2.3.1特殊位置直线的投影
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直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
08根据两直线的投影判别两直线的相对位置
2.3 直线的投影
（2）直线平行于投影面（图2-16（b）） 其投影的长度反映空间线段的实际长度，即:ab=AB，这种特性称为真形性。
（3）直线倾斜于投影面（图2-16（c））
图2-16 直线对一个投影面的投影特性
其投影仍为直线，但投影的长度比空间线段的实际长度缩短了，即 ab=ABcosα。这种特性称为类似性。
图2-17 一般位置直线
2.3 直线的投影
2.3.3 直线上的点 如图2-18所示，直线与其上的点有如下关系: （1）点在直线上，则点的投影必定在直线的同面投影上; （2）点在直线上，则点分割线段之比等于其投影之比。 即ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″:c″b″=AC∶CB
图2-18 直线上的点
2.3 直线的投影
教学目的：
1.熟练掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性 判别直线对投影面的相对位置。 2.掌握直线上点的投影特性。 3.掌握不同相对位置的两直线的投影特性。
教学重点：
1.特殊位置直线的投影特性。 2.判断两直线的相对位置。
教学难点：
1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。 2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。
判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同 名投影是否分别平行，如图2-23（b）所示。但是当两平行直线均平行于某一 投影面时，只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如 图2-24（a）所示（CD，EF为侧平线），虽然cd∥ef，c′d′∥e′f′，但求 出侧面投影（图2-24（b））后，由于c″d″不平行于e″f″，故CD，EF不平 行。在这种情况下，一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判 断;另一种方法是利用平行两直线共面，其投影保持定比的规律进行判断。
特殊位置直线的投影
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线。 投影面垂直线分为三种：
铅垂线 (⊥于H 面，∥于V 面和W 面)。
正垂线
侧垂线
(⊥于V 面，∥于H 面和W 面)。
(⊥于W 面，∥于H 面和V 面)。
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
本节结束
§3-2 特殊位置直线的投影
3.侧平线投影特性Fra bibliotek1)a” b” =AB ；
2)反映α、β实角； 3) ab∥OY 轴，a’b’∥OZ 轴。
Z V
a’ b’ X b a A β B
O
实长
β
a’
b’
Z
a”
β
实长
b” YW
a”
b”
X b a Y
O
YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
归纳投影面平行线的投影特性： 直线在所平行的投影面上的投影反映实长、 投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影 面的夹角实际大小； 直线的另两个投影平行于相应的轴，且长度 缩短。
二、投影面平行线
2.正平线
投影特性
Z a’
实长
V b’
1)a’b’ = AB ； 2)反映α 、γ实角； 3)ab ∥OX 轴，a’’b’’∥OZ 轴。
实长
a” b” b’ X b Y α
α B
b
A α O a
a’ O
Z
a” b” YW
X
a YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
实长
V a‘ A X
工程图学基础第二章2
β AB
|yA-yB|
|yA-yB|
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角
角
b
B b
a
b a
A
a
△x
例10.已知线段AB的正面投影a'b'和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。
25
b
例11.已知线段AB的正面投影a'b' 和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，求它的水平投影。
a'
A
b' b
B
C
小结
重点掌握：
直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。
两直线的相对位置的判断方法及投影特性。
直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
c
定比定理
例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1 两段，求分点C的投影c、c' 。
c'
c
例3.判断点K是否在线段AB上。
b" k"
a"
因k"不在a"b"上， 故点K不在AB上。 另一判断法?
四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 1.平行两直线 b' d'
d'
f
2.平面上的点
e'
侧平面
a'b'
A
a" b"
|yA-yB|
|yA-yB|
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角
角
b
B b
a
b a
A
a
△x
例10.已知线段AB的正面投影a'b'和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。
25
b
例11.已知线段AB的正面投影a'b' 和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，求它的水平投影。
a'
A
b' b
B
C
小结
重点掌握：
直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。
两直线的相对位置的判断方法及投影特性。
直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
c
定比定理
例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1 两段，求分点C的投影c、c' 。
c'
c
例3.判断点K是否在线段AB上。
b" k"
a"
因k"不在a"b"上， 故点K不在AB上。 另一判断法?
