侯风波版《高等数学》练习答案

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《高等数学》详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

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（完整版）侯风波版《⾼等数学》练习答案第⼀章函数习题函数⼀、填空题：略.⼆、略.三、图略.四、图略；0，2，6-.五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同⼀个函数.六、3)2(log t y a +=.七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -====x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；4. 12,ln ,cos ,22+-====x x w w v v u u y .第⼆章极限与连续习题⼀极限的概念⼀、判断题：略.⼆、图略；)(lim 0x f x →=0. 三、(1))(x f ⽆定义,2)1(=g ,3)1(=h ；(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1 x f x →不存在；（2）=-→)(lim 23x f x 49)(lim 23=+→x f x ；49)(lim 23=→x f x ；（3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.习题⼆极限的四则运算⼀、求下列极限1. 30；2. 17；3. 40；4.41．⼆、x x ++210；1．三、求下列极限1. 12-；2. 0；3. 4；4.61．四、求下列极限 1.32； 2. 32．五、1．六、1-．习题三两个重要极限⼀、求下列极限1. 1；2. 16；3.241；4. 1；5. 1；6. 8．⼆、求下列极限1. 3e ；2. 2e -；3. 9e ；4.2e1．习题四⽆穷⼩与⽆穷⼤⼀、1. ∞→x ； 2. -→0x ．⼆、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．四、求下列极限1. 0；2. 0．五、234sin x x 是⽐⾼阶的⽆穷⼩．六、提⽰：由极限运算及等价⽆穷⼩定义．习题五函数的连续与间断⼀、选择题：略.⼆、2=a .三、1. 可去间断点是1=x ；2. 7-=x 为函数的第⼆类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.四、求下列极限1. 0；2. 21；3. 21； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.第三章导数与微分习题⼀导数的定义⼀、1. 2)1(='f ；2. 43)2(-='f . ⼆、a y ='.三、0)0(='f .四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平⾏于直线.习题⼆导数的四则运算⼀、填空题：略．⼆、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223351--+-='x xy ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x xy ++++='； 5. 2211sec 3x x y --='；6. 221arctan 2x x x x y ++='．三、①定义域R 即为函数的连续区间；② x x x x x y cos sin 52d d 5253+=-；③由定义，0)0(='f ；④ x x x x x f cos sin 52)(5253+='-．习题三复合函数求导⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的导数1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +?='；2. ]1tan 2cos 2)1(1[sec e 222sin xx x x y x ?+-='； 3. 10199)1()1(200x x y -+='； 4. ]1sin 11[cos e1cos x x x y x x +='； 5. x x x y 3cos 3sin 31-+='； 6. )ln(ln ln 21x x x y ='.三、)(2sin )(?+=wt w t v ；)(2cos 2)(2?+=wt w t a .四、)]()e (e )e ([e)(x f f f y x x x x f '+'='.习题四隐函数对数函数求导⾼阶导数⼀、是⾮题：略．⼆、求下列⽅程所确定的隐函数)(x f y =的导数1. ()x x y y x x -+-='e sin e 1；2. xy y y x yx --='++e e ．三、⽤对数求导法求下列函数的导数 1.41='y 4)3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x y x ．四、切线⽅程为0=y ．五、求下列函数的⼆阶导数1. )49(1053+=''x x y ；2. x x y x cos 2e 1222--=''； 3. 8)21(360x y -=''；4. =''y x 2sin 4006-．习题五微分⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的微分1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；3. x xx y d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e1e 3d 2613+++=. 三、求⽅程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y x d cos 2e d 2--=； 2. x ya xb y d d 22-=. 四、利⽤微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.五、球的体积扩⼤约为3πcm 1800.第四章微分学的应⽤习题⼀洛必达法则⼀、是⾮题：略.⼆、求下列各式的极限1. 0；2. 1；3. 1；4. 0.三、求下列各式的极限1. 0；2. 0.四、求下列极限1. 0；2. 