自校正PID控制
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自校正PID 算法在聚合反应温 度控制中的应用
翟旭
引言
•
温度控制是工业生产过程中很重要的一种控制。就控 制系统本身的动态特性来说,基本上都属一阶纯滞后环节, 具有大惯性、大延时的特点。由于聚合反应的机理较为复 杂，外界条件、原料纯度、催化剂类型、原料添加数量的 变化、循环水、热水或加热蒸汽温度、流量的变化等，对 系统的影响较大。本文以聚合反应恒温段反应温度为控制 对象，采用自校正PID算法，以提高控制的精确性和稳定 性在外界干扰使系统的参数发生波动时，通过在线辨识， 得到系统的参数，然后根据参数的变化，调整PID控制参 数使系统达到期望的输出，以提高系统的稳定性、响应速 度以及控制精度。
B(z
1
)u (t ) C ( z
1
wenku.baidu.com
) ( t )
(3.06)
其中y(t)、u(t)、ε (t)被控对象的输出、输入和不可测的扰动噪声；z-1 为滞 后一步算子，即z-1y(t)=y(t-1)；d 为滞后步数；A(z-1)、B(z -1)、C(z-1)均为 z-1的多项式。
A( z B(z C (z
1 1 1
) 1 a1 z
1
... a na z
na nb
) b 0 b1 z ) 1 c1 z
1
1
... b nb z
, b0 0
(3.07)
... c nc z
nc
其中na、nb、nc 分别为多项式A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)的阶数；一般d 为已知， 但系数ai(i=1,2,„,na)和bj(j=1,2,„,nb)为未知参数，可以通过在线辨识获得[5]。
其中 Ls 为最小参数估计,得 ：
^ Ls
( ) y
T T
1
(2.06)
^
当ΦTΦ
矩阵为非奇异矩阵，即[ΦTΦ]- 1
存在时，由(2.06)求得的
称为系统参数θ 的最小二乘估计。 为了解决ΦTΦ 矩阵求逆运算，减少运算量，强调新数据在估计中的作 用，此可以采用“渐消记忆法”，在递推公式中加入遗忘因子ρ。
u k K P (1 T TI TD T ) e k K P (1 2T D T ) e k 1 K TD
p
T
ek 2
(3.01)
T为采样周期。对(3.01)两边进行Z 变换，得增量型数字PID调节器的脉冲传 递函数表达式：
u(z
1
)
g 0 g1z
1
g2z
（ N 1） ( N ) K ( N 1)[ y ( N 1) ( N 1) ( N )]
T
^
^
K ( N 1)
P ( N ) ( N 1) 1 ( N 1 ) P ( N ) ( N 1 )
T T
P ( N 1) [ I K ( N 1) ( N 1)] P ( N )
G s Ke
s
Ts
1
(1.09)
式中K是对象的静态增益; T是对象的时间常数;
是对象的纯滞后常数。
2. 在线系统辨识
受控对象的数学模型可用CARMA模型描述。要辨识系统的在线参数,通常 采用参数估计中的递推最小二乘法[1]。设单输入输出系统的模型为:
A( z
1
) y (k ) B ( z
(1.06)
其中转化率是温度和浓度的函数，即c= (T, x)，在本系统中，假定
x变化很小，即x=xo，所以可以消去中间变量△c。，并进行线性化处理。
c c T T x0
由于小范围内
c T x0
为常数Kc，可把c与T的非线性关系经线性
化近似后变为
c K c T ，可得
d T dt
Vc p
KA Gc
p
Gx 0 H v
K c T KA T c
(1.07)
对上述微分方程经拉氏变换得:
T s T c s K
p
Tps 1
Tp Vc p KA Gc
对应(2.03)式的向量矩阵方程为：
y ( ) e
^
^
(2.04)
^
利用最小二乘法求参数向量θ 的最小二乘估计
J ( y ) ( y )
T T ^
，就是目标函数 (2.05)
令
J
0 ( Ls )
1.聚合反应概述及反应过程描述
