机械工程测试技术基础答案

σV =
æ çè
¶V ¶d
2
ö ÷ø
σ
2 d
+
æ çè
¶V ¶h
2
ö ÷ø
σ
2 h
=
æ çè
πdh 2
2
ö ÷ø
σd2
+
æ çè
πd 2 4
2
ö ÷ ø
σ
2 h
2
2
=
(
2V
)2
æ çè
σd d
ö ÷ø
+
(V
)
2
æ çè
σh h
ö ÷ø
2
2
所以 σV = V
4
æ çè
σd d
ö ÷ø
+
æ çè
σh h
ö ÷ø
=
4(0.5%)2 + (0.5%)2 = 1.1%
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波�见图 1-4�的傅里叶级数�复指数函数形式��划出|cn|– ω 和 φn– ω 图�并与表 1-1 对比。
x(t)
A
…
- T0
2
T0
2
…
-T0
0
t
T0
-A
图 1-4 周期方波信号波形图 解答�在一个周期的表达式为
0-7 如何表达测量结果�对某量进行 8 次测量�测得值分别为�802.40�802.50�802.38�802.48�802.42� 802.46�802.45�802.43。求其测量结果。
解答� (1)测量结果=样本平均值±不确定度
或
X = x + σˆx = x +
s n
8
å xi
(2) x = i=1 = 802.44 8
机械工程测试技术基础习题解答
教材�机械工程测试技术基础�熊诗波 黄长艺主编�机械工业出版社�2006 年 9 月第 3 版第二次印刷。
绪论
0-1 叙述我国法定计量单位的基本内容。 解答�教材 P4~5�二、法定计量单位。 0-2 如何保证量值的准确和一致� 解答��参考教材 P4~6�二、法定计量单位~五、量值的传递和计量器具检定� 1、对计量单位做出严格的定义� 2、有保存、复现和传递单位的一整套制度和设备� 3、必须保存有基准计量器具�包括国家基准、副基准、工作基准等。 3、必须按检定规程对计量器具实施检定或校准�将国家级准所复现的计量单位量值经过各级计算标 准传递到工作计量器具。 0-3 何谓测量误差�通常测量误差是如何分类表示的� 解答��教材 P8~10�八、测量误差� 0-4 请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差。 ①1.0182544V±7.8μV ②(25.04894±0.00003)g ③(5.482±0.026)g/cm2 解答�
j(
f
)
=
arctan
Im Re
X X
( (
f f
) )
=
-
arctan
2p a
f
|X(f)| A/a
φ(f) π/2
0
f
0
f
-π/2
单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图 1-25a)和单位阶跃函数(见图 1-25b)的频谱。
sgn(t)
u(t)
1
1
0
t
-1
0
t
a)符号函数
b)阶跃函数
a)符号函数的频谱
x1(t)
=
e - at
sgn(t)
=
ì e-at íî-eat
t>0 t<0
x(t
)
=
sgn(t
)
=
lim
a®0
x1(t
)
ò ò ò X1( f ) =
¥ -¥
x1 (t )e -
j 2p
f
t dt
=
0 -eate- j2p f t dt +
-¥
¥ e-at e- j 2p f t dt
0
=
-
j
a2
符号函数频谱
b)阶跃函数频谱
u(t)
=
ì1 íî 0
t >0 t<0
在跳变点 t=0 处函数值未定义�或规定 u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件�但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件�不能直接求其傅里 叶变换�可采用如下方法求解。 解法 1�利用符号函数
u(t) = 1 + 1 sgn(t) 22
)
=
1 2
éêëd
(
f
)
-
1 j pf
ù úû
1-5 求被截断的余弦函数 cos ω0t (见图 1-26)的傅里叶变换。
x(t) = ìïíïîc0os ω0t
t <T t ³T
x(t) 1
解� x(t) = w(t) cos(2p f0t)
w(t)为矩形脉冲信号
W ( f ) = 2T sinc(2pTf )
x(t)
解答�
指数衰减信号
( sin(w0t)
=
1 2j
e - e jw0t
- jw0t
)
( 所以 x(t) = e-at 1
e - e jw0t
- jw0t
2j
)
单边指数衰减信号 x1(t) = e-at (a > 0, t ³ 0) 的频谱密度函数为
