7.6《归纳-猜想-论证》教案(沪教版高二上)

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上海市崇明区横沙中学高二数学学案：7.6归纳——猜想——论证缺答案

7．6 归纳-—猜想——论证
一、概念
在数学问题的探索中，为了寻求一般的规律，往往先考察一些特例,进行归纳,形成猜想，然后再去证明这些猜想正确与否。

一些与正整数有关的等式也可以通过这样的途径得到。

这就是归纳-—猜想—-论证的原理.
二、举例
例1、依次计算数列 ,1234321,12321,121,1++++++++++++的前四项的值,由此猜想，123)1()1(321++++-++-++++= n n n a
n 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。

例2、已知数列 )13)(23(1,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ,设n S 为该数列的前n 项和，计算4321,,,S S S S 的值，根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数
学归纳法加以证明.
三、课堂练习
1、（1）分别计算8642,642,42,2++++++的值.
（2）根据（1)的计算,猜想n 2642++++ 的表达式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想。

2、(1）分别计算7531,531,31,1+-+--+-+--的值。

（2）根据(1）的计算,猜想)12()1(7531-+-+-+-=n a n n 的表达式；
（3)用数学归纳法证明你的猜想。

3、在数列}{n
a 中，*),2()1(22,111N n n n n n a a a n n ∈≥+++==- (1）求432,,a a a ；（2）猜想数列}{n a 的通项公式)(n f a n =,前用数学归纳法
证明你的猜想.
四、课外作业.
练习册15、16页，7。

6 归纳—-猜想-—论证A 组1、2、3、4及B
组1、2题。

7.6 归纳—猜想—论证-沪教版(上海)高二数学第一学期同步练习

7.6 归纳—猜想—论证一．填空题1. 若()12121,2,23n n n a a a a a n --===≥-，计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____.2. 若111,2n na a a a +==-，计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____. 3.若()()12121n a n n =-+，且n S 是{}n a 的前n 项和，计算{}n S 的前几项，并猜想n S =________.4. 若()()()*11,121112,n a a n n n n n ==+++-++-++≥∈N ，计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____________.5.若{}n a 中，2111n a n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，且123n n T a a a a =⋅⋅，计算{}n T 的前几项，并猜想其通项公式n T =__________.6. 若数列{}n a 中，0n a >，其前n 项和为n S ，且112n n n S a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，计算计算{}n a 的前几项，并猜想其通项公式n a =_____________. 二．选择题7. 某个命题与自然数n 有关，若()*n k k =∈N 时，该命题成立，那么可推得1n k =+时该命题也成立. 现在已知当5n =时该命题不成立，那么可推得（） A ．当6n =时该命题不成立 B ．当6n =时该命题成立 C ．当4n =时该命题不成立D ．当4n =时该命题成立8. 数列{}n a 的前n 项和21,1n n S n a a ==，猜想n a 为（）A ．()221n + B ．()21n n +C ．221n- D ．221n - 9. 已知数列{}n a 满足()11*22,1n n n a a a na a +==+∈-N ，则通项公式可能是（）A ．2n +B ．()1n n +C ．22n + D ．1n +10. 平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为()f k ，则增加一条直线l 后，它们的交点个数最多为（） A ．()1f k + B ．()f k k + C ．()1f k k ++ D ．()k f k ⋅三．解答题11. 分别计算1,13,135,1357--+-+--+-+各项的值，根据计算结果，猜想()()1357121nn a n =-+-+++--的表达式，并用数学归纳法证明.12. 已知数列()()1111,,,,14477103231n n ⨯⨯⨯-+，…，计算1234,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.13. 已知数列{}n a 满足()11,213n n a S n n a ==-，（1）求23,a a 的值；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.14. 是否存在常数a 、b ，使等式()()()2222*352143nn n an b n ++++=++∈N 对任意正整数n 成立？请证明你的结论.答案： 1. n2. ()()()121n n an n a-----3.21nn + 4. 2n 5. 222n n ++ 6.7. C 8. B 9. D 10. B11. ()1nn a n =-⋅当1n =时，()1111a =-=-，猜测成立假设当n k =时猜测成立，即()1kk a k =-，那么当1n k =+时，()()()()()111112111k k k k a k k k +++=-+-+=-+，猜测也成立，综上可知，对于*n ∈N 猜测都成立 12.1234,,,471013，31n n S n =+ 当1n =时，1113114S ==⨯+，猜测成立；假设当n k =时猜测成立，即31k kS k =+ 那么当1n k =+时，()()()111313134311k k k S k k k k ++=+=+++++，猜测也成立综上可知，对于*n ∈N 猜测都成立13. （1）2311,1535a a ==；（2）()()12121n a n n =-+当1n =时，111133a ==⨯，猜测成立，假设当n k =时猜测成立，即()()12121k a k k =-+，那么当1n k =+时，()()()()()()2111212112121232131322k k k k k k k a S S k k a k k a k k k k +++⨯=-++-=-⇒+=-++=，猜测也成立；综上可知对于对于*n ∈N 猜测都成立. 14. 12,11a b ==用数学归纳法证明：()()22223521412113nn n n ++++=++ 当1n =时，左式239==，右式()14121193=++=，等式成立；假设当n k =时等式成立，即()()22223521412113kk k k ++++=++，那么当1n k =+时，()()()()()()222222213521234121123411211133k k k k k k k k k +⎡⎤++++++=++++=++++⎣⎦，等式也成立；综上可知，对于*n ∈N 猜测都成立。