1；3. 1；4.21e -；5. 3；6. 0.习题⼆函数的单调性⼀、单项选择题：略．⼆、求下列函数的单调区间1. 单增区间),2()0,(+∞-∞Y ，单减区间)2,0(；2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21,0(；4. 单增区间),0()1,(+∞--∞Y ，单减区间)0,1(-．三、提⽰：利⽤函数单调性证明．四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)21,(-∞.习题三函数的极值⼀、单项选择题：略．⼆、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极⼩值； 4. 3)1(=f ．三、最⼤值为10)1(=-f ，最⼩值为22)3(-=f ．四、极⼤值为0)0(=f ，极⼩值为41)22()22(-==-f f ．五、当直径r 2与⾼h 之⽐为11∶时，所⽤的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点⼀、填空题：略．⼆、曲线在)332,(--∞及),332(+∞内上凹,在)332,332(-内下凹，拐点为)910,332(--和)910,332(-．三、函数在)2,0(上的极⼤值为2723)31(-=f，极⼩值为1)1(-=f；最⼤值为1)2(=f，最⼩值为1)1(-=f；拐点为)272532(-，.四、⽰意图:第五章不定积分习题⼀不定积分的概念与基本公式⼀、填空题：略.⼆、选择题：略.三、计算下列不定积分1. Cx+13 3；2. C xxx + -5 3 ln 5 3 3；3. C xxx + + --ln 2 sin 3 1；4. C xxx+ +arcsin2cos.四、求解下列各题1. Cxxf x+='2e2d)(；2. xxf x2sece)(+=；3.所求函数为233+-=xxy.习题⼆不定积分的换元积分法⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2.C x +2arcsin 21； 3.C x x +++24arctan )1ln(41； 4.C x x ++3tan 31tan ； 5.()()C x x ++-+1213223； 6.C xx +--3arccos 392．习题三分部积分法简单有理函数的积分⼀、填空题：略.⼆、多步填空题：略.三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4ln )2(22； 3. C x x x ++-e )22(2； 4. C x x x +-+212)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3 )2(ln 2. 四、?''x f x x d )e (e 2C f f xx x +-'=)e ()e (e ．第六章定积分习题⼀定积分的概念微积分基本公式⼀、选择题：略.⼆、求下列定积分 1. 43433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 61. 三、解答下列各题1. x x x f 2sin )(4='； 2. 23d )(lim 200=?→x t t f x x ； 3.67d )(21=?-x x f .习题⼆定积分的换元积分法与分部积分法⼀、填空题：略.⼆、求下列定积分 1. )e 2(2-； 2. 32π2； 3. )1e (412+； 4. 12312π-+； 5. 49ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π； 8. 3212ln -+.习题三定积分的应⽤⼀、32=S . ⼆、h r V 23π=. 三、（1）2=S ；（2）2π2=V . 四、两部分⾯积⽐为 )34π2(+:)34π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4π4r W ?=ρ.六、g P ρ18=.习题四反常积分⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列⼴义积分 1.21； 2. 2π．四、?∞+∞-+x x x d 12发散．第七章常微分⽅程习题⼀常微分⽅程的基本概念与分离变量法⼀、判断正误：略.⼆、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解下列各题 1.C xy +=-3112（其中1C C -=为任意常数）； 2. 冷却规律为kt t T -+=e 3020)(.习题⼆⼀阶线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、通解为2e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．习题三⼆阶常系数齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、求下列微分⽅程的通解1. =y x x C C -+e e 261；2. =y x x C C 521e )(+；3. =y )23sin 23cos (e 2121x C x C x +； 4. =y x C 25e -．四、1e 2)(-==x y x f ．习题四⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、x x x y e )9834(e 3613454+-++-=．四、求下列微分⽅程满⾜初始条件的特解（1）x x x y 22e )(-+=；（2）x y sin =．第⼋章空间解析⼏何习题⼀空间直⾓坐标系与向量的概念⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题 1. k j i 3223-+-=-；2. ()14=AB d ；3. 939393,, 和---939393,,； 4. ),,(002-C ．习题⼆向量的点积与叉积⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、选择题：略．三、求解下列各题 1. -±837833835,,； 2. {}4,6,12-±=b ； 3. 213S ABC =?．习题三平⾯和直线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. 534=++z y x ；2. 2=-y z ；3. 