中职数学拓展模块2.1.1椭圆的标准方程教案教学设计人教版
椭圆标准方程的教案
《椭圆的标准方程》教案——张慧2.2.1椭圆的标准方程教案一．教学目标：知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；掌握椭圆的标准方程的概念，明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X 轴与Y 轴上的不同；能根据椭圆标准方程求焦距和焦点,初步掌握求椭圆标准方程的方法。
能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力,在进一步培养学生数形结合和化归的数学思想方法的过程中，提高学生的学习能力。
情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣；培养学生勇于创新的精神,数学审美的能力，以及数与形对立统一的辩证唯物主义思想。
二．教学重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；教学难点：椭圆的标准方程的推导，辨析椭圆标准方程。
三．教学过程： （一）复习导入复习提问：1.圆的定义；2.圆的标准方程。
新课导入：提问学生是否记得2003年10月15日这个具有重大意义的日子？ 通过课件演示2003年10月15日，我国自行研制的“神舟”五号载人飞船成功遨游太空21小时后顺利返回地面，实现了中国人的飞天梦． (二)新课讲授1、由拉线画椭圆的实验，我们得到椭圆的定义．讲解时，必须强调2a ＞2c ＞0的条件．为此，我们在做拉线画椭圆的实验时，用同一根细绳（长度为2a ），不断改变F 1、F 2的距离（为2c ）重复画椭圆（即2a 不变，2c 变化），带领学生总结如下规律：F 1和F 2的距离越大，画出的椭圆越扁平，F 1和F 2的距离越小，画出的椭圆越接近圆，当F 1和F 2重合时，椭圆变成了圆，当F 1和F 2的距离等于绳长时，椭圆就“退化”为一条线段．这样，不但突出了椭圆定义中2a ＞2c ＞0的条件，还为讲解椭圆的离心率对其扁圆程度的影响打下伏笔．（说明：也可以固定F 1、F 2，改变绳长画椭圆）2、推导椭圆的标准方程，可按照求曲线方程的步骤进行：（1）设点（先建立坐标系），（2）列式（3）代换（4）化简（5）证明（可省略）．要注意以下几点：（1）为使所得方程简单易记，启发学生思考：怎样利用椭圆是对称图形的特点来选取坐标系？（2）对方程a y c x y c x 2)()(2222=+-+++①化简有一定难度，教学中只要抓住“怎样消去方程中的根号”这一关键问题，介绍两种去根号的方法，步骤写详细一些，学生可以接受．（3）方程①两次平方，得到方程（a 2-c 2）x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2)②后，指出：为了使方程简单易记，且具有对称美，可设b 2=a 2-c 2，从而得到标准方程，12222=+by a x （a ＞b ＞0）．思考：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？问题1:椭圆的定义 图形标准方程 焦点坐标a,b,c 的关系 焦点位置的判断问题2如图2-5，当动点M 到达B 点时，()()a MF MF BF BF BF =+=+=212122121．在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，所以|OB |2＝a 2－c 2．(4)由方程a y c x y c x 2)()(2222=+-+++① 经两次平方并化简得到方程)()(22222222c a a y a x c a -=+- ② 可能不是同解变形，必须证明“以方程②的解为坐标的点必在椭圆上”．由于证明过程学生接受起来比较困难，所以教材中省略了．如有学生问起可以加以说明．（此证明在“引伸与提高”中给出）．（5）当椭圆方程化为标准形式后，x 2与y 2项的哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上． （三）例题讲解【例1】求椭圆13522=+y x 的焦点与焦距。
高中数学新人教版B版精品教案《2.1.1 椭圆及其标准方程》
椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计一、教材及学情分析本节课是《全日制普通高级中学教科书（选修1-1）·数学》（人民教育出版社B版教材）第二章第一节第一课时《椭圆及其标准方程》。
在必修2第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在选修1-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。
二、教学目标分析按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义。
②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高运算能力。
2．过程与方法目标：①学生经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法。
②初步学会坐标化的方法求动点轨迹方程，经历运用数学思想方法分析和解决问题的过程。
3．情感态度价值观目标：①学生通过活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思等活动，促进学生形成研究氛围和合作意识②学生经历知识的形成过程教学，从而知其然并知其所以然，体会前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，初步体验扎实严谨的科学作风④经历椭圆方程的化简,增强战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美三、重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四、教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。
中职数学教案：椭圆的标准方程
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：
备课组别数学
上课
日期
主备
教师
授课
教师
课
题：
19.1椭圆的标准方程
教学目标1.掌握椭圆的定义，焦点，焦距的定义
2.掌握掌握椭圆的标准方程相关参数的含义及几何性质，会用椭圆的标准方程求相关参数；
3. 会根据条件求椭圆的参数方程。
重点椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.
