A P B ==×=，得A ，B 相互独立，③正确； 对于④：记事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，则()0.5P A =，()0.5P B =，满足()()1P A P B +=，显然事件A 与B 可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD11. 已知空间四点()0,0,0O ，()0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则下列说法正确的是（ ）A. 2OA OB ⋅=−B. 以OA ，OBC. 点O 到直线BCD. O ，A ，B ，C 四点共面 【答案】AC 【解析】【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A 、B 、C 、D 的结论即可．【详解】空间四点()0,0,0O ，)0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，所以OA =，OB = ，对于A ：2OA OB ⋅=−，故A 正确；对于B ：2cos ,5OA OB OA OB OA OB ⋅==−，所以sin AOB ∠=，所以以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积sin SOA OB AOB ∠=，故B 错误；对于C ：由于()2,0,1OB =−，()1,2,2BC = ，所以0OB BC ⋅=，故OB BC ⊥ ，所以点O 到直线BC 的距离||d OB ==，故C 正确；对于D ：根据已知的条件求出：()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，()3,2,1OC =，假设,,OA OB OC 共面，则存在实数λ和µ使得OC OA OB λµ=+，所以3=22=1=2µλλµ−，无解，故,,OA OB OC 不共面，故D 错误； 故选：AC ．12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. PE PF ⋅的最小值为148B. 若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98C. PF 与底面ABCD 所成的角的取值范围为0,4πD. 若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是23π【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤ ，得()1,1,P λλλ−−，利用空间向量法求得数量积PE PF ⋅，计算最小值判断A ；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B ；过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角.设=PQ x ，运用余弦定理求出QF ，由tan PQPFQ FQ∠=，计算判断C ；结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ． 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −.由正方体棱长为1，则11,1,22E，()1,1,0B ，()10,0,1D ，10,,12F ，()1,0,0A .对于A ，()11,1,1BD =−−，设()1,,BP BD λλλλ==−− ，()01λ≤≤，所以()1,1,P λλλ−−，11,,22PE λλλ =−− ，11,,12PF λλλ =−−−， ()()211171113()2221248PE PF λλλλλλλ⋅=−−+−+−−=−−， 所以712λ=时，1()48min PE PF ⋅=− ，故A 错误； 对于B ，12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112,,333P，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12,,033G，120,,33PG =−.显然PG与平面11CDD C 的法向量()1,0,0DA = 垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行， 作//CM PG 交11D C 于点M ，设()0,,1M k ，则()0,1,1CMk =− ，由//CM PG ，可得()21133k −−=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11D A 中点N ，易得//NF AC ， 所以截面为ACFN ，且为等腰梯形，AC =NF =，AN CF ==梯形的高为h ，截面面积为1928S =，故B 正确； 对于C ，过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角．设=PQ x，则1D Q =，由余弦定理知，222111222424FQ x x x =+−⋅=−+. 因为P 为线段1BD 上的动点，所以01x ≤≤.当=0x时，tan 0PQPFQ FQ∠==.tan PQPFQ FQ∠=， 当01x <≤时，，11x≥， 所以tan 1PFQ ∠≤，故0,4PFQ π∠∈，C 正确；对于D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()1,1,0AC =−，()11,1,1BD =−−，则11100AC BD ⋅=−+=，1AC BD ∴⊥ ，同理11AB BD ⊥ . 所以1BD是平面1ACB 一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则1111123AO C B O C AO B π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===ABAD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．的【解析】【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解． 【详解】 11AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++×××−+×××−+×××2=，1AC ∴．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14. 已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,a b a b c +− 是空间的另一个基底，一向量P在基底{}a b c ，，下的坐标为()1,2,3，则向量P在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为__________．【答案】31,,322 −【解析】【分析】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，可得 123x y x y z +=−== ，所以解出x ，y ，z 即可．【详解】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+；123x y x y z +=∴−= =，解得：31,,322x y z ==−=；p ∴ 在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为：31,,322 −．故答案为：31,,322 −． 15. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||5a b −≥”的概率为_______． 【答案】415【解析】【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a ，b 的不同结果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，事件“||5a b −≥”记为M ，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，于是得4()15P M =， 所以事件“||5a b −≥”的概率为415. 故答案为：41516. 设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a满足对任意的,,x y a xi y j −− 的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．【答案】1 【解析】【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i = ，()0,1,0j = ，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则a xi y j −−=，当,r x s y ==时a xi y j −−的最小值是2， 2t ∴=± 取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5. 取(),,2ax y =− 则()3,,1a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1. 故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 已知()3,2,1a =− ，()2,1,2b = ． （1）求a 与b夹角的余弦值；（2）当()()ka b a kb +⊥−时，求实数k 的值．【答案】（1（2）32k或23k =− 【解析】【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据()()ka b a kb +⊥−列方程，从而求得k 的值.【小问1详解】cos ,a b a ba b⋅==⋅【小问2详解】由于()()ka b a kb +⊥− ，所以()()0ka b a kb +⋅−=， 所以()22210ka k a b kb +−⋅−= ，()22146190,6560k k k k k +−−=−−=， 解得32k或23k =−. 18. 袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是12，得到黄球或绿球的概率是23，试求： （1）从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1）111,,362；（2）1115【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率．（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率．【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知得()()()11()()22()()3P A P B P C P A P B P B P C++=+=+=，解得1()31()61()2P A P B P C===，∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是111,,362；（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为1315154+=， 则得到的两个球颜色不相同的概率是41111515−=． 19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5 （2）10 【解析】【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，进而根据方差公式，代入计算即可得答案. 【小问1详解】设这20人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =×+×+×+×+×=.设第80百分位数为a ，由50.02(40)0.040.2a ×+−×=，解得37.5a =. 【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ， 则437x =，543x =，2452s =，251s =， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z+=，()(){}222224545142106s s x z s x z =×+−+×+−= ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 20. 已知函数()2sin cos x x f x x +−（1）若123f α = ，且π0,2α ∈，求sin α的值； （2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f=−，求a b 的取值范围． 【答案】（1；（2a b <<【解析】【分析】（1）化简()f x 解析式，由123f α = 得到1sin 3π3α−= ，从而求得cos 3πα −，进而求得sin α.（2）由122C f=−求得C ，利用正弦定理化简a b ，通过tan B 取值范围，求得a b 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin cos x x f x x +1cos 21πsin 2sin 2223x x x −+−=−， 的由123f α = ，得1sin 3π3α −= ，因π0,2α ∈，所以ππ36π3α−<−<，所以πcos 3α−所以ππsin sin 33αα =−+ππππsin cos cos sin 3333αα=−+−1132=×=． （2）由π1sin 232C f C =−=−，因为π0,2C∈ ，所以πππ336C −<−<， 所以ππ36C −=−，即π6C =． 由正弦定理sin sin a bA B=，可得，5πsin sin cos 6sin sin 2sin B a A B b B B B− ===+．因为ABC 是锐角三角形，所以π025ππ062B B <<<−<，即ππ32B <<．所以cos 12sin 2tan aB b B B =+ 由ππ32B <<，得tan B >a b << 21. 如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=°，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD −，连结MN ．为（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，利用面面平行的判定证明平面//MNE 平面PAD ，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】在四棱锥P ABCD −中，取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC ，则ME PA //，//EN AD ，因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，则//ME 平面PAD ，同理可得，//EN 平面PAD ， 又ME EN E ∩=，ME ，EN ⊂平面MNE ，故平面//MNE 平面PAD ，因为MN ⊂平面MNE ， 故//MN 平面PAD ； 【小问2详解】因为在等腰直角三角形PAD 中，90∠=°，//AD BC ， 所以BCPA ⊥，则在四棱锥P ABCD −中，BC PB ⊥，BC AB ⊥，因为//AD BC ，则AD PB ⊥，AD AB ⊥，又PB AB B ∩=，,PB AB ⊂平面PAB ， 故AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，故PA AD ⊥，因为8AD =，3AB =，4PA =，则5PB =，所以222AB PA PB +=，故PA AB ⊥． 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：(3,0,0)B ，()0,0,4P ，(0,8,0)D ，(3,5,0)C ，故(3,0,4),(3,5,4),(0,8,4)PB PC PD =−=−=−，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则3403540n PB x z n PC x y z ⋅=−= ⋅=+−= ， 令4x =，则3z =，故(4,0,3)n = ；设平面PCD 的法向量为(,,)m a b c = ，则8403540m PD b c m PC a b c ⋅=−= ⋅=+−= ， 令1b =，则1a =，2c =，故(1,1,2)m = ，所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅== ， 故平面PBC 与平面PCD． 22. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得1BC =1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ； （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E，可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+−×°，解得1BC =22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥ 侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥． 又AB BC B ∩= ，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A，1(B −，12E，1(2)A −，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z = ，11(0,0,2)A B =−，13,22A E =−， 11100m A B m A E ⋅= ⋅=，203202z x y z −= ∴ −=，令y =1x =，m ∴= ， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈， (1,,)(1,0,2)x y z λ∴−=−，(1,0,2)M λλ∴−，1,22EM λλ ∴=−利用平面11A B E的一个法向量为m =，2693850λλ−+=．即(31)(235)0λλ−−=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.。
