信号系统习题解答khdaw

f( t ) = sin πt[ε( t ) − ε( t −6 )]
2-4 试用阶跃函数的组合表示题 2-4 图所示信号。
ww
题 2-4 图
w.
kh da
课 后
图 p2-3
7
答 案
解 (a)和(b)的波形如图 p2-3 所示。
w.
网
co m
解 (a) (b)
f( t ) = ε( t ) − 2ε( t −1 ) + ε( t −2 ) f( t ) = ε( t ) + ε( t −T ) + ε( t −2T )
∫ ∫
∞
∞
co m
tδ (t − 1)dt π (3) cos(ω t − )δ (t )dt 0− 3
∫ ∫
−∞ ∞
图 p2-6
2-7 如题 2-7 图一阶系统，对 (a)求冲激响应 i 和 uL，对(b)求冲激响应 uC 和 iC，并画出
w.
解 由图(a)有
即
ww
则电压冲激响应
当 uS( t ) = δ( t )，则冲激响应 1 − t h(t ) = i(t ) = e L ⋅ ε (t ) L di R − t h(t ) = u L (t ) = L = δ (t ) − e L ⋅ ε (t ) dt L 对于图(b)RC 电路，有方程 du C u = iS − C dt R
可见
即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。
18 若有线性时不变系统的方程为 1-8
w.
若在非零 f( t )作用下其响应 y (t ) = 1 − e − t ，试求方程
ww
的响应。 故响应
解 因为 f( t ) → y (t ) = 1 − e − t ，由线性关系，则 2 f (t ) → 2 y (t ) = 2(1 − e − t )
ww
f( 2t ) t (c) f( ) 2
(b) (d) f( −t +1 )
(a) 2 f( t − 2 )
w.
课
题 1-1 图
解 以上各函数的波形如图 p1-2 所示。
w.
(d)
网
题 1-2 图
co m
2
图 p1-2
SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
kh da
所描述的系统为线性系统。式中 a 为常量。 证明 不失一般性，设输入有两个分量，且
f1 (t ) → y1 (t )， f 2 (t ) → y 2 (t )
则有 ′ (t ) + ay1 (t ) = f1 (t ) y1 相加得
′ (t ) + ay1 (t ) + y′ y1 2 (t ) + ay 2 (t ) = f 1 (t ) + f 2 (t )
5
答 案
f1 (t ) + f 2 (t ) → y1 (t ) + y 2 (t )
y ′(t ) + ay (t ) = 2 f (t ) + f ′(t )
w.
网
y′ 2 (t ) + ay 2 (t ) = f 2 (t )
co m
第 2 章习题解析
2-1 如图 2-1 所示系统，试以 uC( t )为输出列出其微分方程。
6
w.
网
uC du +C C R dt
co m
由于
yzi ( 0+ ) = A1 = 1
−2A1 + A2 = 2 所以
A2 = 4
故有
y zi (t ) = (1 + 4t )e −2t ,
t≥0
2-3 设有如下函数 f( t )，试分别画出它们的波形。 (a) f( t ) = 2ε( t −1 ) − 2ε( t −2 ) (b)
w.
故有
ww
显然
即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。 df (t ) t (1) y (t ) = + ∫ f (τ )dτ 0 dt (2) y ′′(t ) + y ′(t ) + 3 y (t ) = f ′(t )
4
kh da
课 后
y (t ) = T [ f (t )] = f (t )
ww
w.
kh da
课 后
1
答 案
w.
第 8 章习题解析......................................................................................................... 55
网
co m
第 1 章习题解析
kh da
后
f′ ( t ) = δ( t − 2 )， t = 2
−2δ( t − 4 )，
答 案
0+
w.
t=4
8
网
(2)
tδ (t − 1)dt = ∫ δ (t − 1)dt = 1 −∞ −∞ ∞ ∞ π π 1 (3) cos(ω t − )δ (t )dt = ∫ cos(− )δ (t )dt = 0− 0 − 3 3 2
1-4 如题 1-4 图示系统由加法器、 积分器和放大量为−a 的放大器三个子系统组成， 系统 属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
w.