211211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．习题四曲⾯与空间曲线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. ⽅程为x z y 422=+，是旋转抛物⾯； 2. 投影⽅程为?==+;0,52x z y 3. 投影⽅程为?==++．0,0422y z x第九章多元函数微分学习题⼀多元函数及其极限⼀、填空题：略．⼆、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图三、4 142lim 00-=+-→→xy xy y x ．四、表⾯积rh π2r πS 2?+?=，体积h r πV 2?=．五、)0,0(),(f y x f -??=22)()())((y x y x ?+．习题⼆偏导数及⾼阶偏导数⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、解下列各题 1. x x z 4=??，29y y z=??； 2. 34xy x z =??，226y x y z=??； 3. y x x z ln 2+=??，y xy x y z=+=??10，222=??x z ，222y x y z -=??，y x y z 12=； 4. z y x f arctan =??，z x y f arctan =??，21z xyz f +=??．四、略．习题三全微分⼀、填空题：略．⼆、解答下列各题1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；3. 119.0-=?z ；4. 125.0d -=z ．三、01.003.0cos 01.0sin ≈．四、对⾓线变化约为m 045.0．五、所需⽔泥的近似值为3m 4.9．习题四复合函数的偏导数⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、解下列各题 1.1d d -=t z ； 2. y z x z =??，2)(y y x z y z +-=??； 3.)cos sin 2(cos 2x x x y xy xz +=??，)2sin (cos sin 22y y y x x y z -=??．习题五偏导数的⼏何应⽤⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 切线⽅程为 312111-=-=-z y x 和27272913-=-=-z y x ； 2. 切平⾯⽅程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；3. 切线⽅程为 1191161--=-=-z y x ，法平⾯⽅程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．习题六多元函数的极值⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列各题1. 函数在)1,2(点取得极⼩值24-；2. 当端⾯半径与半圆柱⾼满⾜2:1:=h r 时，所⽤材料最省．第⼗章多元函数积分学习题⼀⼆重积分及其在直⾓坐标系下的计算⼀、判断题：略．⼆、填空题：略．三、计算下列各题1. 0=I ；2. ①?==20202332d d x y y x I ；②332d d 40222==??y x y y I ； 3. 2 1d e d 1002==y y x x y I ．习题⼆极坐标下⼆重积分的计算及⼆重积分的应⽤⼀、填空题：略．⼆、多步填空题提⽰：y x D y x d d e )(22??+-θr D r d rd e 2??-=??π-=2010d e d 2r r θr ?π-=20102)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=?π)e 11(π-=．三、求解下列各题 1. π2 2d d )cos(22=+??y x y x D ；（提⽰：化为极坐标下的⼆重积分）； 2. π32=V ；3. 薄⽚的质量为121．第⼗⼀章级数习题⼀数项级数⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ∑∞=-1)1(n n 发散； 2. ΛΛ+++++n21614121发散； 3. ∑∞=+1)1(1n n x 当0>x 或2-21n nn 收敛；5. ∑∞=--112)1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+13)1(2n n n收敛．习题⼆幂级数⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 级数∑∞=+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞=++012122n n nx n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞=-02)1(n n nn x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数∑∞=-011n n nx 的和函数为2)1(1)(x x S +=； 5. 级数ΛΛ+-+++-123123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=．习题三函数的幂级数展开⼀、填空题：略.⼆、求解下列各题1. 展开为ΛΛ++-+-+-+=++)1()2()1(3)2(2)2(22ln )2ln(132n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为ΛΛ+-++?-?=+)!2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 21422n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ； 3. x 2=ΛΛ++++++n x n x x xx n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ；4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++002)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-.。