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=1−x tan72∘的倾斜角为( )A. 108∘B. 72∘C. 118∘D. 18∘2.向量a=(1,2,3)，b=(−2,−4,−6)，|c|=14，若(a+b)⋅c=−7，则a与c的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知直线l1:mx+y−1=0，l2：(3m−2)x+my−2=0，若l1//l2，则实数m的值为( )A. 2B. 1C. 1或2D. 0或134.将一枚均匀的骰子抛掷2次，事件A=“没有出现1点”，事件B=“出现一次1点”，事件C=“两次抛出的点数之和是8”，事件D=“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是( )A. 事件A与事件B是对立事件B. 事件A与事件D是相互独立事件C. 事件C与事件D是互斥事件D. 事件C包含于事件A5.已知点M是直线y=x+1上一点，A(1,0)，B(2,1)，则|AM|+|BM|的最小值为( )A. 2B. 22C. 1+2D. 106.已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则|BD|=( )A. 102B. 62C. 52D. 27.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则点A1到平面ECC1的距离为( )A. 15B. 55C. 255D. 258.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA1=3，AB=4，CD=2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为( )A. 39921B. 27321C. 24221D. 4221二、多选题：本题共3小题，共18分。
云南省玉溪市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷含答案
2024—2025学年度上学期高二年级一调考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1sin 12M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.π,06⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.π,04⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.ππ,0,62⎧⎫-⎨⎩⎭ D.ππ,,046⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1D M相等的向量为（）A.1122a b c-++ B.1122a b c ++C.1122a b c -+D.1122a b c--+ 3.若函数()f x 在[2,)+∞上单调递减且对任意R x ∈满足(1)(3)f x f x +=-，则不等式(32)(4)f x f ->的解集是（）A.2,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(2,)+∞ D.2,23⎛⎫⎪⎝⎭4.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥底面ABCD ，6PA =，点G 在侧棱PB 上，且满足2PG GB =，则异面直线PC 和DG 的距离为（）A.14B.15C.7 D.775.空间中有三点(0,0,0)A ，(1,,2)B m ，(1,2,1)C --，且(1,1,1)n =-为平面ABC 的一个法向量，则以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.6.在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，当点B 与点D 之间的距离为3时，cos θ=（）A.13B.16 C.13-D.16-7.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 的中点，M 是DB 靠近点B 的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+= ，则||DP的最大值是（）A.1D.28.已知点A ，B ，C ，D ，P ，Q 都在同一个球而上，ABCD 为正方形，若直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平面ABCD .则异而直线PA ，QB 所成的角的聂小值为（）A.60°B.45°C.30°D.15°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b 上的投影向量为110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.若两个不同平面α，β的法向量分別是u ，v，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，则//αβC.若233555OG OA OB OC =++，则A ，B ，C ，G 四点共面D.若向量p mx ny kz =++ ，（x ，y ，z 都是不共线的非零向量）则称p在基底{},,x y z 下的坐标为(,,)m n k ，若p 在单位正交基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10.如图所示是一个以AB 为直径，点S 为圆心的半圆，其半径为4，F 为线段AS 的中点，其中C 、D 、E 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S 为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是（）A.CEF △为正三角形B.SA ⊥平面CEFC.//SD 平面CEFD.点D 到平面CEF 的距离为311.如图，点P 是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当点P 在侧面11BB C C 上时，四棱锥11P AA D D -的体积为定值B.存在这样的点P ，使得1111222AP AB AD AA =++C.当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π42+D.当33AP =时，点P 的轨迹长度为53π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足383i z z +=+，则||z =___________.13.空间内四点(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，13,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D 可以构成正四面体，则AD = ___________.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AD =，点E ，F 分别为11A B ，1BB 的中点，则平面1EFD 截正方体所得截面面积为___________，动点P 满足1AP xAB y AD z AA =++ ，且122x y z ++=，则当||AP取得取小值时二面角1A AD P --的余弦值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且MA 和NF 的长度保持相等，记(0MA NF αα==<<.（1）求MN 的长；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）如图，已知多面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，且1111244CC AA BB DD === .（1）证明：1A C BD ⊥；（2）若AC =11BB =，120ABC ︒∠=，求直线BC 与平面111B C D 所成的角的正弦值.17.（本小题满分15分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AA AB ==，M 为棱1DD 的中点.（1）若P 是线段BM 上的动点，试探究：11A M A P ⋅是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由；（2）过1A M 作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.18.（本小题满分17分）如图，三棱台111ABC A B C -，AB BC ⊥，1AC BB ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，6AB =，4BC =，12BB =，1AC 与1A C 相交于点D ，2AE EB =，且//DE 平面11BCC B .（1）求三棱锥111C A B C -的体积；（2）平面:11A B C 与平面ABC 所成角为α，1CC 与平面11A B C 所成角为β，求αβ+的值.19.（本小题满分17分）如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE △沿AE 折起，连接BD 与CD ，得到的四棱锥如图2.图1图2（1）当BD 为何值时，平面ADE ⊥平面ABCE ？（2）设(01)BF BD λλ=≤≤，当BE DE ⊥时，是否存在实数λ，使得直线AF 与平面ABCE 所成角的正弦值为10？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（3）当三棱锥B CDE -的体积最大时，求三棱锥D ABE -的内切球的半径.月考卷参考答案一、选接题1.C 【解析】将πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎩⎭中的元表依次代入1sin 12x -≤≤验证，只有π6-，0，π2满足1sin 12x -≤≤，所以ππ,0,62M N ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ .故选C.2.C 【解析】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11()22DM DB DA DC ==+=()111112A D AB -+，所以()111111111111111222D M D D DM A A A D A B A B A D A A =+=+-+=-+ 1122a b c =-+，故选C.3.D 【解祈】因为(1)(3)f x f x +=-，所以()f x 的对称轴为2x =，()f x 在(2,)+∞单调递减，则()f x 在(,2)-∞单调递增，又因为(32)(4)f x f ->，由对称性可得|322||42|x --<-，所以|34|2x -<，2342x -<-<，223x <<.故选D.4.A 【解析】如图，以点A 为原点，AB ，AD ，AP分别作为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ，(3,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)P ，(1,0,4)G .所以(1,3,4)DG =- ，(3,3,6)PC =-，(3,0,0)DC = ，设(,,)n x y z = 为直线PC 和DG 的公垂线的方向向量，则有3403360n DC x y z n PC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，可取(1,3,2)n = ，所以异面直线PC 和DG的距离为||||14DC n n ⋅==.故选A.5.D 【解析】平面ABC 的一个法向量为(1,1,1)n =-，则(1,1,1)(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅= ，解得1m =-，故(1,1,2)B -，(1,1,2)AB =- ，(1,2,1)AC =--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则sin 2A ==，则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯=.故选D.6.B 【解析】分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=〈〉.由2AB =，AD =可得4AC =，所以AD DCEB FD AC⋅===，1AE CF ==，2EF =.因为BD BE EF FD =++ ，则()222222||2BD BD BE EF FD BE EF FD BE FD ==++=+++⋅，即9343π)θ=+++-，故1cos 6θ=.故选B.7.B 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设(,,)P x y z ，则(0,0,0)D ，11.0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0.12F ⎛⎫⎪⎝⎭，33,,044M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,0,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，13,,144MF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ ，因为()0DP EF MF ⋅+=，又(,,)DP x y z = ，所以3330442x y z --+=，即2x yz +=，所以2222222||2x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，又01x ≤≤，01y ≤≤，所以22221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，所以||DP 的最故选B.8.A 【解析】设球的半径为(0)R R >，记ABCD 中心为O ，因为ABCD 为正方形，直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平西ABCD .所以PQ 过点O 且PQ 的中点为球心，设球心为G ，以O 为原点，OB 、OC 、OP 分别为x ，y ，z 轴正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设(0)OA OB OC OD r r ====>，(0,0,)G t ()R t R -<<，则(0,,0)A r -，(,0,0)B r ，(0,0,)P R t +，(0,0,)Q R t -，所以(0,,)PA r R t =--- ，(,0,)QB r t R =- ，所以22()()PA QB t R t R R t ⋅=-+-=- ，所以22||()PA r R t =++ 22||()QB r R t =+- 又222OG OB R +=，即222t r R +=.