数列分组求和法

分组求和法

典题导入

[例1]　(2011·山东高考)等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前2n项和S2n.

[自主解答]　(1)当a1＝3时，不合题意；

当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；

当a1＝10时，不合题意．

因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故a n＝2·3n－1.　

(2)因为b n＝a n＋(－1)n ln a n＝2·3n－1＋(－1)n ln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，

所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×＋n ln 3＝32n＋n ln 3－1.

由题悟法

分组转化法求和的常见类型

(1)若a n＝b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和．

(2)通项公式为a n＝的数列，其中数列{b n}，{c n}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

以题试法

1．(2013·威海模拟)已知数列{x n}的首项x1＝3，通项x n＝2n p

＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：

(1)p，q的值；

(2)数列{x n}前n项和S n的公式．

解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，

x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，

解得p＝1，q＝1.

(2) 由(1)，知x n＝2n＋n，所以S n＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n ＋1－2＋.

为( )．

2.数列1，3，5，7，…的前n项和S

n

A．n2＋1－ B．n2＋2－

C．n2＋1－ D．n2＋2－

＝2n－1＋，

解析　由题意知已知数列的通项为a

n

则S

n

＝＋＝n2＋1－.

答案　C

3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝5，S15＝225.

(1)求数列{a

n

}的通项公式；

(2)设b

n ＝2a

n

＋2n，求数列{b

n

}的前n项和T

n

.

解析：(1)设等差数列{a

n }的首项为a

1

，公差为d，

由题意，得

解得∴a

n

＝2n－1.

(2)∵b

n ＝2a

n

＋2n＝·4n＋2n，

∴T

n ＝b

1

＋b

2

＋…＋b

n

＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)

＝＋n2＋n＝·4n＋n2＋n－.

4.设{a n}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.

(1)求{a

n

}的通项公式；

(2)设{b

n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a

n

＋b

n

}的

前n项和S

n

.

解析　(1)设q为等比数列{a

n }的公比，则由a

1

＝2，a

3

＝a

2

＋4

得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.

所以{a

n }的通项为a

n

＝2·2n－1＝2n(n∈N*)

(2) S

n

＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.

5.求和S n＝1＋＋＋…＋.

解　和式中第k项为

a k＝1＋＋＋…＋＝＝2.

∴S n＝2

＝2[(1＋1＋…＋1－(＋＋…＋)]

＝2＝＋2n－2.

6.数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，a n＋2－a n＝1＋(－1)n

(n∈N*)，则S100＝________.

答案　2 600

解析　由a n＋2－a n＝1＋(－1)n知a2k＋2－a2k＝2，

a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.

∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)

＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2 600.

7.求和：(1)S n＝＋＋＋＋…＋；

(2)S n＝2＋2＋ (2)

解　(1)由于a n＝＝n＋，

∴S n＝＋＋＋…＋

＝(1＋2＋3＋…＋n)＋

＝＋＝－＋1.

(2)当x＝±1时，S n＝4n.当x≠±1时，

S n＝2＋2＋…＋2

＝＋＋…＋

＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋

＝＋＋2n

＝＋2n.

∴S n＝

8.已知数列{a n}中，a1＝－60，a n＋1＝a n＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．

答案　765

解析　由题意知{a n}是等差数列，a n＝－60＋3(n－1)＝3n－63，令a n≥0，解得n≥21.

∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|

＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30)

＝S30－2S20＝－(－60＋60－63)×20＝765.

9.数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝

________.