高等数学-高教版第五版-侯风波第2章第3节

xπ
2
2
3．复合函数求极限的方法
例 4 求极限 lim ln (1 x ) ．
x 0
x
解
ln(1
x)

ln(1
1
x) x
，
1
ln(1 x) x
是
由
x
1
1
y ln u,u (1 x) x 复合而成的，而lim(1 x) x e，在 u e
x0
点ln u连续，故lim
二、初等函数的连续性
1．初等函数的连续性
定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性．
f (x) 1 x 1
解：要使
f (x)
1 x
1
有意义，则x+1>0
因此函数 f (x) 1 x 1
至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( ) ．
定理 3 称为根的存在定理．从几何上看，如下页左图所示，连续曲线 y f (x) 从 x 轴下侧的点 A ( 纵坐标 f (a) 0 ) 笔不离纸地画到 x 轴上侧的点 B ( 纵坐标
f (b) 0时，比与 x轴至少相交于一点C( ,0) ．这表明若
无穷间断点属第二类间断点．
例
1
设
f
x

x2, x

x
1,
x
1 1
，
讨论，
f
(x)在
x

1处的连续性．
解因为
lim f (x) lim x2 1 ,

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第一章函数习题函数一、填空题：略 . 二、略 . 三、图略 .四、图略； 0 ， 2， 6.五、 1.函数 f (x) 与 g(x) 不相同； 2.函数 f (x) 与 g(x) 是同一个函数3六、 y log a (2 t)3 .七、 1. y log a u,u sin v, v 2w ,w x 1；2. y arcsin u, u v,v lg w,w x 1 ；2x3. y cosu,u v ,v e 1 ；224. y u ,u cosv,v ln w,w x 2x 1.第二章极限与连续习题一极限的概念一、判断题：略 . 二、图略； lim f (x) =0.x0三、 (1) f(x)无定义 ,g(1) 2,h(1) 3；左极限 lim f(x) 0；右极限 lim f (x) 1；函数在 x 0处的极限不存在 . 0(2) lim f(x) 2； lim g(x)2； lim h(x) 2. x1四、五、 1)lim x1f(x)2； lim f(x)x11；lim f (x) 不存在；x12) lim 3 x 2f(x)9lim f (x) 34x29； lim 3 f (x) 9； x 3 423)lim x2f (x)4； lim f(x)x28； lim f(x)不存在 . x2习题二极限的四则运算、求下列极限1. 30；2. 17 ；3. 40 ；、 10x 2 x ；1．1 4. ．4四、求下列极限21. ；3 五、 1．六、 1 ．习题三两个重要极限、求下列极限11. 1；2. 16；3.；4. 1；5. 1； 6. 8．24、求下列极限3 2 91. e ；2. e ；3. e ；4.习题四无穷小与无穷大一、 1. x ； 2. x0．二、 1. x 1 及 x； 2. x ．三、 1. x 1 ； 2. x 1．四、求下列极限1. 0；2. 0 ．五、 sin 3 x 是比 4x 2 高阶的无穷小．六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五函数的连续与间断一、选择题：略 . 二、 a 2.三、 1. 可去间断点是 x 1 ；2. x 7 为函数的第二类间断点； x 1为函数的跳跃间断点四、求下列极限11 1. 0； 2. ； 3. ； 4. 4.22五、 1,4 为函数的定义区间，即为函数的连续区间 .、求下列极限1. 12；2. 0 ；3. 4；4. 1 ．62.12．e5第三章导数与微分习题一导数的定义3一、 1. f (1) 2；2. f (2) 3. 4二、y a .三、 f (0) 0.四、左导数 f (0) 1，右导数为 f _(0) 0 ，函数在 x 0处的导数不存在五、在( 1 ， 1)点处切线平行于直线 .习题二导数的四则运算、填空题：略．