所以222222cos ,||||()()PA QBPA QB PA QB r R t r R t ⋅〈〉==⋅++⨯+-22222212222R t R R R R R t-==≤=-，当且仅当0t =时等号成立，设直线PA ，QB 所成的角为α则1cos |cos ,|2PA QB α=〈〉≤ ，又090α︒≤≤︒，所以min 60a =︒.故选A.二、选择题9.BD 【解析】对于A ，由于(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b的投影向量为||cos ,2(0,0,1)(0,0,1)||2b a a b b 〈〉⋅=⨯-= ，故A 错误；对于B ：若两个不同平面α，β的法向量分别是u ，v ，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，2u v -=，则//αβ，故B 正确；对于C ：由于2331555++≠，对于233555OG OA OB OC =++ ，故A ，B ，C ，G 四点不共面，故C 错误；对于D ：p 在单位正交基底{,,}a b c下的坐标为（1，2，3），即23(1,2,3)p a b c =++= ，所以p 在基底{,,a b a b c -+〉 下满足(1,2,3)()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc =-+++=++-+(,,)x y y x z =+-，故1x y +=，2y x -=，3z =，解得12x =-，32y =，3z =，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确.故选BD.10.ABD 【解析】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设四棱底面半径为r ，则2π4πr =，2r ∴=，4CE ∴=，F 为AS 的中点，O 为AD 的中点，//FO SD ∴，且122FO CE ==，90CFE ︒∴∠=，CEF △为等腰直角三角形，选项A 错误；选项B ，若SA ⊥平面CEF ，则90AFO ∠=︒，直角AOF △中，2AO OF AF ===，60AFO ︒∴∠=，选项B 错误；选项C ，//FO SD ，FO ⊂平面EFC ，//SD ∴平面EFC ，选项C 正确；选项D ，CE AD ⊥ ，CE SO ⊥，CE ∴⊥平面SAD ，∴平面CEF ⊥平面SAD ，D ∴到直线FO 的距离即为D 到平面CEF 的距离，又//FO SD ，D ∴到直线FO 的距离等于O 到直线SD，选项D 错误，故选ABD.11.ACD 【解析】略【解析】略13.136,263⎛± ⎝⎭【解析】由已知正四西体ABCD 的棱长为1，所以D 的竖坐标为正四面体的高，ABC △的外接圆半径为112sin 603︒⨯=，所以正四面体的高为3=，而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC 的重心坐标，1011232D x ++==，003236D y ++==，所以1,,263D ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为136,263⎛±⎝⎭.[只写对一个不给分]14.18；5【解析】略四、解答题15.解：（1）由题意可知，直线BC 、BE 、BA 两两垂直，以B 原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,0,2)C ，(2,2,0)F ，(0,2,0)E ，因为MA NF α==，所以222M ⎛-⎝，2222N ⎛⎫--⎪⎝⎭.所以2||224MN αα=-+.（2）22||224(2)2MN ααα=-+=-+2α=时，||MN 最小.此时，M ，N 为AC 、BF 的中点，则(1,0,1)M ，(1,1,0)N ，取MN 的中点G ，连接AG ，BG ，则111,,22G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为AM AN =，BM BN =，所以AG MN ⊥，BG MN ⊥.所以AGB ∠是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角，因为111,,22GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，111,,22GB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .所以1cos 3||||GA GB GA GB GA GB ⋅〈⋅〉==-⋅，所以平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值是13.16.解：（1）因为1124AA BB =，所以11//BB AA ，又因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又因为1AC AA A = ，AC ，1AA ⊂平面1AA C ，所以BD ⊥平面1AA C ，又因为1A C 平面1AA C ，所以1BD A C ⊥.（2）设AC 交BD 于O ，以O 为原点，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作11//OO AA 为z 轴建立空间直角坐标系，由图可知1(1,0,1)B ，1(1,0,1)D -，13,4)C ，(1,0,0)B ，3,0)C .，则11(2,0,0)D B = ，11(3,3)B C =- ，设平面111B C D 的一个法向量为(,,)n x y z =，则111100n D B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即20330x x z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =-，则3,1)n =- ，(3,0)BC =- ，所以33cos ,224||||n BC n BC n BC ⋅〈〉===⨯⋅ .设直线BC 与平面111B C D 所成角为α，则3sin |cos |4a n BC =〈⋅〉= ，因此直线BC 与平面111B C D 所成角的正弦值为34.17.略18.（1）略（2）由题意及（1）得，以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 为x ，y ，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，(6,0,0)A ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)B ，()13,0,2A ，1(0,2,2)C ，则11(3,0,0)B A = ，1(0,4,2)B C =- ，1)(0,2,2CC =- ，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)n x y z =，由11130420n B A x n B C y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，则(0,1,2)n = ，平面ABC 的一个法向量为1(0,0,2)BB = ，所以11cos 5||n BB a n BB ⋅===⋅，11sin 10||n CC n CC β⋅===⋅ .又因为α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5α=，cos 10β=.cos()cos cos sin sin 1051052αβαβαβ+=-=⨯=，又(0,π)αβ+∈，所以π4αβ+=.19.略。
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知向量()0,1,1a =-与()20,2,b k k =-共线，则实数k =（ ）A ．0B ．1C ．1-或2D ．2-或1【答案】D【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得2112k k-=-，即可求出k 的值. 【详解】因为()()20,1,10,2,a b k k =-=-、共线，所以2112k k-=-， 解得2k =-或1. 故选：D2．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A3．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C4．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y + A 5B 10C ．25D ．10【答案】A【详解】 22x y +(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A. 5．直线()24y k x =-+与曲线214y x 有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦D ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】解：因为曲线y ＝124x -(|x|≤2)与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k 的取值范围是53(,]124，选A6．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A ．x +2y ﹣6=0B ．2x +y ﹣6=0C ．x ﹣2y +7=0D ．x ﹣2y ﹣7=0【答案】B【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P （1，4）的坐标代入得a 与b 的等式关系，把截距的和a +b 变形后使用基本不等式求出它的最小值． 解：设直线的方程为1x y a b +==1（a ＞0，b ＞0），则有141a b+=，∴a +b =（a +b ）×1=（a +b ）×（14a b +）=5+4b aa b+≥5+4=9， 当且仅当14a b=，即a =3，b =6时取=． ∴直线方程为2x +y ﹣6=0． 故选B ．【解析】直线的斜截式方程．7．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )．A ．23B ．33C ．23D ．53【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23. 8．点()2,1P --到直线()():131225l x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．0d ≤<B ．0d ≤≤C ．dD ．d ≥【答案】A【分析】显然直线过定点，先求出定点A ，当直线过点P 时，d 有最小值，当直线与AP 垂直时d 有最大值，一定要注意要去验证最值能否取到.【详解】()()131225x y λλλ+++=+，化简得()()23250x y x y λ+-++-=，所以当203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩时，()()23250x y x y λ+-++-=恒成立，所以直线l 过定点()1,1A ，所以点当直线l 过点()2,1P --时，d 有最小值为0，此时513λ=-；d 的最大值为()1,1A 和点()2,1P --l 与AP 垂直，因为112123AP k +==+，所以直线l 的斜率32k =-，又因为()():131225l x y λλλ+++=+，所以有133122λλ+-=-+，化简得23=，故此时λ无解；所以d0d ≤<故选：A9．已知A ，B 两点都在以PC 为直径的球O 的球面上，AB BC ⊥，4AB BC ==，若球O 的体积为36π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由题意，根据球的性质，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，根据夹角公式，可得答案.【详解】由题意，取AC 的中点为E ，连接,OE BE ，在ABC 中，4AB BC ==，且AB BC ⊥，则BE AC ⊥，AE EC BE ===，即E 为ABC 外接圆圆心，在球O 中，易知OE ⊥平面ABC ，以E 为原点，分别以,,EB EC EO 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，作图如下：在Rt CEO △中，12cos 12ACCE ACACP CO PCCP ∠===，则//PA OE ，即PA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，球O 的体积3413632V PC ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，解得6PC =， 在Rt ACP 中，222PA PC AC =-=，则()0,22,0A -，()22,0,0B ，()0,22,0C ，()0,22,2P -， 即()0,42,0AC =，()22,22,2PB =-， 1610cos ,542884AC PB AC PB AC PB⋅===⨯++⋅， 异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为105. 故选：B.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1AN NA =，11A M MD =，11B E B C λ=， 当直线1DD 与平面MNE 所成的角最大时，λ=（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()()()1111,0,1,1,0,,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,122M N C B D D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()111,0,1B E B C λλ==--，()1,1,1E λλ--，111,0,,,1,222MN ME λλ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MNE 的法向量为(),,m x y z =，则()00,,m MN m ME x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11022102x z x y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令1x =，可得11,2,12m λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()10,0,1DD =，设直线1DD 与平面MNE 所成的角为α，则11221sin cos ,11224224m DD m DD m DD αλλ⋅===⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当14λ=时，sin α有最大值，即直线1DD 与平面MNE 所成的角最大. 故选：C.11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C 322D ．2【答案】B【解析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m ,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.12．如图所示，圆柱1OO 中，EF 是底面直径，点M 是O 上一点，90EOM ∠=︒，点H 是母线FG 上一点，点K 是上底面的一动点，4EF =，3FG =，2FH =，则（ ）A ．存在点K ，使得5EK HK +=B ．存在唯一的点K ，使得90EKH ∠=︒C ．满足MK EH ⊥的点K 的轨迹长度是32D ．当90EKH ∠=︒时，三棱锥K EMH -外接球的表面积是20π 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法判断选项A ，B ，C 的对错，再通过确定三棱锥K EMH -外接球的球心及半径判断D.