难点坐标系的建立和椭圆标准方程的推导．
教法讲练结合数形结合实物演示几何画板
教学
设备
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程个案补充
教学内容一、引入新课
【创设情景】
材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.
学生分组做试验,教师同时做好指导:
按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）
212|
||||MF F F 时212|||||MF F F 时, M 点的轨迹为线
212
|||||MF F F 时, M 探究新知
（一）归纳定义
通过师生共同总结归纳，形成椭圆概念
2||2MF a 且
2
2
22)()2,x
c y x c y a
2
21(0)x a b b
+=>> 即：椭圆的标准方程
焦点在x 轴：
2
2y 焦点在2y。
教案教学设计中职数学拓展模块212椭圆的几何性质
教案教学设计中职数学拓展模块212椭圆的几何性质教学目标：1.了解椭圆的几何性质；2.掌握椭圆的构造方法；3.能够应用椭圆的几何性质解决实际问题。
教学重点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆的构造方法；3.椭圆的应用。
教学难点：椭圆的几何性质的应用。
教学方法：1.讲授法；2.示范法；3.问题导向法；4.探究法。
教学过程：Step1 导入新课1.引入新课题，提出问题：你知道什么是椭圆吗？椭圆有什么几何性质呢？2.学生回答问题。
Step2 学习椭圆的定义和性质1.引导学生回忆、复习圆的性质。
2.介绍椭圆的定义：椭圆是一个平面上的图像，它有两个焦点F1和F2，任意一点P到这两个焦点的距离之比始终等于一个常数e（0<e<1）。
3.给出椭圆的几何性质：-短轴与长轴的长度之比为:e=√(a^2-b^2)/a，其中a是长轴的长度，b是短轴的长度。
-顶点到焦点的距离之和等于长轴的长度：PF1+PF2=2a。
Step3 探究椭圆的构造方法1.利用绳子和两个固定点构造椭圆。
2.给出椭圆的定义再次强调两个关键性质：焦点和长轴。
Step4 进一步学习椭圆的性质1.在板书上给出椭圆的定义和性质，让学生记下来。
Step5 椭圆的应用1.通过例题引导学生如何利用椭圆的性质解决实际问题。
2.让学生自己尝试解决一些相关问题。
Step6 小结与拓展1.总结本节课的内容，提出问题：为什么地球的形状近似于椭圆呢？2.展示一些相关拓展内容，如测量椭圆的周长和面积等。
Step7 课堂练习与作业布置设计一些练习题供学生练习，并布置相关作业。
教学反思：本节课通过引导学生回忆圆的性质，介绍椭圆的定义和性质，并探究椭圆的构造方法，深化了学生对椭圆的认识和理解。
通过示范和问题导向的教学方法，培养了学生的思维能力和解决问题的能力。
通过应用椭圆的几何性质解决实际问题的练习，让学生更好地掌握了椭圆的应用。
同时，教师在课堂上注重学生的参与和互动，让学生在实践中感受到椭圆的漂亮与神奇，激发了学生学习的兴趣。
《椭圆的标准方程》教案设计
《椭圆的标准方程》教案设计椭圆的标准方程教案设计本教案设计旨在帮助学生全面了解椭圆的标准方程，并掌握椭圆相关概念和性质。
通过理论讲解和实例演练，引导学生深入理解椭圆方程的特点和应用。
一、导入部分教师可以通过以下导入方式引发学生对椭圆的兴趣：1. 提出问题：你们是否听说过椭圆这个概念？可以举一些与椭圆相关的实际例子，如运动场、轮子等，让学生思考椭圆与我们生活的联系。
2. 展示图片：展示一些椭圆的图片，引导学生观察并描述这些图片中的几何形状。
进而引入椭圆的定义和性质。
二、知识讲解1. 椭圆的定义：介绍椭圆的定义和基本特征，即平面上到两个焦点的距离之和等于定值的点的集合。
2. 椭圆的数学表示：引入椭圆的标准方程，即(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1（a>b>0），解释其中的参数含义和几何意义。
3. 特殊椭圆的标准方程：介绍特殊情况下的椭圆标准方程，如圆的标准方程为(x-h)² + (y-k)² = r²。
4. 椭圆的焦点、顶点和长短轴：通过几何图形和示意图，讲解椭圆的相关定义，包括焦点、顶点和长短轴的含义和计算方法。
5. 椭圆的离心率：解释椭圆的离心率及其与椭圆形状的关系，提供计算离心率的方法。
三、实例演练教师可以通过实例演练巩固学生对椭圆标准方程的理解和应用能力。
以下是一个例子：例题：已知椭圆的焦点为F1(3,0)，F2(-3,0)，离心率为e=2/3，求椭圆的标准方程。
解析：1. 通过给定的焦点坐标可知，椭圆的中点坐标为M((3-3)/2,(0+0)/2)= (0,0)。
2. 根据离心率与长轴、短轴的关系，可得长轴a=3e=2，短轴b=a√(1-e²)=√(3²-2²)=√5。
3. 将M和a、b的坐标代入椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1中，得到(x-0)²/2² + (y-0)²/(√5)² = 1。
人教版高中数学优质教案2：2.1.1 椭圆及其标准方程(二) 教学设计
2.1.1 椭圆及其标准方程（二）教学目标：明确圆锥曲线的概念.理解并掌握椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程及其推导方法.教学重点：椭圆的定义及其标准方程.教学难点：椭圆标准方程应用和求法.教学过程：一、课前复习：椭圆的定义及其标准方程.二、讲解新课典例[解析]例1根据下列条件，求椭圆的标准方程.①坐标轴为对称轴，并且经过两点A （0，2）和B （3,21）. ②经过点（2，-3）且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点.解：①设所求椭圆的方程为n y m x 22+=1(m ＞0,n ＞0)，∵椭圆过A （0，2），B （3,21）， ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+41:,1341140n m nm n m 解得，∴所求椭圆方程为：x 2+42y =1。