高中数学高二第一学期7.6归纳—猜想—论证_教案1-沪教版

归纳—猜想—论证【教学目标】1．对数学归纳法的认识不断深化。

2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法。

3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系。

【教学重难点】用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明。

【教学过程】一、复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法。

请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题。

师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确。

师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程。

师：这实质上是在说明这个证明具有递推性。

第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据。

递推是数学归纳法的核心。

用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可。

证第（2）步时，必须用归纳假设。

即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立。

师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。

今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题。

二、归纳、猜想、证明1．问题的提出。

a 3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。

师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理。

（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上。

）师：正确。

怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下。

2．归纳与猜想。

生：我猜出了一个an的计算公式。

（许多学生在偷笑）。

师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好。

人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾。

沪教版(上海)数学高二上册-7.6 归纳—猜想—论证学案

“7.6 归纳—猜想—论证”学案【学习目标】1．体验“归纳—猜想—论证”的过程。

2．感悟“归纳—猜想—论证”的思想方法。

3．运用“归纳—猜想—论证”的方法解决简单的数列问题。

【预习导引】阅读课本第34页至第36页．一、学习P34例1后，观察前几项值之间的关系，需要将1、4、9、16分别表示成、、、，才能顺利猜想出a的表达式。

n在用数学归纳法进行证明的过程中，关注每一项的结构特点，从“n=k”到“n=k+1”，需要增加的项为。

二、学习P35例2后，整体观察前几项值之间的关系，你认为需要怎样进行思考，才能顺利猜想出结论？三、练一练：1．（1）分别计算2,2+4,2+4+6,2+4+6+8的值；（2）根据（1）的计算，猜想2+4+6+…+2n的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想。

2.（1）分别计算数列 -1，-1+3，-1+3-5，-1+3-5+7，…的值；（2）根据（1）的计算，猜想a=-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的表达式；n（3）用数学归纳法证明你的猜想。

四、小结体会：经过以上学习，你认为“归纳—猜想—论证”这一思想方法是通过怎样的一个过程体现的？【能力提高】1．已知数列}{n a 满足*+∈-==N n a a a nn ,12,211， (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题可以看出，“归纳—猜想—论证”的方法可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题可以采用哪些方法？2．已知正整数数列}{n a 的前n 项和n S 满足*2,)1(41N n a S n n ∈+= (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题看出，“归纳—猜想—论证”的方法又可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题采用的是怎样的方法，你可以用这种方法再解一次本题吗？【探究思考题】是否存在大于1的正整数m，使得*f n∈n++=都能被m整除？⋅n3,9n)72((N)若存在，你能求出m的最大值吗？你能证明你的结论吗？【拓宽知识】你所知道的世界上著名的猜想有哪些？可以介绍给大家吗？作业：【基础题】《练习册》P15 习题7.6 A 组 1—4【能力提高题】1．在数列}{n a 中，),2()1(22,1*11N n n n n n a a a n n ∈≥+++==-，（1）可求得2a = ，3a = ，4a = ，猜想n a =（2）请用数学归纳法证明你的猜想.2．是否存在常数a 、b 、c ，使等式c bn an n n n n n ++=-⋅++-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1 对一切正整数n 都成立？若存在，你能求出常数a 、b 、c 的值吗？。

