讲1曲线坐标系

=(ex cosϕ +ey sinϕ)ρ +ez z
=exx+ey y +ez z
线元矢量
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
dr = d(eρρ) +d(ez z)
deρ =
∂eρ
∂ρ
dρ +
∂eρ
∂ϕ ∂eρ
∂eρ
dϕ+
∂eρ ∂z
dz
= d(eρ )ρ +eρdρ +d(ez )z +ezdz
坐标曲面： 坐标曲面： x=C1 y=C2 z=C3
z
dsy dz dsx dz
dsz dsx
d r
dx dy dy dsy
r
o
dsz
y
面元
dSx =dydz
dx
dSy = dxdz
x
dSz =dxdy
体积元 d = d d d V x y z
直角坐标系的长度元、面积元、 直角坐标系的长度元、面积元、体积元
A±B=ex (A ±B ) +ey (A ±By ) +ez (A ±B ) x x y z z
（3）矢量的标积（点积） ）矢量的标积（点积）
A⋅ B = A cosθ B
A⋅ B= B⋅ A
A⊥ B
Bθ
A
A// B
A⋅ B =0
A⋅ B = A B
矢量 A B的夹角 与
ex ⋅ey =ey ⋅ez =ez ⋅ex =0
• 1.2.1 直角坐标系 坐标变量
−∞< x <∞
x, y, z
−∞< y < ∞
dz
z
−∞< z < ∞
坐标单位矢量 e 位置矢量
x
d r
,ey ,ez
dx
o
r
dy
y
r =exx +ey y +ez z
线元矢量
x
dr =exdx+eydy +ezdz
dr = d(exx) +d(ey y) +d(ez z)
S
S +S2 +S3 1
f(ρ,ϕ, z S )d
x
S a 1
y
= ∫∫ f(ρ,ϕ, z S +∫∫ f(ρ,ϕ, z S +∫∫ f(ρ,ϕ, z S )d )d )d
S1 S2
=∫
a
0
∫
2π
0
f(ρ,ϕ,0)ρdϕ ρ +∫ d
2π
S3
0
∫
h
0
f a,ϕ, z dϕ ( )adz
1637年，笛卡尔(法国，1596~1650)发表了《几何学》， 年 笛卡尔 法国 法国， 发表了《 发表了 几何学》 创立了直角坐标系,为后来牛顿 莱布尼兹发现微积分， 为后来牛顿、 创立了直角坐标系 为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为 一大批数学家的新发现开辟了道路。 一大批数学家的新发现开辟了道路。
A
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A eA = 矢量的单位矢量： 矢量的单位矢量： A
矢量的几何表示
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 变矢量：大小或方向会改变的矢量。 变矢量：大小或方向会改变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
位置矢量： 位置矢量：
r = exx +ey y +ez z
体积元
dV = ρdρdφ z d
高度为h的圆 例1：求半径为 高度为 的圆 ：求半径为a高度为 柱侧面的面积。 柱侧面的面积。
dz S = ∫ dS = ∫ ∫ adϕ 0 0
h 2π
S3
z
=2 ah π
S2
o
高度为h的圆 例2：对半径为 高度为 的圆 ：对半径为a高度为 柱表面积分
∫∫f(ρ,ϕ,z)dS = ∫∫
∂eρ ∂ϕ =−ex sinϕ +ey cosϕ = e ϕ
z zρ
ez P
e ϕ
eρ
o φ y
∂e ϕ
∂ϕ
= −ex cosϕ−ey sinϕ = −eρ
= ∂eρ ∂z
∂e ϕ ∂z
x
∂eρ
∂ρ
=0
=0
∂e ϕ
e右 ϕ 手 π ϕ+ 螺 2 旋 ϕ
x
y
eρ
∂ρ
=
位置矢量
r =eρρ +ez z
2
dSφ =dρdz
dSz = ρdρdφ
dSθ = rsinθdrdφ
dSφ = rdrdθ
dV = r2si θ rdθ φ n d d
dV = ρdρdφ z d
作业： ， 作业：1.8，1.22计算沿逆时针圆周的线积分 计算沿逆时针圆周的线积分
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线 三条相互正交 的交点来确定。 的交点来确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体 称为正交曲线坐标系 三条正交曲线称为坐标轴 正交曲线坐标系； 坐标轴； 系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴； 描述坐标轴的量称为坐标变量。 描述坐标轴的量称为坐标变量。 坐标变量 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 坐标系