②∵椭圆9x 2+4y 2=36的焦点为（0，±5），则可设所求椭圆方程为：522++m y m x =1(m ＞0)将x =2,y =-3代入上式得：1594=++m m ，解得：m =10或m =-2（舍去），∴所求椭圆的方程为：151022y x +=1 指出：①小题中所求椭圆方程设为ny m x 22+=1(m ＞0,n ＞0)，这是因为题中未给定焦点所在的坐标轴，如若用常规思路设为2222by a x +=1（a ＞b ＞0）或2222a y b x +=1(a ＞b ＞0)去求时，运算过程将会非常繁琐，而且还要舍去一个不符合题意的.因此，在焦点位置未明确的情况下，本题所设方程是恰当合理的，简单易行的.如遇类似问题时我们不妨采取这一设法.②小题中的设法也不失为一种好的设法.因已知椭圆的焦点为（0，±5），如若能注意到方程522++m y m x =1(m ＞0)表示的是其焦点F 1（0，-5）、F 2（0，5）的椭圆方程时，问题将会变得简单易解，使我们感到得心应手.在以后学习过程中如遇类似问题不妨采取这种设法.例2 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x ，因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有4)2(22=+y x ，即1422=+y x ，所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x 。
语文版中职数学拓展模块2.1《椭圆的标准方程和性质》教案
阜阳十中自然大课堂学案 《椭圆的简单性质》第 (1)对于椭圆x a 2＋y b2＝1(a ＞b ＞0) ①x ，y 的取值范围是什么？②其对称轴方程是什么？对称中心的坐标是什么？③四个顶点坐标是什么？长轴、短轴的长分别为多少？(2)它的离心率e 怎样定义的？离心率的范围是什么？离心率e 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？(3)椭圆上哪一个点到左焦点的距离最近？哪一个点到左焦点的距离最远？2．例题导读(1)P 29例3.通过本例学习，掌握椭圆的简单几何性质，能根据方程写出椭圆的简单几何性质；(2)P 30例4、P 30例5.通过这两例学习，掌握椭圆简单几何性质的应用，能根据性质用待定系数法求椭圆的标准方程．三、我的疑问：（预习自测）【探究案】一、 质疑探究：探究点一：利用椭圆的标准方程研究几何性质[例1] 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．探究点二：利用几何性质求椭圆的标准方程[例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)经过(3，0)、(0，－5)两点；(2)a ＝6，e ＝13； (3)一个焦点到长轴两端点的距离分别是10和4.探究点三：椭圆的离心率[例3] (1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若以F 1F 2为直径的圆与椭圆有交点，则椭圆离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎤0，22(2)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则该椭圆的离心率为________．教学相长 博喻善导本例(2)中将条件“过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形”改为“A 为y 轴上一点，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，若△AF 1F 2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？拓展提升：1．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．2．(1)过点A (－3，0)且离心率e ＝53的椭圆的标准方程是( ) A.x 29＋y 24＝1 B.x 24＋y 29＝1 C.x 29＋y 24＝1或x 29＋y 2814＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 2814＋y 29＝1 (2)焦点与长轴较近的端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程是________．3．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 (2)如图所示，边长为a 的正方形组成的网格中，设椭圆C 1，C 2，C 3的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1＝e 2＜e 3B ．e 2＝e 3＜e 1C ．e 1＝e 2＞e 3D ．e 2＝e 3＞e 1 4.若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为12，则k ＝________． 5．已知椭圆长轴与短轴之和为18，焦距为6，求椭圆的标准方程．二、知识网络：三、当堂检测：（多媒体显示）四、我的收获：（反思静悟，体验成功）德学齐修自主自强。
椭圆及其标准方程教案8 人教课标版正式完美版课件.doc
2. 1.1椭圆及其标准方程教学目标：•知识目标：使学生理解并掌握椭圆的定义及其标准方程，会根据条件判断椭圆并会求出相 应的椭圆方程。
.能力目标：通过观察、联想、类比等思想方法的运用，培养学生对问题探索的能力，逐 步培养学生数学应用建模的意识，渗透分类及数形结合的数学思想。
•情感目标：通过个人独立探索和团队合作讨论，培养学生良好的相互协作意识；通过对实 际问题研究与史料的介绍，，培养学生探索创新能力和科研意识。
教学重点：椭圆的定义和标准方程. 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学方法：教师应创设情境，设置一系列问题，引导学生思考、归纳、总结、反思运用，直 至学生对该知识理解并掌握。