四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 1.平行两直线 b' d'
d'
f
2.平面上的点
e'
侧平面
a'b'
A
a" b"
第二讲 直线的投影
投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。
第2讲 正投影法及点与直线的投影
a″ ″ ● Y ay X
Z V a′ ′
●
az
●
ax
A
O
●
a″ ″
W
a
●
Y
ay
a
●
ay H Y
点的投影规律: 点的投影规律 ① a′a⊥OX轴 a′a″⊥OZ轴 ′ ⊥OX轴 ′ ″ OZ轴 ② aax= a″az =y =Aa′（A到V面的距离） ″ A ′ 面的距离） ′ 面的距离） A ″ aay=a′az =x =Aa″（A到W面的距离） ″ a′ax= a″ay =z =Aa（A到H面的距离） ′ A （ 面的距离）
a′● ′
●
●
a″ ″
●
b′ ′b″ ″一来自直线的投影特性⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A● M● B● A●
●
a● b
●
B ●
A●
●
B
α
●
a≡b≡m 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
●
b
a● 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB AB
a●
b
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB AB.cosα AB α
V Z
X
O
W
H
Y
三个投影面 互相垂直
空间点A 空间点A在三个投影面上的投影
a′ a a″
点A的正面投影 点A的水平投影 点A的侧面投影
注意： 注意： 空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。 字母表示。
X
Z V a′ ′ ●
●
A
O
●
a″ ″
W
a● H Y
a′ ′ ● X ax
各位置直线和平面投影特性总结
事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈 倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
《机械制图》第二章 直线的投影
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间 线段的实长及与三 个投影面夹角的实 大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线一斜二平）
名称
直 观 图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章 直线的投影
第三节 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
各种位置直线地投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴,c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。
点直线和平面的投影
c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角
正平线 c′d′=CD
Z
X
Y
O
V
W
H
f
e
α
β
α
β
f '
e'
X
Z
YH
YW
O
α
β
F
E
e"
f"
侧平线 e″f″=EF
ef∥OYH、 e′f′∥OZ 都不反映实长
e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角
f"
e"
X轴——V与H面的交线，代表长度方向； Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向； Z轴——V与W面的交线，代表高度方向； 三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。
Y
X
O
V
Z
W
1. 三投影面体系和点的三面投影
三视图及其 投影规律
俯视方向
左视方向
f '
e'
e
