沪教版(上海)2019-2020学年度高中数学高三年级综合备考三角系列之三角函数的值域与最值 ③

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学综合备考

三角系列之

三角函数的值域与最值 ③

教学目标

掌握三角函数值域与最值的几种形式与求解方法；

【熟练掌握函数

sin y a x b =+；sin cos y a x b x =+；2sin sin y a x b x c =++；22sin sin cos cos y a x b x x c x =++ 等转化为sin()y A x ωϕ=+的方法，从而进一步研究他们的值域和最值等。】

知识梳理

求三角函数最值与值域问题常见四种类型：

（1）sin ,y a x b x D =+∈.

利用三角函数有界性，确定sin x 的范围，再确定y 的最值或值域.

（2）sin cos ,a x b y x x D +=∈.

利用辅助角公式得()x y ϕ=

+（其中tan b a ϕ=），再求y 的最值或值域. （3）2sin sin ,.a x b x y c x D ++∈=

利用换元法设sin t x =，则2

,at c y bt ++=，转化为二次函数求最值或值域. （4）22sin sin cos cos ,.a x b x x c x x D y =++∈ 利用降次公式221cos 21cos 2sin ,cos ,22

x x x x -+==1sin cos sin 22x x x =转化为类型（2）. 典例精讲

例1. （★★★）求函数()tan cot 2sin 2,0,2f x x x a x x π⎛

⎫=++∈ ⎪⎝⎭

的最小值.

解：()sin cos 22sin 22sin 2cos sin sin 2x x f x a x a x x x x

=++=+， 令(]0,1t ∈则22,y at t

=+(]0,1t ∈， 0a ∴≤①时22y at t =

+在(]0,1上单调递减，min 22.y a =+ 0a >②时22y at t =+

在⎛ ⎝

上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 01a ∴<≤时22y at t

=+在(]0,1上单调递减min 22.y a =+ 1a >时22y at t =+

在⎛ ⎝

上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增，

min y =

min 22,1.1

a a y a +<⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩ 例2. （★★★★）求下列函数的值域：

（1）3cos 1sin 2x y x -=+； （2）sin cos 2sin cos 2,0,2y x x x x x π⎡⎤=+++∈⎢⎥⎣⎦

. 解：（1）sin 23cos 1y x y x +=-，即sin 3cos 12y x x y -=--

()12,x y ϕ-=--

(

)sin x ϕ-=因为()sin 1x ϕ-≤

1≤，即2

2129y y +≤+，

解得y ≤≤. 【若本题中分子中含有sin x ，分母中含有cos x ，也可以利用数形结合思想解决，方法详见巩固练习5。】

（2）设sin cos t x x =+，则22sin cos 1x x t =-，因为0,

2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，

所以4t x π⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，这时21y t t =++

，求出3,3y ⎡∈+⎣. 例3. （★★★★）已知函数()22sin cos 2sin a x b x a f x x y ++==，其中,a b R ∈，且

,0,0,02.a b a b x π≠≠≠≤≤

（1）函数()y f x =的图像与x 轴有没有交点？若没有，说明理由；若有，指出交点个数，并说明理由；

（2）若当6x π

=时，()f x 有最大值7，求a 、b 的值.

解：（1）()()2sin 2sin f x a b x a x b =-⋅++，设sin x t =，因为02x π≤≤，所以[]1,1t ∈-，

所以()22y a b t at b =-++，对称轴a t b a

=

-，因为1t =时，3,y a = 1t =-时，y a =-， 从而()()11y y ⋅-=230a -<， 所以由图像特征得关于t 的方程()22y a b t at b =-++在[]1,1-上有唯一解，

从而关于sin x 的方程在[]0,2π上有两个不同的实根，所以()y f x =的图像与x 轴有两个交点.

（2）当6x π=时，[]1sin 1,12x =∈-.所以()012

112742

a b a a b a b a b ⎧⎪-<⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⋅+⋅+=⎪⎩， 解得,6a b ==.

课堂练习（★★★★）：

1. 不等式23sin 2sin 0x x a +->恒成立，则a 的取值范围为 . 解：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

2. 函数22cos sin 2y x x =+，x R ∈的最大值是 .

1

3. 若2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，求实数m 的取值范围.

解：()221sin 1sin sin 1m θθθ->--∴=时，m R ∈ sin 1θ<时，21sin 21sin m θθ

-->-， 令1sin t θ=-，(]0,2t ∈ 则(]222,0,2m t t t ⎛

⎫>-+

∈ ⎪⎝⎭.

221m m ∴>-∴>

4. 求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的值域.

解：令sin cos t x x =+，则2

12sin cos t x x =+，由此21sin cos 2t x x -=。