电教手段：多媒体实验教具：直尺、图片教学过程：—、新课导入：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移 动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的 两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？(学生动手，观察结 果)思考：移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距 离之和等于常数.二、讲授新课：.定义椭圆：把平面内与两个定点好，毘的距离之和等于常数(大于|耳坊|)的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.•椭圆标准方程的推导：以经过椭圆两焦点耳，耳的直线为X 轴，线段耳堪的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标 系设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点耳，坊的坐标分别 为(-c,0), (c,0),又设M 与耳，笃的距离之和等于2a ,根据椭圆的定义，则有2 2\MF\ + \MF^ = 2a ,用两点间的距离公式代入，画简后的為+」p = l ，此时引入 a ci — c2 2 b 2=a 2-c 2要讲清楚.即椭圆的标准方程是吝+ * = l(a>b 〉O ).根据对称性，若焦点在2 2 y 轴上，则椭圆的标准方程是詁+计=l(a > b > 0).两个焦点坐标耳(―c,0),耳(c,0).通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式:\MF^ + \MF^ = 2a 和b 2+c 2=a 2•练习判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明、，写出焦点坐标 = = 2 2 2 2三+三=1 二+丄=1二 25 16 144 169 m 2 m 2+l小结：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。
中职数学拓展模块2.1.1椭圆的标准方程教案教学设计人教版
中职中专数学教学设计教案中职中专数学教学设计教案☆补充设计☆教师行为学生行为设计意图*揭示课题了解2. 1 椭圆.*创设情境兴趣导入我们已经学习过直线与圆的方程.知道二元一次方程引导观看启发学生得Ax+By+C=0为直线的方程，二元二次方程课件结果2 2 _ _ _ _ _2_2 _ _x +y +Dx+Ey+F=0(D +E _4F>0)为圆的方程.思考下面将陆续研究一些新的二兀二次方程及其对应的曲线.*动脑思考探索新知 先来做一个实验:准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画 一个椭圆:（1）如图2—1所示，将绳子的两端固定在画板上的F 1和F 2两点，并使绳长大于 F i 和F 2的距离.（2）用铅笔尖将线绳拉紧， 并保持线绳的拉紧状态， 笔尖在 画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形.从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点F i 和F 2的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）我们将平面内与两个定点F i 、F 2的距离之和为常数（大于F 1F2I ）的点的轨迹（或集合）叫做 椭圆.这两个定点叫做椭圆实验画出的图形就是椭圆.下面我们根据实验的步骤来研究 椭圆的方程.取过焦点F 「F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图 2 —2所示.思考的焦点，两个焦点间的距离叫做 焦距.引导学生发现 解决问题方法得到椭圆的标准方程为教师行为 学生行为 设计意图理解 记忆设M(x, y)是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c (c>0),椭圆上的点与两个定点 8、F 2的距离之和为2a (a>0),则F1，F 2 的坐标分别为(—c, 0), (c, 0),由条件|MFi|+|MF2|=2a,得、22 ,、22x c) y - (x -c) y =2a, 移项得x c)2y 2=2a -两边平方得 (x c)2y 2=4a 2— 4a. (x —c)2y 2(x -c)2y ；整理得a 2-cx =aJ(x -c)2+ y 2,两边平方后, 整理得(a 2-c 2)x 2a 2y 2=a 2(a 2-c 2),由椭圆的定义得 2a>200,即a>c>0,所以a 2-c 2>0 ,设a 2—c 2=b 2(b >0),则,2 2 2 2 2. 2b x a y = a b ,【小提示】设a 2-c 2=b 2,不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义. 等式两边同时除以a 2b 2,得2 2x y1(a>b> 0)(2.1)方程(2.1)叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程.它所表示 的椭圆的焦点是 F i (p0), F 2(c,0),并且a 2-c 2 =b ：如图2—3所示，如果取过焦点F 「F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为 x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以图2 —2中职中专数学教学设计教案中职中专数学教学设计教案☆补充设计☆1 .椭圆的定义2 .椭圆的标准方程推导作业设计必做：P33 练习 A. 1、2; B. 1 选做：A. 3 ;教学后记板书设计3.例题：。
数学 2.2.1椭圆的标准方程教学设计 新人教B版选修2 1 教案
内涵和外延。
F1、F2 间的距离|F1F2|称为焦距。
问：为什么常数要大于|F1F2|？
不大于会如何？
（学生继续分组讨论，请出代表说讨论的结
果）
4．椭圆的标准方程的推导
（1）如何选取坐标系？
方案 1 以两定点的连
F1
P
学会建立适当的坐标
系，构造数与形的桥梁，
F2
渗透数形结合的数学思
准方程 探
线为 X 轴，其垂直平分线为 Y 轴 想。
分析 提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极
参与教学活动。在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与
讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要时可进行大面积提问，让学生做课堂的主