【详解】由圆锥的性质可得1O O ⊥平面EFM ，OM EF ⊥如图以O 为原点，1,,OM OF OO 为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系，设1(02)KO G θθπ∠=≤<，1KO r =(02)r ≤≤，则(0,2,0)E -，(0,2,2)H ，(sin ,cos ,3)K r r θθ，(2,0,0)M ， 设H 关于点G 的对称点为N ，因为KG HN ⊥，HG GN =，所以KH KN =， 所以EK HK EK KN NE +=+≥， 又(0,2,4)N ，所以2220(22)4425EK HK +≥+++=>，A 错误， 又(sin ,cos 2,3)EK r r θθ=+，(sin ,cos 2,1)HK r r θθ=- 因为90EKH ∠=︒，所以0EK HK ⋅=， 所以2222cos sin 430r r θθ+-+=，所以1r =， 所以满足90EKH ∠=︒的点K 的轨迹为圆，B 错误， 因为MK EH ⊥，(sin 2,cos ,3)MK r r θθ=-，(0,4,2)EH =， 所以4cos 60r θ+=，所以3cos 2r θ=-，故3(sin ,,3)2K r θ-，所以满足MK EH ⊥的点K 的轨迹为线段PQ ， 所以2232272PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 错误，因为222222EM =+=，2223MH OM OH =+=,2225EH EF HF =+=,所以EMH 为直角三角形，取EH 的中点为C , 又EKH 为直角三角形，所以CE CH CK CM ===,故C 为三棱锥K EMH -外接球的球心，故外接球的半径为5， 所以三棱锥K EMH -的外接球的表面积为20π，D 正确， 故选：D.二、填空题13．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2AB =，6PA 1B 到平面PAD 的距离为________【答案】655【分析】以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量，1B A 的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =， (0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴由00m AD m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020y x y z =⎧⎨++=⎩ 取1z =得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离1||655||B A m d m ⋅==. 65【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.14．己知圆22 : 42150C x y x y +---=上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距5k 的取值范围是______.【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题意知，足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，解方程即可得出答案.【详解】圆22 : 42150C x y x y +---=化为标准方程为()()22: 2120C x y -+-=， 所以圆心()2,1,25C r =，若圆C 上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距离等于5， 必须满足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，所以2217651k k k --+<+，化简得：22250k k +-<，解得：122k <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域为229{(,)|}4x y x y +≤，河岸线所在直线方程为3100x y +-=.假定将军从点(2,1)P 处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.【答案】72【分析】求出点P 关于直线的对称点(3,4)P '，根据对称性，原问题转化成求P '到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.【详解】设点(2,1)P 关于直线3100x y +-=的对称点(,)P a b '，13221310022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+⨯-=⎪⎩解得34a b =⎧⎨=⎩，所以(3,4)P '，将军从P 出发到达直线上点A 再到营区，PA P A '=， 所以本题问题转化为求点(3,4)P '到营区的最短距离， 根据圆的几何性质可得最短距离为3375222P O '-=-=.故答案为：72【点睛】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离，考查对圆的几何性质的应用.16．矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为______.【答案】71022⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，根据DB DE EF FB =++，计算275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图1，分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，垂足分别为F ，E ， 则在四面体ABCD 中也满足BF AC DE AC ⊥⊥，． 因为3AB =，1BC =，所以2AC =，13322DE BF ⨯===， 则12AE CF ==，1EF =．在四面体ABCD 中，DB DE EF FB =++，因为二面角D AC B --的平面角为θ，且BF AC DE AC ⊥⊥，， 所以DE 和FB 的夹角为πθ-， 所以()222222DB DE EF FBDE EF FB DE FB =++=+++⋅()2233335312cos πcos 22θθ=+++-=-⎝⎭⎝⎭因为ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72DB ⎡∈⎢⎣⎦．故答案为：⎣⎦三、解答题17．已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=，当m 为何值时，1l 和2l （1）平行； （2）垂直？【答案】（1）32m =-；（2）0m =或5m =.【分析】(1)根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=平行的条件12210A B A B -=且12210B C B C -≠列式可解得.(2) 根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=垂直的条件12120A A B B +=列式可得.【详解】(1)因为12l l //,所以22(3)20m m m ⨯--⨯=,解得32m =-或1m =,当1m =时,两条直线重合,不合题意舍去. 所以32m =-.(2)因为12l l ⊥,所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=,解得0m =或5m =. 【点睛】本题考查了两条直线平行或垂直的条件,属于基础题. 若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++= 则12l l //⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠; 12l l ⊥⇔ 12120A A B B +=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠=．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点H ，连接HE ，可证//HE PB ，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面积的正弦值； 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ，AB CD =，四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点， //HE PB ，又HE ⊂平面ACE ，PB ⊂/平面ACE直线//PB 平面 ACE（2）AB ⊥平面PAD ，作Ax AP ⊥，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠= 得(0,0,2)B ，(0,2,0)P ，(3,1,0)D -，(3,1,2)C -()0,2,2PB =- ， (3,3,0)PD =- ，(0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =0n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 20330z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨取()3,1,0n =22cos ,4222PB n PB n PB n⋅--∴===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为24【点睛】本题考查线面平行的证明，以及空间向量法求线面角，属于中档题.19．已知圆22:4240C x y x y ++--=.(1)过点(1,5)M 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程；(2)设过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 与圆C 交于AB 两点，若点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m 得方程.【答案】(1)7241130x y -+=或1x =； (2)6850x y -+=或68110x y +-=【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】(1)由22:4240C x y x y ++--=可得22(2)(1)9x y ++-=，即圆心为(2,1)C -，半径3r =，显然当直线斜率不存在时，1x =是圆的切线，当直线斜率存在时，设直线为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 由圆心到直线的距离2|215|31k k d k --+-==+，解得724k =，故切线为7241130x y -+=或1x =.(2)因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠=︒, 所以30CAB ∠=︒，故圆心到直线的距离322r d ==， 直线斜率不存在时，由13(2)22--≠知，不符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为11()2y k x -=-，则圆心到直线的距离25||3221k k =+，解得34k =±， 故直线方程为6850x y -+=或68110x y +-=.20．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2正方形，22,4SA SC ==，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)若//OE 平面SAB ，求二面角S AC E --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 25【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AB ⊥平面SAD ，进而证明SA AB ⊥，再根据集合关系证明SA AC ⊥即可证明结论；（2）根据题意，E 为SD 的中点，进而以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】(1)证明：因为平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ， 又AB ⊂平面ABCD 且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ， 又SA ⊂平面SAD ，所以SA AB ⊥.因为ABCD 是边长为2正方形，所以22AC =，又22,4SA SC ==， 所以222SA AC SC +=，即SA AC ⊥，又因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD . (2)解：因为OE ∥平面SAB ，OE ⊂平面SBD ，平面SBD 平面SAB SB =， 所以OE SB ∥，因为O 为BD 的中点，所以E 为SD 的中点，以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则有()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,22,0,1,2A B C D S E ， 易得平面SAC 的一个法向量为()2,2,0n DB ==-， 设平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩20220y z x y ⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1z =，则()2,2,1m =-， 设平面SAC 与平面EAC 所成夹角为θ，则4225cos 5225m n m nθ⋅===⋅⋅， 所以平面SAC 与平面EAC 所成夹角的余弦值为255.21．长方形ABCD 中，2=22=AB AD ，M 是DC 中点（图1）.将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --的余弦值为55，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=, 所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM , 所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-, 平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, 即()222525λλλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --的余弦值为55. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()65，，端点A 在圆()()221:434C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(5)(4)1x y -+-=. 14. (3)523.【分析】（1）设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，利用点P 是线段AB 的中点，求出026x x =-，025y y =-，通过点A 在圆1C 上运动，转化求解中点P 的轨迹2C 的方程即可；（2）将圆1C 与圆2C 的方程相减得22190x y +-=，求出圆2C 的圆心到直线22190x y +-=的距离d ，即可求解||MN ；（3）由题可得1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，可得13QC QC =，即323QA QC QC QC +≥+-2333C C -=，即可求解AQ CQ+的最小值.【详解】(1)解：设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，且点P 是线段AB 的中点，所以062x x +=， 052y y +=， 于是有 002625x x y y =-⎧⎨=-⎩①， 因为点A 在圆221:(4)(3)4C x y -+-=上运动，即： 2200(4)(3)4x y -+-=②， 把①代入②，得22(264)(253)4x y --+--=，整理，得22(5)(4)1x y -+-=， 所以点P 的轨迹2C 的方程为22(5)(4)1x y -+-=．(2)解：将圆()()221:434C x y -+-=与圆()()222:541C x y -+-=的方程相减得： 22190x y +-=，由圆()()222:541C x y -+-=的圆心为()54，，半径为1，且()54，到直线22190xy +-=的距离d==，则||MN == (3)解：圆()()221:434C x y -+-=是以()143C ，为圆心，半径12r =的圆，圆2C 是以()254C ，为圆心，半径21r =的圆， 所以1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-①，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，则13QC QC =，代入①式得： 323QA QC QC QC +≥+-233523C C -=，当且仅当23C Q C ，，共线时，取等号．所以AQ CQ +的最小值为523．。