、求下列函数的导数41. y 5x ； xln22. y e x (sin x cosx) ；323.y 1 x 2 5 x 33三、① 定义域 R 即为函数的连续区间；4. y5. y12[(2xln x 1cos 2 xx23sec x1 1 x 22x) cosx (1 x )ln xsinx]；；6.2xarctanx2x1 x 2dy 2x 5sinx 5dx 25 x 5cosx ；③ 由定义，f (0) 0 ；④ f (x) 23 255x 5 sin x x5 cosx ．习题三复合函数求导5第一章函数班级学号姓名1 3sin 3x ；；x cos3xw sin 2( wt )；a(t) 2w 2 cos2(wt ).e f(x)[f (e x )e x f(e x )f (x)] .习题四隐函数对数函数求导高阶导数、是非题：略．、求下列方程所确定的隐函数 y f (x) 的导数三、用对数求导法求下列函数的导数2. y 2x12e2 2 cosx ；x 23. y 360(12x)8；4. y 6 400sin2x ．2 d dx y x 2x (2lnx 2)．一、填空题：略 . 二、求下列函数的导数1. sin2x sin x 22xsin 2 xcosx2.sin2x 2 1e [sec ( x 12 ) 2cos2xx2tan 1x]；3.99200(1 x)99101 (1 x)1014.xcos1 1ex[cosx 1sin 1] ；xx5.6.2xln x ln(ln x)四、v(t) 1. yxy1 e x esin x；；x2.xyyexyex1. y1 4 (x 1)(x 1)3(23 4x) (1 4 (x 2)(x 3)(x 13 x14 1 1 )23 4x x 2 x 3)三、求方程所确定的隐函数 y f(x)的微分 dye x 2xyb 2 x1. dy 2dx ； 2. dy 2 dx .x 2 cosya 2 y四、利用微分计算下列各数的近似值1. 3 1.01 1.0033 ；2. e 0.21 1.21.五、球的体积扩大约为 1800π cm 3.第四章微分学的应用习题一洛必达法则、是非题：略 . 、求下列各式的极限1. 0 ；2. 1；3. 1；4. 0.、求下列各式的极限1. 0；2. 0 .四、求下列极限11. 0 ；2. 1；3. 1；4.e 2 ；5. 3；6. 0.、填空题：略、求下列函数的微分1. dy 2(1 x cosx)1 sinx dx ；2. dy e 2x (2sin3x 3cos3x)dx ；习题五微分3. dy4. dy2ln x 3 dx ； x3e 3x 1 1 e 6x 2dx .习题二函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间( ,0) (2, ) ，单减区间(0,2) ；2. 单增区间( ,0)，单减区间(0, ) ；113. 单增区间(2, ) ，单减区间(0,2)；4. 单增区间( , 1) (0, ) ，单减区间( 1,0) ．三、提示：利用函数单调性证明．11 四、单调递增区间( , ) ，单调递减区间( , ) .22习题三函数的极值一、单项选择题：略．二、1. f (x) ；2. f (x)；3. 极小值；4. f(1) 3．三、最大值为f( 1) 10 ，最小值为f (3) 22．四、极大值为f(0) 0 ，极小值为f( 2 ) f( 2 ) 1．2 2 4五、当直径2r与高h之比为1∶1时，所用的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点、填空题：略．、曲线在( 2332 3)及(2 333) 内上凹, 在( 2 3, 2 3) 内下凹，拐点为3323 109)和四、示意图第五章不定积分习题一不定积分的概念与基本公式、填空题：略 .、选择题：略 . 三、计算下列不定积分1332. 3x C ； x 3 5x ln 5 13. 3sinx 2ln x C ；x4.cosx 2 arcsin x πx C .四、求解下列各题1.f (x)dx 2e 2x C ；x22. f (x) e sec x ； 33. 所求函数为 y x 3 3x 2.习题二不定积分的换元积分法三、函数在 (0,2) 上的极大值为 f ( ) 2327，极小值为 f(1) 1 ；最大值为 f(2) 1 ，最小值为f(1)1；拐点为 (23， 25 27). 