人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。这样既有利于化解难点、突出重点，也 有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互 动中掌握知识，提高解决问题的能力。另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广
（-c,0）、F2（c,0）
根据椭圆的定义可得：│PF1│+│PF2│=2 a
老师演示化简过程来突 破难点。
[学生完成填空]
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
[化简过程老师带着学生一起完成]
化简得
x2
y2
1
a2 a2 c2
设 a2 c2 b2 (a c 0) ，
(为什么要取平方？)
在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“观察——
实验----猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示
知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的
中职数学高二椭圆及其标准方程优质教案
中职数学高二椭圆及其标准方程优质教案一、教学目标1. 理解椭圆的概念，掌握椭圆的标准方程，能解决简单的实际问题。
2. 通过观察椭圆的形状，提高学生的空间想象能力。
3. 通过学习椭圆的方程，培养学生的数学逻辑思维。
二、教学内容1. 椭圆的定义与标准方程2. 椭圆的几何性质三、教学重点与难点重点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质。
难点：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导。
四、教具和多媒体资源1. 黑板2. 投影仪3. 教学软件：几何画板五、教学方法1. 激活学生的前知：通过回顾与椭圆的相关的知识，激活学生的前知。
2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和案例分析等多种教学策略。
3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，自己推导椭圆的标准方程。
六、教学过程1. 导入：通过观察生活中的椭圆形状，例如橄榄球、鸡蛋等，引导学生思考椭圆的定义。
2. 讲授新课：讲解椭圆的标准方程，推导过程采用引导式，让学生理解推导的思路。
通过几何画板展示椭圆在平面上的形成过程，帮助学生理解椭圆的定义。
3. 巩固练习：给出几个点，让学生自己尝试画出椭圆，进一步理解椭圆的形状。
再根据椭圆的标准方程，进行求解点的坐标的练习。
4. 归纳小结：总结椭圆的定义、标准方程以及几何性质，让学生对椭圆有完整的认识。
布置作业，要求学生完成相关练习题，巩固所学知识。
七、评价与反馈1. 设计评价策略：通过课堂小测验、小组报告和观察学生的表现，了解学生的学习情况。
2. 为学生提供反馈：根据评价结果，为学生提供学习建议，帮助他们进一步掌握椭圆的有关知识。
八、作业布置1. 完成教材上的相关练习题。
2. 自己尝试给出几个点的坐标，求出对应的椭圆方程。
椭圆的标准方程教案
椭圆的标准方程教案椭圆的标准方程教案第1篇教学目标：（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程。
（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力。
（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神。
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的推导。
教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导启发讨论探索结果，引导学生直观观察归纳抽象总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力。
教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳。
教学过程（一）设置情景，引出课题：1对椭圆的感性认识。
通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆。
2通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定规律运动的轨迹。
提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：1在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？（二）研讨探究，推导方程1知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？椭圆的标准方程教案第2篇一、教材分析（一）教材的地位和作用本节是继直线和圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
（二）教学重点、难点1、教学重点：椭圆的定义及其标准方程2、教学难点：椭圆标准方程的推导（三）三维目标1、知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
人教版高中数学优质教案1：2.1.1 椭圆及其标准方程(一) 教学设计
2.1.1 椭圆及其标准方程（一）一、教学目标1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义, 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．3．情感目标（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.二、重点、难点重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．难点：椭圆标准方程的推导与化简．三．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．四．教具准备：多媒体课件和自制教具：呼啦圈，绘图板、图钉、细绳．五、教学过程（一）创设情境，认识椭圆．材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：“嫦娥一号”模拟轨道图．