同济大学2015-2016学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'824'⨯=)

1. 极限1

2

02lim(

)23h h h e h

-→-=+.

2. 积分(12sin )

cos '(12sin )2

f x x f x dx C

--⋅-=+⎰

.

3. 函数2

20

()sin(1)x F x t dt =

+⎰

的导函数4'()2sin(1)F x x x =+.

4. 曲线3

22

(1)1(12)3

y x x =++-≤≤的弧长14

3

s =

.

5. 极限0

lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】

()

0,0A εδ∀>∃>,

当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()

0,0B εδ∀>∃>,

当x δ>时, 有()f x ε>; ()

0,0C M X ∀>∃>, 当x X >时, 有()f x M >; ()

0,0D M δ∀>∃>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()(

)A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223

()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数;

11223

()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数;

112233()()()(

)D C y x

C y x C y x ++

, 其中任意常数1231C C C ++=.

7. 若()f x 是连续函数, 则极限1

21

lim

(

)2n

n k n k f n n

→∞

=+∑等于 【A 】

3

2

1

2

()()A f x d x ⎰

; 2

()()B f x dx ⎰; ()C 12

()f x dx ⎰

; 10()()2

x

D f dx ⎰.

8. 若对于积分0

(2)a

f a x dx -⎰

作换元2a x u -=, 则该定积分化为 【C 】

()

()a

a

A f u d u -⎰

; 0

()2()a

B f u du ⎰; ()

C 1()2

a

a f u du -⎰; 0()()a D f u du ⎰.

二. 计算下列各题(6'424'⨯=)

1. 试求曲线2sin y x y x ++=在点(1,0)处的切线方程. [21x y +=]

2. 求不定积分2ln(1)x dx +⎰

. [2

ln(1)22arctan x x x x c +-++]

3. 求微分方程3

'xy x y =-的通解. [4

11()4

y x c x =

+] 4. 求微分方程"2'15153y y y x --=-的通解. [531213

x x

y C e C e x -=+-+]

三. (8')计算由2

2y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1

229(2)2

x x dx ---=

⎰]

四. (8')计算反常积分31

arctan x dx x +∞

⎰

. [2

1

1111

arctan arctan 2222I x x x x +∞

=---=]

五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图,

(1)求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点. [35353(,],[,)

;[,];()x x x x f x -∞+∞极大,5()f x 极小

124124[,],[,);(,],[,];x x x x x x +∞⋃-∞⋂拐点112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ] 六. (10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的

底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.

[322

max 1(3),3V R h h V π=-=

] 七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成,

若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功.

[2

221(10),4(1)(),4

x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=]

八. (8')已知()f x 具有二阶导数, 且"()f x ≥判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出判 断的理由. [21

"()()(0)'(0)"()

2f x f x f f x f x ξ≥=++→+∞]