f
Z
X
Y
O
H
V
W
A
B
a'
b'
a(b)
a'
b'
YW
X
Z
YH
O
a"
b"
b"
a"
a(b)
a′b′= a″b″=AB,且 a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW
铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点
Z
X
Y
O
H
V
W
c'( d')
C
D
d
c
正平线 c′d′=CD
Z
X
Y
O
V
W
H
f
e
α
β
α
β
f '
e'
X
Z
YH
YW
O
α
β
F
E
e"
f"
侧平线 e″f″=EF
ef∥OYH、 e′f′∥OZ 都不反映实长
e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角
f"
e"
X轴——V与H面的交线，代表长度方向； Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向； Z轴——V与W面的交线，代表高度方向； 三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。
Y
X
O
V
Z
W
1. 三投影面体系和点的三面投影
三视图及其 投影规律
俯视方向
左视方向
f '
e'
e
f
Z
X
Y
O
H
V
W
A
B
a'
b'
a(b)
a'
b'
YW
X
Z
YH
O
a"
b"
b"
a"
a(b)
a′b′= a″b″=AB,且 a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW
铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点
Z
X
Y
O
H
V
W
c'( d')
C
D
d
c
第2章 点、直线、平面的投影
四、两直线的相对位置
【例2-9】作一水平线，距H 面15mm，且与 AB、CD 两直线相交。
a' c' e' b' f'
X b e
a c f
d'
15
O d
四、两直线的相对位置
【例2-10】判断两直线的相对位置。
由于K点不在直 线CD 上，所以是交 叉两直线。
四、两直线的相对位置
3.两直线交叉 重影 点
相交两直线
平行两直线
平面图形
一、平面的投影特性与平面的表示法
2.用迹线表示平面
PV PV
PW
P
PH
PW P
H
迹线——平面与投影面的交线。
平面与V 面的交线称为正面迹线，用PV 表示。 平面与H 面的交线称为水平迹线，用PH 表示。 平面与W 面的交线称为侧面迹线，用PW 表示。
二、各种位置的平面
四、两直线的相对位置
【例2-13】判断下列各组的两直线是否平行。
c'
X
d' c
O
平行
平行
d 不一定
一般位置直线的两面投影平行，空间两直线就平行。 特殊位置直线的两面投影平行，其中有一个投影 反映实长，则该两直线空间平行。
四、两直线的相对位置
2.两直线相交
投影特性： 空间相交两直线的投影必定相交，且两直 线交点的投影必定为两直线投影的交点。
X坐标值确定两点的左右位置 X坐标值大为左，小则为右 Y坐标值确定两点的前后位置 Y坐标值大为前，小则为后
Z坐标值确定两点的上下位置
Z坐标值大为上，小则为下
一、点在三投影面体系中的投影
【例2-3】如图所示，试判断点B 相对于点 A 的空间位置 。
直线的投影1课件(共20张PPT)《土木工程制图与识图》
b＇
线交点a1′，以a1′为端点在正 投影面上沿OX轴的垂线量取
a 30 °
ΔZ，确定a′；
3. 连接a′b′。a′b′即为直线
b
AB的V面投影。
△ZAB
B0
谢谢观看
AB
【例】已知直线AB的水平投影ab，B点的正面投影b′,直线 AB对H面的倾角α=30°。请完成直线AB的V面投影。
1.根据AB的水平投影ab及倾 角α=30°，作直角△abB0，则 bB0为A、B两点Z坐标之差 ΔZ；
a＇
△ZAB
2.过b′作OX轴的平行线，同
时过a点作OX轴的垂线，两直
a1 ＇
投影面平行线 仅平行于一个投影面的直线。 ( ∥H：水平线；∥V：正平线；∥W：侧平线)
直
投影面垂直线 垂直于一个投影面的直线。
线
( ⊥H：铅垂线；⊥V：正垂线；⊥W：侧垂线)
一般位 置直线
与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线)。
