同构映射的定义同构映射的定义

§6.8 线性空间的同构一、

同构映射的定义

一、同构映射的定义

二、同构的有关结论

我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V 到P n 的一个单射

反过来，对于P n 中的任一元素是V 中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，

是V 到P n 的一一对应.引入12(,,,),n a a a L α12,,,,n εεεL αα12(,,,)n a a a L α12:,(,,,)

n n V P a a a σα→a L 12(,,,),

n a a a L 1122n n

a a a αεεε=+++L 12()(,,,),

n a a a σα=L σσ

这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取设

,,V αβ∈12()(,,,)n b b b σβ=L 1122,n n a a a αεεε=+++L 1122n n b b b βεεε=+++L 12()(,,),n a a a σα=L 则1122()(,,)

n n a b a b a b σαβ+=+++L 12()(,,)n k ka ka ka k P

σα=∀∈L 归结为它们的坐标的运算.

这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+L L 12(,,)(),

n k a a a k σα==L 从而

一、同构映射的定义

设都是数域P 上的线性空间，如果映射,V V ′具有以下性质：

V V σ′→：则称的一个同构映射，并称线性空间V V σ′是到同构，记作V V ′与.

V V ′≅ii) ()()(),

,V σαβσασβαβ+=+∀∈iii) ()(),,k k k P V σασαα=∀∈∀∈i) 为双射

σ

为V 的一组基，则前面V 到P n 的一一对应

例1 V 为数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL :,

n

V P σ→12(,,,)n a a a αa L V α∀∈这里为在基下的坐标，α12(,,,)n a a a L 12,,,n εεεL 就是一个V 到P n 的同构映射，所以.n

V P ≅

1 数域P 上任一n 维线性空间都与P n 同构.

二、同构的有关结论

同构映射，则有

()()()00,.

σσασα=−=−1）2 设是数域P 上的线性空间，

的V V σ′是到,V V ′2）1122()

r r k k k σααα+++L 1122()()(),

r r k k k σασασα=+++L ,,1,2,,.

i i V k P i r α∈∈=L

线性相关（线性无关）.

3）V 中向量组线性相关（线性无关）12,,,r αααL 的充要条件是它们的象12(),(),,()r σασασαL 4）dim dim .

V V ′=5）的逆映射为的同构映射.

V V σ′→：1σ−V V ′到是的子空间，且V ′dim dim ().

W W σ=(){()}

W W σσαα=∈6）若W 是V 的子空间，则W 在下的象集

σ

中分别取即得

01,k k ==−与()()()

00,σσασα=−=−证：1）在同构映射定义的条件iii)()()k k σασα=2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.

3）因为由11220

r r k k k ααα+++=L 可得1122()()()0

r r k k k σασασα+++=L 反过来，由1122()()()0r r k k k σασασα+++=L 可得1122()0.

r r k k k σααα+++=L

而是一一对应，只有σ(0)0.

σ=所以可得11220.

r r k k k ααα+++=L 因此，

线性相关（线性无关）12,,,r αααL 12(),(),,()r σασασα⇔L 线性相关（线性无关）.

4）设为V 中任意一组基.

12,d ,,im ,n V n εεε=L 由2）3）知，

为的一组基.σ12(),(),,()n σεσεσεL 所以dim dim .

V n V ′==

11(())()σσαβσσαβαβ−−′′′′′′

+=+=+o 任取,,V αβ′′′∈11,,V V I I σσ

σσ−−′==o o I 为恒等变换.1111()()(())(())σσασσβσσασσβ−−−−′′′′=+=+o o 11(()())

σσασβ−−′′=+5）首先是1－1对应，并且

1:V V σ−′→同理，有11()(),

,k k V k P σασαα−−′′′′=∀∈∀∈所以，为的同构映射.1σ−V V ′到σ再由是单射，有111()()()σαβσασβ−−−′′′′+=+σ

6）首先，()()W V V σσ′

⊆=()()(),W W σσσ∈∴≠∅

Q 且0=0其次，对有W 中的向量(),,W αβσ′′∀∈,αβ使()(),.

σαασββ′′==于是有()()()

αβσασβσαβ′′+=+=+()(),k k k k P

ασασα′==∀∈由于W 为子空间，所以,.W k W αβα+∈∈从而有()(),.

W k W αβσασ′′′+∈∈