7.6《归纳-猜想-论证》教案(沪教版高二上册)

7．6 归纳—猜想—论证一、教学内容分析归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．二、教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．四、教学流程设计1．引入问题1．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1).2n n n n n --+-+-++-=- 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与基本步骤，为新课的引入做好铺垫．2．归纳猜想我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又是如何得到的呢？[说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你可以得到什么结论？问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．费马认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1， 2， 3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？(0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =， (7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，， (39)1601f =．但是(40)16814141f ==⨯是合数．找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！3．归纳猜想论证在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项表达式，并加以证明．选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识．（2）这里去掉了原题中 “并用数学归纳法证明”的证明方法的要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考．如：123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++22[123(1)].n n n n =++++-+-= （3）要证明2n a n =对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明．例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，…，1(32)(31)n n -+，…，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值．根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法．4．练习P36—1，2，35．小结本节课主要学习用“归纳—猜想—论证”的方法分析和解决问题．归纳—猜想—论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想．这也告诉我们在分析和解决问题时要“大胆假设，小心求证”．大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现．在证明过程中，我们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明．6．作业P15—2，3 P16—4六、教学建议与说明1．以问题为中心．通过对问题1的分析与解决，追根溯源，提出疑惑．通过对问题2，3，4的感受体验，思维冲击，大胆质疑．通过分析解决例题1，形成方法．2．以思维方法为主线．应切实让学生感受“归纳—猜想—论证”这一重要数学思维方法的发展过程和理性认识，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．。

高二数学上册《数学归纳法》教案沪教版

7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的理解．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计一、复习引入：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,()n a n N n=∈，解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.四、课堂练习： 1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n +. 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时，11123(1)(1)(1)(1)(11)22k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=+++=+++ ∴n =k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.2.首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1q n-1.证明：(1)n=1时，左边=a 1，右边=a 1·q 1－1=a 1q 0=a 1.∴左边=右边.(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k －1.那么当n=k+1时.a k +1=a k q=a 1q k －1·q=a 1q (k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别是，费马曾认为，当n∈N时，221为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，52+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．21有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，… f（39）=1 601．但是f（40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明.。

高二数学上册《数学归纳法》教案沪教版

7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的理解．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习引入问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒出来看一看就可以了．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1nnna a a nN a ，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．过程：212a ，313a ，414a ，由此得到：*1,()n a n N n，解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.2. 不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为课堂小结，布置作业首项验证（奠基）复习引入数学归纳法定义（规范的数学表述）假设证明（核心步骤）运用数学归纳法解决实际问题（注意叙述的规范性）一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2. ∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.四、课堂练习：1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2=1.∴等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k.那么当n=k+1时，11123(1)(1)(1)(1)(11)22k k k k k k k∴n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立.2.首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是：a n=a1q n-1.证明：(1)n=1时，左边=a1，右边=a1·q1－1=a1q0=a1.∴左边=右边.(2)假设当n=k时等式成立.即a k =a1q k－1.那么当n=k+1时.a k+1=a k q=a1q k－1·q=a1q(k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n∈N*都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n ＝k ＋1命题成立时必须要用到n ＝k 时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时，5221 =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131，f （10）=151，…f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明.。

沪教版高二数学第一学期课程目录与教学计划表

沪教版高中数学高二上期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。

不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。

目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第7章数列与数学归纳法
一数列
7.1数列
7.2等差数列
7.3等比数列
本节综合
二数学归纳法
7.4数学归纳法
7.5数学归纳法的应用
7.6归纳-猜想-论证
本节综合
三数列的极限
7.7数列的极限
7.8无穷等比数列各项的和
本节综合
本章综合与测试
第8章平面向量的坐标表示
8.1向量的坐标表示及其运算
8.2向量的数量积
8.3平面向量的分解定理
8.4向量的应用
本章综合与测试
第9章矩阵和行列式初步
一矩阵
9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算本节综合
二行列式
9.3二阶行列式9.4三阶行列式本节综合
本章综合与测试第10章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图
本章综合与测试。