聚合反应是把低分子量的单体转化成高分子量的聚合物的过程。聚合 反应不仅是化学变化，而且在反应过程中，还发生相应的物理变化，是一 种突变型强烈的放热反应。 聚合反应釜是合成树脂工业中常用的一类反应器，聚乙烯、酚醛树脂、 聚丙烯等材料的聚合反应就是在间歇式聚合釜中进行的。由于聚合反应过 程中存在着强烈的放热效应，反应的放热速率与反应温度之间存在正反馈 自激的关系。也就是说，如果受到外界干扰等因素的影响，如果使反应温 度降低，使反应速率降低，会造成反应提前结束，生产出废品，而反应温 度如果受影响而升高，使反应釜内的反应加剧，甚至产生“聚爆”现象， 同样会使产品成为废品，还会影响生产的安全性，因此反应温度对于保证 产品质量和安全生产起着关键作用。另外，生产过程中转化率等参数具有 时变的特性，因此较难测定，所以控制反应温度可以作为控制产品质量和 产量的一种有效方法。本论文以合成树脂生产用的聚合反应釜的温度控制 过程为研究对象，旨在通过先进的控制算法以提高温度控制精度，从而提 高产品质量和产量。
[ a 1 , a 2 ,..., a na , b 0 , b1 ,..., b nb ]
T T
( k ) [ y ( k 1),..., y ( k n a ), u ( k d ),..., u ( k d n b )]
将式(2.01)写成如下的最小二乘格式，
p
(1.08)
Gx 0 H
式中
K
p
KA Gc
p
KA Gx 0 H
Kc
Kc
由此可见，这个非绝热反应器关于Tc→ T通道的动态特性可以用 一个一阶微分方程来描述，其传递函数是个一阶滞后环节。在推导过 程中忽略了反应器夹套间壁热容量，且假定釜内温度的分布是均匀的， 因此简化为一个集中参数的对象了:
图 1所示为一个聚合釜示意图，反应釜内进行的是放热反应，为了控制 反应温度，必须通过载热体(冷却剂)由夹套移去部分热量，因此其热量平衡 关系：
图1 聚合反应釜示意图
dQ dt
Q1 Q 2
(1.01) —放出的热量
Q2
dQ dt
—反应釜内蓄热量的变化
Q1
—除去的热量
反应器内化学反应所产生的热量(单位时间):
Q1
G
G
x 0 cH
s
3
(1.02)
—反应物的密度
H —每摩尔的反应热
—反应物的质量流量
kg
kg m
3
x—反应物的浓度 0
—转化率
mol m
J mol
c
在不考虑反应器热损失的前提下，由反应物和载热体冷却所带走热 量的总和为:
Q 2 Gc
p
T
T f KA T T c
y ( k ) ( k ) e ( k )
(2.02)
为未知参数向量，e(k)为噪声。根据系统的N ^ 次观测{y(i),u(i):i=1,2,„,N,N≥na+nb+1}对θ 的估计值为 ^ T 对于第t 次观测，实际观测值y(k)与估计模型计算值 y m ( k ) ( k ) 之间的偏差为 ( k ) 。称为残差，有 (2.03) 残差向量 ( k ) 为系统模型固有误差、测量噪声误差以及计算误差等构成的综合 误差。引入符号：
由以上各式，可得反应釜的动态方程式为:
Vc p dT dt Gx 0 H
c KA T T c Gc
p
T
Tf
(1.05)
将上式进行增量化，并且△Tf =0，得:
Vc p d T dt
Gx 0 H
c KA T T c Gc p T
图2 控制系统结构图
典型的闭环计算机控制系统如图2 所示。系统的闭环传递函数为
d
y (t )
z
B ( z ) H ( z ) r ( t ) F ( z ) C ( z ) ( t ) A( z )F ( z ) z
1 1 d
1
1
1
1
B ( z )G ( z )
1
1
（3.08）
按增广型自校正闭环极点配置的要求[2]，闭环特征多项式应满足
A(z-1)F(z-1)+z-dB(z-1)G(z-1)=C(z-1)T(z-1) 通常以典型的二阶系统闭环传递函数的标准形式
G (s)
(3.09)
n
2
2 2
s 2 n s n
将其离散化得到对应的离散特征多项式为：
式中0<ρ<1，一般取ρ=0.95~0.99,ρ取的小，系统跟踪能力变强，过小的 话，噪声干扰影响加大。另外，P(N) ， (N)的初值的选取一般为：
P (0) I ^ ( 0 )
^
其中I为单位矩阵，α为足够大的正数,ε为足够小的正数。
3. 自适应控制算法
极点配置自校正PID控制器的参数校正原则是，通过PID参数的选择使系 统成为具有期望的闭环特征方程。 增量式PID控制算法：
(3.04)