ò ò X1( f ) =
¥ -¥
x (t )1 e -
4p f + (2p
f
)2
X(f )=F
[ sgn(]t )
=
lim
a®0
X
1
(
f
)
=
-
j
1 pf
X(f) = 1 pf
ìp j( f ) = ïïíïïî-2p2
f <0 f >0
x1(t) 1
0
t
-1
x1(t) = e-at sgn(t) 符号函数
|X(f)| 0
φ(f) π/2
0
f
f
-π/2
jw t dt
=
¥ e-ate- jw t dt
0
=
1 a + jw
=
a - jw a2 + w2
根据频移特性和叠加性得�
X
(w )
=
1 2j
[
X1 (w
- w0 )
-
X 1 (w
+ w0 )]
=
1 2j
é ê ë
aa2 +
解答�
ò ò X ( f ) =
¥ x(t )e- j 2p f tdt =
-¥
¥ Ae-ate- j 2p f t dt
0
=
e-(a+ j2p f )t A
-(a + j2p f )
¥ 0
=
a+
A j 2p
f
=
A(a - j2p a2 + (2p f
f) )2
X(f) =
k
a2 + (2p f )2
j
A np
(1-cosnp
)
(n=0, ±1, ± 2, ± 3, L)
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
å å ¥
x(t) =
c e jnw0t n
n=-¥
= - j A ¥ 1 (1- cos np )e jnw0t � n=0, p n n=-¥
± 1,
± 2,
± 3,
L。
ìïícnI
=
-
A np
-T
0
Tt
图 1-26 被截断的余弦函数
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二�各向左右移动 f0�同时谱线高度减小一 半。也说明�单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
X(f) T
-f0
f0
f
被截断的余弦函数频谱
1-6 求指数衰减信号 x(t) = e-at sin ω0t 的频谱
π 2
π 2
ï0
ïî
n = +1, +3, +5,L
n = -1, -3, -5,L n = 0, ±2, ±4, ±6,L
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn| 2A/π 2A/π
2A/3π 2A/5π -5ω0 -3ω0 -ω0
2A/3π 2A/5π ω0 3ω0 5ω0 ω
φn
π/2 ω0 3ω0
① ±7.8´10-6/1.0182544 » ±7.6601682/106
② ±0.00003/25.04894 » ±1.197655/106
③ ±0.026/5.482 » 4.743‰
0-5 何 谓 测 量 不 确 定 度 � 国 际 计 量 局 于 1980 年 提 出 的 建 议 《 实 验 不 确 定 度 的 规 定 建 议 书 INC-1(1980)》的要点是什么�
10
å 解答�(1) L = Li i=1
2
å (2) σL =
10 æ ¶L ö
i =1
ç è
¶Li
÷ ø
2
σ Li
= 0.6mm
0-9 直圆柱体的直径及高的相对标准差均为 0.5%�求其体积的相对标准差为多少�
解答�设直径的平均值为 d �高的平均值为 h �体积的平均值为V �则
V
=
πd 2h 4
|U(f)|
φ(f) π/2
0
f
(1/2)
-π/2
0
f
单位阶跃信号频谱
解法 2�利用冲激函数
ò u(t) =
t
d (t )dt
-¥
=
ì1 íî0
t > 0时 t < 0时
根据傅里叶变换的积分特性
ò U ( f ) = F
é êë
t -¥
d
(t
)dt
ù úû
=
1 j2p
f
D(
f
)
+
1 2
D(0)d
(
f
x(t) = ïïíì- A
ï ïî
A
(- T0 £ t < 0) 2
(0 £ t < T0 ) 2
积分区间取�-T/2�T/2�
ò ò ò cn
=
1 T0
T0
2
-
T0 2
x(t )e- jnw0tdt =
1 T0
0 -T0
2
- Ae-
jnw0tdt +
1 T0
T0
2 Ae- jnw0t dt
0
=
-
-5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2
5ω0 ω
幅频图
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
1-2 求正弦信号 x(t) = x0 sin ωt 的绝对均值 μ x 和均方根值 xrms 。