7.6归纳-猜想-论证

并用数学归纳法加以证明。解： 1＝12，1＋2＋1＝4＝22，1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42
证明: （1）当n=1时， a1 =12 ∴等式成立。
从而猜想：an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n+1)+ …+3+2+1 = n2
（2）假设当n＝k时等式成立，即ak =k2, 那么当 n=k+1时，
__________________. 2n 1 an 2 n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考：
1 1 1 设f (n) 1 2 3 n
是否存在关于自然数n的函数g(n),使等式
f (1) f (2) f (n 1) g (n)[ f (n) 1] 对于 n
1 1 1 的前4项的值,由此猜想 (1 )(1 )(1 ) 4 9 16
的结果，并用数学归纳法加以证明。
1 [1 ] 2 （n 1)
n2 3 4 5 6 解：前四项依次为 , , , ,猜想 a n 2(n 1) 4 6 8 10
四．练习 1
1.分别计算 S1 猜想 S n
通过考察某类事物中的部分对象,概括出这类事物的一般结论,这种推理方法叫不完全归纳法.
二.归纳---猜想
问题: 数列{a }的通项公式为a n2 n 11， n n 猜想对一切n N *，a 都是质数. 猜想正确吗 ? n 容易验证
a1 , a2 ,, a9都是质数, 但a10 121 不是质数.
三．论证
不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．由“归纳－－猜想”所得出的

归纳—猜想—论证高三复习计划课教学设计说明

概括—猜想—论证〔高三复习课〕教课方案说明选择课题的背景：1.在2021年第9期?数学教课?杂志封底看到张奠宙和赵小平教授的编后漫笔?一个新课题：数学思想方法的教课?，深受启迪，很想付诸实践，于是选择这个机遇展现一节对于数学思想方法的教课。

2.研究最近几年的高考试题，发现自觉或不自觉地在观察应用“概括—猜想〞解决问题的思想和方法〔参看本节课所选试题〕，作为高三复习课，本着以学生的睁开为本的理念，要重视这一数学思想的教课。

年10月10日在建平中学听华东师范大学李俊教授的报告，她谈到后边的课改，会把数学思想方法教课的详细要求写入课标，这更果断了我的想法----上一节对于数学思想方法的课。

一、内容与教材剖析“概括—猜想—论证〞是上海教育第一版社高级中学课本数学高二年级第一学期〔试用本〕第7章数列一章的内容，隶属数学概括法这一节。

“概括—猜想—论证〞是高中数学教课中独一一节以数学思想方法为内容的课。

假如数学概括法是数学方法，那么“概括—猜想—论证〞就是解决问题的思想方法，常常和数学概括法结合使用，因此教材将其纳入数学概括法的一局部，但也并不是意味着概括猜想的结论只好应用数学概括法证明。

为了研究一般规律，常常先观察一些简单的特例，进行概括，形成猜想，然后想法用证明考证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“概括—猜想—论证〞的思想方法。

“概括—猜想—论证〞是把解答问题转变为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题详细化，蕴涵着简化问题的思想。

需要注意〔方法的要害〕：概括猜想后，只有证了然我们才能够必定猜想的正确性〔比如哥德巴赫猜想，只管计算机能够查验到很大的数猜想都建立，但是在没证明以前，谁也没法判定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好旁证〕。

“概括—猜想—论证〞是人们研究〔数学〕问题最根本的方法，因此能够尝试用它来解决各种问题〔如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题〕，它经历三个过程：试试察看特例体验猜想理性证明，因此“概括—猜想—论证〞完满地把概括猜想和演绎论证一致了起来。

