《常微分方程》_(方道元_著)_课后习题答案__浙江大学出版社
《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
常微分方程 习题答案
常微分方程习题答案常微分方程（ODEs）是数学中的一个重要分支，研究方程中的未知函数的导数与自变量之间的关系。
在实际应用中，ODEs广泛用于描述各种自然现象和工程问题，如物理学中的运动学、天体力学、电路理论等。
本文将通过一些常见的ODEs习题，探讨其解答方法和相关概念。
1. 一阶线性常微分方程考虑形如$y'+p(x)y=q(x)$的一阶线性常微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
我们可以使用常数变易法来求解该方程。
首先求出齐次方程$y'+p(x)y=0$的通解$y_h(x)$，然后寻找特解$y_p(x)$，使得$y_p(x)$满足原方程。
最后，将通解$y_h(x)$和特解$y_p(x)$相加，即可得到原方程的通解。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指包含未知函数的高阶导数的方程。
考虑形如$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=f(x)$的齐次线性常微分方程，其中$a_1,\ldots,a_n$是已知常数，$f(x)$是已知函数。
我们可以使用特征方程的方法来求解该方程。
首先求出齐次方程的特征方程$r^n+a_1r^{n-1}+\ldots+a_n=0$的根$r_1,\ldots,r_n$，然后根据根的性质得到齐次方程的通解$y_h(x)$。
接下来，我们需要找到一个特解$y_p(x)$，使得$y_p(x)$满足原方程。
最后，将通解$y_h(x)$和特解$y_p(x)$相加，即可得到原方程的通解。
3. 常见的ODEs应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律$F=ma$可以转化为二阶常微分方程$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=F(x,t)$，其中$x(t)$表示物体的位置。
在天体力学中，开普勒定律可以通过常微分方程来描述行星的运动。
在电路理论中，基尔霍夫电流定律和电压定律可以转化为常微分方程，用于分析电路中的电流和电压。
常微分课后答案第一章培训讲学
常微分课后答案第一章第一章 绪论§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2 基本概念习题1.21．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）y x dxdy-=24； （2）012222=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d ；（3）0322=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy ；（4）x xy dx dydxy d x sin 3522=+-；（5）02cos =++x y dxdy； （6）x e dx y d y=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程0222=+y dxyd ω的解，这里0>ω是常数．（1）x y ωcos =；（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．解 （1）y x dx y d x dxdy2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωcos =为方程的解．（2）y x C y x C y 2211cos ,sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωcos 1=为方程的解．（3）y x dx y d x dxdy2222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωsin =为方程的解．（4）y x C y x C y 2222sin ,cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωsin 2=为方程的解．（5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2=+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ；（6）x y 1-=，1222++='xy y x y x ；（7）12+=x y ，x y x y y 2)1(22++-='； （8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于x Ce y ='，x Ce y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ． （4）由x e y ='，因此x x x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--． （5）因为x y cos ='，所以0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．（6）从21x y ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='． 4．给定一阶微分方程x dxdy2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解； （4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 C x xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=x y ． （3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=x y ．（4）由231)31()(1310210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=x y ． （5）如图1-1所示．图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x y y -+='； （2）2422y y x x x y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则BAy -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或0)(22=-++B A B C x B A B A ，所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C BAB A ，得到 ⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ．7．微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是0),(=--y x F ．由于0),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xy y y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代y x ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y y x -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由ο100C 冷至ο60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到ο30C ？假设空气的温度为ο20C ．解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=a u ，微分方程为)(a u u k dtdu--=，解得kt a Ce u u -+= ，根据初始条件10000===u u t ，得800=-=a u u C ，因此kt a a e u u u u --+=)(0，根据60,201===u u t ，得到k a a e u u u u 2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到ο30C ． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； （3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分； （5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项； （7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-y y x 和y x y '-）． 解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y y x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有 2y x y y '-=，或0=+'y y x ． （5）由（2），2x y x y ='-． （6）同样由（2），2yx y x y +='-，或x y x y ='-2． （7）易得kx y =' （k 为常数且0>k ）．。
常微分方程课后习题答案
1 dy y
2xdx, 两边同时积分得：ln y
x2 c,即y
e c x2 把x
0, y
1代入得
e c 1,故它的特解为y
x
2
。
y 2. 2 dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.
解：对原式进行变量分离得：
1 dx 1 dy,当y 0时，两边同时积分得；ln x 1 1 c,即y 1
解： dy ( y3 )2 2x2 dy3 3[(y3 )2 2x2 ]，，令y3 u，则原方程化为
dx y 2 (2xy3 x2 dx
解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c
xy-y 2 +y-x 2 -x=c
14: dy = x y 5 dx x y 2
解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
1 du - 1 =u 2 +3 4 dx 4 du =4 u 2 +13 dx u= 3 tg(6x+c)-1
2 tg(6x+c)= 2 (x+4y+1).
3
16:证明方程 x dy =f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： y dx
1） y(1+x 2 y 2 )dx=xdy
1 u2
x
arcsin y =sgnx ln|x|+c x
7. tgydx-ctgxdy=0
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
《常微分方程》_(方道元_著)_课后习题答案__浙江大学出版社
X +Y X °Y
arctan u ° ln C 3. u=
y °1 x+2
p
1 + u2 = ln |x| + C
dy ax + by + m = dx cx + dy + n a b c d m n ad ° bc 6= 0 dY aX + bY = dX cX + dY ad = bc ad ° bc 6= 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 3. (1) (2) (3) (4)
y = Cx + x2 xy = C
y=9 2C +
C 2 xx
x (1)y 00 = 2 (2)y + xy 0 = 0 (3)y 000 + (y 0 )2 y 000 = 3y 0 (y 00 )2 (4)y 000 = 0
(5) (6) (7)
e°y + ex+3 = C sin y = 0 C y = k º (k 2 Z)
2 y = tan(x ° 1 2 x + C)
ln |x| +
xy = °1
1 xy +1
=C C
C
xy 6= °1
C sin y 6= 0
(8) z = y 2
sin2 y ° C sin2 x = 0
1. (1) (2)
dy dx d y dx2
2
= y + sin x; °
1 1°x2 y = 1 + x, Rx ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
y (0) = 1;
常微分课后答案第五章
常微分课后答案第五章第五章 线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理习题5.11．给定方程组x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='0110，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ． （*）)a 试验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u sin cos )(，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)0(v 的解；)b 试验证)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)(c c t w 的解，其中21,c c 是任意常数．证明)a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(v 显然．)(0110sin cos 0110cos sin )(t u t t t t t u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='，)(0110cos sin 0110sin cos )(t v t t t t t v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u sin cos )(，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(v 的解．)b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=2121211001)0()0()0(c c c c v c u c w ，又)(0110)(0110)()()(2121t v c t u c t v c t u c t w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=')(0110))()((011021t w t v c t u c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)(c c t w 的解，其中21,c c 是任意常数．2．将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：)a t e tx x x -=+'+''72，7)1(=x ，2)1(-='x ；)b tte x x =+)4(，1)0(=x ，1)0(-='x ，2)0(=''x ，0)0(='''x ；)c ⎩⎨⎧=-'+-''=+-'+''tx y y y e y x y x t cos 15132,675，1)0(=x ，0)0(='x ，0)0(=y ，1)0(='y ．（提示：令y w y w x w x w '=='==4321,,,）解 )a 设x x x x '==21,，则21x x x ='='，te tx xx x -+--=''='12272，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-==+--='='-．2)1(,7)1(,27,2121221x x e x tx x x x t)b 设x x x x x x x x'''=''='==4321,,,，则21x x x ='='，32x x x =''='，43x x x ='''='，tte xx +-='14，则得等价的一阶方程组的初值问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='='='='tte x x x x x x x x 14433221,,,，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211)0()0()0()0()0(4321x x x x x ．)c 令y w y w x w x w'=='==4321,,,，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+='='+--='='tw w w w w w e w w w w w w t cos 13215,,567,431443431221 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001)0()0()0()0()0(4321w w w w w ，为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题． 3．试用逐步逼近法求方程组xx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='0110，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(x 的第三次近似解．解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)(0t ϕ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰110011010)(01t ds t tϕ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰2210211011010)(t t ds s t tϕ，第三次近似解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰2213610221*********)(t t t ds s s t t ϕ．§5.2 线性微分方程组的一般理论习题5.21．试验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ12)(2t t t t是方程组x t tx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-='22102，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x在任何不包含原点的区间b t a ≤≤上的基解矩阵． 证明 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t 2)(21ϕ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(2t t ϕ，则由于)(22102221022)(12221t t t t t t t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='，)(22101221001)(2222t t t t t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='，所以)(,)(21t t ϕϕ都是方程组的解，因而[])()()(21t t t ϕϕ=Φ是所给方程组的解矩阵．