湖北省孝感市新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含答案
2024年高二9月起点考试高二数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）A .20B.30C.40D.502.已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的虚部为（）A.2iB.-2C.2D.2i-3.已知()()2,0,2,2a b == ，则a在b 上的投影向量为（）A.)B.()1,1 C.()2,1 D.()2,24.已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为π3的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（）A.3B.3C.D.35.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现小于4的点”，B =“第二枚出现大于3的点”，则A 与B 的关系为（）A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等6.在三棱锥S ABC -中，三个侧面与底面ABC 所成的角均相等，顶点S 在ABC V 内的射影为O ，则O 是ABC V 的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，13,3CC CD ==，且1160C CB C CD ∠=∠=，则向量1AC的模长为（）A.B.34C.52D.8.已知单位向量,a b满足0a b b -+⋅= ，则()2ta b t +∈R 的最小值为（）A.3B.C.3D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于非零向量,a b，下列命题中正确的是（）A .若a b = ，则a b = . B.若a b =- ，则a ∥b .C.若a b > ，则a b > .D.若,a b b c ==，则a c = .10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段11C D 上运动，则下列选项中正确的是（）A.AP .B.平面1BB P ⊥平面1111D C B A .C.若P 是11C D 的中点，则二面角11P B B C --的余弦值为5.D.若114D P =，则直线1B P 与1BD 所成角的余弦值为5.11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a ∈R ，若复数()()2344i Z a a a =----为纯虚数，则复数1i Z a a =-+在复平面内对应的点位于第______象限.13.三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥===，则该三棱锥的外接球体积等于______.14.在ABC V 中，π,432A BC BA CA CB =⋅=⋅，则ABC V 中最小角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，15,6,,AB AC BB BC D E ====分别是1AA 和1B C 的中点.（1）求证：DE ⊥平面11BCC B ；（2）求三棱锥E BCD -的体积.16.已知2,4,a b a b ==+=（1）若()()22a kb ka b -⊥+，求实数k 的值；（2）求a 与36a b + 的夹角的余弦值.17.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12cos c a B =+.（1）若π3B =，求角C 的大小；（2）若ABC V 为锐角三角形，求ba的取值范围.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为PD 的中点，AD ∥,91,2,0BC BAD PA AB BC AD ∠===== .（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；（3）求直线EC 与平面PAC 所成角的正弦值.19.A 校和B 校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A 校学生和2000名B 校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[)40,100中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A 校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭频率组距满足函数关系()10.12,130.18,46n k n Y k n n -⎧⨯≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩（n 为组数序号，n ∈Z ）；关于B 校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为频率组距），假定每组组内数据都是均匀分布的.（1）求k 的值；（2）若B 校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？（3）现在设置一个标准t 来判定某一学生是属于A 校还是B 校，将成绩小于t 的学生判为B 校，大于t 的学生判为A 校，将A 校学生误判为B 校学生的概率称为误判率A ，将B 校学生误判为A 校学生的概率称为误判率B ，误判率A 与误判率B 之和称作总误判率，记为()f t .若[)50,70t ∈，求总误判率()f t 的最小值，以及此时t 的值.2024年高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD 【10题答案】【答案】ABC 【11题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】四【13题答案】【答案】3【14题答案】【答案】277四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明见解析（2）12【16题答案】【答案】（1）3k =（2）13-.【17题答案】【答案】（1）π2C =（2）.【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5【19题答案】【答案】（1）116 k=；（2）72分以上（3）最小为516，60t=.。
北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题与答案
北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,a m = ，(),2b m m =- ，若//a b，则m =（）A ．1或2-B ．1-或2C ．1或12-D ．1-或122．复数21i ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭（其中i 为虚数单位）的虚部等于（）A ．i-B ．1-C ．1D ．03．经过点()1,1M 且斜率为1-的直线方程是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．20x y -+=D ．20x y +-=4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A ．56B ．2243C D ．35．已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （*n ∈N ）的方差为1.2，则151x -，251x -，⋯，51n x -的方差为（）．A ．5B ．6C ．25D ．306．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（）．A ．15B ．25C ．12D ．237．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为（）A ．23B ．3C ．83D ．38．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（）A ．甲和乙相互独立B ．甲和丙相互独立C ．甲和丁相互独立D ．丁和丙相互独立9．已知两个不重合的平面α，β，三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是（）A ．若a b ，b α⊂，则a αP B ．若a b ⊥r r，b c ⊥，则a cP C ．a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，则αβ∥D ．a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b10．在四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论不正确的是（）A ．CD AB ⊥B ．CD BD ⊥C ．平面ADC ⊥平面ABD D ．平面ABC ⊥平面BDC 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知3512a b a b ==⋅=- ，，，则a 在b上的投影向量为12．过点()1,2-和点()1,2-的直线的斜率为.13．数据：35，54，80，86，72，85，58，53，46，66的第25百分位数为．14．已知三棱锥,,P ABC PA AB PA BC -⊥⊥，30,2,BAC BC PA ∠=== ，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量a ，b ，c ，其中()3,4a =.(1)若c 为单位向量，且//a c，求c 的坐标；(2)若5b = 且2a b - 与2a b - 垂直，求向量a ，b夹角的余弦值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是2222222sin sin ,,,sin A C a b c a b c C a c b-+-=+-.(1)若2,c D =是BC 的中点，且19AD =ABC 的面积；(2)若ABC 为锐角三角形，求222a cb +的取值范围.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.(1)求直方图中a ，b 的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,D AD BC CD A ⊥∥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面,D,ABCD PA P PA PD ⊥=．(1)求证：CD PA ⊥；(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得DM ⊥平面PAB ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由．20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题答案1．【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.【详解】由//a b，有22m m =-，解得1m =或2-．故选：A.2．【分析】由复数的运算法则先化简复数，根据复数虚部的概念可得答案.【详解】()2222==i 1i 2i 1i ⎛⎫--=- ⎪ ⎪---⎝⎭，所以其虚部为1-故选：B3．【分析】利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】因为直线经过点()1,1M 且斜率为1-，所以直线方程为()111y x -=-⨯-，即20x y +-=.故选：D.4．【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解.【详解】由()1424242h '+⋅=⎡⎤⎣⎦⇒2h '=为四棱台的斜高.设四棱台的高为h ，则h =所以四棱台的体积为：(14163V =+=故选：C5．【分析】利用方差的性质求解．【详解】 数据12,,...,n x x x 的方差为1.2，151x ∴-，251x -，……51n x -的方差为：25 1.230⨯=．故选：D.6．【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解.【详解】设1个红球为1a ，2个白球分别为12,b b ，2个黑球分别为12,c c ，则从袋子中任取2个球包含：()()()()()()()()()()11121112121112212212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a c a c b b b c b c b c b c c c ，共10个基本事件，其中取到红球，包含()()()()11121112,,,,,,,a b a b a c a c ，共4个基本事件，则取出的2个球都是红球的概率42105P ==.故选：B7．【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出sin A ，再利用余弦定理求出bc 即可求出三角形面积.【详解】在ABC 中，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=及正弦定理，得2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，而sin sin 0B C >，则1sin 2A =，由2228b c a +-=及余弦定理得2cos 8bc A =，cos 0A >，因此cosA ==bc =，则11sin 243ABC S bc A ==⨯ ，所以ABC 的面积为3.故选：B8．【分析】根据相互独立事件的定义可得答案.【详解】123,134,145,2+3=52+4=63+4=7，，+=+=+=，213,314,415,3+2=54+2=64+3=7，，+=+=+=，()12甲=P ，()12乙=P ，()16丙=P ，()13丁=P ，()0甲乙=P ，()16甲丙=P ，()16甲丁=P ，()0P =丙丁，对于A ，()()()1110224甲乙甲乙=⨯=≠=P P P ，故A 错误；对于B ，因为()()()111126126甲丙甲丙=⨯=≠=P P P ，故B 错误；对于C ，()()()11112366甲丁甲丁=⨯===P P P ，故C 正确；对于D ，()()()11106318丙丁丙丁=⨯=≠=P P P ，故D 错误.故选：C.9．【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据空间直线的位置关系判断B ，根据面面平行的判定定理判断C ，根据线面平行的性质定理判断D.【详解】当a b ，b α⊂，a α⊂时，不能推出a αP ，故A 错误；当a b ⊥r r，b c ⊥时，,a c 可能相交，也可能异面，不能推出a c P ，故B 错误；当a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，若,a b 不相交，则推不出αβ∥，故C 错误；当a α ，a β⊂，b αβ= ，由线面平行的性质定理知a b ，故D 正确.故选：D10．【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于B ，如图①，因为//,,90AD BC AD AB BAD =∠= ，所以45ABD ADB ∠=∠= ，又因为45BCD ∠= ，//AD BC ，所以135ADC ∠= ，所以1354590BDC ADC ADB ∠=∠-∠=-= ，所以CD BD ⊥，故B 正确；对于A ，由B 选项知CD BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以CD ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥，故A 正确；对于C ，由选项A 知，CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABD ，故C 正确;对于D ，如图②过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以⊥AE 平面BCD ，显然AE ⊄平面ABC ，所以平面ABC 与平面BDC 不垂直，故D 错误.