1.13C ；一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分1. 1 x2 3C；2. 1arcsinx2C ；23. 1ln(14 x4) arctan x24. tanx 1tan4x C ；32 321 x C；5. 1 x2333arccos C6. x2 9x习题三分部积分法简单有理函数的积分、填空题：略.、多步填空题：略. 、求下列不定积分1x1. 2e 1 x 1 x 1 C ；22xx2. ( x)ln x x C ；242x3. (x 2x 2)e C ；6. ln(x x23)2C.四、e2x f (e x)dx e x f (e x) f (e x) C．第六章定积分习题一定积分的概念微积分基本公式234. x arcsin x (1 x2)2 C；5. 2 xcos x 2sin x C、选择题：略 . 、求下列定积分、解答下列各题41. f (x) sinx 2x ；习题二定积分的换元积分法与分部积分法、填空题：略 .、求下列定积分π21 2 π 3 1. 2(2 e) ； 2. ； 3. (e 2 1) ； 4.1；324 12 2921221 5. ln ；6. 2；7. (e 21) ； 8. ln4a 2223习题三定积分的应用六、 P 18 g .、S3.、Vπr 32h . 、(1)S 2；1. 334；2.44 2 4；3.2 ；4. 1π；5. 4 ；6.42.l ximx0 f(t)dt3.21 f(x)dx(2π 4) : (8π 2π 4)= (6π 4) : (18π 4).33习题四反常积分、填空题：略．、选择题：略．三、计算下列广义积分1π1. ；2. ．22四、1 x2 dx发散x 2第七章常微分方程习题一常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略 . 二、填空题：略 . 三、多步填空题：略 . 四、求解下列各题21 1. 1 y 2C （其中 C C 1为任意常数）；3x习题二一阶线性微分方程习题三二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、求下列微分方程的通解6x x1.y C 1eC 2e ；2. 冷却规律为 T （t ） 20 30ekt一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、通解为 y1 Cex 2其中 C 为任意常数）．2. y(C 1C 2x)e 5x ；3. y1xe 2x3(C 1 cos x123 C 2sin x) ；4. y Ce25x．四、f (x) y 2e x 1 ．习题四二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．5 13 4x 4 8 x三、 y e ( x )e ．4 36 3 9四、求下列微分方程满足初始条件的特解 (1) y (x x 2)e 2x ； (2) y sin x ．第八章空间解析几何习题一空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题4. C( 2,0,0) ．习题二向量的点积与叉积、是非题：略．、填空题：略．1.3AB 2AC 2i 3k ；2. d AB 14 ；3. 333 9993； 9；三、选择题：略．三、求解下列各题2. b 12,6, 4 ；习题三平面和直线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. 4x 3y z 5 ；2. z y 2 ； x 1 y 2 z 13. ；1 1 24. ① p 5 ；② p 7 ．习题四曲面与空间曲线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题221. 方程为 y 5z 2 4x ，是旋转抛物面；第九章多元函数微分学5 投影方程为 y 2z 5,x 0 ;1.5 , 3 , 7 83, 83, 833.S ABC3 21 ．3. 