由于TI 和TD 均为正的标量，故必须对g0、g1 和g2 施加某些约束条件。 当KP>0 时，其约束条件为： g1+2g2<0, g2>0, g0+g1+g2>0 (3.05) 假设被控对象的数学模型可用 CARMA（受控自回归滑动平均模型）描述
A( z
1
) y (t ) z
d
1
2
1 z
e( z
1
)
(3.02)
其中，方程组(3.02) 对KP、TI 和TD 有唯一的解。
TD T g 0 K P (1 ) TI T TD ) g 1 K P (1 2 T TD g2 K P T
(3.03)
K P (g1 2 g 2 ) ( g 1 2 g 2 )T T I _ g 0 g1 g 2 g T TD 2 g1 2 g 2
1
)u ( k d ) e ( k )
（2.01）
A ( z 1 ) 1 a 1 z 1 ... a na z na 1 1 - nb B ( z ) b 0 b1 z ... b nb z , na nb
式中a1,a2,„,ana ,b0,b1,„,bnb为待估计的参数。设系统的阶数na,nb 已 知。参数估计的任务就是根据测得的输入、输出数据u(k)、y(k)，来估计 未知参数ai,bi (i=1,2,„,n)。 定义：
T T
( k ) 为输入-输出观测向量，θ
( k ) y ( k ) ( k ) ( k )( ) e ( k )
^
^
T (1) y (1) e (1) (1) T y (2) e(2) (2) (2) y e . T y ( N ) e( N ) (N） ( N )
T (z
1
) 1 2e
n T
cos( n T
1-
2
)z
1
e
2 n T
z
2
(3.10)
其中ω n 为无阻尼自然振荡角频率；ζ 为阻尼比,由图1可直接写出自校正
PID调节器输出u(t)的表达式：
u (t ) H (z F (z
(1.03)
TC——冷却剂的入口温度
Tf, T——分别表示反应器的进料温度和出料温度(即反应釜内的温度) Cp——反应物的比热容(假定随着反应进行，组分变化，而Cp为常数)
K——载热体与反应器内物料总传热系数
A——传热面积
反应器内蓄热量的变化为:
dQ dt Vc dT
p
dt
(1.04)
V—-反应器的容积
翟旭
引言
•
温度控制是工业生产过程中很重要的一种控制。就控 制系统本身的动态特性来说,基本上都属一阶纯滞后环节, 具有大惯性、大延时的特点。由于聚合反应的机理较为复 杂，外界条件、原料纯度、催化剂类型、原料添加数量的 变化、循环水、热水或加热蒸汽温度、流量的变化等，对 系统的影响较大。本文以聚合反应恒温段反应温度为控制 对象，采用自校正PID算法，以提高控制的精确性和稳定 性在外界干扰使系统的参数发生波动时，通过在线辨识， 得到系统的参数，然后根据参数的变化，调整PID控制参 数使系统达到期望的输出，以提高系统的稳定性、响应速 度以及控制精度。
B(z
1
)u (t ) C ( z
1
wenku.baidu.com
) ( t )
(3.06)
其中y(t)、u(t)、ε (t)被控对象的输出、输入和不可测的扰动噪声；z-1 为滞 后一步算子，即z-1y(t)=y(t-1)；d 为滞后步数；A(z-1)、B(z -1)、C(z-1)均为 z-1的多项式。
A( z B(z C (z
1 1 1
) 1 a1 z
1
... a na z
na nb
) b 0 b1 z ) 1 c1 z
1
1
... b nb z
, b0 0
(3.07)
... c nc z
nc
其中na、nb、nc 分别为多项式A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)的阶数；一般d 为已知， 但系数ai(i=1,2,„,na)和bj(j=1,2,„,nb)为未知参数，可以通过在线辨识获得[5]。
其中 Ls 为最小参数估计,得 ：
^ Ls
( ) y
T T
1
(2.06)
^
当ΦTΦ
矩阵为非奇异矩阵，即[ΦTΦ]- 1
存在时，由(2.06)求得的
称为系统参数θ 的最小二乘估计。 为了解决ΦTΦ 矩阵求逆运算，减少运算量，强调新数据在估计中的作 用，此可以采用“渐消记忆法”，在递推公式中加入遗忘因子ρ。