又由于在任何不包含原点的区间],[b a 上，0)(det 2≠-=Φt t （],[b a t ∈），故)(t Φ是所给方程组的基解矩阵． 2．考虑方程组xt A x )(='， （5.15）其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为)(t a ij，n j i ,,2,1, =．)a 如果)(,,)(,)(21t x t x t x n是（5.15）的任意n 个解，那么它们的Wronsky 行列式)](,,)(,)([21t x t x t x W n满足下面的一阶线性微分方程Wt a t a t a W nn )]()()([2211+++=' ．（提示：利用行列式的微分公式，求出W '的表达式）；)b 解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：⎰=+++tt nn dss a s a s a e t W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t∈．证明 )a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nn n nn n nn n n n n '''++'''='+=∑∑∑===)()()()()()()()()()()()(212222111121111t x t x t x t x t x t x t x t at x t at x t ann n n n nk kn knk k knk k k∑∑∑===+nk kn nknk k nknk k nkn n t x t at x t at x t at x t x t x t x t x t x 112112222111211)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(21222211121121222211121111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a nn n n n n nn nn n n n n++=)()]()([11t W t a t a nn ++= ，所以)(t W 是一阶线性微分方程Wt a t a t a W nn )]()()([2211+++=' 的解．)b 由)a 知，Wt a t a t aW nn )]()()([2211+++=' ，分离变量后两边积分求解得⎰=+++tt nn dss a s a s a cet W 02211)]()()([)( ，t t =时就得到)(0t W c =，所以⎰=+++tt nn dss a s a s a et W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t ∈．3．设)(t A 为区间],[b a 上的连续n n ⨯实矩阵，)(t Φ为方程x t A x )(='的基解矩阵，而)(t x ϕ=为其一解．试证：)a 对于方程yt Ay T)(-='的任一解)(t ψ必有=)()(t t Tϕψ常数；)b )(t ψ为方程yt Ay T)(-='的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(．证明)a 由于)(t ϕ是方程x t A x )(='的解，故有)()()(t t A t ϕϕ='，)(t ψ为方程yt A y T )(-='的解，故)()()(t t A t T ψψ-='．所以[][])()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t TTTTTϕψϕψϕψϕψϕψ'+'='+'=')()()()()]()([t t A t t t t A TT T ϕψϕψ+-=)()()()()()(=+-=t t A t t t A t T T ϕψϕψ，所以=)()(t t Tϕψ常数．)b “⇒” )(t Φ是方程x t A x )(='的基解矩阵，因此)()()(t t A t Φ=Φ'，)(t ψ是方程yt Ay T)(-='的基解矩阵，故)()()(t t A t T ψ-=ψ'，且0)(det ≠Φt 和0)(det ≠t ψ．所以[][])()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t TTTTTΦ'ψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'ψ='Φψ)()()()()]()([t t A t t t t A TTTΦψ+Φψ-=)()()()()()(=Φψ+Φψ-=t t A t t t A t T T ， 故)()(t t TΦψ是常数矩阵，设Ct t T=Φψ)()(，则)(det )(det )(det )(det )]()(det[det ≠Φ⋅ψ=Φ⋅ψ=Φψ=t t t t t t C T T ，因此存在非奇异常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(．“⇐”若存在非奇异常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(，则有)(det )(det )(det )(det )]()(det[det 0t t t t t t C T T Φ⋅ψ=Φ⋅ψ=Φψ=≠，所以0)(det ≠ψt ，即)(t ψ是非奇异矩阵或说)(t ψ的各列是线性无关的．又[])()()()()]([)()()(])([)()(0t t A t t t t t t t t t T T T t T Φψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'ψ='Φψ=，并注意到)(det ≠Φt ，有)()()]([t A t t T T ψ-=ψ'，即)()()(t t A t T ψ-=ψ'．从而)(t ψ是方程yt Ay T)(-='的基解矩阵．4．设)(t Φ为方程Ax x ='（A 为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即E =Φ)0(），证明)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．证明 由于A 为n n ⨯常数矩阵，故A 在),(∞+-∞有定义、连续，从而它的解也在),(∞+-∞连续可导．由)(t Φ为方程Ax x ='的基解矩阵，故),(∞+-∞∈∀t ，有0)(det ≠Φt ，并且有)()(t A t Φ=Φ'，从而对某个0t ，有)(det 0≠-Φt t ，且)()()()(])([00000t t A t t t t t t t t -Φ=-Φ'='-⋅-Φ'='-Φ，即)(0t t -Φ亦为方程Ax x ='的基解矩阵．由推论2*，存在一个非奇异常数矩阵G ，使得在区间),(∞+-∞上，G t t t )()(0Φ=-Φ．又因为Gt t tE )()()0(000Φ=-Φ=Φ=，所以)(01t G -Φ=．因此)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．5．设)(,)(t f t A 分别为在区间],[b a 上连续的n n ⨯矩阵和n 维列向量．证明方程组)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解． 证明 设方程组xt A x )(='的基解矩阵为)](,,)(,)([)(21t t t t n ϕϕϕ =Φ，而)(~t ϕ是方程组)()(t f x t A x +='的一个特解，则其通解为)(~)(t c t x ϕ+Φ=，其中c 是任意的常数列向量．若)(t f 不恒为0，则)(~t ϕ必与)(,,)(,)(21t t t n ϕϕϕ 线性无关，从而)(~t ϕ，)(~)(1t t ϕϕ+，)(~)(2t t ϕϕ+，)(~)(,2t t ϕϕ+ 线性无关，即方程组)()(t f x t A x +='存在1+n 个线性无关解．又假若)(t x 是方程组)()(t f x t A x +='的任意一个解，则一定有确定的常数列向量c ，使得)(~)()(t c t t x ϕ+Φ=，将其加入)(~t ϕ，)(~)(1t t ϕϕ+，)(~)(2t t ϕϕ+，)(~)(,2t t ϕϕ+ 这一组向量就线性相关，故方程组)()(t f x t A x +='的任何2+n 个解必线性相关．从而方程组)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解．6．试证非齐线性微分方程组的叠加原理：设)(,)(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t fx t A x +='的解，则)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解． 证明 因为)(,)(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t fx t A x +='的解，故)()()()(111t f t x t A t x +='，)()()()(222t f t x t A t x +='，所以有)]()()([)]()()([)()(])()([22112121t f t x t A t f t x t A t x t x t x t x +++='+'='+)()()]()()[(2121t f t f t x t x t A +++=，所以)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解． 7．考虑方程组)(t f Ax x +='，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t f cos sin )(． )a 试验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φt t te te e t 2220)(是Ax x ='的基解矩阵；)b 试求)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解)(t ϕ．证明)a 00)(det 4222≠==Φtt t te ete e t ，),(∞+-∞∈∀t 成立．而)(0201220)12(2)(222222t A e te e e e t e t t t tt t tΦ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Φ'，所以)(t Φ是Ax x ='的基解矩阵．)b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--10101)(222241s e e se e es s s s s s，这样，由定理8，方程组满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00)0(ψ的解就是⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t s t t ttds s s s e e te e ds s f s t t 0222201cos sin 1010)()()()(ψ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t s t t tds s s s s e e te e 02222cos cos sin 0⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--52)cos 2(sin 51252)cos 2sin 14sin 5cos 10(251022222t t e t t t t t t e e te e t tt tt⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=)cos 2sin 2(51)cos sin 75(252222t t e t t e te t tt ，对应的齐线性方程组满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(h ϕ的解就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t t t t th h e t e E e te e t t 2212221)1(110)0()0()()(ϕϕ，所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+--=+=)cos 2(sin 5153)cos sin 7(252)1527(251)()()(22t t e t t t e t t t t t h ψϕϕ．8．试求)(t f Ax x +='，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t f cos sin )( 满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解)(t ϕ．解 由上题知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t t h e t e t 22)1()(ϕ，且这里⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t s s t t ttds e s e e te e ds s f s t t 0222220101010)()()()(ψ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰t t t t t t t t tte e t t t e te e ds s e te e 222222202222121010，所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+=t t h e t e t t t t t 222)1()211()()()(ψϕϕ．9．试求下列方程的通解：)a t x x sec =+''，22ππ<<-t ； )b te x x 28=-'''； )c te x x x =+'-''96．解 )a 易知对应的齐线性方程0=+''x x 的基本解组为t t x cos )(1=，t t x sin )(2=，用公式（5.31）来求方程的一个解．这时1cos sin sin cos )](,)([21=-=tt t t t x t x W ，取0=t，有 ⎰⎰-=-=t t t sdss t s t ds s f s x s x W s x t x s x t x t 0212112sec )sin cos cos (sin )()](,)([)()()()()(0ϕtt t t sds t ds t tt cos ln cos sin tan cos sin 0+=-=⎰⎰所以方程的通解为tt t t t c t c x cos ln cos sin sin cos 21+++=． )b 由于特征方程083=-λ的根是21=λ，i313,2±-=λ，故对应的齐线性方程的基本解组为te t x 21)(=，te t x t 3cos )(2-=，tet x t3sin )(3-=．原方程的一个特解由公式（5.29）有（取0=t），∑⎰==313213210)()](,)(,)([)](,)(,)([)()(k tt k k dss f s x s x s x W s x s x s x W t x t ϕ，其中)](,)(,)([)(321t x t x t x W t W =)3sin 3cos 3(2)3sin 33(cos 24)3sin 3cos 3()3sin 33(cos 23sin 3cos 222t t e t t e e t t e t t e e te te e t t tt t tt t t +----+-=------312=，)](,)(,)([)(3211t x t x t x W t W =)3sin 3cos 3(2)3sin 33(cos 21)3sin 3cos 3()3sin 33(cos 03sin 3cos 0t t e t t e t t e t t e te te t t t t t t +----+-=------te 23-=，)](,)(,)([)(3212t x t x t x W t W =)3cos 33sin 3()3sin 3cos 3(214)3sin 3cos 3(023sin 0222t t e t t e e t t e e te e t t tt tt t -=+--=---，)](,)(,)([)(3213t x t x t x W t W =)3sin 33cos 3(1)3sin 33(cos 240)3sin 33(cos 203cos 222t t e t t e e t t e e te e t t tt tt t +-=--+-=---．所以⎰⎰-+⋅=--ts s tts stdse s s e t e ds e eet 020222312)3cos 33sin 3(3cos 3123)(ϕ⎰+-+-ts s tdse s s e t e 02312)3sin 33cos 3(3sin)3cos 33(sin 324124112122t t e e te t t t ++-=-，故通解tt tte t c t c e ec t x 23221121)3sin 3cos ()(+++=-．)c 特征方程0962=+-λλ，得到特征根32,1=λ，故对应的齐线性方程的基本解组为te t x 31)(=，tte t x 32)(=，tttt tee t ete e t W 63333)31(3)(=+=．取0=t，由（5.31），得特解⎰⎰⋅-=-=t sss t st tt dse e se e e te ds sf s W s x t x s x t x t 06333321120)()()()()()()(ϕtt t ts t e te e ds e s t e 33023412141)(++=-=⎰-，所以得到通解tt e et c ct x 41)()(321++=．10．给定方程)(78t f x x x =+'+''，其中)(t f 在+∞<≤t 0上连续，试利用常数变易公式，证明：)a 若)(t f 在+∞<≤t 0上有界，则上面方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界；)b 若当∞→t 时，0)(→t f ，则上面方程的每一个解)(t ϕ，满足0)(→t ϕ（当∞→t 时）． 证明 对应的特征方程0782=++λλ有特征根7,1--，故对应的齐线性方程的基本解组te t x -=)(1，tet x 72)(-=，ttt t tee e e e t W 87767)(------=--=．由公式（5.31）得原方程的一个特解（0=t）为⎰⎰-------=-=t s st st tt dss f e e e e e ds s f s W s x t x s x t x t 08772112)(6)()()()()()()(~0ϕ⎰⎰---=t s t t s t dss f e e ds s f e e 0770)(61)(61，所以方程的任一解可写为⎰⎰-----++=t st t s t ttdss f e e ds s f e e ec e c t 0770721)(61)(61)(ϕ．)