dz
eρ
dϕ dρ e ϕ
x
y
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
dρ
dφ
• 圆柱坐标系的微分 • （拉梅系数、线元、面元、体 拉梅系数、线元、面元、 积元） 积元）
dz
拉梅系数
dρ hρ = =1 dρ
面元
dSρ = dlφdlz = ρdφdz
ρdϕ h = = ρ dSφ = dlρdlz = dρ z d ϕ dϕ dz dSz =dlρdlφ = ρdρdφ hz = =1 dz
A×(B×C) =(A⋅C)B−(A⋅ B)C (1.1.13) 矢量三重积 ——
A⋅(B×C) = B⋅(C×A =C⋅(A×B) )
ex ey ez
A x A y
(1.1.12)
A z
A⋅(B×C) = A⋅ Bx By Bz = Bx By Bz
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
B By B x z = Cx Cy Cz A A A x y z
• 1.2.3 圆柱坐标系
z
坐标变量
ρ,φ, z
zρ
坐标单位矢量
·P(ρ,φ,z)
eρ ,e ,ez φ
坐标曲面
x
o φ y
ρ曲面：ρ =Const圆柱面 曲面： 曲面 圆柱面 φ曲面：φ =Const半平面 曲面： 曲面 半平面 z曲面： z =Const平面 曲面： 曲面 平面
• 1.2.3 圆柱坐标系
ez P
e ϕ
eρ
o φ 单位切向矢量 y
eρ e ϕ
右 手 螺 旋
互 相 垂 直
ez
• 圆柱坐标系下的场矢量
A=eρ A +e A +ez A ρ φ φ z
B=eρB +eφB +ezBz ρ φ
A+B=eρ (A +B ) +eφ (A +B ) +ez (A +Bz ) ρ ρ ϕ φ z
eϕ = ex cos(ϕ+ ) +ey sin(ϕ +π ) 2
2
π
y
ϕ
x
ey =eρ sin ϕ +e cosϕ ϕ
• 圆柱坐标系的微分 • （拉梅系数、线元、面元、体积元） 拉梅系数、线元、面元、体积元） eρ =ex cosϕ +ey sin ϕ
eϕ = −ex sin ϕ+ey cosϕ
1.1 矢量代数
1. 标量和矢量
标量：任一代数量，只用大小描述的物理量。电压、 标量：任一代数量，只用大小描述的物理量。电压、电 电荷是标量。 流、电荷是标量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量， 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用 黑体字母或带箭头的字母表示。电场磁场是矢量。 黑体字母或带箭头的字母表示 电场磁场是矢量。 矢量的几何表示： 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示： 矢量的代数表示： A=e A=e A A A 矢量的大小或模： 矢量的大小或模： A= A
z zρ
ez P
e ϕ
eρ
z =z
−∞< z <∞
ρ
o φ y
x = ρcosϕ
y = ρsinϕ z = z eρ =ex cosϕ +eysin ϕ eρ和ϕ是 矢 e 变 x量
eϕ = −ex sin ϕ +ey cosϕ ez是 矢 常 量
e ϕ
ϕ+ π
2
eρ
ex =eρ cosϕ−e sin ϕ ϕ
A
矢量A与 B的叉积
ex
ey
ez A z B z
A×B = A A x y B By x
=ex (A Bz − A By ) +ey (A Bx − A Bz ) +ez (A By − A Bx ) y z z x x y
ex ×ex = 0
ey ×ex =−ez
ex ×ey = ez
ey ×ey = 0
A⋅ B= A B + A B + A Bz ρ ρ ϕ φ z
eρ e ϕ ez A×B = A A A ρ ϕ z B B Bz ρ ϕ
A
B
A=eρ A +e A +ez A ρ φ φ z
z
A z
A r) (
r =eρrρ +eϕr +ezrz =eρρ +ez z ϕ
r
o
A e ϕ ϕ A ρ
∂ϕ
=e ϕ
∂eρ ∂z =0
=eϕdρρ +eρdρ +ezdz
∂ρ
=