故选：D.11．【分析】根据投影向量的公式即可得解.【详解】因为3,5a b == ，且12a b ⋅=-，所以a 在b 上的投影向量为21225||a b b b b ⋅⋅=-.故答案为：1225b -.12．【分析】利用两点斜率公式即可得解.【详解】因为直线过点()1,2-和点()1,2-，所以直线的斜率为()22211k --==---.故答案为：2-.13．【分析】根据百分位数的定义直接计算.【详解】将数据从小到大依次排列为35，46，53，54，58，66，72，80，85，86，又1025% 2.5⨯=，所以第25百分位数为第三个数，即为53，故答案为：53.14．【分析】先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径的关系即可求解.【详解】,PA AB PA BC ⊥⊥ ，AB BC B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA ∴⊥平面ABC ，如图，设圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长（即圆柱的高）为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，即O 为圆柱12O O 的外接球球心，且有外接球半径R =故可以将三棱锥-P ABC 置于以ABC 外接圆为底面，PA 为高的圆柱内（如图），其中上底面外接圆圆心为1O ，下底面ABC 外接圆的圆心为2O ，因为30,2BAC BC ∠== ，所以ABC 外接圆的直径2241sin 2BC r BAC ===∠，则2r =，又圆柱的高23h PA ==所以三棱锥-P ABC 外接球的半径()22222372PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，球的表面积24π28πS R ==.故答案为：28π.15．【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为,E F ，由题知2EF =，易知,BE BF BE BF ⊥=，可得2BE BF ==所以正方体的棱长为221111ABCD A B C D -的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为4，因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为24π216πS =⋅=.故答案为：16π.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过适当补形，求出外接球的半径，由此即可顺利得解.16．【分析】（1）设(,)c x y =,根据//a c 和||1c = 列出关于,x y 的方程求解即可.（2）根据垂直数量积为0,代入,a b 的模长,求解得12a b ⋅=.再根据夹角公式求解即可.【详解】（1）设(,)c x y =,由//a c 和||1c = 可得：223401y x x y -=⎧⎨+=⎩∴3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴34,55c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 或34,55c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）∵(2)(2)0a b a b -⋅-=，即222|52|0a a b b -⋅+=，又||5a =,||b = ∴12a b ⋅=，∴向量a ,b夹角的余弦值cos ,a b a b a b⋅==17．【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得π3B =，在ABD △中利用余弦定理求出BD ，从而可求出BC ，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；（2）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简222a cb +，得2π4sin 2363A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后求出角A 的范围，再利用正弦函数的性质可求得答案.【详解】（1）由余弦定理得2222222cos ,2cos a b c ab C a c b ac B +-=+-=，所以2sin sin cos ,sin cos A C b CC c B-=由正弦定理得2sin sin cos sin cos sin cos sin cos A C b C B CC c B C B-==，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A ，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD BA BD BA BD ABD ∠=+-⋅，所以21942BD BD =+-，解得5BD =，所以10BC =.所以ABC的面积1sin 2S ac B ==（2）由正弦定理得()2222222222sin sin 442πsin sin sin sin sin 333a c A C A C A A b B ⎡⎤++⎛⎫==+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222241453sin sin sin cos cos 32344A A A A A A A ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦412π4cos21sin 2344363A A A ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，所以π022ππ0,32A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得ππ62A <<，所以ππ5π2666A <-<，所以1π52π4sin 21,sin 22263363A A ⎛⎫⎛⎫<-≤<-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222a cb +的取值范围是5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦.18．【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准x 在[5,6)中，由此即可求出x 的估计值.【详解】（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =.（2）该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.15 6.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨）.（3）因[0,5)的频率为0.040.080.150.200.260.730.85++++=<，[0,6)的频率为0.730.150.880.85+=>，故x 的估计值为()0.850.73565 5.80.15-+⨯-=（吨）．所以有85%的居民每月的用水量不超过标准5.8（吨）．19．【分析】（1）设k A ，k B (1,2,3)k =分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，设甲获胜为事件E ，则111211223E A A B A B A B A =++，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件F ，则1121122F A B A A B A B =+，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件G ，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案.【详解】（1）根据题意，设k A ，k B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则1()3k P A =，1()2k P B =，(1,2,3)k =设甲获胜为事件E ，则111211223E A A B A A B A B =++，而1A ，112A B A ，11223A B A B A 互斥，故11121122312112121113()()()()33233232327P E P A P A B P A B A B =++=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（2）根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件F ，则1121122F A B A A B A B =+，而112A B ，1122A B A B 互斥，所以112112*********()()()32332329P F P A B P A B A =+=⨯⨯+⨯⨯⨯=（3）根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件G ，分两种情况讨论：若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件112A B A ，若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件112B A B ，故11211211121111215()()()222323223236P G P A B P B A B =⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=20．【分析】（1）根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD ，即可得结果；（2）建系标点，分别求平面APB 与平面PBC 法向量，利用空间向量求面面夹角；（3）设PM PB λ= ，分析可知DM ∥n，列式求解即可判断.【详解】（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，可得CD ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥.（2）取AD 中点O ，连接,OP OB ，因为PA PD =，则PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，可得PO ⊥平面ABCD ，由,OA OB ⊂平面ABCD ，可得,PO OA PO OB ⊥⊥，因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥=，则//,BC OD BC OD =，可知四边形OBCD 是平行四边形，则OB AD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P --可得()()()1,0,1,0,2,1,1,0,0AP PB CB =-=-= ，设平面APB 的法向量为(),,n x y z = ，则020n AP x z n PB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则2x z ==，可得()2,1,2n =；设平面PBC 的法向量为(),,m a b c = ，则020m CB a m PB b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1b =，则0,2a c ==，可得()0,1,2m =；则cos ,3n mn m n m ⋅=⋅，所以平面APB 与平面PBC（3）设()[]0,2,,0,1PM PB λλλλ==-∈，且()1,0,1DP = ，则()1,2,1DM DP PM λλ=+=-，若DM ⊥平面PAB ，则DM ∥n ，可得121212λλ-==，方程无解，所以不存在点M ，使得DM ⊥平面PAB .20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1)2,1;(2)最大值为4;(3)【详解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.。
高二数学上学期9月考试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校16HY二零二零—二零二壹高二数学上学期9月考试题〔含解析〕一、选择题一共8小题，每一小题6分，一共48分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．1.“a，b，c，d是实数，假设a＝b，那么a+c＝b+d〞〕A.a，b，c，d是实数，假设a+c≠b+d，那么a≠bB.a，b，c，d是实数，假设a+c≠b+d，那么a＝bC.a，b，c，d是实数，假设a+c＝b+d，那么a≠bD.假设a+c≠b+d，那么a，b，c，d不是实数，且a≠b【答案】A【解析】【分析】.【详解】a，b，c，d是实数，假设a＝b，那么a+c＝b+d，a，b，c，d是实数，假设a+c≠b+d，那么a≠b.应选：A.【点睛】.2.假设PQ“P∨Q〞为真，“P∧Q〞为假，“￢P〞为真，那么可知〔〕A.PQ为假B.PQ为真C.PQ均为假D.PQ均为真【答案】B【解析】【分析】.【详解】由“￢P 〞为真，那么P 为假，又“P ∨Q 〞为真，“P ∧Q 〞为假，那么P 与Q 一真一假，所以P 假Q 真.应选：B【点睛】.3.设实数a ，b 满足b ＜a ＜0，那么以下不等式①a +b ＞ab ；②|a |＞|b |；③a 2＜b 2；④b a a b +＞2中，所有正确的不等式的序号为〔〕A.①②③B.③④C.③D.④【答案】B【解析】【分析】根据不等式的根本性质，结合根本不等式，对每个选项进展逐一分析，即可容易选择判断.【详解】①因为0b a <<，故可得0a b +<，0ab >，故ab a b >+，①错误； ②因为0b a <<，根据绝对值的意义，故可得b a >，故②错误；③()()220a b a b a b -=-+<，故22a b <，故③正确；④因为0,0b a a b >>，且b a a b ≠，故2b a a b +>=.故④正确； 综上所述，正确的选项是③④.应选：B .【点睛】此题考察不等式的根本性质以及根本不等式的应用，属综合根底题.4.等比数列{a n }中，首项为a 1，公比为q ，那么a 1＞0且0＜q ＜1是数列{a n }单调递减的〔〕A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】求得数列{}n a 单调递减的充要条件，即可从充分性和必要性进展判断选择.【详解】等比数列{a n }中，首项为a 1，公比为q ，故可得11n n a a q -=， 假设{}n a 单调递减，那么101a q <⎧⎨>⎩或者1001a q >⎧⎨<<⎩， 故当a 1＞0且0＜q ＜1，即可得数列{}n a 单调递减；假设{}n a 单调递减，不一定是a 1＞0且0＜q ＜1.故a 1＞0且0＜q ＜1是数列{a n }单调递减的充分不必要条件.应选：A .【点睛】此题考察充分性和必要性的判断，涉及等比数列的单调性，属综合根底题.5.等比数列{a n }中，a 1•a 2•a 3＝﹣26，a 17•a 18•a 19＝﹣254，那么a 9•a 10•a 11的值是〔〕A.﹣210B.±210C.﹣230D.±230【答案】C【解析】 【分析】根据等比数列的性质，即可直接得到结果.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，故可得a 1•a 2•a 3，a 9•a 10•a 11，a 17•a 18•a 19也构成等比数列，故()()26546091011222a a a =-⨯-=， 故可得a 9•a 10•a 11302=±， 又，a 1•a 2•a 3＝﹣26，即可得()320a <，故可得20a <，同理180a <，那么100a <，也即a 9•a 10•a 11()3100a =<， 故可得a 9•a 10•a 11302=-应选：C .【点睛】此题考察等比数列的性质，属根底题；注意等比中项正负的选择即可.6.