长沙理工大学电磁场(冯慈璋版)作业答案

1-8，1-9，

1-10

1-19，

1-20 1-21

1-28，

1-31，

1-32，真空中一点电荷C q 6

10-=，放在距离金属球壳（半径为5cm ）的球心15cm 处，求：

（1）球面上各点的ϕ、E 表达式。何处场强最大，数值如何？

（2）若将球壳接地，情况如何？

（3）若将该点电荷置于球壳内距球心3cm 处，求球内的ϕ、E 表达式。

P

解：（1）利用点电荷对导体系统的镜像方法原理，可知在球壳内有-q’的镜像电荷，位于距中

心b 处，q d

a q ='，d a

b 2

=。由于金属球壳呈电中性，则在位于点电荷一侧导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值，且导体球表面上的正、负感应电荷的总量应等于零。为了满足电荷守恒定律，必须在原导体球内再引入一个镜像电荷q ''，且q q '=''。由于点电荷q 和镜像电荷-q '、q ''共同作用的合成电场必须保证球面边界是一个等位面的条件，因此镜像电荷q ''必定位于球心。本题目就可简化为均匀介质内三个点电荷的电场问题，利用叠加原理可以计算。

由于C q 610-=，故C q q d a q q 3101556

-==='='' 由于点电荷q 和镜像电荷q '-在球壳上形成的电位为零，球壳的电位仅有镜像电荷q ''产生，即为：

4212601061051085814343104⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯='

'=---..a q πεϕ=60kV 球壳上任意点P 的电场强度为：

32120220210444r r r P a

q r q r q

e e e E πεπεπε''+'-

= 在球表面点A 处场强最大，其值为：

()[]()

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯-=------22622262260max 10510311015551031105151041πεE =61042⨯.V/m （2）球壳接地，则镜像电荷只有q '-，于是球面上：

0=ϕ

2122021044r r P r q r q

e e E πεπε'-=

在球表面点A 处场强最大，其值为：

()[]

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯-=----22262260max 1015551031105151041πεE =61063⨯.V/m （3）按照题意，给定的点电荷位于球壳内是点电荷与导体球问题的逆问题，进行逆向处理后，得到金属球壳在接地条件下球外的镜像电荷q '-，然后按照球壳为电中性条件，引入均匀分布于球壳表面S ，总量为q 的镜像电荷q ''，以保证S 面上的边界条件不变。

镜像电荷q '-（q a

d q ='）位于球外，其位置距球心d （b a d 2

=），同时，为满足边界条件不变，q d s

=⋅⎰S D ，在球壳处应为叠加呈均匀分布的总量为q 的电荷效应，因此球内的电位和电场强度分别为：

a

q r q a d r q 01020444πεπεπεϕ+-= 1221022044r r r q r q

e e E πεπε'-=

式中1r 、2r 分别为所设定的球内电荷q 与镜像电荷q '-至球壳内任意场点p 处的距离。 1-33，

1-38，

2-2，2-3，2-4，

2-9，

3-7，

3-32，

5.1-5.3

5-5，

5-6，