2.3.1 各种位置直线
Z
c′ b′ a′
X
d′
D C
B
Ad cb
a
AB、BC、CD各 为何种位置直线？
c″(d″) b″
AB为一般位置 线
BC为侧平线
a″ CD为侧垂线
Y
1.一般位置直线
立体上的一般 位置直线 Z
一般线的投影和倾角
b′
a′
X
b″ O a″
a b
投影特性：
Y
（1）一般位置直线的三面投影都倾斜于投影轴，它们与投影 轴的夹角均不反映空间直线对投影面倾角的实际大小。
（2）直线的H投影平行OX轴，W投影平行OZ轴，均小于
实长。
投影面平行线的投影及特性：
2.3 直线的投影
X
c'
O
轴测图 投影图 投影特性：两直线的投影，既不符合平行两直线的投影 特性，又不符合相交两直线的投影特性。同面投影的交 点，就是两直线上各一点形成的对这个投影面的重影点 的重合的投影。
[例题] 检验侧平线AB和一般位置直线CD的相
对位置。 （两种方法）
（a）已知条件 （b）加W面
（c）用直线上的点
b
a
A
a W X
O
YW
X
a b
O
a
b
投影特性： H 1、ɑ/ b/ 反映真长和α、γ角。
Y
YH
2、ɑb // OX，ɑ// b// // OZ，且长度缩短。
水平线（平行H面，同时倾斜于V、W面的直线）
V
a
A
Z b
Z a a b a b
B
X a
O
W b
X a
O
YW
Hb
b YH
2、ab// OYH，a/ b / // OZ，且长度缩短。
二、一般位置直线
1、基本概念 2、一般位置直线的投影特性
1、基本概念
一般位置直线：
既不平行也不垂直于任何一个投影 面，即与三个投影面都处于倾斜位置的 直线。
2、一般位置直线的投影特性：
V
Z b B a X A H a b a X O b
2.3 直线的投影
空间两点可以决定一直线，所以只要
作出线段两端点的三面投影，连接该两点 的同面投影（同一投影面上的投影），即 可得空间直线的三面投影。 直线的投影一般仍为直线。
空间直线与投影面的相对位置有三种：
投影面平行线
特殊位置直线
第2章 正投影的基本知识
第2章 正投影的基本知识
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 投影法和三视图的形成 点的投影 直线的投影 平面的投影 几何元素间的相对位置
2.1 投影法和三视图的形成
2.1.1 投影法的基本知识
1.投影法 用光线照射物体，便会在墙面产生物体的影子。人们从这一现象得 到启示，经过科学抽象，概括出用物体在平面上的投影表示其物体形状 的投影方法，如图2-1所示。这种现象叫做投影。常用的投影法分为中 心投影法和平行投影法两大类。 中心投影法(如图2-2所示)绘制的投影图具有较强直观性，立体感 好，但不能反映物体表面的真实形状和大小，故工程上只用于土建工程 及大型设备的辅助图样。
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2.1 投影法和三视图的形成
2.三视图之间的对应关系 (1) 度量对应关系。物体有长、宽、高三个方向的尺寸，取X轴方向为 长度尺寸，Y轴方向为宽度尺寸，Z轴方向为高度尺寸。 实际绘图时，一般采用无轴系统，如图2-6 (c)所示。需要时，也 可采用有轴系统。无论采用哪一种系统，绘图时必须保证三视图间的投 影规律。三等规律—主、附视图长对正，主、左视图高平齐，附、左视 图宽相等。 (2)方位对应关系。物体有上、下、左、右、前、后六个方位。 主视图反映物体的上、下和左、右方位; 俯视图反映物体的前、后和左、右方位; 左视图反映物体的上、下和前、后方位。
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2.3 直线的投影
2.3.1 各种位置直线及其投影特征
1.直线的投影 直线的投影仍为直线，特殊情况积聚为一点。如图2-16所示，直 线AB在水平面H上的投影为直线ab;直线CD平行于投影线，投影cd积 聚为一点。 2.直线投影的确定 直线的投影可由直线上任意两点的投影来确定。如已知直线AB上A 和B两点的三面投影，如图2-17 (a)，则用直线连接A, B在同一投影 面上的投影，即得到直线AB的三面投影，如图2-17(b)。
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 投影法和三视图的形成 点的投影 直线的投影 平面的投影 几何元素间的相对位置