2007年10月24日，我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功, 开始了举世瞩目的太空之旅，流传了几千年的飞天神话，变成了现实，这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．请问：“嫦娥一号” 绕地球飞行的运行轨道是什么？（课件演示轨道图）引入课题：椭圆及其标准方程．（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过“嫦娥一号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.）（二）动手实验，亲身体会．1．教师演示，引出研究思路．教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆．思考：在圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生研究椭圆．）2．学生分组试验．(1)取一条细绳；(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点1F 、2F ；(3)用铅笔尖（M ）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？（教师巡视指导，展示学生成果）3.分析实验，得出规律．(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？学生总结规律：1212||||||MF MF F F +>轨迹为椭圆；1212||||||MF MF F F +=轨迹为线段；1212||||||MF MF F F +<轨迹不存在．（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．）（三）总结归纳，形成概念．定义：平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.） 问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？)22(221c a a MF MF >=+.（设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.）（四）合理建系，推导方程．1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简；（5）证明（可省略）（由学生回答，不正确的教师给予纠正．）2.如何选取坐标系？【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点；方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点；方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2与x 轴的左交点为原点；方案四：把F 1、F 2建在y 轴上，以F 1F 2的中点为原点；教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？学生讨论，经过比较确定方案一.（设计意图：积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．）3．推导标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点， 则{}a MF MF M P 221=+=（称此式为几何条件）， ∴得()()a y c x y c x 22222=++++-（实现集合条件代数化），（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得)()(22222222c a a y a x c a -=+-．（2）b 的引入．由椭圆的定义可知，c a 22>, ∴220a c ->． 让点M 运动到y 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时设222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+，两边同时除以22b a ，得到方程：()222210x y a b a b +=>>（称为椭圆的标准方程）． （3）建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．要建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？ 方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x ，y 交换了位置），直接得到方程．方法2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图1（前面方程推导时用过）与图3的联系(关于直线x y =对称)即可化未知为已知，将已知的焦点在x 轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．只需将图1沿直线y x =翻折即可转化成图3；图1 图3(4)教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不够简洁.（设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y 轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）4．归纳概括，掌握特征．（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c 的关系：222c a b -=)0(>>b a ；（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（五）尝试应用，范例教学．例写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是()02-，、()02，，并且经过点P 3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成．教师巡视，投影学生[答案]．学生讨论总结．）解题思路1：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆方程的标准方程12222=+bx a y ()0>>b a ，再将椭圆上点的坐标3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2a 、2b 的值，从而得到椭圆的标准方程为161022=+x y ． (设计意图：学会用待定系数法球椭圆的标准方程.)解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，到两个焦点()02-，、()02，的距离之和为常数2a ）求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2b 的值，进而写出标准方程．（设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.）（六）回顾反思，归纳提炼.1.椭圆定义；2.椭圆标准方程；3.解题思想方法．（七）课后作业，巩固提高．（八）板书设计：。