a 由于)(t f 在+∞<≤t 0上有界，故0>∃M ，),0[∞+∈∀t ，有M t f ≤)(．又由于10≤<-te ，107≤<-te，从而当),0[∞+∈t 时，⎰⎰⋅+⋅++≤--ts t ts t ds e M e ds e M e c c t 0770216161)(ϕ=)1(42)1(67721-+-++--tt t t e e M e e M c c)1(42)1(6721t t e M e M c c ---+-++=M c c 21421++<，即方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界．)b 当∞→t 时，0)(→t f ，故由⎰⎰-----++=ts t ts t t t ds s f e e ds s f e e e c e c t 0770721)(61)(61)(ϕ知，若⎰t sdss f e)(有界，则)(0)(610∞→→⎰-t ds s f e e t st ，若⎰t sdss f e)(无界，由于)(s f 在),0[∞+连续，故⎰t s dss f e 0)(为无穷大量，因此0)(lim 616)(lim 6)(lim )(61lim 00====∞→∞→∞→-∞→⎰⎰t f et f e e ds s f e ds s f e e t t t t t tst t s t t ，即总有)(0)(610∞→→⎰-t ds s f e e t st ．同理)(0)(61077∞→→⎰-t ds s f e e t st ．从而对方程的每一个解)(t ϕ，有)(0)(∞→→t t ϕ．11．给定方程组x t A x )(='，这里)(t A 是区间],[b a 上的连续n n ⨯矩阵．设)(t Φ是它的一个基解矩阵，n 维向量函数),(x t F 在∞<≤≤x b t a ,上连续，],[0b a t∈．试证明初值问题：⎩⎨⎧=+='ηϕ)(,),()(0t x t F x t A x（*）的唯一解)(t ϕ是积分方程组⎰--ΦΦ+ΦΦ=tt dss x s F s t t t t x 0))(,()()()()()(101η （**）的连续解．反之，（**）的连续解也是初值问题（*）的解． 证明)(t ϕ是初值问题（*）的解，故))(,()()()(t t F t t A t ϕϕϕ+='，这说明),(x t F 是t 的向量函数，于是由公式（5.27）得⎰--ΦΦ+ΦΦ=t t ds s s F s t t t t 0))(,()()()()()(101ϕηϕ，即)(t ϕ是积分方程组（**）的连续解．反之，设)(t ϕ是积分方程组（**）的连续解，则有⎰--ΦΦ+ΦΦ=t t ds s s F s t t t t 0))(,()()()()()(101ϕηϕ，两端对t 求导，就有))(,()()())(,()()()()()(11010t t F t t ds s s F s t t t t t t ϕϕηϕ---ΦΦ+ΦΦ'+ΦΦ'='⎰))(,(]))(,()()()[(0101t t F ds s s F s t t tt ϕϕη+Φ+ΦΦ'=⎰-- ))(,(]))(,()()()[()(0101t t F ds s s F s t t t A t t ϕϕη+Φ+ΦΦ=⎰-- ))(,(]))(,()()()()()[(0101t t F ds s s F s t t t t A t t ϕϕη+ΦΦ+ΦΦ=⎰--))(,()()(t t F t t A ϕϕ+=，即)(t ϕ也是初值问题（*）的解．§5.3 常系数线性微分方程组习题5.31．假设A 是n n ⨯矩阵，试证：)a 对任意的常数21,c c 都有A c A c A c A c 2121exp exp )exp(⋅=+；)b 对任意整数k ，都有kAA kexp )(exp =．（当k是负整数时，规定kk A A --=])[(exp )(exp 1．证明 )a 因为))(())((1222121A c A c A c c A c A c ==，所以矩阵Ac 1与A c 2可交换，故Ac A c A c A c 2121exp exp )exp(⋅=+．)b ①先证明N k ∈∀，有kAA kexp )(exp =，这只须对k 施以数学归纳法． 当1=k 时，)1exp(exp )(exp 1A A A ⋅==成立，设当k 时，kAA k exp )(exp =，则当1+k 时，有Ak A kA A A A k k )1exp(exp exp exp )(exp )(exp 1+===+，故对一切自然数k ，kAA kexp )(exp =．②)0exp(0exp )(exp 0A E A ===．③若k 是负整数，则N k ∈-，注意到)exp()(exp 1A A -=-，并由以上证明应用于矩阵A -，就有kAA k A A A k k k exp )](exp[)][exp(])[(exp )(exp 1=--=-==---，由①②③，对一切整数k ，均有kAA kexp )(exp =．2．试证：如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)]([exp )(0t t A t -=．证明 由于 ηηϕ⋅⋅-='-='A t t A t t A t )]([exp ])([exp )(0，)(})]({[exp 0t A t t A A ϕη=-=，又ηηηϕ==⋅=E A t )]0[exp()(0，故ηϕ)]([exp )(0t t A t -=是方程组Axx ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解．由解的唯一性，命题得证．3．试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量．)a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421； )b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---244354332；)c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102111121；)d ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6116100010．解 )a 特征方程0543421)det(2=--=----=-λλλλλA E ，特征值11-=λ，52=λ，对应于特征值11-=λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21u u u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得到0≠∀α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．类似地可求得对应于特征值52=λ的特征向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21βv ，其中0≠β的任意常数．)b 特征方程0)2)(1)(2(244354332)det(=++-=---+---=-λλλλλλλA E ，特征值21-=λ，12-=λ，23=λ．对应于特征值21-=λ的特征向量u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得到≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110αu 是对应于特征值21-=λ的特征向量．类似地，可以求出对应于特征值12-=λ以及23=λ的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011βv （0≠β的任意常数）和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111γw （0≠γ的任意常数）．)c 特征方程0)1)(3(12111121)det(2=+-=---+----=-λλλλλλA E ，特征值12,1-=λ，33=λ．对应于特征值12,1-=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321u u u u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得0≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212αu 是对应于特征值12,1-=λ的特征向量．类似地，可以求出对应于特征值33=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212βv （0≠β的任意常数）．)d 特征方程0)3)(2)(1(61161001)det(=+++=+--=-λλλλλλλA E ，特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ．由0)(1=+-u E A λ，推出0≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．同样可求得对应于特征值22-=λ和33-=λ的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=421βv （0≠β的任意常数）和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=931γw （0≠γ的任意常数）．4．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并计算Atexp ，其中A 为：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；)b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421；)c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---244354332；)d ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--115118301．解)a 特征方程032112)det(2=-=--+=-λλλλA E ，得32,1±=λ是特征值．对应的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3211αu ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3212βu ，0,0≠≠βα为任意常数．所以方程组Axx ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Φ--t ttt e e ee t 3333)32()32()(．133331323211)32()32()0()(exp ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ΦΦ=t ttt e e ee t At⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+----+=----t ttttt tt e eee e ee e 33333333)32()32()32()32(63．)b 由第3题)a 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Φ--t tt te e e e t 552)(． 155121112)0()(exp ----⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=t tt t e e e e t At⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=----t t t t t t tt e e e e e e e e 55552)(2231．)c 由第3题)b 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ----t t t t tt t e e e e ee e t 222220)(．12222211011111100)0()(exp ------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=t t tt tt t e e e e ee e t At⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---=--------t tt t t tt tt t t tt t t t te e e e e e e e e e e e e e e e e 2222222222222． )d 特征方程)34)(3(11511831)det(2=--+=+------=-λλλλλλλA E ，特征值为31-=λ，723,2±=λ．对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4731αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=7174532βu ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=7174533γu ，γβα,,均为不等于零的任意常数．故方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=Φ-+--+--+-t tt tt tttt e e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(．由)0()(exp 1-ΦΦ=t At 立即可得[])()()(exp 321t t t At ψψψ=，其中列向量函数⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++--+++--+++=-+--+--+-t t t t t t t t t e e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7514(2)7514(256)71349()49713(98)737(3)737(342841)(ψ， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-+-+-+=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)714(2)714(256)753175()753175(98)757(3)757(3422521)(ψ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++++--+++-+-=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7137()7137(112)98761()98761(196)714(3)714(3841261)(ψ．（该题计算量太大，作为该法的习题不是太好！）5．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并求满足初始条件ηϕ=)0(的解)(t ϕ：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33η；)b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=115118301A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=720η；)c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001η．解 )a 由上题)b 知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112231exp 55t tt te e e e At ，所以所求解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+==--t t t t e e e e At t 5542)(exp )(ηϕ．)b 由上题)d 知)0()(exp 1-ΦΦ=t At ，其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=Φ-+--+--+-t tt tt tttte e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(．所以所求解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---+--⋅Φ==720)714(2775)773(3)714(2775)773(33214422521)()(exp )(t At t ηϕ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--+--+-++-+=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e ee e )72()72(3)72()72(3)72()72(3)7317(3)78977(728)7160289(3)7374511(1274)7435(9)9172(35461261．)c 由第3题)c 知，矩阵A 的特征值为12,1-=λ，33=λ．对应于特征值33=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212αv （0≠α的任意常数）．又由648324648)(32121=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-u u u u A E λ，得到⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=)24(3331γβγβu （γβ,是任意常数），由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)24(3331212001γβγβαη解出41,21,41-===γβα．依公式（5.52），得满足初始条件ηϕ=)0(的解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=--212120212124121241)]([)(33t tt t tt t e e u E A t E e Ev e t t t t t ϕ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=---)(2)(241333t t tt t t e e e e e e6．试求方程组)(t f Ax x +='的解)(t ϕ：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1)(t e t f ；)b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000)0(ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6116100010A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-t e t f 00)(；)c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)0(ηηϕ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1234A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t f cos 2sin )(．