2.1 投影法和三视图的形成
2.1.1 投影法的基本知识
1.投影法 用光线照射物体，便会在墙面产生物体的影子。人们从这一现象得 到启示，经过科学抽象，概括出用物体在平面上的投影表示其物体形状 的投影方法，如图2-1所示。这种现象叫做投影。常用的投影法分为中 心投影法和平行投影法两大类。 中心投影法(如图2-2所示)绘制的投影图具有较强直观性，立体感 好，但不能反映物体表面的真实形状和大小，故工程上只用于土建工程 及大型设备的辅助图样。
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2.1 投影法和三视图的形成
2.三视图之间的对应关系 (1) 度量对应关系。物体有长、宽、高三个方向的尺寸，取X轴方向为 长度尺寸，Y轴方向为宽度尺寸，Z轴方向为高度尺寸。 实际绘图时，一般采用无轴系统，如图2-6 (c)所示。需要时，也 可采用有轴系统。无论采用哪一种系统，绘图时必须保证三视图间的投 影规律。三等规律—主、附视图长对正，主、左视图高平齐，附、左视 图宽相等。 (2)方位对应关系。物体有上、下、左、右、前、后六个方位。 主视图反映物体的上、下和左、右方位; 俯视图反映物体的前、后和左、右方位; 左视图反映物体的上、下和前、后方位。
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2.3 直线的投影
2.3.1 各种位置直线及其投影特征
1.直线的投影 直线的投影仍为直线，特殊情况积聚为一点。如图2-16所示，直 线AB在水平面H上的投影为直线ab;直线CD平行于投影线，投影cd积 聚为一点。 2.直线投影的确定 直线的投影可由直线上任意两点的投影来确定。如已知直线AB上A 和B两点的三面投影，如图2-17 (a)，则用直线连接A, B在同一投影 面上的投影，即得到直线AB的三面投影，如图2-17(b)。
《机械制图(一)》教学大纲
《机械制图（一）》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标:作为一门学科入门级必修专业基础课程，本课程旨在培养学生空间思维和设计创造能力。
工程图样是表达和交流技术思想的重要工具，是工程技术部门的一项重要技术文件。
本课程研究绘制和阅读工程图样的基本原理和基本方法，培养学生的读图能力、绘图能力和空间思维能力。
在整个教学过程中，注意对学生自学能力、自信心的培养；注重思维方法的训练，使学生在学习知识的同时，掌握思维方法提高解决问题的能力；对日常作业严格要求，养成对工程问题一丝不苟的作风。
最终通过课程的学习，达到对学生四种能力一即工程设计表达能力、空间思维能力、设计创新能力、工程实践能力，一种素质——即包括培养发散思维习惯、工程综合素质、质量与标准意识、设计审美意识、工作责任心的培养，为培养研究和应用型人才奠定坚实的基础。
（以三维目标即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的形式反映核心素养观念和内容，其中核心素养不仅关注学生“当下发展”，更关注学生“未来发展”所需要的正确价值观念、必备品格和关键能力，即把知识、技能和过程、方法提炼为能力，把情感态度、价值观提炼为品格）（一）课程目标：（课程目标规定某一阶段的学生通过课程学习以后，在发展德、智、体、美、劳等方面期望实现的程度，它是确定课程内容、教学目标和教学方法的基础。
）课程目标1：学习和掌握用投影法表达空间几何形体和图解几何问题的基本原理和方法（支撑毕业要求1-1/H）1.1通过对点、线、面的投影的学习，掌握用投影法表达点、直线和平面和各位置线面的投影特性及作图方法、用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面倾角的基本作图方法；1.2通过对空间三维立体投影的学习，掌握立体的投影特性和作图方法、在立体表面上取点、线的方法、求截交线和相贯线的基本方法；课程目标2：了解机械制图的国家标准，训练用仪器和徒手绘图的技能，掌握标注尺寸的基本方法。
（支撑毕业要求6-1/H）21通过对国家标准、绘图工具及使用、几何作图的学习，掌握机械制图的国家标准；22通过对平面图形的尺寸分析和作图步骤、绘图的方法与步骤的学习，训练用仪器和徒手绘图的技能，掌握标注尺寸的基本方法课程目标3：培养绘制和阅读图样的基本能力。
