多项式定理

的系????3数16等2于????23 (?3)(5)2 ? ?36000
的展开式一共????n有?nt多?1????少? ????项6 ??64?1????? ????69 ????? 84
在(x1 ? 2x2 ?3x3 ? 4x4)9(2x2 ? 3x3)的展开式x中13x23x32x42的系数是多少？
????x1n1
x n2 2
...xt nt
其中求和对n1 ? n2 ? ... ? nt ? n 的所有的非负整数解n1,n 2,...,n t进行。
证明：
把 ?x1 ? x2 ? ...? xt ?n 写成n个因子的乘积，每个因子等于 ?x1 ? x2 ? ...? xt ? 。
用分配率及合并同类型将这个乘积完全展开，从n个因子中各取一个
? ? x1 ? x2 ? x3 3 ? x13 ? x23 ? x33 ? 3x12 x21 ? 3x11 x2 2 ? 3x12 x31 ? 3x11 x3 2 ? 3x2 2 x31 ? 3x21 x32 ? 6x1 x2 x3
上式中出现的项都是形如x1n1 x2 n2 x3n3 x1n1 x2 n2在x3n该3 表达式中
数，一共选取t个数组成一个乘积。用这种方法取得的结果一共有tn
项，而且每一项都可以写成x1n1 x2 n2 ...xt nt 的形式，其中n1,n2,...,n t是非 负整数，且它们的和为n。
通过选择n 个因子中的n 1个为x 1，剩下n-n 1个因子；然后在这剩下的
n-n1因子中选择n2个因子为x2，剩下n-n2个因子;...; 最终剩下n-n1-
????
n1
n n2 n3
n4
????
x1n1
x2n2
x3n3
x4n4
得到
? (x1
? 2 x2
? 3x3
?
2x4 )9
?
n1 ? n2 ? n3 ? n4 ? 9
?t ?? ? i? 1
ni
??? ?
n 1!
( n ? 1)! n2! ...
?
nt!
n1!
n! n2! ...
?
?
nt!
??? n1
n n 2 ...
nt ????
在讨论一般性的定理之前，首先考察一下t个实数的和的n?x次1 ? 幂x2 ? ... ? xt ?n
与其展开式的关系。令t=3,n=3，展开式如下：
...-n t-1个x1n1因x2 n子2 ...为xt nxt t，得到 由乘法原理，项 x1n1 x2n2 ...xt nt 出现的次数为
项。
????
n n1
????????n
? n1 n2
????...????
n
?
n1
? ...? nt
nt
?1
????
。
将该式展开化简可得
????nn1
????????
?多项式定理
?作者名
二项式定理给出每个正整?x ?数y?n n的
的
公式。它可以被推广到更一般的形?式x1 ? x：2 ? ...t? xt ?n
个实数的和的n次幂
的公式。
多项式系数：
????n1
n n2 ...
nt ???? ? n1!
n! n2! ...
nt !
其中，n1,nn2,1...?,nnt 是2 ?非.负..整? 数n且t ? n
解：
(x1 ? 2x 2 ? 3x 3 ? 4x 4 )9(2x 2 ? 3x3 ) ?
2x 2(x1 ? 2x2 ? 3x 3 ? 4x 4 )9 ? 3x3(x1 ? 2x 2 ? 3x 3 ? 4x 4 )9
由多项式定理知道
? (x1 ?
x2
?
x3
?
x4 )n
?
n1 ? n2 ? n3 ? n4 ? n
n
? n1 n2
????...????n ?
n1
? ... ? nt
nt?1
?????
n1!
n! n2 ! ...
nt !
所以
? ?x1 ? x2 ? ...? xt ?n ?
???? n1
n n2 ...
nt
????x1n1
x n2 2
...xt
nt
其中求和对n1 ? n2 ? ...? nt ? n 的所有的非负整数解n1,n 2,...,n t进行。
...
nt! ?
ni( n ? 1)! n1! n 2! ... nt!
t
? ? 则 ? ? i ? 1 n1!
n ? 1! n2! ... ( ni ? 1)!
...
nt !
?
?t ?? ? i ?1
ni
????
n1!
( n ? 1)! n2! ...
nt !
t
又 ? ? ni ? n i? 1
? ?
使用多项式系数记号表示对于 n 和 k 为正的二项式系数的Pascal公式为：
???? k
n n
?
k
???? ?
????
k
n n
? ?
1 k
?
1????
?
????
k
?
n 1
?1 n?
k
????
多项式系数的Pascal公式：
???? n1
n n 2 ...
nt ???? ? ????n1 ? 1
n?1 n2 ...
的项，其中n1 ,n2 , n3 是非负整数，且n1 ? n2 ? n3 ? 3 的系数等于
????n1
3 n2
n3 ???? ? n1!
3! n2 !
n3!
定理：令n为一正整数。对所有的x1,x 2,...,x t,
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? ?x1 ? x2 ? ...? xt ?n ?
???? n1
n n2 ...
nt
nt ????? ????n1
n?1 n2 ? 1 ...
nt ????? ... ? ???? n1
n ?1 n2 ...
nt ? 1????
其中， n1,n 2,...,n t 是n1非?负n2整?数..且. ? nt ? n
证明：
? ? ?
n 1!
n 2!
n ? 1! ... ( ni ? 1)!
例?x11：? x当2 ? x3 ? x4 ? x5 ?7 例?22x1：? 3当x2 ? 5x3 ?6
? ? x1 ? x例2 3? ：x3 ? x4 6
被展x1开2 x3时x43，x5
的系????数2 等0于71
3
1????? 2!
7! 0! 1!
3!
? 420 1!
被x展13 x开2 x3时，
由多重集的排列可知，上面的定义表示重数分别为n1,n2,...,n t的 t 种不 同类型物体的多重集的排列个数。对于非负的 n 和 k ，具有值
k!
n!
?n ? k ?!
?k ? 0 ,1 ,..., n ?
? ???
n k
的???? 二项式系数
???? k
在上述记号中变成了
n n
?
k
????
并表示重数分别为 k 和 n-k 的两种不同类型物体多重集的排列个数。