ò ò ò 1
解答� μ x
= T
T x(t) dt = 1
0
T
T 0
x0 sin ωt dt
=
2 x0 T
T
2 0
图 1-25 题 1-4 图
x(t)
=
sgn(t
)
=
ì+1 îí-1
t>0 t<0
t=0 处可不予定义�或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件�不能直接求解�但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘�这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t) 的频谱�然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。
解答� (1)测量不确定度是表征被测量值的真值在所处量值范围的一个估计�亦即由于测量误差的存在而对被 测量值不能肯定的程度。 (2)要点�见教材 P11。 0-6 为什么选用电表时�不但要考虑它的准确度�而且要考虑它的量程�为什么是用电表时应尽可能 地在电表量程上限的三分之二以上使用�用量程为 150V 的 0.5 级电压表和量程为 30V 的 1.5 级电压表分 别测量 25V 电压�请问哪一个测量准确度高� 解答� (1)因为多数的电工仪表、热工仪表和部分无线电测量仪器是按引用误差分级的�例如�精度等级为 0.2 级的电表�其引用误差为 0.2%��而 引用误差=绝对误差/引用值 其中的引用值一般是仪表的满度值(或量程)�所以用电表测量的结果的绝对误差大小与量程有关。量程越 大�引起的绝对误差越大�所以在选用电表时�不但要考虑它的准确度�而且要考虑它的量程。 (2)从(1)中可知�电表测量所带来的绝对误差=精度等级×量程/100�即电表所带来的绝对误差是一定的� 这样�当被测量值越大�测量结果的相对误差就越小�测量准确度就越高�所以用电表时应尽可能地在电 表量程上限的三分之二以上使用。 (3)150V 的 0.5 级电压表所带来的绝对误差=0.5×150/100=0.75V�30V 的 1.5 级电压表所带来的绝对误 差=1.5×30/100=0.45V。所以 30V 的 1.5 级电压表测量精度高。
8
å (xi - x )2
s = i=1
= 0.040356
8 -1
σˆx =
s = 0.014268 8
所以 测量结果=802.44+0.014268 0-8 用米尺逐段丈量一段 10m 的距离�设丈量 1m 距离的标准差为 0.2mm。如何表示此项间接测量的
函数式�求测此 10m 距离的标准差。
(1- cos np )
îïcnR = 0
(n=0, ±1, ± 2, ± 3, L)
ì 2A
cn =
cnR 2
+ cnI 2
=
A np
(1- cos np )
=
ï í
np
îï0
n = ±1, ±3, ±,L n = 0, ±2, ±4, ±6, L
φn
=
arctan
cnI cnR
=
ïì-
íïï ï
U(f )=F
[ u(t)] = F
é1ù ëê 2 úû
+
1 2F
[ sgn(t)
]=
1 2
d
(
f
)+
1 2
æ èç
-
j
1 pf
ö ø÷
=
1 2
éëêd (
f
)
-
j
1 pf
ù ûú
U(f
)
=
1 2
d
2
(
f
)
+
(
p
1 f
)
Fra Baidu bibliotek
2
结果表明�单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量�这是因为 u(t)含有直流分量�在预料 之中。同时�由于 u(t)不是纯直流信号�在 t=0 处有跳变�因此在频谱中还包含其它频率分量。
-T
0
Tt
( ) cos(2p
f0t)
=
1 2
e + e j2p f0t
- j 2p f0t
所以 x(t) = 1 w(t)e j2p f0t + 1 w(t)e- j2p f0t
2
2
根据频移特性和叠加性得�
-1 w(t)
1
X(f
)
=
1W( 2
f
-
f0) +
1W( f 2
+
f0 )
= T sinc[2pT ( f - f0 )] + T sinc[2pT ( f + f0 )]
sin
ωtdt
=
- 2x0 Tω
cos ωt
T 2 0
=
4x0 Tω
=
2x0 π
ò ò ò xrms =
1 T x2 (t)dt = T0
1 T
T 0
x02
sin 2
ωtdt
=
x02 T
T 1- cos 2ωt
0
2
dt
=
x0 2
1-3 求指数函数 x(t) = Ae-at (a > 0, t ³ 0) 的频谱。