机械制图 模块2 投影基础知识
—— —— —— H V W
侧正铅直 垂垂垂线 线线线与 投 影 垂垂垂面 直直直垂 于于于直 侧正水有 立立平三 投投投种 影影影形 面面面式 ： 的的的 直直直 线线线 ；；
表2－2 投影面垂直线的投 影规律
—— —— —— H V W
2、2、3 直线与直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种情况： 平行、相交和交叉。
图2-17 三面正投影体系展开图
3、学习情境 自建一个三维空间，在其中放置各种器 具，如杯子，书本或桌椅等，分析它们各 自的三视图的形成。
见图2－1。
图2- 1投影的形成
2、学习内容
2、1
认识投影的特性
（1） 积聚性
当空间的直线和平 面垂直于投影面时， 直线的投影变为一个 点，平面的投影变为 一条直线图2-2这种具 有收缩、积聚性质的 正投影特性称为积聚 性。
图2- 2 投影特性-积聚性
（2）显实性
当直线和平面平 行于投影面时，它 们的投影分别反映 实长和实形图2-3 在正投影中具有反 映实长或实形的投 影特性称为显实性。
课题二 形体三面投影图的形成和规律
1、学习目标 学习三视图的目的是为了将立体实物的形 状和尺寸准确地反映在平面的图纸上。
2、学习内容
2.1三视图的形成和展开 在展开的三面正投影图中可以看出，一个空间形体具 有正面、侧面和顶面三个方向的形状，具有长度、宽度和 高度三个方向的尺寸。 在三面投影体系中，形体的一个正投影图能反映形体 两个方向的尺度。水平投影图反映形体的顶面形状和长、 宽两个方向的尺度；正面投影图反映形体的前面形状和长、 高两个方向的尺度；侧面投影图反映形体的侧面形状和高、 宽两个方向的尺度。因此，我们根据三面投影图可以得出 形体在空间的形状与大小。此外，三面投影图还能反映空 间形体在三面投影体系中上下、左右及前后六个方位的位 置关系，因此，我们可以根据投影图所反映的方位对应关 系，判断形体上任意点、线、面的空间位置关系。见图216。
直线投影
水平线 正平线 侧平线 表3-1
二、垂直于投影面的直线-投影面垂直线
铅垂线 正垂线 侧垂线 表3-2
三、从属于投影面和投影轴的直线
判断
3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 --直角三角形方法 直角三角形方法的作图要领: 1.以线段一投影(如水平投影)的长度为直角边。 2.以线段的两端点相对于该投影面(如水平投影面)的距离差 为另一直角边，该距离差可在线段的另一投影上量得。 3.所作直角三角形的斜边即为线段的实长。 4.斜边与该投影(如水平投影)的夹角为线段与该投影面的夹 角。
6 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线的重影点
一、垂直相交两直线的投影 定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于一投影面 时，则两直线在该投影面的投影反映直角。 定理二：相交两直线在同一投影面的投影成直角，且有一条直 线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 二、垂直交叉两直线的投影 定理三：互相交叉垂直的两直线，其中有一条直线平行于一投 影面时，则两直线在该投影面的投影反映直角。 定理四：交叉两直线在同一投影面的投影成直角，且有一条直 线平行与该投影面，则两直线的夹角必是直角。
7 直角投影定理
本章结束
直线
1 直线的投影 2 特殊位置的直线
3 一般位置线段的实长 及其与投影面的夹角 5 直线的迹点 7 直角投影定理
4 属于直线的点的投影仍为直线，特殊情况下积聚为一点 二、直线投影的确定 三、直线相对投影面的位置
2 特殊位置的直线
一、平行于一个投影面的直线-投影面平行线
一般位置直线 求a 求b 求g
例1
例3-1
4 属于直线的点 它的三个投影分别属于直线的三个投影。 点分线段之比投影后保持不变。 ab AB = BC bc a’b’ = b’c’
二、垂直于投影面的直线-投影面垂直线
铅垂线 正垂线 侧垂线 表3-2
三、从属于投影面和投影轴的直线
判断
