专升本试题及解答(四川理工2017)

2017年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1、当0→x 时，下列选项中是x 的高阶无穷小的是（ C ）

（A ）x 2sin （B ）11--x （C ）1cos -x （D ）)51ln(x + 【知识点】无穷小的比较。

解析：021lim 1cos lim 200=-

=-→→x

x

x x x x ，由定义知，1cos -x 是x 的高阶无穷小。 2、已知c x F dx x f +=⎰)()(，则=+⎰dx x

f )12

(（ D ）

（A ）C x F +)(2 （B ）C x F +)2( （C ）C x F ++)12( （D ）C x

F ++)12

(2

【知识点】第一类换元积分法（凑微分法）。 解析：

C x

F x d x f dx x f ++=++=+⎰⎰

)12

(2)12()12(2)12(。 3、可设方程x

xe y y y 396-=+'+''特解的待定系数形式为（ B ）

（A ）x

e

b ax 3)(-+ （B ）x

e

b ax x 32

)(-+ （C ）x

axe

3- （D ）x

e

3-

【知识点】二阶非齐次方程的特解形式)(*x Q e x y n x

k λ=。

解析：特征方程0962

=++r r ，321-==r r （重根），3-=λ 故，特解形式可设为：x

e

b ax x y 32

)(*-+=。

4、下列级数中，条件收敛的是（ C ） （A ）

n n n )32()

1(1

1

∑∞

=-- （B ）∑∞=--11)1(n n n （C ）12)1(11+-∑∞=-n n n n （D ）311

51)1(n

n n ∑∞

=-- 【知识点】条件收敛的概念。 解析：对级数

1

2)1(1

1

+-∑∞

=-n n

n n ： ∑∑∞

=∞

=+=1112n n n n n u ，021

12lim ≠=+∞→n n n ，由级数收敛的必要条件知，级数∑∞

=1n n u 发散； 由交错级数的审敛法知，

12)

1(1

1

+-∑∞

=-n n

n n 收敛，即∑∞

=1

n n u 收敛， 故，级数

1

2)1(1

1

+-∑∞

=-n n

n n 条件收敛。

5、设21,αα是非齐次线性方程组b AX =的解，β是对应齐次方程组的一个解，则b AX =一定有一个解是（ D ）

（A ）21αα+ （B ）21αα- （C ）21ααβ++ （D ）βαα-+213

2

31 【知识点】方程组解的定义。

解析：由题设知，0,,21===βααA b A b A ，而

b b b A A A A =-+=-+=-+03

2

313231)3231(2121βααβαα， 即，向量βαα-+213231满足方程组b AX =，故βαα-+213

2

31为方程组的一个解。

二、填空题：（每题3分，共15分） 1、已知3)31(lim -∞

→=+

e n

nk

n ，则=k 。

【1-】 【知识点】重要极限。

解析：3333)

31(lim )31(lim -⨯∞→∞→==+=+e e n

n k k

n

n nk n ，即1-=k 。 2、设⎩⎨⎧>≤=1

,ln 1,)(x x x e x f x ，则=⎰e dx x f 0

)( 。【e 】

【知识点】定积分的区间可加性。 解析：

e e dx x dx e dx x

f e

x e

=+-=+=⎰⎰⎰

1)1(ln )(1

10

。

3、曲线2

1x x

y -=

的渐近线条数为 ；【3】

【知识点】渐近线的定义。 解析：01lim

2=-∞→x x

x ，即0=y 为曲线的水平渐近线；

∞=-→211lim x x x ，∞=--→2

11lim x x

x ，即1±=x 为曲线的垂直渐近线。

4、幂级数∑∞

=-1

)3(n n n x 的收敛域为 。【)4,2[】

【知识点】幂级数的收敛域。（考虑端点） 解析：由13lim

1

<-=+∞→x u u n

n n 得：42<

当2=x 时，级数∑∞

=-1

)1(n n

n 为收敛的交错级数，

当4=x 时，级数

∑∞

=1

1

n n 为发散的调和级数，故收敛域为)4,2[。

5、若矩阵X 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛123431

52X ，则=X 。【⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-1042】 【知识点】逆矩阵及矩阵的乘法。 解析：由⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛12343152X 得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-123431521

X ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=104212342153

三、求解下列各题（每小题6分，共60分）

1、确定b a ,的值，使函数⎩⎨⎧≤+>=0

,)sin(0

,)(x b ax x e x f x 在0=x 处可导。【1==b a 】

【知识点】可导、连续的定义。

解析：由连续知：])[sin(lim )(lim 00b ax e x x

x +=-

→+

→，即1=b ；

由可导知：x

x a x e x x x ∆∆=∆--→∆∆+→∆)

sin(lim 1lim 00，即1=a 。

2、求曲线2

x y =与直线2+=x y 所围成平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的的体积。

【知识点】定积分的应用（求面积和体积）。 解析：（图略）29)2(2

1

2=

-+=⎰

-dx x x A ；ππ5

62])2[(214

2=-+=⎰-dx x x V 。

3、设

x

x

sin 是)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(。 【知识点】分部积分法。 解析：

c x

x

x x c x x x x x dx x f x xf x xdf dx x f x +-=+-'=-=='⎰⎰⎰sin 2cos sin )sin (

)()()()(。 4、求曲线3

2

,,:t z t y t x L ===上的点，使该点处的切线平行于平面133=++z y x 。 【知识点】空间曲线的切线。

解析：2

3,2,1t z t y x ='='='，设对应点的的参数为t ，则切向量}3,2,1{2

t t s =； 平面的法向量}1,3,3{=n ，由条件得：0=⋅s n ，即03632

=++t t ，即1-=t ， 故，所求点的坐标为)1,1,1(-。