u k K P (1 T TI TD T ) e k K P (1 2T D T ) e k 1 K TD
p
T
ek 2
(3.01)
T为采样周期。对(3.01)两边进行Z 变换，得增量型数字PID调节器的脉冲传 递函数表达式：
u(z
1
)
g 0 g1z
1
g2z
（ N 1） ( N ) K ( N 1)[ y ( N 1) ( N 1) ( N )]
T
^
^
K ( N 1)
P ( N ) ( N 1) 1 ( N 1 ) P ( N ) ( N 1 )
T T
P ( N 1) [ I K ( N 1) ( N 1)] P ( N )
G s Ke
s
Ts
1
(1.09)
式中K是对象的静态增益; T是对象的时间常数;
是对象的纯滞后常数。
2. 在线系统辨识
受控对象的数学模型可用CARMA模型描述。要辨识系统的在线参数,通常 采用参数估计中的递推最小二乘法[1]。设单输入输出系统的模型为:
A( z
1
) y (k ) B ( z
(1.06)
其中转化率是温度和浓度的函数，即c= (T, x)，在本系统中，假定
x变化很小，即x=xo，所以可以消去中间变量△c。，并进行线性化处理。
c c T T x0
由于小范围内
c T x0
为常数Kc，可把c与T的非线性关系经线性
化近似后变为
c K c T ，可得
d T dt
Vc p
KA Gc
p
Gx 0 H v
K c T KA T c
(1.07)
对上述微分方程经拉氏变换得:
T s T c s K
p
Tps 1
Tp Vc p KA Gc
对应(2.03)式的向量矩阵方程为：
y ( ) e
^
^
(2.04)
^
利用最小二乘法求参数向量θ 的最小二乘估计
J ( y ) ( y )
T T ^
，就是目标函数 (2.05)
令
J
0 ( Ls )
1.聚合反应概述及反应过程描述
聚合反应是把低分子量的单体转化成高分子量的聚合物的过程。聚合 反应不仅是化学变化，而且在反应过程中，还发生相应的物理变化，是一 种突变型强烈的放热反应。 聚合反应釜是合成树脂工业中常用的一类反应器，聚乙烯、酚醛树脂、 聚丙烯等材料的聚合反应就是在间歇式聚合釜中进行的。由于聚合反应过 程中存在着强烈的放热效应，反应的放热速率与反应温度之间存在正反馈 自激的关系。也就是说，如果受到外界干扰等因素的影响，如果使反应温 度降低，使反应速率降低，会造成反应提前结束，生产出废品，而反应温 度如果受影响而升高，使反应釜内的反应加剧，甚至产生“聚爆”现象， 同样会使产品成为废品，还会影响生产的安全性，因此反应温度对于保证 产品质量和安全生产起着关键作用。另外，生产过程中转化率等参数具有 时变的特性，因此较难测定，所以控制反应温度可以作为控制产品质量和 产量的一种有效方法。本论文以合成树脂生产用的聚合反应釜的温度控制 过程为研究对象，旨在通过先进的控制算法以提高温度控制精度，从而提 高产品质量和产量。
[ a 1 , a 2 ,..., a na , b 0 , b1 ,..., b nb ]
T T
( k ) [ y ( k 1),..., y ( k n a ), u ( k d ),..., u ( k d n b )]
将式(2.01)写成如下的最小二乘格式，
p
(1.08)
Gx 0 H
式中
K
p
KA Gc
p
KA Gx 0 H
Kc
Kc
由此可见，这个非绝热反应器关于Tc→ T通道的动态特性可以用 一个一阶微分方程来描述，其传递函数是个一阶滞后环节。在推导过 程中忽略了反应器夹套间壁热容量，且假定釜内温度的分布是均匀的， 因此简化为一个集中参数的对象了:
图 1所示为一个聚合釜示意图，反应釜内进行的是放热反应，为了控制 反应温度，必须通过载热体(冷却剂)由夹套移去部分热量，因此其热量平衡 关系：
图1 聚合反应釜示意图
dQ dt
Q1 Q 2
(1.01) —放出的热量
Q2
dQ dt
—反应釜内蓄热量的变化
Q1
—除去的热量
反应器内化学反应所产生的热量(单位时间):
Q1
G
G
x 0 cH
s
3
(1.02)
—反应物的密度
H —每摩尔的反应热
—反应物的质量流量
kg
kg m
3
x—反应物的浓度 0
—转化率
mol m
J mol
c
在不考虑反应器热损失的前提下，由反应物和载热体冷却所带走热 量的总和为:
Q 2 Gc
p
T