解 )a 由第4题)b 知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112231exp 55t tt te e e e At ，由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--------t s s t s t s t s t t t t tds e e e e e e e e e 0)(5)()(5)(5511112231111112231⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-=--53109235420934355t t t t tt e e e e e e ．)b 由第3题)d 知A 的特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ，对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421βv ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=931γw ，其中γβα,,均是不为零的任意常数．Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==Φ---------t tt tt tt t ttt te e e e e ee e e w e v e u et 3232329432][)(321λλλ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=Φ--13228615621941321111)0(11，而)0()(exp 1-ΦΦ=t At ．由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---------000132286156943221323232t tt tt t t t te e ee e e e e e⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-------------------t s s t s t s t s t s t s t s t s t s t dse e e e e e e e e e 0)(3)(2)()(3)(2)()(3)(2)(00132286156943221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+---+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=------------------⎰t t t tt t t t t t t s t s t t s t s t t s t s t e e e t e e e t e e e t ds e e e e e e e e e 3232320322322322916)72(38)25(4)32(419834221．)c A的特征方程0)2)(1(1234)det(=--=+--=-λλλλλA E ，求解得特征值11=λ，22=λ，对应的特征向量分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11αu ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23βv ，其中βα,是不为零的任意常数．所以方程组Axx ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Φt tt t tte e e e v eu e t 2223][)(21λλ，从而，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=ΦΦ=-1132)()0()(exp 1t t At ．由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----t s t s t s t s t t t t tds s s e ee e e e e e 0)(2)()(2)(2122cos 2sin 113223113223ηη⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=t t e e t t e e e e e e t t t t t t t t cos 2sin 224cos sin 234)(2)23()(3)23(222211222112ηηηηηηηη⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--+--+--=t t e e t t e e t t t t cos 2sin 2)(2)423(cos sin 2)(3)423(2211222112ηηηηηηηη．7．假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mtce Ax x +='有一解形如mte t ρϕ=)(，其中ρ,c 是常数向量．证明 设方程组有形如mte t ρϕ=)(的解，代入方程得m tm t m t ce e A e m +=ρρ，由此得cA m +=ρρ，即cA mE =-ρ)(．因为m 不是矩阵A 的特征值，故0)det(≠-A mE ，即矩阵A mE -可逆，得到c A mE 1)(--=ρ唯一确定．所以方程组有一解m tm t e ce A mE t ρϕ=-=-1)()(8．给定方程组⎩⎨⎧=+'+-'=-'++'-''．02,023221122111x x x x x x x x x)a 试证上面方程组等价于方程组Au u ='，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211321x x x u u u u ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112244010A ；)b 试求)a 中的方程组的基解矩阵；)c 试求原方程组满足初始条件0)0(1=x ，1)0(1='x ，)0(2=x 的解．解 )a 设11x u=，12x u'=，23x u=，则原方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧--='=''-+-=''='='=',2,23,32123331212211u u u x u u u u u x u u x u或⎪⎩⎪⎨⎧--='++-='='32133212212,244,uu u u u u u u u u ，即u u ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='112244010或Au u ='．反之，设11u x =，21u x ='，32u x=，则方程组Au u ='化为⎩⎨⎧-'-='+'+-=''．211221112,244x x x x x x x x即⎩⎨⎧=+'+-'=-'++'-''．02,023221122111x x x x x x x x x)b 由0)2)(1(11224401)det(=--=+----=-λλλλλλλA E ，得矩阵A的特征值01=λ，12=λ，23=λ．对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=201αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122βv ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021γw ，其中γβα,,均为不等于零的任意常数．由此得Au u ='的一个基解矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Φ0222021][)(22321t t tt t t t t e e e e e w e v e u e t λλλ．)c 求与之等价的方程组Au u ='，满足初始条件η=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010)0(u 的解ηη)0()()(exp )(1-ΦΦ==t At t u⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t tt t t t t t t t e e e e e e e e e e 226434121010012220121022202122122，所以，原方程组满足初始条件0)0(1=x ，1)0(1='x ，0)0(2=x 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=t t t e e e t 2234121)(2ϕ．9．试用Laplace 变换法解第5题和第6题． 解 5．)a 方程组两边取Laplace 变换，有)()(s AX s sX =-η，即η=-)()(s X A sE ，由具体数值代入得方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----33)()(342121s X s X s s ，根据Gramer 法则得 5211)(1-++=s s s X ，5411)(2-++-=s s s X，所以tte et -+=512)(ϕ，tte et --=524)(ϕ，故初值问题5．)a 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--t t t t e e e e t t t 552142)()()(ϕϕϕ．5．)b 对方程组两边施行Laplace 变换，并化简有η=-)()(s X A sE ，用具体数值代入得方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------720)()()(115118301321s X s X s X s s s ，根据Gramer 法则得)72(427291)72(4272913313)34)(3(1521)(21--+-+---+=--++-=s s s s s s s s X ，)72(1267376511)72(12673765113991)34)(3(14372)(222--+++--++-=--+-+-=s s s s s s s s s X ，)72(12678977)72(126789773952)34)(3(5127)(223----+-+-+-=--+-+-=s s s s s s s s s X ，所以ttt e e e t )72()72(31427291427291313)(-+-+---=ϕ，ttt ee e t )72()72(3212673765111267376511991)(-+-++-+-=ϕ，ttt ee e t )72()72(331267897712678977952)(-+---+--=ϕ，故初值问题5．)b 的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--++-+-+---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+--+--+-t t t t t t t t t e e e e e e ee e t t t t )72()72(3)72()72(3)72()72(3321126789771267897795212673765111267376511991427291427291313)()()()(ϕϕϕϕ．5．)c 对方程组两边施行Laplace 变换，并化简有η=-)()(s X A sE ，用具体数值代入得方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+----001)()()(102111121321s X s X s X s s s ，根据Gramer 法则得31211121)(1-++=s s s X ，31411141)(2--+=s s s X，31211121)(1-++-=s s s X ， 所以)(21)(31t te e t -+=ϕ，)(41)(32t te e t ---=ϕ，)(21)(33t te e t --=ϕ，故初值问题5．)a 的解为。
常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)
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一、是非题第十二章 常微分方程(A)1. 任意微分方程都有通解。
()2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。
()4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。
()5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是()y =1(ln x )2+ C 2( C 为任意常数)。
6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。
()7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。
()8． y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。
( ) 9． dy= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。
()dx二、填空题1. 在横线上填上方程的名称① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是 。
② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是 。
③ x dy = y ⋅ l n y 是。
dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是。
⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是。
2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含个独立常数。
3. y ' = e -2x 的通解是。
4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是。
5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是阶微分方程。
6. 微分方程 y ⋅ y ' - (y ')6= 0 是阶微分方程。
51 2 1 2 7. y = 1所满足的微分方程是。
常微分方程第四章课后答案
常微分方程第四章课后答案大家好，我是你们的语文老师小七。
在高中阶段很多学生对于课本上的知识点都有一些基础认识，但是有些同学在理解了这个知识点之后就不知道该如何去理解了，所以今天我就来给大家讲解一下常微分方程第四章课后习题练习。
这一章节主要讲两个内容：①什么是常微分方程；②常微分方程解法。
第一个内容是常微分方程解法的定义，这是在课本中找不到的知识。
这一部分主要要学习基本的表达式以及一些解析式。
第二个内容是常微分方程中积分法，对于初学者来说这一部分更是需要好好学习了。
下面我们就来了解一下这些知识点吧。
首先要明确一下这章节讲的内容不能单独做练习题，而是需要把每一道例题都做完才行。
这节课除了常规的知识会做一些相关例题之外，还会讲解下几道解析式以及常见的几种情况了。
1.线性表达式的两个性质线性表达式中含有一个值为 y,由定义可知 x的值为 y=0,这种情况下表达式的两个性质分别为①线性表达式有无限长时，函数的阶数不变；②线性表达式随解变小而逐渐递减；③线性表达式对任意一阶值的变换都可以得到对应形式，比如用n× n来表示（如矩阵）。
这两个性质可以通过具体例子来说明这一点。
在函数 x>0时，由于有无穷多个解，每个解都有相应的矩阵，并且在这个矩阵中存在相同的化简问题。
那么解方程中所含有的多变量就是这两个性质。
其中 x 和 y分别表示对一个函数 x和 y取对应微分时变量之间的关系。
另外还有一种情况会用到近似解来证明：即满足 k、 z、?三大条件中有任意一种条件时，可以得到一个近似求解的常微分方程：所以两个函数均满足 k、 z、?三大条件中任意一项就可以得到这类线性表达式下面这个解法：若 y为二元函数，则 y=2 x+1 y^2 x+1 y^2 x^2 x=+1x?1=+1x-2-0 （如矩阵）。
2.等比数列在常微分方程解法方面，我们的解法就是将该解法和实际中计算的解做一个等值处理。
我们通常将等值数列分为等比数列(m= m)和等比数列(m=1)。
常微分方程答案-4.2