SR SL SC
网
co m
3
题 1-4 图
解 系统为反馈联接形式。设加法器的输出为 x( t )，由于
x (t ) = f (t ) + ( − a ) y (t )
2-5 试计算下列结果。 (1) tδ( t − 1 ) (2)
∞
(4)
∫
0+
0−
e −3t δ (−t )dt
解 (1) tδ( t − 1 ) = δ( t − 1 )
(4)
∫
0+
0−
e −3t δ (−t )dt = ∫ e −3t δ (t )dt = ∫ δ (t )dt = 1
0− 0−
1 1 1 ′ (t ) + uC u C (t ) = uS (t ) RC LC LC
y ′′(t ) + 4 y ′(t ) + 4 y (t ) = 0
y ( 0 + ) = 1, y ′( 0 + ) = 2
λ2 + 4λ + 4 =0 λ1 = λ2 = −2 y zi (t ) = ( A1 + A2t )e −2t
9
R R
kh da
课 后
题 2-7 图
答 案
L C
di = uS (t ) − Ri dt
di R 1 + i = uS (t ) dt L L
w.
网
它们的波形。
co m
即
u′ C +
当 iS = δ( t )时，则
1 1 u C = iS RC C 1 − RC e ⋅ ε (t ) C
由线性系统的微分特性，有
kh da
课 后
y ′(t ) + ay (t ) = f (t ) f ′(t ) → y ′(t ) = e − t
即
d [ y1 (t ) + y2 (t )] + a[ y1 (t ) + y2 (t )] = f1 (t ) + f 2 (t ) dt
2 f (t ) + f ′(t ) → y (t ) = 2(1 − e − t ) + e − t = 2 − e −t
w.
y ′(t ) = f (t ) − ay (t )
网
co m
(3) 2ty ′(t ) + y (t ) = 3 f (t ) (4) [ y ′(t )]2 + y (t ) = f (t ) 解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。
1-7 试证明方程
y ′(t ) + ay (t ) = f (t )
答 案
即
y ′(t ) + ay (t ) = f (t )
T [ f1 (t )] = f1 (t ) = y1 (t )
T [ f 2 (t )] = f 2 (t ) = y 2 (t )
T [ f (t )] = f1 (t ) + f 2 (t ) = y (t )
f1 (t ) + f 2 (t ) ≠ f1 (t ) + f 2 (t )
后 课
答 案
1-3 如图 1-3 图示，R、L、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统
w.
题 1-3 图
ww
解 各系统响应与输入的关系可分别表示为
u R (t ) = R ⋅ i R (t ) u L (t ) = L u C (t ) =
di L (t ) dt
1 t iC (τ )dτ C ∫−∞
0+
并分别画出它们的波形。
ww
解 (a)
w.
题 2-6 图 1 , 2 0≤t ≤2
课
2-6
设有题 2-6 图示信号 f( t )，对 (a)写出 f′ ( t )的表达式，对 (b)写出 f″ ( t )的表达式，
(b)
f″ ( t ) = 2δ( t ) − 2δ( t − 1 ) − 2δ( t − 3 ) + 2δ( t − 4 )
题 2-1 图
解 由图示，有
iL =
又
答 案
iL =
故
从而得
2-2 设有二阶系统方程
w.
ww
试求零输入响应。 得
在某起始状态下的 0+起始值为
解 由特征方程
则零输入响应形式为
kh da
课 后
′ u′ C (t ) +
1 t (uS − uC )dt L ∫0
u′ 1 ′′ (uBiblioteka Baidu − u C ) = C + CuC L R
答
ww
w.
kh
da
课
后
w.
案 网
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co
m
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《信号与系统》 （第 3 版）
ww
高等教育出版社
w.
kh da
课 后
答 案
w.
网
co m
习题解析
目 录
第 1 章习题解析........................................................................................................... 2 第 2 章习题解析........................................................................................................... 6 第 3 章习题解析......................................................................................................... 16 第 4 章习题解析......................................................................................................... 23 第 5 章习题解析......................................................................................................... 31 第 6 章习题解析......................................................................................................... 41 第 7 章习题解析......................................................................................................... 49
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1-1 题 1-1 图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是 非周期信号？哪些是有始信号？
kh da
(c)
后
答 案
解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、 (b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题 1-2 图示信号 f( t )，试画出下列信号的波形。 [提示：f( 2t )表示将 f( t )波形 t 压缩，f( )表示将 f( t )波形展宽。] 2
且
y (t ) = ∫ x (t )dt ,
故有
x(t ) = y ′(t )
1-5 已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为线 性时不变系统？
解 设 T 为系统的运算子，则可以表示为
不失一般性，设 f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则