3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 --直角三角形方法 直角三角形方法的作图要领: 1.以线段一投影(如水平投影)的长度为直角边。 2.以线段的两端点相对于该投影面(如水平投影面)的距离差 为另一直角边，该距离差可在线段的另一投影上量得。 3.所作直角三角形的斜边即为线段的实长。 4.斜边与该投影(如水平投影)的夹角为线段与该投影面的夹 角。
6 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线的重影点
一、垂直相交两直线的投影 定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于一投影面 时，则两直线在该投影面的投影反映直角。 定理二：相交两直线在同一投影面的投影成直角，且有一条直 线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 二、垂直交叉两直线的投影 定理三：互相交叉垂直的两直线，其中有一条直线平行于一投 影面时，则两直线在该投影面的投影反映直角。 定理四：交叉两直线在同一投影面的投影成直角，且有一条直 线平行与该投影面，则两直线的夹角必是直角。
7 直角投影定理
本章结束
直线
1 直线的投影 2 特殊位置的直线
3 一般位置线段的实长 及其与投影面的夹角 5 直线的迹点 7 直角投影定理
4 属于直线的点的投影仍为直线，特殊情况下积聚为一点 二、直线投影的确定 三、直线相对投影面的位置
2 特殊位置的直线
一、平行于一个投影面的直线-投影面平行线
一般位置直线 求a 求b 求g
例1
例3-1
4 属于直线的点 它的三个投影分别属于直线的三个投影。 点分线段之比投影后保持不变。 ab AB = BC bc a’b’ = b’c’
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平行于一个投影面,倾斜于其它两个投影面的直线统称为投影面的平行线。
Ø 平行于H面的称为水平线； Ø 平行于V面的称为正平线； Ø 平行于W面的称为侧平线。
直线的投影——特殊位置直线
(1) 水平线 —— 平行于水平投影面的直线
Z
a
z
b a
b
a
b
A
a
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
直线的投影——特殊位置直线
三种平行线的投影对比
正平线
水平线
侧平线
直线的投影——特殊位置直线
2. 投影面的垂直线
垂直于一个投影面,平行于其它两投影面的直线统称为投影面的垂直线。
Ø 垂直于H面的称为铅垂线； Ø 垂直于V面的称为正垂线； Ø 垂直于W面的称为侧垂线。
直线的投影——特殊位置直线
(1) 铅垂线 —— 垂直于水平投影面的直线
② a b=AB；
③ 反映、角的真实大小。
b
YH
直线的投影——特殊位置直线
(3) 侧平线 —— 平行于侧面投影面的直线
Z
a
a
A
a
b
Z
a
b
b
X
O
X
O
YW
a
a
B
b
b
Y
b
YH
投影特性：① ab OZ ， ab OYH ；
② ab =AB ；
③ 反映 、 角的真实大小。
② ab ab OX ；
③ a'b'=ab=AB。
直线的投影——特殊位置直线
三种垂直线的投影对比
正结
1. 平行线分为：水平线、正平线、侧平线； 2. 垂直线分为：铅垂线、正垂线、侧垂线； 3. 特殊位置线的投影规律和特点。
直线对H、V和W面的倾角通常以α、β、γ分别表示。 ab=ABcosα、a′b′=ABcosβ a″b″=ABcosγ
直线的投影
直线的分类
一般位置直线
直线
投影面的平行线
特殊位置直线
投影面的垂直线
水平线
投影面的平行线 正平线
侧平线
铅垂线
投影面的垂直线 正垂线
侧垂线
直线的投影——特殊位置直线
1. 投影面的平行线
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
Y
b
YH
投影特性：① ab 积聚成一点；
② ab a”b” OY ；
③ ab=ab =AB。
直线的投影——特殊位置直线
(3) 侧垂线 —— 垂直于侧面投影面的直线
Z
a
a
b
b Z a(b)
a(b)
X
A
B
O
X
O
YW
a
b
a
b
Y
YH
投影特性：① ab积聚成一点；
Y
b
YH
投影特性：① ab OX ， ab OYW ；
② ab=AB ；
③ 反映、 角的真实大小。
直线的投影——特殊位置直线
(2) 正平线 —— 平行于正面投影面的直线
Z
Z
b
b
b
a
B
b
a