投影方程为x 2 2z 4 0,y02四、表面积 S π r 2 2π rh ，体积 V 五、 f ( x, y) f (0, 0)= ( x ()2x)( (y)y)2习题二偏导数及高阶偏导数、是非题：略．、填空题：略．、解下列各题1. z 4x ， z 9y 2； xy2. z 4xy 6， z 6x 2 y 2； xy z3. 2x ln y ，x2z四、略．习题三全微分、填空题：略．、解答下列各题1. dz y(ln x 1)dx xln xdy ；2. du yx y 1dx (x y lnx sin z)dy y cos zdz ；3. z 0.119 ；x4.xy arctan z ，yx arctan z ，zxy1 z 2习题一一、填空题：略．二、函数的定义域为(x,y)122xy三、xy三、lim4 1．x y 00 xy4z1x0 x，yyyx，2z1；2，；y 2yxy2，多元函数及其极限2z2 y 24. dz 0.125 ．三、 sin0.01cos0.03 0.01．四、对角线变化约为 0.045m ．五、所需水泥的近似值为 9.4m 3 ．习题四复合函数的偏导数、填空题：略．、多步填空题：略．、解下列各题dz 1；1.dt2.zz， zz(xy)；2；x yyy3. z2 xycos y(2sin x z2 2xcosx)， x7 8sin x(cos 2 y ysin2y)xy习题五偏导数的几何应用、填空题：略．、求解下列各题习题六多元函数的极值一、判断题：略．二、选择题：略．三、计算下列各题24；r :h 1: 2时，所用材料最省．第十章多元函数积分学7 函数在 (2,1) 点取得极小值 8 当端面半径与半圆柱高满足1. 切线方程为 x1y9z 27 272. 切平面方程为 2(x 1) 4(y 1) (z 3)=0 ；3. 切线方程为x 1 y 1 z 1 16 9 1法平面方程为16(x 1)9(y 1) 1(z 1) 0 ．2x( )；习题一二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略．二、填空题：略．三、计算下列各题1. I 0 ；、求解下列各题2. V 32π； 13. 薄片的质量为．12章级数习题一数项级数一、判断题：略．二、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ( 1)n 发散； n14.21n1 2n收敛；2. ① I2 2x20dx 0 y 2dy32；② I 30dyy y 2dx2323. I10dye y dx习题二、填空题：略．、多步填空题极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用提示： e (x y )dxdye r rd rd θDD1 r2 d θre rdr 0d θ 0 11 e 02 d(r 2) 12(1 1)d θe1. cos(x 2 y 2)dxdy D 2 π；2提示：化为极坐标下的二重积分）2.11 461 2n发散；e5. ( 1)n 1 n n收敛；n 1 26. n 123(n 1)n收敛．习题二幂级数、填空题：略．、求解下列各题1. 级数2n nx n的收敛半径为R0 2n 1 21；；2. 级数2n2 x2n 1的收敛半径为R0 2n 12；2；3. 级数(x 1n)的收敛域为[ 1,3) ；n2n4. 级数n1nx01的和函数为S(x)1；(1 x)2 ；5. 级数2n 1x2n 1的和函数为S(x)1ln(1 x)2 ．1x、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为ln(22.展开为sin2 x习题三函数的幂级数展开x)xln 22(2x)22!(2x)42 4!3. 2x=1 x2x ln 2 (ln 2)2 2x2!(2x)22(2x)331)n(2x)n1(n 1)，收敛域为x (2,2]；1)n1(2x)2n2(2n)! ，收敛域为x( )；(ln 2)32x3!(ln 2)n2x x nxn!，收敛区间为2 x( )；1 n n4. 展开式为x2 13x 2 n 0( 1)n x n 1 ( 1)n(x)n，收敛区间为( 1,1). 2n 0 2四、切线方程为y 0 ．五、求下列函数的二阶导数351. y 10x3(9x5 4) ；4五、Wπ r。