常微分方程答案-4.2LT习题4.22. 求解以下常系数线性微分方程： (1) (4)540x x x ''-+=解：特征方程：42540λλ-+=特征根：12342211λλλλ==-==-，，， 根本解组：22,,,t t t t e e e e -- 所求通解：221234,,1,2,3,4t t t t i x c e c e c e c e c i --=+++∈=(2) 23330x ax a x a x ''''''-+-=解：特征方程：0333223=-+-a a a λλλ特征根：1,2,3a λ= 根本解组：2,,at at at e te t e 所求通解：()2123,,1,2,3at i x c c t c t e c i =++∈=(3) (5)40x x '''-=解：特征方程：0435=-λλ特征根：1,2,345022λλλ===-，， 根本解组：2221,,,,t t t t e e - 所求通解：22212345,,1,2,3,4,5t t i x c c t c t c e c e c i -=++++∈=(4) 0x x x '''++=解：特征方程：012=++λλ特征根：1,213iλ-±=根本解组：112233,t t ee --所求通解：11221233cos sin ,,1,222t t i x c ec e c i --=+∈=(5) 21s a s t ''-=+ 〔属于类型Ⅰ〕 解：齐次方程：20s a s ''-=特征方程：022=-a λ 特征根：12,a a λλ==-当0a ≠，齐次方程通解：12,,1,2at at i s c e c e c i -=+∈=，此时0不是特征根，故设特解为s At B =+，将其代入原方程可得21a B A -==，从而特解为()211s t a=-+，所以所求通解： ()12211,,1,2at at i s c e c e t c i a-=+-+∈= 当0a =，0是二重特征根，故齐次方程通解：12,,1,2i s c c t c i =+∈=，设特解为()2s t At B =+，那么将其代入原方程可得11,62A B ==，从而特解为21162s t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以所求通解：21211,,1,262i s c c t t t c i ⎛⎫=+++∈= ⎪⎝⎭(6) 45223x x x x t ''''''-+-=+ 〔属于类型Ⅰ〕 解：齐次方程：4520x x x x ''''''-+-=特征方程：025423=-+-λλλ 特征根：1,231,2λλ==齐次方程通解：()2123,,1,2,3t t i x c c t e c e c i =++∈=0不是特征根，故设特解为x At B =+，将其代入原方程可得1,4A B =-=-，从而特解为4x t =--，所以所求通解：()21234,,1,2,3t t i x c c t e c e t c i =++--∈=(7) (4)223x x x t ''-+=- 〔属于类型Ⅰ〕 解：齐次方程：(4)20x x x ''-+=特征方程：42210λλ-+= 特征根：1,23,41,1λλ==-齐次方程通解：()()1234,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e c i -=+++∈= 方法一：常数变易法求解设原方程通解为()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++，那么()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234112342312344212340003t t t t t t t t t t t t t t t t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te c t c t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te t --------''''⎧+++=⎪'=⎧''''⎪⎪''''+++='=⎪⎪⇒⎨⎨'''''''''=''''+++=⎪⎪⎪⎪'=⎩''''''''''''⎪''''+++=-⎩()()()()1234c t c t c t c t =⎧⎪=⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩所以将(),1,2,3,4i c t i =代入()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++中即得原方程通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=方法二：比拟系数法求解由于0不是特征根，故设特解为2x At Bt C =++，将其代入原方程可得1,0,1A B C ===，从而特解为21x t =+，所以所求通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=(10) t x x e '''-= 〔属于类型Ⅱ〕 解：齐次方程：0x x '''-=特征方程：013=-λ 特征根：1,2313,12iλλ-±== 齐次方程通解：112212333cos sin ,,1,2,322t t t i x c et c e c e c i --=++∈=由于1是一重特征根，故设特解为t x Ate =，将其代入原方程可得13A =，从而特解为13t x te =，所以所求通解：1122123331sin ,,1,2,33t t t t i x c ec e c e te c i --=+++∈= (12) t e x x x 256=+'+'' 〔属于类型Ⅱ〕 解：齐次方程：650x x x '''++=特征方程：0562=++λλ 特征根：121,5λλ=-=-齐次方程通解：512,,1,2t t i x c e c e c i --=+∈=由于2不是特征根，故设特解为2t x Ae =，将其代入原方程可得121A =，从而特解为121tx e =，所以所求通解： 5121,,1,221t t ti x c e c e e c i --=++∈= (14) t t x x 2cos sin -=+'' 〔属于类型Ⅲ的混合，注意sin t 和cos2t 中t 的系数不一样〕解：齐次方程：0x x ''+=特征方程：012=+λ 特征根：12i λ=±，齐次方程通解：12cos sin ,,1,2i x c t c t c i =+∈=①对于sin x x t ''+=，由于i i αβ+=是一重特征根，故设其特解为()101cos sin x t A t A t =+，那么将其代入sin x x t ''+=可得011,02A A =-=，从而sin x x t ''+=的特解为11cos 2x t t =-；②对于cos2x x t ''+=，由于2i i αβ+=不是特征根，故设其特解为201cos 2sin 2x B t B t =+，那么将其代入cos2x x t ''+=可得011,03B B ==，从而cos2x x t ''+=的特解为21cos 23x t =。
《常微分方程》作业参考答案
《常微分方程》作业参考答案一．求解下列方程1．x c y cos =2．通解为：x x c y sin cos +=3．dx x x dy 122-= ⎰⎰--=122)1(xx d dy 2ln 1y x c =-+ 1)0(==c y 2ln |1|1y x ∴=-+4．'(1)ln(1)y yyy x x x -=++ 令 xuy x yu =⇔= (1)ln(1)dyduu x u u u dx dx ∴=+=+++故 (1)ln(1)dux u u dx =++(1)ln(1)du dx u u x =++ ln(1)ln(1)d u dxu x +=+ln ln(1)ln ln u x c ∴+=+ ln(1)u cx +=cx e u =+1 cx e x y=+∴1 )1(-=cx e x y5. 可分离变量方程，通解为.)1)(1(222cx y x =++6．齐次方程，通解为 c x x yx y =++ln 422sin .7．全微分方程，通解为 .64224c y y x x =+-8．.0222=++y dx dyx dx y d9. 解为 .)3(3x x y -=10. 通解为 .2sin 222c y x y x =++11．方程为 .011222=+-y x dx dyx dx y d12．通解为 ).tan(21c x c y +=二．1．通解为：c e e x y +=2212. 通解为： t t e c c e c z y x 2321123101210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.0)0(0==y y 2121x y =52220121x x y += 4. x uN y uM ∂∂=∂∂ xu N x N u y u M y M u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 令 u y x =+22 y u d u d y u 2⋅=∂∂∴ x ud u d x u 2⋅=∂∂ u d u d x x N u u d u d y y M u 22+∂∂=+∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∴y M x N u u d u d x y )(2故满定充要条件的表达式为：)(22y x xy y M xN +=--∂∂∂∂ϕ 5.)(2122y x v +=)(*dtdv)(22s x +-≤∠0 022≠+s x ∴（0.0）渐近稳定 6.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x dtdy y x dt dx 32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴∆＜0 P ＝1＞0 ∴0)Re(0)Re(21<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定. 7.01032=--λλ 5,221=-=λλx B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*1+++=为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122)(++=∴*故其通解为： 215221y y e c ec y x x +++=-8.特征根为：2.1.1321==-=λλλ 11-=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532α12=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β13=λ所属的特征向量为：γ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101通解为：t t t e c e c e c z y x 2321101111531⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9.0:)0(=o y y 2121x y =52220121x x y -= 10.特征方程为：01072=++λλ07>=p 010>=g 0>∆故 (0.0)为稳定结点11.1.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yx y x t d y d dt x d 0222=++∴λλ0)Re(1<λ 0)Re(2<λ ∴（0.0）为局部渐近稳定 2.)(2122y x v +=. )1)((2222)(-++=*y x y x l dt dv 故122<+y x 0<∴dtdv 故（0.0）局部渐近稳定. 12. 1.,00=y ,31),(3020001x dx x dx y x f y y x x==+=⎰⎰ .63131)91(),(730620102x x dx x x dx y x f y y x x+=+=+=⎰⎰ 2. ,),(22y x y x f += ∴ ,5),(max ),(==∈y x f M Dy x ,42max max ),(),(L y y f D y x D y x ===∂∂∈∈ .5252,1min ,min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=m b a h则 .7564)52(32145)()(322=⋅⋅⋅≤-x y x y 13. 系数阵为 ,110111110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 特征方程为 .0)1()det(2=--=-λλλE A E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为.101010101112321t t e t c e c c z y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.证：设 [).),0()(..,0+∞∈∀≤>∃x M x f t s M .则[)+∞∈∀,0x ，有 .)1()(0)(0000M y e M y ds e Me y x y x x xx s x+≤-+=+≤--⎰[]),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>∃令 {},,max 0M y M K += ∴ [).,0,)(+∞∈∀≤x K x y15.通解为 .)21(221xx e x x x c e c y -++=16．,2=α 特解为 ,1x y = 通解为 ).ln 21(221x x x c x c y +-+=。
常微分方程课后答案
即
其中，解之得
又时，；时，。
故得，
从而方程可化为
当时，有米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间xx（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度xx（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
于是 （4’）-（4）得
从而
即
所以，命题成立。
（3）设，是（2.3）的任意两个解
则（5）
（6）
于是（5）得
即其中为任意常数
也就是满足方程（2.3）
（5）（6）得
即
也就是满足方程（2.3）
所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
==
=
而=ug+ux+xg=+- xg
==
故=，所以u是方程得一个积分因子
21．假设方程（2.43）xx函数M（x,y）N(x,y)满足关系=
Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）
有积分因子u=exp(+)
证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
（4）
解：原方程可化为：
由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是
，这是的xx方程
两边同除以得到：
即：
则：
即：
故：原方程的解为：
（5）
解：原方程可化为：
由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是
，这是的xx方程
《常微分方程》答案 习题2.2
习题2.2求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ⎰=-dx x x ey 212(c dx e dx x x +⎰-221) )21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx e x x =)1(12xce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xyx x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye y Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
常微分课后答案第二章
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换习题2.1求下列方程的解 1．xy dxdy2=，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解． 解 分离变量，得到xdx ydy 2=，两边积分，即得C x y ~ln 2+=，因而，通解为 2x Ce y =，这里C 是任意常数．此外，方程还有解0=y ．由10==x y 得1=C ，特解2x e y =．2．0)1(2=++dy x dx y ，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解． 解 分离变量，得到12+-=x dx y dy ，两边积分，即得C x y ~1ln 1++-=-，因而，通解为Cx y ++=1ln 1，这里C 是任意常数．此外，1-=x 和0=y 是两条积分曲线．由10==x y 得1=C ，特解11ln 1++=x y ．3．yx xy y dx dy 321++=． 解 分离变量，得到)1(122x x dx y ydy +=+，两边积分，即得C xx y ~1ln )1ln(222++=+，所以得通解222)1)(1(Cx y x =++，这里0>C 是任意正常数．4．0)1()1(=-++xdy y ydx x ．解 分离变量，得到dx xx dy y y +=-11，两边积分，即得C x x y y ~ln ln ++=-，因此得通解C xy y x =+-ln ，这里C 是任意常数．另有特解0=x 和0=y ．5．0)()(=-++dx y x dy x y ．解 变形得x y x y dx dy +-=，这是齐次方程，设x y u =，得dxdu x u dx dy +=，代入原方程得 11+-=+u u dx du xu ，分离变量得 x dx du u u -=++211，两边积分，即得 C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数．6．22y x y dxdy x -+=．解 变形得 21sgn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x y x x y dx dy ，这是齐次方程，设x y u =，得dx du x u dx dy +=，代入原方程得 21sgn u x dxdux-=，分离变量积分，即得 C x x u +=ln sgn arcsin ，即C x x xy+=ln sgn arcsin． C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数． 7．0cot tan =-xdy ydx ．解 分离变量，得到xdx ydy tan cot =，两边积分，即得C x y ~cos ln sin ln +-=，所以通解为C y x =sin cos ，这里0≠C 的任意常数．另有特解πk y =，Z k ∈及2ππ+=k x ，Z k ∈，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为C y x =sin cos ，这里C 是任意常数．8．032=++ye dx dy x y ．解 分离变量，得到dx e e ydy x y32-=，两边积分，即得C e e x y ~3232+-=--，得到通解C eey x=--2323，这里C 是任意常数．9．0)ln (ln =--ydx dy y x x ．解 变形得y y x x dy dx )ln (ln -=，令u y x =，则dydu y u dy dx +=，代入方程并分离变量得，ydy u u du =-)1(ln ，两边积分，即得C y u ~ln 1ln ln +=-，或1ln +=Cy u ，回代原变量有，1ln+=Cy yx ，或1+=Cy ye x ，这里0≠C 的任意常数．另有特解满足01ln =-u ，即ey x =，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为1+=Cy ye x ，这里C 是任意常数．10．y x e dxdy-=． 解 分离变量，得到dx e dy e xy=，积分得C e e xy +=，这里C 是任意常数．作适当的变量变换求解下列方程（11—17） 11．2)(y x dxdy+=． 解 设y x u +=，则dx dy dx du +=1，原方程化为C x u u dxdu+=⇒+=arctan 12，即通解为 C x y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 12．2)(1y x dx dy +=． 解2)(y x dydx+=，由上题，注意到这里的x 和y 相当于上题的y 和x ，得到方程的通解为 C y y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 13．1212+-+-=y x y x dx dy ． 解 由⎩⎨⎧=+-=+-012,012y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=31,31y x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,31,31y Y x X 就有Y X Y X dX dY 22--=，这是齐次方程，令X Y u =，有u dXduX dX dY +=，代入方程后分离变量，X dX du u u u =+--)1(2212，得到C X u u ~ln 2)1ln(2+-=+-，回代变量得C y x y xy x =-++-22即为原方程的通解，这里C 是任意常数．