a
A
a
X
O
YW
X
O
a
b
Y
a
投影特性：① ab OX ， a b OZ；
点、直线、平面
直线的投影——特殊位置直线
目的和要求
1. 掌握平行线的投影规律和投影特点； 2. 掌握垂直线的投影规律和投影特点。
直线的投影
1. 直线的投影由直线上
A
C
两点的投影来确定。
2. 直线的投影仍为直线，
B
特殊情况下积聚为一点。
D
a
b c(d)
H
直线的投影
直线的投影仍为直线, 只要作出直线上任意两点的投影，把同面投影连接起来, 即得直线的三面投影。
Z
a
a
Z
a
A
a b
X
O
b
B
b
b
X
O
YW
a(b)
Y
a(b)
YH
投影特性：① a b 积聚成一点；
② ab a”b” OZ ；
③ a'b'=ab =AB。
直线的投影——特殊位置直线
(2) 正垂线 —— 垂直于正面投影面的直线
Z
(a)b
Z a
b
(a)b
A
a
Ø 平行于H面的称为水平线； Ø 平行于V面的称为正平线； Ø 平行于W面的称为侧平线。
直线的投影——特殊位置直线
(1) 水平线 —— 平行于水平投影面的直线
Z
a
z
b a
b
a
b
A
a
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
直线的投影——特殊位置直线
三种平行线的投影对比
正平线
水平线
侧平线
直线的投影——特殊位置直线
2. 投影面的垂直线
垂直于一个投影面,平行于其它两投影面的直线统称为投影面的垂直线。
Ø 垂直于H面的称为铅垂线； Ø 垂直于V面的称为正垂线； Ø 垂直于W面的称为侧垂线。
直线的投影——特殊位置直线
(1) 铅垂线 —— 垂直于水平投影面的直线
② a b=AB；
③ 反映、角的真实大小。
b
YH
直线的投影——特殊位置直线
(3) 侧平线 —— 平行于侧面投影面的直线
Z
a
a
A
a
b
Z
a
b
b
X
O
X
O
YW
a
a
B
b
b
Y
b
YH
投影特性：① ab OZ ， ab OYH ；
② ab =AB ；
③ 反映 、 角的真实大小。
② ab ab OX ；
③ a'b'=ab=AB。
直线的投影——特殊位置直线
三种垂直线的投影对比
正结
1. 平行线分为：水平线、正平线、侧平线； 2. 垂直线分为：铅垂线、正垂线、侧垂线； 3. 特殊位置线的投影规律和特点。
直线对H、V和W面的倾角通常以α、β、γ分别表示。 ab=ABcosα、a′b′=ABcosβ a″b″=ABcosγ
直线的投影
直线的分类
一般位置直线
直线
投影面的平行线
特殊位置直线
投影面的垂直线
水平线
投影面的平行线 正平线
侧平线
铅垂线
投影面的垂直线 正垂线
侧垂线
直线的投影——特殊位置直线
1. 投影面的平行线
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
Y
b
YH
投影特性：① ab 积聚成一点；
② ab a”b” OY ；
③ ab=ab =AB。
直线的投影——特殊位置直线
(3) 侧垂线 —— 垂直于侧面投影面的直线
Z
a
a
b
b Z a(b)
a(b)
X
A
B
O
X
O
YW
a
b
a
b
Y
YH
投影特性：① ab积聚成一点；
Y
b
YH
投影特性：① ab OX ， ab OYW ；
② ab=AB ；
③ 反映、 角的真实大小。
直线的投影——特殊位置直线
(2) 正平线 —— 平行于正面投影面的直线
Z
Z
b
b
b
a
B
b
a
a
A
a
X
O
YW
X
O
a
b
Y
a
投影特性：① ab OX ， a b OZ；
点、直线、平面
直线的投影——特殊位置直线
目的和要求
1. 掌握平行线的投影规律和投影特点； 2. 掌握垂直线的投影规律和投影特点。
直线的投影
1. 直线的投影由直线上
A
C
两点的投影来确定。
2. 直线的投影仍为直线，
B
特殊情况下积聚为一点。
D
a
b c(d)
H
直线的投影
直线的投影仍为直线, 只要作出直线上任意两点的投影，把同面投影连接起来, 即得直线的三面投影。
Z
a
a
Z
a
A
a b
X
O
b
B
b
b
X
O
YW
a(b)
Y
a(b)
YH
投影特性：① a b 积聚成一点；
② ab a”b” OZ ；
③ a'b'=ab =AB。
直线的投影——特殊位置直线
(2) 正垂线 —— 垂直于正面投影面的直线
Z
(a)b
Z a
b
(a)b
A
a