椭圆的标准方程教学设计
《椭圆的标准方程》导学案
一、学习《椭圆的定义》微课
1、动手实践画椭圆。
2、找几个生活中的椭圆图形？
3、总结微课中的知识点。
二、知识准备
1、回顾求曲线方程的步骤：
2、对照求曲线方程步骤，写出推导圆的标准方程的过程？（可以查找资料）
三、根据圆的标准方程的推导过程，尝试类比出椭圆的标准方程？
附件2：
（教师总结）结论：分母大焦点在
例1、填空(指出下列方程的a、b、c及焦点坐标）（学生板演）
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）、两焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0），椭圆上一点到两焦点距离之和等于10.
（2）、一焦点的坐标是（2,0），且椭圆过P .
及时发现问题，调整课堂策略
巩固新知，学以致用，自我检测，问题反馈，有效学习。学会评价他人与自我评价。
数学课堂活动评价表
班级：姓名：得分：
评价项目
评价标准
等级分
自我评价
优秀
良好
一般
较差
课前任务
能独立完成微课以及导学案学习
15
12
9
6
课堂表现
能认真听老师讲课，听同学发言
15
12
9
6
讲解表现
我能清楚的表达自己的想法，形态自然
20
15
10
5
小组活动
3、指出2a与2c,并讨论：
2a>2c时，轨迹是什么？
2a<2c时，轨迹是什么？
2a=2c时，轨迹是什么？
唤起学生对新知的回顾，完成知识的内化。
通过动手实践，加深对2a与2c的理解。
小组合作
推导方程
回顾曲线方程推导步骤（学生回答，教师补充）
椭圆及其标准方程 教案
椭圆及其标准方程教案课题：2.1.1椭圆及其标准方程教材：人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1授课教师：教学目标：知识与技能：通过本节课教学，使学生理解椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导方法；过程与方法：通过对椭圆定义的归纳和椭圆方程的推导，揭示椭圆知识的形成过程，逐步提高学生抽象概括能力、逻辑思维能力和运算能力，同时让学生欣赏数学的简洁美与和谐美；情感及价值观：通过教学，培养学生良好的思维习惯、严谨的科学态度以及不怕困难和勇于探索的精神．教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学手段：计算机教学方法：引领、探究、讨论教学过程：一、创设情境，导入新课1．由“嫦娥二号”引入新课（1）大屏幕展示“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空，并获得了圆满成功。
（2）由“嫦娥二号”卫星的运行轨道引出课题．二、小组讨论阅读教材32页----34页，完成导学案的内容。
1．让学生直观认识椭圆类比圆的画法，导出椭圆的画法：将细绳的两端固定在硬纸板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，画出一个椭圆．思考（一）1.移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？2.经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖 ______________________等于常数．3.在作图时，哪些量是变化的，哪些量是不变的？2．椭圆的定义（1）学生概括椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距思考（二）若将常数记为，为什么？当时，其轨迹为；当时，其轨迹为3.椭圆的标准方程（1）椭圆标准方程的探究（ⅰ）建系以两定点、所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图）．可以看出对称性，设，则，．（ⅱ）设点设为椭圆上的任意一点，与、的距离的和等于()．由定义得到椭圆上点的集合为．（ⅲ）列式将条件式代数化，得（*）（ⅳ）化简．（* *）（2）的引入由椭圆的定义可知，,，令，于是得，两边同时除以，得椭圆的标准方程为．（3）如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,则椭圆方程为这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的思考（三）（ⅰ）椭圆一定都有标准方程吗？（ⅱ）椭圆的标准方程中a,b,c的关系如何（包括大小关系）？你能在椭圆的图形中找到表示a,b,c的线段吗？（ⅲ）怎样判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上？（ⅳ）如果椭圆的标准方程可以写成A+B=C, 那么A,B,C应该满足什么条件？三．应用举例例1例2四．总结提升1．知识与技能层面的小结椭圆的定义；椭圆的标准方程；、、之间的关系；2. 过程与方法层面的小结包括本节课所涉及到的数形结合的思想、化归与转化思想五．当堂检测六．作业高考调研课时作业七定义考察：3标准方程考察：1，2，6，8，9综合应用：4，5，7。
椭圆的标准方程教学设计 人教课标版正式完美版课件.doc
《椭圆的标准方程》教学设计教材：人教版《数学》选修系列一一、教学背景分析（一）教材的地位与作用《椭圆的标准方程》是继学习必修圆以后又一二次曲线的实例。
从知识上说, 它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。
椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。
（二）对教学目标的阐述根据课程标准的要求，本节教材特点及学生的认知情况，把教学目标拟定如下：•知识与技能目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆；•过程与方法目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；•情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。
本教案的设计着眼点是让学生集体参与、主动参与，让学生动手、动脑，通过观察、猜想、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索。
所以，在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度是本节课要达成的情感目标。
（三）重、难点的分析与突破据以上教材、教学目标的分析，确定椭圆的标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。
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☆补充设计☆
教 师行为
学生行为
设计意图
*揭示课题
2．1 椭圆． *创设情境 兴趣导入
我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程0Ax By C ++=为直线的方程，二元二次方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->为圆的方程．
下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线． 了解 观看 课件 思考
引导 启发学生得出结果
*动脑思考 探索新知
先来做一个实验：
准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：
（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离．
（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．
从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个
定点1F 和2F 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）． 我们将平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数（大于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．
取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．
思考
引导学生发现解决问题方法
设M (x ，y )是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c （c ＞0），椭圆上的点与两个定点12F F 、的距离之和为2a （a ＞0），则12F F ，的坐标分别为（－c ，0），（c ，0），由条件122MF MF a +=，得
2222()()2x c y x c y a +++-+=，
移项得
2222()2()x c y a x c y ++=--+，
两边平方得2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+， 整理得 222()a cx a x c y -=-+， 两边平方后，整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 由椭圆的定义得2a ＞2c ＞0，即a ＞c ＞0，所以220a c ->，设222(0)a c b b -=>，则
222222b x a y a b +=，
【小提示】
设222a c b -=，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义． 等式两边同时除以22a b ，得
22
22
10x y a b a b += (＞＞) （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．它所表示
的椭圆的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222a c b -=．
如图2－3所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为
理解
记忆
图2－2
22
22
10y x a b a b += (＞＞) （2.2）
图2－3
方程（2.2）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．字母a 、b
的意义同上，并且222a c b -=． 【想一想】
已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？ *巩固知识 典型例题
例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
解 由于2c =8，2a =10，即c =4，a =5，所以
2229b a c =-=，
由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为
2
2
22
153x y
+=，
即 22
1259
x y +=．
【想一想】
将例1中的条件“椭圆的焦点在x 轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
（1）22
154
x y +=； （2）22216x y +=．
分析 解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上．方法是观察标准方程中含x 项与含y 项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．
解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且
观察 思考 主动 求解
注意观察学生是否理解知识点。