T f KA T T c
y ( k ) ( k ) e ( k )
(2.02)
为未知参数向量，e(k)为噪声。根据系统的N ^ 次观测{y(i),u(i):i=1,2,„,N,N≥na+nb+1}对θ 的估计值为 ^ T 对于第t 次观测，实际观测值y(k)与估计模型计算值 y m ( k ) ( k ) 之间的偏差为 ( k ) 。称为残差，有 (2.03) 残差向量 ( k ) 为系统模型固有误差、测量噪声误差以及计算误差等构成的综合 误差。引入符号：
由以上各式，可得反应釜的动态方程式为:
Vc p dT dt Gx 0 H
c KA T T c Gc
p
T
Tf
(1.05)
将上式进行增量化，并且△Tf =0，得:
Vc p d T dt
Gx 0 H
c KA T T c Gc p T
图2 控制系统结构图
典型的闭环计算机控制系统如图2 所示。系统的闭环传递函数为
d
y (t )
z
B ( z ) H ( z ) r ( t ) F ( z ) C ( z ) ( t ) A( z )F ( z ) z
1 1 d
1
1
1
1
B ( z )G ( z )
1
1
（3.08）
按增广型自校正闭环极点配置的要求[2]，闭环特征多项式应满足
A(z-1)F(z-1)+z-dB(z-1)G(z-1)=C(z-1)T(z-1) 通常以典型的二阶系统闭环传递函数的标准形式
G (s)
(3.09)
n
2
2 2
s 2 n s n
将其离散化得到对应的离散特征多项式为：
式中0<ρ<1，一般取ρ=0.95~0.99,ρ取的小，系统跟踪能力变强，过小的 话，噪声干扰影响加大。另外，P(N) ， (N)的初值的选取一般为：
P (0) I ^ ( 0 )
^
其中I为单位矩阵，α为足够大的正数,ε为足够小的正数。
3. 自适应控制算法
极点配置自校正PID控制器的参数校正原则是，通过PID参数的选择使系 统成为具有期望的闭环特征方程。 增量式PID控制算法：
(3.04)
由于TI 和TD 均为正的标量，故必须对g0、g1 和g2 施加某些约束条件。 当KP>0 时，其约束条件为： g1+2g2<0, g2>0, g0+g1+g2>0 (3.05) 假设被控对象的数学模型可用 CARMA（受控自回归滑动平均模型）描述
A( z
1
) y (t ) z
d
1
2
1 z
e( z
1
)
(3.02)
其中，方程组(3.02) 对KP、TI 和TD 有唯一的解。
TD T g 0 K P (1 ) TI T TD ) g 1 K P (1 2 T TD g2 K P T
(3.03)
K P (g1 2 g 2 ) ( g 1 2 g 2 )T T I _ g 0 g1 g 2 g T TD 2 g1 2 g 2
1
)u ( k d ) e ( k )
（2.01）
A ( z 1 ) 1 a 1 z 1 ... a na z na 1 1 - nb B ( z ) b 0 b1 z ... b nb z , na nb
式中a1,a2,„,ana ,b0,b1,„,bnb为待估计的参数。设系统的阶数na,nb 已 知。参数估计的任务就是根据测得的输入、输出数据u(k)、y(k)，来估计 未知参数ai,bi (i=1,2,„,n)。 定义：
T T
( k ) 为输入-输出观测向量，θ
( k ) y ( k ) ( k ) ( k )( ) e ( k )
^
^
T (1) y (1) e (1) (1) T y (2) e(2) (2) (2) y e . T y ( N ) e( N ) (N） ( N )
T (z
1
) 1 2e
n T
cos( n T
1-
2
)z
1
e
2 n T
z
2
(3.10)
其中ω n 为无阻尼自然振荡角频率；ζ 为阻尼比,由图1可直接写出自校正
PID调节器输出u(t)的表达式：
u (t ) H (z F (z
(1.03)
TC——冷却剂的入口温度
Tf, T——分别表示反应器的进料温度和出料温度(即反应釜内的温度) Cp——反应物的比热容(假定随着反应进行，组分变化，而Cp为常数)
K——载热体与反应器内物料总传热系数
A——传热面积
反应器内蓄热量的变化为:
dQ dt Vc dT
p
dt
(1.04)
V—-反应器的容积