14．25--+-=y x y x dx dy ． 解 令u y x =-，则dx du dx dy =-1，代入方程得 27--=u dx du ，分离变量并积分得，C x u u =+-1442，即C y x y xy x =+++-410222为方程的通解，这里C 是任意常数．15．18)14()1(22+++++=xy y x dxdy． 解 变形为2)14(2+++=y x dx dy ，令u y x =++14，则dxdydx du 41+=，代入原方程得942+=u dx du ，分离变量解之得，C x u +=632arctan ，回代原变量并变形化简，得到通解 )14(2)6t a n (3++=+y x C x ，这里C 是任意常数．16．2252622yx xy x y dx dy +-=． 解 变形为232632)2(3)(xxy x y dx y d +-=，令x y u 3=，则原方程化为 1262+--=u u u dx du x ，解之得537)2()3(Cx u u =+-，即153373)2()3(Cx x y x y =+-为方程的通解，这里C 是任意常数．17．yy y x xxy x dx dy -+++=32232332． 解 变形为123132)()(222222-+++=y x y x x d y d ，令⎪⎩⎪⎨⎧==22,yY x X ，原方程变为123132-+++=Y X Y X dX dY ，由⎩⎨⎧=-+=++0123,0132Y X Y X ，得到⎩⎨⎧-==1,1Y X ．设⎩⎨⎧+=-=1,1Y v X u ，则有v u v u dv du 2332++=，再令s v u =，得到dvds v s dv du +=，于是23)1(32+-=s s dv ds v ，解得C v s s =-+65)1)(1(，逐步回代变量，得原方程的通解为C y x y x =--+52222)2)((，这里C 是任意常数．18．证明方程)(xy f dxdyy x =经变换u xy =可化为变量分离方程，并由此求解下列方程： （1）xdy dx y x y =+)1(22；（2）222222y x y x dx dy y x -+=． 证明 令u xy =，则得dx dy x y dx du +=，代入原方程得]1)([+=u f u dxdu x 是变量分离方程．（1）中221)(y x xy f +=，所以)2(2+=u u dxdux，分离变量求解得 C u x u ++=)]2(ln[2arctan224，即得原告方程的通解C y x x xy ++=)]2(ln[2arctan2224．（2）中2222)(u u u f -+=，所以224udx du x -=，分离变量求解得 C x u u +=-ln 43123，即得原告方程的通解 C x y x xy +=-ln 431233． 19．已知0,1)()(0≠=⎰x dt t f x f x，试求函数)(x f 的一般表达式．解 变形后等式两边对x 求导，有 ])(1[])(['='⎰x f dt t f x，即 )()()(2x f x f x f '-=，解得)(21)(C x x f +±=，由1)()1(1=⎰dt t f f ，得0=C ，所以xx f 21)(±=．20．求具有性质)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在．解 因为)0(x '存在，故)(t x 在0=t 连续，即)0()(lim 0x t x x =→．由)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+，令0=s 就有)0()(1)0()()(x t x x t x t x -+=，得到0)0(=x ．ss x s x t x t x s t x s x t x s x t x s t x s t x )()()(1)(1)()()(1)()()()(2⋅-+=--+=-+，令0→s 取极限，由于右边的极限为)0()](1[2x t x '+，故左边的极限存在，从而得到函数)(t x 满足的方程， )0()](1[)(2x t x t x '+='，解之得 C t x t x +'=)0()(arctan ，或])0(t a n [)(C t x t x +'=．由0)0(=x ，推出Z k k C ∈=,π，所以])0(tan[)(πk t x t x +'=，Z k ∈．21．求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分． 解 由习题 1.2—9（4），知曲线)(x f y =应满足的方程0=+'y y x ，即xy dx dy -=，分离变量解之得，C x y ~ln ln +-=，或C xy =为所求的曲线．22．在图（2.1）所示的C R -电路中，设10=E 伏，100=R 欧，01.0=C 法，而开始时电容C 上没有电荷，问：（1）当开关K 合上“1”后，经过多长时间电容C 上的电压5=C u 伏？（2）当开关K 合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关K 从“1”突然转至“2”，试求C u 的变化规律，并问经过多长时间5=C u 伏？解 （1）由例7，)1(1t RCC eE u --=，将10=E ，100=R ，01.0=C 代入，有)1(10t C e u --=，由)1(105te --=，反解出)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．（2）同样由例7，t RCC Eeu 1-=，代入具体数值有t C e u -=10，由te -=105，同样得到)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．23．求出习题1.2第9题（1）所确定的曲线，其中4πα=．解 由习题1.2—9（1），ααt a n t a n y x x y y -+='，代入4πα=得y x x y y -+='，这是齐次方程，令u x y =，则dx du x u dx dy +=，代入得2211u u dx du x -+=，解出C y x xy++=)ln(arctan 222即为所求曲线．24．证明满足习题1.2第9题（7）所给条件的曲线是抛物线族． 证明 由习题1.2—9（7），0(>='k kx y 常数)，解之得C kx y +=221，这是抛物线族，顶点在),0(C ，对称轴为y 轴．§2.2 线性方程与常数变易法习题2.2求下列方程的解： 1．x y dxdysin +=． 解 首先，求齐次线性方程y dxdy=的通解，从dx y dy =得到齐次方程通解x ce y =，令xe x c y )(=为方程的解，代入得x ex c xsin )(-='，即cx x e x c x ~)co s (si n 21)(++-=-，故原方程的通解为x e c x x y ~)cos (sin 21++-=，其中c ~为任意常数． 2．t e x dt dx 23=+．解 由03=+x dtdx ，解出t ce x 3-=，设t e t c x 3)(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c 5)(='，故c e t c t ~51)(5+=，所以原方程的通解为t t e e c x 2351~+=-，其中c ~为任意常数．3．t t s dt ds 2sin 21cos +-=． 解 由t s dt ds cos -=，解得tce s sin -=，设t e t c s s i n )(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c t 2sin 21)(sin ='，得c t e t c t ~)1(sin )(sin +-=，所以通解为1sin ~sin -+=-t e c x t ，其中c ~为任意常数．4．n x e y x n dx dy n x ,=-为常数．解 由0=-y xndx dy ，解得n cx y =，设n x x c y )(=是原方程的解，代入原方程得，x e x c =')(，即ce x c x ~)(+=，所以通解为n x x c e y )~(+=，这里c ~为任意常数． 5．01212=--+y x xdx dy ． 解 由0212=-+y xx dx dy ，解得x e cx y 12=，设xe x x c y 12)(=是原方程的解，代入原方程得，ce x c e xx c x x ~)(1)(112+=⇒='--，所以通解x e x c x y 122~+=，这里c ~为任意常数．6．234xyy x dx dy +=． 解 原方程即231y x y x dx dy +=，这是2-=n 的Bernoulli 方程，令3y z =，就有，233x z xdx dz +=，解这个一阶线性方程得通解为)ln 3(3c x x z +=，即)ln 3(33c x x y +=，这里c 为任意常数．7．3)1(12+++=x x y dx dy ．解 由12+=x y dx dy ，得2)1(+=x c y ，令2)1)((+=x x c y 为原方程的解，代入原方程得，1)(+='x x c ，即c x x c ~)1(21)(2++=，所以原方程通解为24)1(~)1(21+++=x c x y ，其中c ~为任意常数．8．3y x ydx dy +=． 解 变形为21y x ydy dx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个线性方程．先解对应的齐线性方程x ydy dx 1=，得cy x =，其次把c 看作)(y c ，即设y y c x )(=为变形后方程的解，代入变形后的方程得y dy y dc =)(，得到c y y c ~21)(2+=，从而原方程的通解为y c y x ~213+=，其中c~为任意常数． 9．xx x ay dx dy 1++=． 解 先解xay dx dy =，得a cx y =，设ax x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，11)(++='a x x x c ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=-0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~)11()(a c x x a c x x a a c x a a xx c a ， 所以原方程通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~11a c x x a x c x x a a x c a a x y a ，其中c ~为任意常数． 10．3x y dxdyx =+． 解 先解y dx dy x +，得xc y =，设x x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，3)(x x c =' ，即c x x c ~41)(4+=，所以原方程通解为x c x y ~413+=，这里c~为任意常数． 11．33y x xy dxdy =+．解 这是3=n 的Bernoulli 方程，令2-=y z 代入有322x xz dxdz -=，解这个一阶线性方程得通解为122++=x cez x ，即1)1(222=++x ce x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．12．xdy ydx x y =-)2ln (．解 变形为y xy x x dx dy 2ln 2-=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=y z 代入有 x xz x dx dz ln 2+-=， 解这个一阶线性方程得通解为241ln 21cx x z ++=，即1)41ln 21(2=++cx x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．13．dx x y xydy )2(22-=． 解 变形为yy x dx dy 211-=，这是1-=n 的Bernoulli 方程，令2y z =代入有 12-=z xdx dz ，解这个一阶线性方程得通解为2cx x z +=，即22cx x y +=，这里c 为任意常数．14．23x x e dx dy y +=． 解 设u e y=，则dx dy u dx dy e dx du y ==，代入原方程得2213u xu x dx du +=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=u z 代入有 213xz x dx dz --=，解这个关于z 的一阶线性方程得通解为3~21xcx z +-=，回代原变量得原方程的通解322)(x e x c y =-，其中c 为任意常数．15．331yx xy dx dy +=． 解 变形为33x y yx dydx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个3=n 的Bernoulli 方程．令2-=x u ，有322y yu dydu--=，解这个一阶线性方程得通解为122+-=-y ce u y ，即得原方程的通解1222+-=--y ce x y ，这里c 为任意常数．16．⎰+=xx dt t y e y 0)(．解 两边求导得一阶线性方程x e y dxdy+=，解之得通解x e c x y )(+=，从原方程知道有初始条件10==x y ，代入通解表达式中得1=c ，故原积分方程的解为xe x y )1(+=．17．设函数)(t ϕ于+∞<<∞-t 上连续，)0(ϕ'存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数．解 由于ss t st s t st s t 1)()()()()()()(-⋅=-=-+ϕϕϕϕϕϕϕ，且)0(ϕ'存在，故在该式中令0→s 取极限就有，)0()()(ϕϕϕ'='t t ，解得t ce t )0()(ϕϕ'=．若0)(≡t ϕ，则是解；若)(t ϕ不恒为零，则由)0()()0()(ϕϕϕϕt t t =+=得1)0(=ϕ，由此得1=c ，所以t e t )0()(ϕϕ'=．18．如图所示的L R -电路，试求：（1）当开关1K 合上10秒后，电感L 上的电流；（2）1K 合上10秒后再将2K 合上，求2K 合上20秒后，电感L 上的电流． 解 （1）由Kirchhoff 第二定律得，E dtdIL I R =+1，把101=R ，2=L ，50=E 代入得到微分方程255=+I dtdI，初始条件0=t 时，0=I ．解之得t e I 555--=，当10=t 时，5055--=eI 约为5安培．（2）由Kirchhoff 第二定律得，E dt dILRI =+，其中320201020102121=+⨯=+=R R R R R ，2=L ，50=E 代入得25310=+I dt dI ，初始条件0=t 时，5=I ．解之得)3(25310t e I --=，当20=t 时，)3(253200--=eI 约为7.5安培．19．试求图示的L R -电路电感上电流)(t I 的变化规律，并解释其物理意义，设0=t 时，0=I ．解 由Kirchhoff 第二定律得，E dtdILRI =+，即t L U I L R dt dI m ωsin =+，初始条件为00==t I，求出其通解为)sin(222ϕωω-++=-t L R U ce I m t LR，其中RL ωϕ=tan ，20πϕ<<．由初始条件得，ϕωsin 222L R U c m +=，所以，)]sin([sin 222ϕωϕω-++=-t e L R U I t LR m ．其物理意义是：当t 增大时，第一项逐渐衰减而趋于零（称为暂时电流），事实上很快就消失而不起作用．而第二项就起着重要作用（称为稳定电流）．稳定电流是一个周期函数，其周期与电动势的周期相同，而相角相差ϕ-．20．试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若)(x y y =是（2.3）的非零解，而)(~x y y =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为)(~)(x y x cy y +=，其中c 为任意常数； （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解． 证明 （1）设)(1x y y =，)(2x y y =是方程（2.28）)()(x Q y x P dxdy+= 的任意两个解，即)()(11x Q y x P dx dy +=，)()(22x Q y x P dxdy+=，由此得到 ))(()]()([)]()([)(21212121y y x P x Q y x P x Q y x P dxdy dx dy dx y y d -=+-+=-=-，所以)()(21x y x y y -=是齐线性方程（2.3）：y x P dx dy)(=之解． （2）由于)(x y y =是（2.3）的非零解，故)()()(x y x P dxx dy =，而)(~x y y =是（2.28）的解，即)()(~)()(~x Q x y x P dx x y d +=，所以)]()(~)([)()()(~)())(~)((x Q x y x P x y x cP dxx y d dx x dy c dx x y x cy d ++=+=+)()](~)()[(x Q x y x cy x P ++=，所以)(~)(x y x cy y +=是（2.28）的解，其中含有一个任意常数c ，故是方程（2.28）的通解，其中c 为任意常数．（3）设)(1x y y =，)(2x y y =都是方程（2.3）的解，即)()()(11x y x P dx x dy =， )()()(22x y x P dxx dy =， 因此有)]()[()()()())((1111x ky x P x y x kP dxx dy k dx x ky d ===，)]()()[()()()()()()()]()([21212121x y x y x P x y x P x y x P dxx dy dx x dy dx x y x y d ±=±=±=±，所以，方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解． 21．求解习题1.2第9题（5）和（6）．解 （5）的方程为 2x y x y ='-，或变形为x y xy -='1，这是一阶线性方程． 先解对应的齐次方程y xy 1='，得到cx y =，设原方程的解为)(x xc y =，代入原方程得1)(-='x c ，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为cx x y +-=2，其中c 为任意常数．（6）的方程为 x y x y ='-2，或变形为2121-='y x y ，这是一阶线性方程．同样先解对应的齐次方程y xy 21='，得到x c y =，设原方程的解为x x c y )(=，代入原方程得xx c 21)(-='，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为x c x y +-=，其中c 为任意常数．22．