等差数列{}n a 中，79,a a 是一元二次方程2670x x --=的两个实根，那么3101223a a a ++=〔〕A.6B.9C.18D.27 【答案】C【解析】【分析】由韦达定理可得796a a +=，即可求出8a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，计算可得()310121823676a a a a d a ++=+=，即可求出答案.【详解】由79,a a 是一元二次方程2670x x --=的两个实根，可得796a a +=，那么79832a a a +==， 设等差数列{}n a 的公差为d ，那么()()()3101211123223911a a a a d a d a d ++=+++++()118642676a d a d a =+=+=6318=⨯=.应选：C.【点睛】此题考察等差数列的性质，考察学生的计算求解才能，属于根底题.7.等比数列{a n }，a 1＝33，q ＝12，设前n 项的积T n ＝123n a a a a ⋅⋅⋅，那么当n ＝_____时，T n 获得最大值.〔〕A.6B.7C.8D.9 【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式代入即可求解.【详解】由{a n }是等比数列，a 1＝33，q ＝12， 所以1111332n n n a a q--⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，且数列为递减数列， 由633132a =>，733164a =<， 所以前n 项的积T n ＝123n a a a a ⋅⋅⋅， 当6n =时，T n 获得最大值.应选：A.【点睛】此题考察了等比数列的通项公式，考察了根本运算，需熟记公式，属于根底题.8.集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{x ||x ﹣b |＜a }，假设“a ＝1”是“A ∩B ≠∅〞的充分非必要条件，那么b 的取值范围是〔〕A.﹣1≤b ＜2B.﹣2＜b ≤2C.﹣3＜b ＜﹣1D.﹣2＜b ＜2【答案】D【解析】【分析】根据充分性，结合集合的交运算结果不为空集，列出不等式，那么问题得解.【详解】因为{}2|10{|11}A x x x x =-<=-<<，当1a =时，{|11}B x b x b =-<<+.根据题意，此时A ∩B ≠∅，故可得111b -<+<或者111b -<-<或者11,11b b -=-+=，故可得20b -<<或者02b <<或者0b =，即22b -<<.应选：D【点睛】此题考察根据充分性和必要性求参数范围，涉及由集合交运算得结果求参数范围，属综合根底题.二、填空题一共7小题，每一小题6分，一共42分．9.“∀x ∈〔0，+∞〕，都有x 2﹣1＞0”的否认形式是_____．【答案】∃x ∈〔0，+∞〕，使得x 2﹣1≤0【解析】【分析】.【详解】“∀x ∈〔0，+∞〕，都有x 2﹣1＞0”，所以其否认是∃x ∈〔0，+∞〕，使得x 2﹣1≤0，故答案为：∃x ∈〔0，+∞〕，使得x 2﹣1≤0，【点睛】.10.等差数列{a n }，a 1＝2，d ＝2，假设a 1，a 4，a m 成等比数列，那么m ＝_____．【答案】16【解析】利用等差数列的通项公式以及等比中项即可求解.【详解】a 1，a 4，a m 成等比数列，那么241m a a a =，又因为{a n }为等差数列，a 1＝2，d ＝2，所以()()211131a d a a m d +=+-⎡⎤⎣⎦，即()642221m =⨯+-⎡⎤⎣⎦，解得16m =故答案为：16【点睛】此题考察了等差数列的通项公式、等比中项的应用，考察了根本运算求解才能，属于根底题.11.在△ABC 中，BC ＝10，AB •AC ＝50，那么△ABC 的周长的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，利用根本不等式即可容易求得结果.【详解】三角形ABC 的周长为：l BC AB AC =++101010AB AC =++≥+=+，当且仅当AB AC ==.故答案为：10+【点睛】此题考察利用根本不等式求和的最小值，属根底题.12.数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n +2，那么a 1+a 3+a 5+a 7＝_____．【答案】34【分析】根据,n n S a 关系求得n a ，即可赋值得到结果.【详解】因为22n S n n =++，当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，()()22121122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦. 又当14a =不满足上式，故可得4,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩. 那么135746101434a a a a +++=+++=.故答案为：34.【点睛】此题考察利用n S 求n a ，注意分类讨论，属根底题.13.数列{a n }，a n ＝n ，那么122311a a a a ++341a a +……+9101a a ＝_____． 【答案】910【解析】【分析】根据a n ＝n ，得到()1111111n n a a n n n n +==-++，然后利用裂项相消法求解. 【详解】因为a n ＝n ， 所以()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以122311a a a a ++341a a +……+9101a a ＝，1111111119...1 1223349101010 -+-+-++-=-=,故答案为：9 10【点睛】此题主要考察裂项相消法数列求和，还考察了运算求解的才能，属于中档题.14.不等式m2+m a∈[﹣1，1]恒成立，那么实数m的取值范围是_____．【答案】m≥1或者m≤﹣2【解析】【分析】[]1,1-上的最大值，再解一元二次不等式即可容易求得结果.【详解】因为[]1,1a∈-，故可得[]288,9a+∈⎡⎤⎣⎦.不等式m2+m a∈[﹣1，1]恒成立，即可得213m m++≥，即220m m+-≥，()()210m m+-≥，解得1m≥或者2m≤-.故答案为：1m≥或者2m≤-.【点睛】此题考察一元二次不等式的求解，涉及恒成立问题的转化，属综合根底题.15.如图，一粒子在区域{〔x，y〕|x≥0，y≥0}上运动，在第一秒内它从原点运动到点B1〔0，1〕，接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒挪动一个单位长度，设粒子从原点到达点A n、B n、∁n时，所经过的时间是分别为a n、b n、c n，请你尝试求出3c＝_____，{b n}的通项公式b n＝_____．【答案】(1).8(2).()311nn-+-【解析】【分析】根据题意，列举数列的前几项，归纳总结，即可求得3c 以及n b .【详解】根据题意，容易可得：123451,6,7,12,13,b b b b b =====； 123452,5,8,11,14,c c c c c =====； 123453,4,9,10,15,a a a a a =====.由归纳可得：38c =； 且数列{}n c 是首项为2，公差为3的等差数列，故可得31n c n =-；容易知{}n b 的奇数项是{}n c 的奇数项减去1得到；{}n b 的偶数项是{}n c 的偶数项加上1得到；故()311n n b n =-+-.故答案为：8；()311n n -+-.【点睛】此题考察等差数列通项公式的求解，以及归纳法求数列的通项公式，属综合根底题.三、解答题一共4小题，一共60分．在答题纸相应位置答题，解容许写出文字说明、演算步骤或者证明过程．16.设等差数列{a n }是一个递增数列，前n 项和为S n ，a 1+a 3＝5，a 1•a 3＝214． 〔1〕求数列{a n }的通项公式；〔2〕设数列{b n }满足b n ＝a n +2n +1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【答案】〔1〕12n a n =+；〔2〕221242n n T n n +=++- 【解析】【分析】〔1〕设出数列公差，利用等差数列的根本量，即可容易公差和首项，再写出通项公式即可； 〔2〕根据〔1〕中所求的，得到n b ，再用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n 项和公式，即可求得结果.【详解】〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得1225a d +=；()112124a a d +=， 解得13,12a d ==或者17,12a d ==-〔舍〕 故12n a n =+； 〔2〕根据〔1〕中所求，那么1122n n b n +=++， 故()()2134121224212122n n n n n T n n ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=+=++-- 221242n n n +=++-. 【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，以及等差数列和等比数列前n 项和的求解，涉及分组求和法，属综合根底题.17.解关于x 的不等式：x 2+〔a ﹣1〕x ﹣a ＞0〔a ∈R 〕．【答案】详见解析【解析】【分析】根据x 2+〔a ﹣1〕x ﹣a ＞0，因式分解得到()()10x ax +->，再分1a <-，1a =-和1a >-三种情况求解.【详解】因为x 2+〔a ﹣1〕x ﹣a ＞0，所以()()10x a x +->当1a <-时，解得1x <或者x a >-，当1a =-时，解得1x ≠，当1a >-时，解得x a <-或者1x >，综上：当1a <-时，不等式的解集是：{|1x x <或者}x a >-，当1a =-时，不等式的解集是：{}|1x x ≠，当1a >-时，不等式的解集是：{|x x a <-或者}1x >【点睛】此题主要考察含参一元二次不等式的解法，还考察了分类讨论的思想，属于中档题.18.设等比数列{a n }，首项为a 1，公比为q ，满足，a 2+a 3＝34，a 3+a 4＝38． 〔1〕求数列{a n }的通项公式；〔2〕有限项的数列{c n }一共有25项，且满足条件：①c n ＞0；②c i •c 26﹣i ＝1〔i ＝1，2，3，……，13〕；③c 13，c 14，c 15，……，c 25是公比同样为q 的等比数列；求{c n }的前n 项和公式S n ，1≤n ≤25，n ∈N *．【答案】〔1〕112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；〔2〕()13*121,125,2n n S n n N ⎡⎤⎛⎫=-≤≤∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】 〔1〕利用等比数列的根本量，转化条件，求得首项和公比，再写出通项公式即可； 〔2〕根据数列的特征，结合等比数列的前n 项和公式，即可容易求得.【详解】〔1〕根据题意可得：()1314a q q +=；()21318a q q +=， 解得111,2a q ==. 故112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.〔2〕因为c n ＞0，c i •c 26﹣i ＝1〔i ＝1，2，3，……，13〕，故可得131c =，且c 13，c 14，c 15，……，c 25是首项为1公比为12的等比数列. 故可得121225131122c c ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又c i •c 26﹣i ＝1〔i ＝1，2，3， (13)故1212,,c c c 是是首项为122,公比为12的等比数列. 又121411212c c ===，131c =，那么131212c c =， 故数列(),1,2,3,25n c n =是以首项为122，公比为12的等比数列. 那么121312*********n n n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.()1,2,3,25n =.【点睛】此题考察等比数列的根本量的计算，涉及等比数列前n 项和的求解，属综合中档题.19.()(2)(3),()22xf x m x m x mg x =-++=-，假设同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或者()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.那么m 的取值范围是________________.【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220x g x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，m∈--．综上所述，(4,2)【考点定位】此题考察学生函数的综合才能，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或者〞，还考察了分类讨论思想．。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(解析)
2026届高二数学秋季月考卷第一期考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =− ，则2a b −=A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b −=−−=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B.12C. 12−D. 1−【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =− 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 当0a ≠时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =− ， 所以13113a a×==−，解得：1a =−. 故选：D.3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20−∞ B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞【答案】B 【解析】分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +−>，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5−∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bb B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bb C. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN =，则k 等于（ ）A. 0B. 23−C. 23−或0 D. 34−或0 【【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离，即可求出k 的值. 【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34−， 故选：D.6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ）， A. 1条 B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果. 【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=， 将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=， 当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b −+∴===+−−−， a ∗∈N ，303b ≠−，33b ∗∴∈−N ，31b ∴−=或33b −=，44b a = ∴ =或62b a = = ，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)ADa a =>，(02)AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =−，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +−=，所以a ， 当02x <<时，所以(]2(1)10,1x −−+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求.PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y −+−=的圆心为()9,2C ，半径为4， 圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO −≤≤+−≤≤+， 所以5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =−−的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ， 则1322nmn m ==−− ，解得33m n =− =− ，故()3,3G −−， 因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立， 所以PM PN +的最小值为1358−=. 故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1 B. 2 C. 1− D. －2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y −=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行， 所以1a ≠±． 故选：AC.10. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确的是（ ） A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3πB. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断； 选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=，即可判断； 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠°，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=；故C 正确. 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥. 同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角。