高二数学归纳猜想证明新课标教案

高二数学归纳猜想证明（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论. （二）学习要点：在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n 有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明.【例1】已知数列{}n a 满足关系式∈≥+=>=--n a a a a a a a n n n ,2(12),0(111N +），（Ⅰ）用a 表法a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）猜想a n 的表达式（用a 和n 表示），并证明你的结论.[解析]（Ⅰ）;7183141314212,31412112212,23342232a a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a a +=+++⨯=+=+=+++⨯=+=+= （Ⅱ）（ ,)12(12,)12(12111001a a a a a a a -+=-+==）猜想,)12(1211a aa n n n -+=--下面用数学归纳法证明：1°．当n=1时，∴-+==,)12(12001a aa a 当n=1结论正确； 2°．假设当n=k 时结论正确，即aaa k k k )12(1211-+=--，∴当n=k+1时 a a aa a a k k k k k k 1112)12(1212--++-+=+= =,)12(1222121aa a a a kk k k -+=-⨯+-当n=k+1时结论也正确；根据1°与2°命题对一切n ∈N*都正确.[评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.【例2】已知数列{}n a 满足：,232,1111-+⨯+==n n n a a a 计算a 2，a 3，a 4的值，由此归纳出a n 的公式，并证明你的结论.[解析]很容易算出a 2=5，a 3=16，a 4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索. ∵a 2=2 a 1+3×2°=2×1+3×2°，a 3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21， a 4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想a n =2n －1+（n －1）×3×2n －2=2n －2（3n －1）；用数学归纳法证明：1°．当n=1时，a 1=2－1×=1，结论正确； 2°．假设n=k 时，a k =2k －2（3k －1）正确，∴当n=k+1时，111123)13(2232---+⨯+-=⨯+=k k k k k k a a =)23(21+-k k ],1)1(3[21)1(-+=-+k k 结论正确；由1°、2°知对n ∈N*有).13(22-=-n a n n[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功. 【例3】已知等差数列{}n a 中，a 2=8，前10项的和S 10=185，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式a n ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第2，4，8， (2)，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ；（Ⅲ）设 B n =n （5+3 a n ），试比较A n 和B n 的大小，并说明理由. [解析]（Ⅰ）设公差为d ，∴;23)1(35,5345101858111+=-⨯+=∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=-=n n a a d da d a n （Ⅱ）设新数列为{}nb ，∴2232+⨯==nn n a b∴A n =3×（2+22+23+ (2)）+2n=3×2n ＋1+2n －6；（Ⅲ）∵,48163,22283,8443,119)119(3212=⨯==-⨯==-⨯=∴+=+=A A A n n n n B n A 4=3×32+2=98，A 5=3×64+4=196，A 6=3×128+6=390，A 7=3×256+8=776，…… 而B 1=20，B 2=58，B 3=114，B 4=188，B 5=280，B 6=390，B 7=518，…… ①当n=1，2，3，4，5时，B n >A n ； ②当n=6时，B 6=A 6；③当n ≥7，且n ∈N*时，猜想A n >B n ，用数学归纳法证明： 1°．当n=7时，A 7=766>518=B 7，结论正确；2°．假设当n=k （k ≥7）时，A k >B k ，即3×2k+1+2k －6>9k 2+11k ⇒2k+1>3k 2+3k+2，∴n=k+1时，)]1(11)1(9[]6)1(223[2211+++--++⨯=-+++k k k B A k k k =6×2k+2－9k 2－27k －24=6×[2 k+1－（3k 2+3k+2）]+6×（3k 2+3k+2）－9k 2－27k －24 =6×[2k+1－（3k 2+3k+2）]+9k 2－9k －12>9k 2－9k －12=9k （k －1）－12≥9×7×（7－1）－12>0 ∴A k+1>B k+1，即n=k+1时，结论也正确；根据1°、2°知当n ≥7且n ∈N*时，有A n >B n .[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例4】已知数列{}n a 满足：,2121221nn n a a a a a +===++且问是否存在常数p 、q ，使得对一切n ∈N*都有,12n n n qa pa a +=++并说明理由.[解析] ∵,112,3222341223=+==+=a a a a a a 设存在这样的常数p 、q ，∴,141133234123⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧+=+=q p q p q p qa pa a qa pa a 由此猜想，对n ∈N*，有,412n n n a a a -=++ 下面用数学归纳法证明这个结论：1°．当n=1时，12343a a a -==，结论正确；2°．假设当n=k 时结论正确，即,412k n k a a a -=++ ∴当n=k+1时，,42)2(4242)4(21212121221121223++++++++++++++-=-+-=--=+-=+=k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ∴当n=k+1时结论正确，故当n ∈N*时，n n n a a a -=++124成立.[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳—猜想—证明的方法，难度不大.。

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高二数学上册《数学归纳法》教案沪教版

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7.6归纳-猜想-论证

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