求解下列方程：（1）01)1(2=+-'-xy y x ；（2）0)12()1(322=+--'-x y x y x x ； （3）0sin cos sin 3=--'x y x x y ．解 （1）先解xy y x ='-)1(2，得12-=x cy ，设方程的解为1)(2-=x x c y ，代入方程得)1sgn(1)(2232---='-x x x c ，推出1)(2-+=x c x x y 为原方程的通解（需分1>x ，1-<x 及1<x 三种情形分别求解后再统一），这里c 为任意常数．（2）先解y x y x x )12()1(22-='-，得到12-=x cxy ，设原方程的解为1)(2-=x x x c y ，代入原方程得 1)1()(22---='x x x x c ，即c x x c +-=11)(2，所以原方程的通解为12-+=x cxx y ，这里c 为任意常数．（3）先解0cos sin =-'y x x y ，得到x c y tan =，设原方程的通解为x x c y tan )(=，代入原方程得x x c sin )(='，即c x x c +=co s )(，所以通解x c x y tan sin +-=，这里c 为任意常数．§2.3 恰当方程与积分因子习题2.3验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解： 1．0)2()(2=-++dy y x dx y x ． 证明 y x N y x M 2,2-=+=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程． 改写方程为02)(2=-++ydy xdy ydx dx x ，即0)31(23=-+y xy x d ，得原方程的解为c y xy x =-+2331，其中c 为任意常数． 2．0)4()3(2=---dy x y dx x y ． 证明 )4(,32x y N x y M --=-=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程． 改写方程为043)(2=--+ydy dx x xdy ydx ，即0)2(23=--y x xy d ，得原方程的解为c y x xy =--232，其中c 为任意常数．3．0])(1[]1)([2222=--+--dy y x x y dx x y x y ．证明 2222)(1,1)(y x x y N x y x y M --=--=，所以x N y x xy y M ∂∂=-=∂∂3)(2，即所给方程是恰当方程．改写方程为 0)(222=+---y dyx dx y x dy x dx y ， 凑为0)()()()(2=-+----y dyx dx y x y x xyd xy d y x ， 即0)ln ln (=-+-y x y x xy d ，得原方程的通解为c y x yx xy=-+-ln ln ，其中c 为任意常数．4．0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy ． 证明 )2(3,)23(22232y y x N x xy M +=+=，所以xNxy y M ∂∂==∂∂12，即所给方程是恰当方程．改写方程为034)(623=+++dy y dx x xdy ydx xy ，即0)3(3422=++y x y x d ，得原方程的解为c y x y x =++34223，其中c 为任意常数．5．0)1sin cos 1()1cos sin1(222=+-++-dy yy x y x x y x dx x y x y y x y ． 证明 由于2221sin cos 1,1cos sin 1yy x y x x y x N xyx y y x y M +-=+-=， 所以，x Ny x y x y x y x y x y x y xy M ∂∂=--+-=∂∂cos sin 1sin cos 13232，即所给方程是恰当方程． 改写方程为01cos sin 222=++-+-dy ydx x y x ydx xdy y x y xdy ydx ， 即0)1cos (sin=-+-y x y x x y d ，得原方程的解为c yx y x x y =-+-1cos sin ，其中c 为任意常数．求下列方程的解：6．0)1(222=+-dy e dx ye x x x ．解 改写方程为02)2(22=-+⋅xdx dy e y dx xe x x ，即0)(22=-x ye d x ，所以得到原方程的通解c x ye x =-22，这里c 为任意常数．7．02)3(2=++xydy dx y e x． 解 由于xy N y e M x2,32=+=，故y xNy y M 2,6=∂∂=∂∂． 因为xN xNy M 2=∂∂-∂∂只与x 有关，所以方程有只与x 有关的积分因子 2ln 22x eexdxx ==⎰=μ，以2x =μ乘方程两边得，0233222=++ydy x dx y x dx e x x，即0)()(223=+xe d x y x d ，故得原方程的通解为c e x x y x x=+-+)22(223，这里c 为任意常数．8．0)1(22=++dy x xydx ．解 改写为0)2(2=++dy dy x xydx ，凑微分得0))((22=++dy dy x x yd ，得原方程的通解c y y x =+2，其中c 为任意常数．9．dx y x xdy ydx )(22+=-． 解 以22y x +除方程两边，有dx yx xdy ydx =+-22，即dx y xd =)(arctan ，得到原方程的通解为c x yx+=arctan，这里c 为任意常数． 10．0)(3=+-dy y x ydx ． 解 改写为dy y xdy ydx 3=-，得ydy yxdy ydx =-2，即)21()(2y d y x d =，所以得到原方程的通解c y y x +=221，或cy y x +=321，其中c 为任意常数． 11．0)1(=+--xdy dx xy y ．解 由x N xy y M =--=,1，得1,1=∂∂-=∂∂x Nx y M ，由于1-=∂∂-∂∂Nx Ny M 与y无关，故方程有只与x 有关的积分因子x dxe e --=⎰=)1(μ，以x e -乘方程两边有，0)1(=+----xdy e dx xy y e x x ，分组得，0])([=--+---dx e dx xye xdy ydx ex x x，凑微分得0])1[(=+-x e xy d ，即得方程的通解为xce xy =+1，这里c 为任意常数．12．0)(2=--xdy dx x y ．解 由x N x y M -=-=,2，得1,1-=∂∂=∂∂xN y M ，由于x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂只与x 有关，故方程有积分因子2)2(1x edxx =⎰=-μ，以21x乘方程两边并组合变形有， dx xxdyydx =-2， 即dx x y d =-)(，得到方程的通解为c x xy-=-，或)(x c x y -=，这里c 为任意常数．13．0)2(=++xdy dx y x ．解 改写为02=++xdy ydx xdx ，显然有积分因子x ，故以x =μ乘方程两边有，0])([222=++dy x x yd dx x ，即0)()31(23=+y x d x d ，得到通解c y x x =+2331，其中c为任意常数．14．0)cos()]sin()cos([=+++++dy y x x dx y x y x x ． 解 改写为 0)sin())(cos(=++++dx y x dy dx y x x ， 即 0)sin())(sin(=+++dx y x y x xd ，或0)]sin([=+y x x d ，所以原方程的通解为c y x x =+)sin(，其中c 为任意常数． 15．0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x x x y ．解 x x x y N x x x y M c o s s i n ,s i n c o s+=-=，则x x x x y xNsi n cos cos -+=∂∂，x yMcos =∂∂，由于1=-∂∂-∂∂M x Ny M 与x 无关，故方程有积分因子y dy e e =⎰=μ，以y e 乘方程两边并分项组合有，0sin cos )1()cos sin cos (=+-+⋅+-xdy ye xdx y e dy e x x xdx xe xdx e y y y y y ，或写为0)(sin )(sin )1()](cos ))(cos (cos [=+-+++y y y y e xd y x d y e e xd x x xd xdx e ，即0sin )](sin )(sin )[1()cos (=++-+xdy e e xd x d e y xe x d yyyy， 也即0)1(sin )sin ()1()cos (=-+-+y xd e x e d y xe x d y y y ，故0)sin )1(cos (=-+x e y xe x d yy，得到方程的通解为c e x y x x y=-+]sin )1(cos [，这里c 为任意常数．16．0)53()24(3=+++xdy ydx y xdy ydx x ．解 改写方程为 05324342=+++dy xy dx y dy x xydx ，可看出y x 2=μ是一个积分因子，用它乘方程两边有053244352423=+++dy y x dx y x ydy x dx y x ，分项组合就有，0)()(5324=+y x d y x d ，故方程的通解为c y x y x =+5324，其中c 为任意常数．17．试导出方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 分别具有形为)(y x +μ和)(xy μ的积分因子的充要条件．解 设)(y x +μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+++dy y x N y x dx y x M y x μμ是恰当方程 ⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔NM y x xNy M y x d y x d -+∂∂-∂∂-=++)()()()(μμ ⇔NM y x xNy M -+∂∂-∂∂-)()(μ应为y x +的函数)(y x f +． 又设)(xy μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+dy y x N xy dx y x M xy μμ是恰当方程⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔xMyN xy xNy M xy d xy d -∂∂-∂∂=)()()()(μμ ⇔)()()(xy xMyN xy xNy M ϕμ=-∂∂-∂∂． 18．设),(y x f 及yf∂∂连续，试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分分子．证明 “⇒”即例4．“⇐” 若方程0),(=-dx y x f dy 有反依赖于x 的积分因子，则)()(x p yfx N y M -=∂∂-=∂∂-∂∂ 仅与x 有关，所以)()()(),(x Q y x p dy x p dy y fy x f +==∂∂=⎰⎰，其中)(x Q 是x 的任意连续函数．从而方程为0)]()([=+-dx x Q y x p dy ，即)()(x Q y x p dxdy+=是线性方程． 19．试证齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 当0≠+yN xM 时有积分因子yNxM +=1μ．证明 将方程两端同乘以N 1，得0=+dy dx N M ，即0)(=+dy dx xy g ． 设xyu =，则ux y =，从而0)(=++xdu udx dx u g ，或0])([=++xdu dx u u g ，这是可分离变量方程，取积分因子])([11u u g x +=μ，则有0])(1[ln =++⎰du uu g x d ，得到通解为c du u u g x =++⎰)(1ln ，其中c 为任意常数．积分因子为yN xM xy N M x Nu u g x N N +=+⋅=+⋅==1][11])([1111μμ，通解可写为c xyd yN xM N x =++⎰)(ln ，c 为任意常数．20．设函数)(u f ，)(u g 连续、可微且)()(u g u f ≠，试证方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．证明 以1)])()([(--=xy g xy f xy μ乘以方程两边，有0)]()([)()(=-+xy g xy f xy dyxy xg dx xy yf ，或0)]()([))((=--+y dy xy g xy f xy xdy ydx xy f ，即0)ln )]()([)((=--⎰y du u g u f u u f d )(xy u =，因而方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．21．假设方程（2.43）中的函数),(,),(y x N y x M 满足关系)()(y Mf x Nf xNy M -=∂∂-∂∂ 其中)(,)(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，试证方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．证明 因为yMy g M y M y M M y ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(，xNx f N x N x N N x ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(， 所以0][)]()([)()(=∂∂-∂∂+-=∂∂-∂∂xNy M x Nf y Mg N x M y μμμμ， 即)()(N xM y μμ∂∂=∂∂，从而方程0=+Ndy Mdx μμ是恰当方程，故方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．22．求出Bernoulli 方程的积分因子． 解 Bernoulli 方程为n y x Q y x P dx dy )()(+= )1,0(≠n ，以ny n --)1(乘方程两边，并令u yu=-1，化为关于dx du u ,的一阶线性方程)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-+-=，后者有积分因子⎰--dx x P n e )()1(，从而Bernoulli 方程的积分因子⎰-=--dxx P n ne yn )()1(1μ． 23．设),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，从而求得可微函数),(y x U ，使得)(Ndy Mdx dU +=μ．试证),(~y x μ也是方程（2.43）的积分因子的充要条件是)(),(~U y x μϕμ=，其中)(t ϕ是t 的可微函数． 证明 “⇐”若),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，且)(Ndy Mdx dU +=μ，则))(()()()()(~0⎰==+=+=dU U d dU U U Ndy Mdx Ndy Mdx ϕϕϕμμ， 所以c dU U =⎰)(ϕ为（2.43）的通解，故)(),(~U y x μϕμ=亦是方程（2.43）的积分因子，其中)(t ϕ是t 的可微函数．“⇒”设dV Ndy Mdx =+22μμ，则M xV2μ=∂∂，N y V 2μ=∂∂． 由Ndy Mdx dU μμ+=，则M xUμ=∂∂，N y U μ=∂∂，得到yU x UN M y V x V ∂∂∂∂==∂∂∂∂，所以，0=∂∂∂∂∂∂∂∂yU x U yV x V，因而存在函数)(t Φ，使得)(U V Φ=，由此得 ))(())(()(Ndy Mdx U Ndy Mdx U dU U dV +Φ'=+Φ'=Φ'=μμμ )(2N d y M d x+=μ， 得到)()(2U U μϕμμ=Φ'=．24．设),(,),(21y x y x μμ是方程（2.43）的两个积分因子，且21μμ不恒为常数，求证c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．证明 由于21,μμ是方程（2.43）的两个积分因子，由上题结论)(21U ϕμμ=，其中)(2Ndy Mdx dU +=μ，这里)(t ϕ是t 的可微函数．由于)(21U ϕμμ=不恒为常数，故有)(U ϕ'不恒为零，由此在c U =)(ϕ两边微分得0)()(2=+'Ndy Mdx U μϕ，因此得到，0)(2=+Ndy Mdx μ，所以c U =)(ϕ是方程（2.43）的解，又c U =)(ϕ中含有一个任意常数，故c U =)(ϕ即c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．25．假设第19题中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为c y x yN y x xM =+),(),(（c 为任意常数）． 证明 由于方程是恰当的，故11=μ即是一个积分因子，而由第19题yNxM +=12μ也是积分因子，且yN xM +=21μμ不恒为常数，所以由第24题所证结论，就知道它的通解为c y x yN y x xM =+),(),(，c 为任意常数．§2.4 一阶隐方程与参数表示习题2.4求解下列方程： 1．y y x '+='13． 解 解出31y y x ''+=，设p y ='，方程为31ppx +=，两边对y 求导，有 dydpp p p )23(134+-=， 即dp p p dy )23(23+-=，所以c p pp ++=2232，因此得原方程的通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=c p py pp x 223,11223（p 为参数），c 为任意常数．2．0)1(33='--'y x y ．解 设31t y ='-，则31t y -='，21t t x -=．由dt t tt dx y dy )21)(1(23---='=，得c t t t y ++-=52521，从而通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t tx 522521,1，（t 为参数），c 为任意常数． 3．y e y y ''=2．解 设p y ='，则原方程为pe p y 2=，两边对x 求导有，dxdppep p p)2(+=，即dp e p dx p )2(+=，解得c e p x p ++=)1(，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧=++=ppep y c e p x 2,)1( （p 为参数），c 为任意常数． 4．a y y 2)1(2='+（a 为常数）． 解 解出212y a y '+=，p y ='，则原方程为212pay +=，两边对x 求导有， dx dpp p a p ⋅⋅+-=2)1(222，或dp p a dx 22)1(4+-=，解得c p a papx +-+-=arctan 2122，所以通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-+-=2212,arctan 212p a y c p a p ap x （p 为参数），c 为任意常数． 