【数学】高二数学上学期开学考试9月习题文
【关键字】数学襄阳五中高二年级9月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中正确的是( )A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点2．经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )．A．x＋y＝2 B．x＋y＝．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y3．根据右下边框图，对大于2的整数，得出数列的通项公式是（）A．B．C．D．4．在等比数列中, , 则等于（）A．或B．或C．D．5．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）A．B．C．D．6．设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．③④D．①④7．若，则下列不等式正确的个数是（）①②③④A．1 B．．3 D．48．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．D．9．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为（）A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝110．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱11．若圆C：x2＋y2－x－y－12＝0上有四个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是（）A．[－2,2] B．[－2，] C． (－2,2) D．(－2，)12．在△ABC中，角所对的边分别为，已知＝，，则的最大值为（）A．3 B．．9 D．36二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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襄阳五中高二年级9月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中正确的是( )A ．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B ．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．棱台的底面是两个相似的正方形D ．棱台的侧棱延长后必交于一点2．经过点M (1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )．A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y 3．根据右下边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．2(1)n a n =-C ．2n n a =D ．12n n a -=4．在等比数列{}n a 中, 6135=⋅a a , 4145,a a +=则9080a a 等于（ ）A ．23或32 B ．3或2- C ．23 D ．325．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++=（ ） A ．(1)2n n + B ．2(1)n n + C ．21n n + D ．2(1)nn +6．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n 则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④7．若,,,a b c R a b ∈>且，则下列不等式正确的个数是（ ）①b a 11< ②22b a > ③44bc ac > ④1122+>+c b c a A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．83πB ．32πC ．8πD ．82π 9．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为（ ）A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 11．若圆C ：x 2＋y 2－22x －22y －12＝0上有四个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为2，则c 的取值范围是（ ）A ．[－2,2]B ．[－22，22]C ． (－2,2)D ．(－22，22)12．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a ＝3，tan 21tan A cB b+=，则b c +的最大值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．36二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+0330101y x y x y x ，则目标函数z=2x+y 的最大值为________ ．14．汽车以每小时50km 的速度向东行驶，在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶1.2小时后，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时汽车与灯塔的距离为 _____ km ．15．如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的 角的余弦值是________．16．如图，已知平面l =⊥βαβα ,，B A 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且,3,,=⊥⊥AD l CB l DA6,6==CB AB .P 是平面α上的一动点，且直线PC PD ,与平面α所成角相等，则二面角D BC P --的余弦值的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本大题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且sin 3cos b A a B =．（1）求角B 的大小；（2）若a =4，c =3，D 为BC 的中点，求△ABC 的面积及AD 的长度．18．（本大题满分12分）已知两条平行直线l 1：310x y -+=与l 2：330x y -+=．（1）若直线n 与l 1、l 2都垂直，且与坐标轴构成的三角形的面积是23，求直线n 的方程． （2）若直线m 经过点(3，4)，且被l 1、l 2所截得的线段长为2，求直线m 的方程；19．（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,D E 分别为111,A B AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （1）求证：//EF 平面1BDC ；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.20．（本大题满分12分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元；（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）若400=a ，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为2的圆C ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线20x +=相切. （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上，是否存在点P ，满足PQ =，其中，点Q 的坐标是(1,0)Q -.若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）若在圆C 上存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交不同两点,A B ，求m 的取值范围.并求出使得OAB ∆的面积最大的点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积.22．（本大题满分12分）已知1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足：22213,0n n n n S n a S a -=+≠，n=2，3，4，……，设数列{}n b 满足：n n a b 2=，*∈N n ．（1）证明数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n b 的公差；（2）确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{}n a 是单调递增数列．高二年级9月月考数学参考答案（文）DDCAC AACBB DB 13．8； 14．； 15．78； 16．23。
17．解析：（1）B a A b cos 3sin =因此，利用正弦定理化简得：B A A B cos sin 3sin sin =， 3分0sin ≠A B B cos 3sin =∴，即3tan =B ，B 为三角形的内角，060=∴B . 6分(2)23sin ,3,4===A c a 33sin 21==∴∆A ac S ABC 9分D 为BC 的中点，利用余弦定理得：7213229460cos 20222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+=BA BD BA BD AD ，则7=AD 12分18．(1)解：直线l 1的斜率是13k = ∵n l ⊥ ∴直线n 的斜率是33k =- 2分 设直线n 的方程为33y x b =-+，令0y =得3x b =，令0x =得y b = 4分 ∴1|3|||232b b ⋅=，∴2b =±，∴直线n 的方程为323y x =-+或323y x =--． 6分(2)解：l 1、l 2之间的距离22|31|1(3)(1)d -==+- 8分 设直线m 与l 1所成锐角为θ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒，直线m 的倾斜角为90°或30° 10分 所以，直线m 的方程为3x =或34(3)3y x -=-即3x =或333y x =+．12分19．（1）证明：取AB 的中点M ，14AF AB =F ∴为AM 的中点，又E 为1AA 的中点，1//EF A M ∴ 在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点，11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴//,EF BD ∴BD ⊆平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D//EF ∴平面1BC D ………6分20.（Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。
定义域为(]80,0 6分（Ⅱ）200001002100040041000=⋅≥⎪⎭⎫⎝⎛+=v v y ，当且仅当v v 4004=，即40=v 时等号成立， ∴当40=v 时，20000min =y答：当火车以h km /40的速度行驶，全程运输成本最小． 12分21. 解析：（1）设圆心是()()00,00x x >，它到直线20x +=的距离是2d ==，解得02x =或06x =-(舍去),所以,所求圆C 的方程是()2224x y -+=. 4分（2）假设存在这样的点),(y x P ，则由PO PA 22=，得02422=+++x y x . 6分 即，点P 在圆D:()2222x y ++=上，点P 也在圆C:()2224x y -+=上.因为=42c d CD r r >+=，所以圆C 与圆D 外离，圆C 与圆D 没有公共点.所以，不存在点P 满足条件. 8分 （3）存在，理由如下：因为点(),M m n 在圆C 上，所以()2224m n -+=，()222424n m m m =--=-且04m ≤≤.因为原点到直线:1l mx ny +=的距离1h ==<，解得144m <≤ 10分而AB =212OAB S AB h h ∆==-==因为111164m ≤<，所以当1142m =，即12m =时，OAB S ∆取得最大值12，此时点M 的坐标是12⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭，OAB ∆的面积的最大值是12. 12分22. 解析：（1）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+= ①．于是213(1)n n S S n ++=+ ②．2分由②－①得163n n a a n ++=+ ③．于是2169n n a a n +++=+ ④．由④－③得26n n a a +-= ⑤， 4分 所以12226n n n n b b a a ++-=-=，即数列{}n b 是等差数列，公差是6． 6分 （2）由题意知2112S S +=，所以2122a a =-，而3215a a +=，4321a a +=， 所以332a a =+，4182a a =-． 8分数列{}2k a 和{}21k a +分别是以23,a a 为首项，6为公差的等差数列，所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)k a a k +=+-( k∈N *)． 10分因此，数列{}n a 是单调递增数列⇔12a a <且22122k k k a a a ++<<对任意的k∈N *成立⇔12a a <且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- ⇔1234a a a a <<< ⇔122a a <-3<+2182a a <-⇔91544a <<． 所以，a 的取值集合是}41549|{<<=a a M ． 12分。