线元矢量
z
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
r(t) (ρ,ϕ, z) r(t +dt) (ρ +dρ,ϕ +dϕ, z +dz)
dz
r(t)
r(t +dt)
d dϕ ρ ϕdρ
ρ
y
eρ
x
ρ +dρ
线元矢量
z
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
Cx Cy Cz =A x B x A y By A z B z
= B⋅(C×A =C⋅(A×B) )
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
• 圆柱坐标系 • 球坐标系
dr =eρdρ +eφ ρdφ +ezdz
dSρ = ρdφdz
dr = erdr +e rdθ +eφrsinθdφ θ
dSr = r sinθdθdφ
y
I x H(ρ,ϕ, z) = e 2 ϕ πρ
eρ
• 圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 x2 + y2 0≤ ρ <∞ ρ=
y arctan x, y ≥0 x y x <0 0 ≤ϕ < 2 ϕ =π +arctan π x 2 +arctan y x ≥0, y <0 π x
坐标单位矢量
z zρ
eρ ,e ,ez φ
eρ ⋅e = e ⋅ez =eρ ⋅ez =0 φ φ eρ ×e =ez φ e ×ez =eρ φ ez ×eρ =e φ
坐标曲线 ρ曲线： φ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与z 曲线 曲面与 φ曲线： ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与z曲面的交线 曲线 曲面与 z曲线： ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与 曲面与φ曲面的交线 曲线 x
牛顿（1643-1727）英国 莱布尼茨（1646-1716）德国
= d(ex )x+exdx+d(ey )y +eydy +d(ez )z +ezdz
面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针 【例1】：求xoy面上圆心在坐标原点半径为 沿着逆时针 】 面上圆心在坐标原点半径为 方向的的圆周曲线的线元矢量。 方向的的圆周曲线的线元矢量。
ex ⋅ex =ey ⋅ey =ez ⋅ez =1
A⋅ B = AB + A By + AB x x y z z
（4）矢量的矢积（叉积） ）矢量的矢积（叉积）
A×B=enA sinθ B
A×B
B
A×B = −B× A
若 A⊥ B ，则 A×B = AB 若 A// B ，则 A×B =0
θ
AB sin θ
ez ×ey =−ex
ex ×ez = ey
ey ×ez = ex
ez ×ex = ey
ez ×ez = 0
（5）矢量的混合运算
(A+B)⋅C = A⋅C+B⋅C
(1.1.7)
—— 分配律 —— 分配律
(A+B)×C = A×C+B×C
(1.1.11)
A⋅(B×C) = B⋅(C× A =C⋅(A×B) (1.1.12) 标量三重积 ) ——
2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法 ）
两矢量的加减在几何上是以这两矢量 为邻边的平行四边形的对角线。 为邻边的平行四边形的对角线。 交换律 结合律
B
A+B
A
矢量的加法
A+ B = B+ A
A+(B+C) =(A+B) +C
B −B
A
A−B
（2）标量乘矢量
矢量的减法
kA=exkA +eykA +ezkA x y z
r = ex x +ey y
x = acosϕ
y
dr
y = asinϕ
a
ϕ
r
x
dr = exdx +eydy =−exasinϕdϕ +eyacosϕdϕ
=[exacos(ϕ + ) +eyasin(ϕ + )]dϕ 2 2
π
π
dr
的方向指向有向曲线的切线方向
线元矢量
dr =exdx+eydy +ezdz
场矢量用坐标分量表示 场矢量用坐标分量表示
A r) =ex A (r) +ey A (r) +ez A (r) ( x y z A r) =eρ A (r) +e A (r) +ez A (r) ( ρ ϕ ϕ z A r) =er A (r) +e A (r) +e A (r) ( r θ θ ϕ ϕ