5．122='+y x ．解 设t x cos =，t y sin ='，则由tdt dx y dy 2sin -='=，得c t t y ++-=2s i n 4121，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧++-==c t t y t x 2sin 4121,cos （t 为参数），c 为任意常数． 6．22)2()1(y y y '-=-'．解 令yt y ='-2，则有t t y -=1，所以21t y +='，dt ty dy dx 21-='=，由此解出c tx +=1，于是求得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=tt y c t x 1,1 （t 为参数），或消去参数t 得c x c x y +--=1，c 为任意常数．习题2.5求下列方程的解：1．1cos sin =+x dx dyx y ． 解 原方程为x y x dx dy sec tan +⋅-=，由y x dxdy⋅-=tan ，得到x c y cos =，设原方程的解是x x c y cos )(=，代入原方程得出x x c 2sec )(='，即c x x c +=tan )(，因此原方程的通解为x c x y cos sin +=，c 为任意常数．2．ydy x xdy ydx 2=-． 解 方程两边同乘以21x ，有ydy xxdy ydx =-2，凑微分得0)21(2=+x yy d ，故得通解c xyy =+221，这里c 为任意常数． 3．1sin 4-=-x e dxdy y ．解 改写为0sin 4=-+xdx dx e dy e yy，两边乘以xe 并凑微分得0)sin 4(=-⎰xdx e e e d x y x ，所以c xdx e e e xy x +=⎰sin 4，即c x x e e e xy x +-=)cos (sin 2，其中c 为任意常数．4．xyx ydx dy -=． 解 这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dxdu x u dx dy +=，代入原方程化为 uuu dx du x-=1． 分离变量求解得，c uux 22ln =+，即2)ln 21(y c y x -=，这里c 为任意常数．5．0)(22=-+dy e x dx y xye yx yx ．解 变形为yxe x y x y dx dy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2，这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e u dxdux 12-=，分离变量求解得x c e u ln 1=+-，即c e x y x=+ln ，其中c 为任意常数．6．0)1(=-+xdy ydx xy ． 解 变形为02=-=yxdy ydx xdx ，凑微分得0)21(2=+y xy d ，所以原方程的通解为c yxy =+221，其中c 为任意常数． 7．0)2()122(=-++-+dy y x dx y x ．解 变形为2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，设u y x =+，则dxdudx dy =+1，代入原方程后得，21-+-=u u dx du ，解之得c x u u +-=+-1ln 3，即c y x y x +++=+1ln 2，这里c 为任意常数．8．32x y x y dx dy +=． 解 这是2=n 的Bernoulli 方程．令1-=y z ，有311xz x dx dz --=，解这个一阶线性方程，得x cxz +=21，即x c x y +=211，这里c 为任意常数． 9．23-+=x y dxdy． 解 先解y dxdy3=，得到x ce y 3=，设原方程的解是x e x c y 3)(=，代入原方程后得，x e x x c 3)2()(--='，所以c e x x c x +--=-3)53(91)(，得到x ce x y 3)53(91+--=是原方程的通解，这里c 为任意常数．10．21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x ．解 设p dxdy=，则p p x +=1，两边对y 求导得dy dp p p )11(12+-=，从中就可解出c p p y +-=ln 212，所以通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=c p p y p px ln 21,12（p 为参数），c 为任意常数．11．312+++-=y x y x dx dy ． 解 改写并分项组合，有0)1()3()(2=+-+=+dx x dy y ydx xdy ，凑微分，得0)21331(22=--++x x y y xy d ， 所以，c x x y y xy =--++2221331是方程的通解，这里c 为任意常数． 12．x y xe dxdy e =+-)1(． 解 原方程即y x xe dx dy +=+1，设u y x =+代入方程得u xe dxdu=，这是分离变量方程．解出c e x u =+-221，即得原方程的通解为c e x y x =++-)(221，这里c 为任意常数．13．02)(22=-+xydy dx y x ．解 设xy N y x M 2,22-=+=，则y x N y y M 2,2-=∂∂=∂∂，x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂仅与x 有关，故方程有积分因子2)2(1xedxx =⎰=-μ，用它乘方程两边并分项组合有， 0222=-+x xydy dx y dx ，即0)(2=-x y x d ，所以c xy x =-2，或cx y x =-22是原方程的通解，其中c 为任意常数． 14．1++=y x dx dy． 解 由y dxdy =，解得x ce y =，设原方程的解为x e x c y )(=，代入有xe x x c -+=')1()(，即c ex x c x++-=-)2()(，所以通解为)2(+-=x ce y x ，其中c 为任意常数．15．xy e dx dy x y+=．解 设u x y =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e dxdu x =，分离变量解之得c e x u=+-ln ，即c ex xy=+-ln ，其中c 为任意常数．16．y e dxdyx -=++21)1(． 解 分离变量得112+=--x dx e dy y ，两边积分得通解12+=-x c e y，c 为任意常数． 17．0)1()(2=++-dy x y dx y x ．解 改写为1111-+-+=y xxy x dx dy ，这是1-=n 的Bernoulli 方程．设2y z =，则原方程化为一阶线性方程xx z x dx dz +-+=1212，解之得2)1(12+++=x c x z ，因此得原方程的通解为22)1(12+++=x c x y ，这里c 为任意常数．18．0)1(24322=-+dy y x dx y x ．解 )1(2,4322-==y x N y x M ，则y x xN y x y M 226,8=∂∂=∂∂，y M x Ny M 21-=-∂∂-∂∂只与y 有关，故有积分因子yedyy 1)21(=⎰=-μ，用它乘以方程并分项组合有02)24(21213232=-+-dy y dy y x dx y x ，凑微分得，0)434(21233=-y y x d ，所以通解为c y y x =-212333，或c y y x =-)3(3，其中c 为任意常数．19．0422=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy y dx dy x ．解 解出y y x y '+'=2)4(2，设p y ='，则原方程为pp x y 2)4(2+=，两边对x 求导有，dxdpp x p p p )221(2422-++=， 或dp pxdx =，解得cp x =，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧+==)4(2,2p c y cp x （p 为参数）， 或消去参数p ，得2242c x cy +=，c 为任意常数．另外还有042=-p ，或x y 2±=也是解．20．1]1[22=⎪⎭⎫⎝⎛-dx dy y ．解 令t dxdysin =，代入方程有1)sin 1(22=-t y ，即t y sec ±=． 由于dt tdt t t t y dy dx 2cos 1sin tan sec ±=±='=，所以1tan c t x +±=，得到原方程的通解为⎩⎨⎧±=+±=ty c t x sec ,tan 1 （t 为参数）， 消去参数t 得1)(22++=c x y ，其中c 为任意常数．21．0)1()1(=-++dy yxe dx e yx yx ． 解 设u y x =，则yu x =，dy duy u dy dx +=，代入原方程化简得uu e u e dy du y ++-=1，分离变量求解得c y e u u=+)(，即c yex yx=+是原方程的通解，其中c 为任意常数．22．0324223=-+dy yx y dx y x ． 解 设42233,2y x y N y x M -==，则x N y x y M ∂∂=-=∂∂46，故为恰当方程． 由于)()(2),(323y yx y dx y x y x u ϕϕ+=+=⎰，其中)(y ϕ是y 的待定可微函数，再由422423)(3y x y y y x y u -='+-=∂∂ϕ，得到21)(y y ='ϕ，即有y y 1)(-=ϕ，因此得到方程的通解为c y yx y x u =-=1),(32，即322cy y x =-，这里c 为任意常数．23．0)1(2=++-dy y x ydx ．解 变形为dy y xdy ydx )1(2+=-，看出有积分因子21y =μ，用21y =μ乘以方程两边并凑微分得)1()(y y d y xd -=，即得方程的通解是c yy y x +-=1或cy y x =+-12，这里c 为任意常数．24．0)]([22=-+-xdy dx y x x y ．解 变形为dx y x x xdy ydx )(22+=-，看出有积分因子221yx +=μ，用它乘以方程两边并凑微分得)2()(arctan 2x d y x d =，得方程的通解是c x y x +=2arctan 2，或其等价形式)2tan(2c x y x +=，其中c 为任意常数． 25．0=-+x e dxdydx dy． 解 设p dxdy=，则p e p x +=，两边对y 求导有dy dp e p p )1(1+=，即dp e p dy p )1(+=，由此得到c e p p y p +-+=)1(212，所以方程的通解为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=ce p p y e p x pp )1(21,2 （p 为参数），c 为任意常数． 26．0)()32(2232=++++dy y x dx y y x xy ． 解 设2232,32y x N y y x xy M +=++=，则x x Ny x x y M 2,222=∂∂++=∂∂，1=∂∂-∂∂N xNy M 与y 无关，所以方程有积分因子x dx e e =⎰=1μ，以之乘方程的两边，分项组合得到0)3()2(2322=++++dy e y dx e y dy e x dx ye x dx xye x xxxx，即。
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3 z0 = x z°x
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R
3 x
dx
y 2 = |x|3 (C + |x|°1 ) C (9) u =
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u
x2 (1 °
p
p u)u0 = xu u
u=0 px
y
y=0
u 6= 0
y = Ce°2 C (10) u =
x y u +e y du dy = ° 1+eu
u
x + ye y = C C (11) [(x2 cos y )dy + (2x sin y )dx] + [(y 3 ex )dx + (3y 2 ex )dy ] = 0 7
(5) (6) (7)
e°y + ex+3 = C sin y = 0 C y = k º (k 2 Z)
2 y = tan(x ° 1 2 x + C)
ln |x| +
xy = °1
1 xy +1
=C C
C
xy 6= °1
C sin y 6= 0
(8) z = y 2
sin2 y ° C sin2 x = 0
1. (1) (2)
dy dx d y dx2
2
= y + sin x; °
1 1°x2 y = 1 + x, Rx ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 dy dx
=
(6) (y ln x ° 2)ydx = xdy ; (8)
dy dx
dy (7) cos y sin x dx = sin y cos x; dy (8) 2xy dx = 3y 2 ° x2 ; p dy (9) (x ° xy ) dx = y;
(10) e y
y2 2
x
dy dx
+ y (1 + e y ) = 0;
x
dy (11) 2x sin y + y 3 ex + (x2 cos y + 3y 2 ex ) dx = 0;
!p ¯
+e
!p ¯
Z
!
q (t)e°
0
Rt
0
p(s) ds
dt
y (x) = y (x + ! ) , p ¯= 0
R
y (x) = y (x + ! ) , p ¯ 6= 0
p(x) dx
y=e
(C +
Z
q (x)e°
R
p(x) dx
dx),
C=
1 ¯ 1 ° e!p
Z
!
q (t)e°
0
Rt
0
p(s) ds
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 3. (1) (2) (3) (4)
y = Cx + x2 xy = C
y=9 2C +
C 2 xx
x (1)y 00 = 2 (2)y + xy 0 = 0 (3)y 000 + (y 0 )2 y 000 = 3y 0 (y 00 )2 (4)y 000 = 0
1.
1000 / -20000 /
2
h
a = °2oooom/h2 8 > > > < > > > :
dh dt
v0 = 1000m/h, = v0 + at.
T
h(T ) = 0
dh dt |t=T
=0
1 v0 T + 2 aT 2 + C = 0,
2 h = v0 t + 1 2 at + C ,
Rx
0
Rx
0
a(t) dt
, (x ∏ 0).
a(s) ds
|y | ∑ Cex + M
f (x + ! ) = f (x)
! )e°s ds = y (x) 4.
C =0 y = R R y (x + ! ) = e(x+!) f (s + ! )e°(s+!) ds = e(x+!) e°! f (s + dy p(x)y + q (x), dx
dx
z = x2 (C + x°1 y 2 = x2 (C + x°1 ) (6) y¥0 C y 6= 0 °y °2 dz 2z ln x = ° dx x x e°
R
2 x
z = y °1
dx
y °1 = x2 (C + 4
1 + 2 ln x ) 4x2
C (7) y=0 e
R
1 x
y 6= 0
an°mc bc°ad , X
ax + by + m = 0 =x° µ
nb°md ad°bc dY dX
cx + dy + n = 0
aX +bY cX +dY dy dx
Y =y° ad = bc C
=
°md an°mc ( nb ad°bc , bc°ad )
r
e°x
y = ex (C + x) C (4) 3y 2 z = y3 dz 3z = 3x3 + dx x e°
R
3 x
C=1
y = ex (1 + x)
dx
z = x3 (C + 3x) C (5) z = y 2 dz 2z = °1 dx x e°
R
2 x
y 3 = x3 (C + 3x)
p(x) q (x) (1) q (x) ¥ 0
! (2.4.23) ! Z 1 ! p ¯= p(x) dx = 0 ! 0 5 p(x)
(2) q (x) 6= 0
(2.4.23)
!
p(x)
p ¯ 6= 0
y (x) = y (x + ! ) , (1) q (t) = 0 (2) q (t) 6= 0 C = Ce
0 T = °v a
C
h(0) = C = 25m. V V2 / A V 1 + V2 2000 / V1 2000 / A A
2.
A 5m0
m0 5
A A P(t), 8 < V P 0 (t) + P (t)(V1 + V2 ) = : P (0) = 5m
0 m0 5 V1
P (t) = e° 3.
8 < Vc (t) = : V (t) =
s
Mc mc ∏ (1 Ms ms ∏ (1
° e° mc t )
∏
∏
° e° ms t )
1. (1)
dy dx
d y dy (3) x2 dx 2 ° 2x dx + y = 2x sin x; d y x dy (5) y dx 3 ° e dx + 3xy = 0;
y 6= 0
1 °1 2 2y
z = y2
1
e°2x
y = (Ce2x ° 6
x 1 2 ° ) 4 8
C (2) 2y z = y2 y= C (3) z = xy z0 =
4z 2 +4z +1 4x
e p C
°
R
x x2 °1
dx
1 ° x2 (C °
z = °1 2 y=
p y = 2 1 ° x2 ° (1 ° x2 ) z 6= ° 1 2
(5) 2xydy ° (2y 2 ° x)dx = 0;
dy (7) 3xy 2 dx + y 3 + x3 = 0;
=
y x+y 3 .
3
(1)
e°x y = Cex ° C
R
1 1°x2
sin x + cos x 2
(2)
e
°
dx
C (3) x
y 0 = ex + y (x)
1+x º (C + ) 1°x 2 q 1+x C =1° º y= 1 2 °x y= y (0) = 1
1 3 Y +k (a) h k dy x+y+1 = dx x°y+3 dY X +Y = dX X °Y dy x+y+1 = dx x°y+3 (1) x = X + h, y = Y + k
dY dX
x = X + h, y =
(b)
=
(2)
h = °2, k = 1
8 < h+k+1=0 : h°k+3=0
dt
1. p dy (1) x dx ° 4xy = x2 y ;
dy dx dy dx
(2) (3)
°
= y2 +
xy 2(x2 °1)
1 4x2 ;
°
x 2y
= 0, y (0) = 1;
dy (4) x2 dx ° x2 y 2 = xy + 1;
(5)
dy dx dy dx
(6)
= 1 ° x + y 2 ° xy 2 ; = ex+y+3 ;
V1 +V2 V
t
[5m0 +
V1 +V2 m0 V1 t V 5 V1 +V2 (e
° 1)]. v0 v1
(x, y ) 8 > > > < 4. 200kg