高等数学11单元第八章常微分方程

授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。

它表达了未知量所必须满足的某种条件。

根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。

例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。

一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。

二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。

类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。

其中F 是n +2个变量的函数。

这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。

例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。

例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。

高等数学课后答案第八章习题详细解答

习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

高等数学-高教版第五版-侯风波第1章

2.函数的两个要素函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应法则给定自变量的一个值后，通过对应法则得到唯一的函数值。
例3 下面各组对应法则是否相同？为什么？
(1)
f:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
g:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
(2)
φ:
x y
1 1
2 1
3 1
4 1
ψ:
x y
4 1
一、基本初等函数
函数名称
函数表达式
常数函数
y =C
(C 为常数)
幂函数
y x ( 为实数)
指数函数
y ax
(a ＞0,a ≠1,a 为常数)
对数函数
y =log a x (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
三角函数 y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x
而成的，其定义域为［-1，1］，它是 u 1 x2 的定义域的一
部分. （3） y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的．
例2 分析下列复合函数的结构：
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u,
⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
⑵ y esin . x21
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此，往往把 x = (y )改写成 y = ( x )，称为y = f (x) 的矫形反
函数，记作 y f 1(x) .称函数 y f (x) 的反函数 x ( y) 为

高等数学-高教版第五版-侯风波第2章第1节

-1 O 1 x
解：函数sgn（x）的图形见图所示，由图不难看出：
y
1
O
x
-1
新课导入：
五、无穷小量分组讨论： 1、无穷小量指的是什么？ 2、怎样确定自变量x在变化过程中函数为无穷小？举例说明。 3、极限与无穷小有什么样的关系？ 4、无限个无穷小的和是无穷小吗？无穷小与有界变量的积、商会是什么？
x0
x0
x0
解函数sgn x 的图形如图 4(见右上图)所示，不难看
出； limsgn x 1； lim sgn x 1；lim sgn x 不存在.
x0
x0
x0
定理 1 lim f (x) A的充要条件是 x x0
lim f (x) lim f (x) A.
lim f (x) lim f (x) A.
x x0
x x0
x , x 0，
例
1
设
f
(x)

1
, x 0，画出该函数的图形，
x , x 0，
并讨论 lim f (x)，lim f (x)， lim f (x)是否存在．
x0
x0
x0
解看出：
f (x)的图形如图 3(见下页)所示，由该图不难
lim ( 2 n 1) 不存在；
n
（ 4 ）对于数列 u n ( 1) n 1 ，即 1, 1,1,..., ( 1) n 1 ,... 极限
lim ( 1) n 1 不存在．
n
单调数列如果数列{un}对于每一个正整数 n ，都
小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量．

高等数学侯风波微分方程思考题

高等数学侯风波微分方程思考题全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，微分方程侯风波教授是中国数学界的泰斗之一，他在微分方程领域有着深厚的造诣。

微分方程作为高等数学中的重要内容，对于理工科学生来说是非常重要的基础知识。

今天我们将围绕侯风波教授的微分方程思考题展开讨论，希望能够帮助大家更好地理解和应用微分方程知识。

1. 试题一：设某个物体的运动满足微分方程dy/dx=ky，其中y是物体的位移，x是时间，k是一个常数。

请问这个微分方程描述的是什么样的运动？请用数学语言详细解释。

这个微分方程描述了一种指数衰减的运动。

当k大于0时，表示物体的运动是指数增长，当k小于0时，表示物体的运动是指数衰减。

这是因为dy/dx与y之间的关系是指数函数，根据指数函数的性质可得到上述结论。

实际生活中，很多物理现象都可以用指数函数描述，比如放射性物质的衰变、弹簧振子的振动等都可以用指数函数进行描述。

2. 试题二：已知微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)描述了某个力学系统的运动，其中y是系统的位移，x是时间，p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。

请问对于这个微分方程来说，能否使用解耦变量的方法求解？如果可以，请详细解释解耦变量的步骤和求解过程。

对于这个微分方程，我们可以利用解耦变量的方法求解。

解耦变量的基本思路是引入新的变量，将原微分方程化为一组关于新变量的简单微分方程，然后通过求解新微分方程来得到原微分方程的解。

在这个微分方程中，引入新的变量u=y'，则原微分方程变为u'+p(x)u+q(x)y=f(x)，然后我们再利用变量代换的方法，将这个方程化为u'+p(x)u=g(x)的形式，其中g(x)是一个新的已知函数，接下来可以通过分离变量的方法对这个新微分方程进行求解。

3. 试题三：已知某个电路的电压满足微分方程Ldi/dt+Ri=V，其中i是电路中的电流，t是时间，L、R、V是已知常数。

高等数学5单元第六章多元函数2

授课单元5教案第2节多元函数的偏导数一、引入新课1. 一元函数的导数定义：0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，显然有函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义。

记作：0000()'() '|| |x x x x x x dy df x f x y dx dx===或 2. 二元函数的极限概念： 0lim (,)(,)x y f x y A f x y A x y →→=→或00,)y y x →→当(x二、新授课一、多元函数的偏导数1、二元函数偏导数的定义设二元函数，，如果在点存在导数，则称 f (x , y )在点关于x 可导，并称此导数为 f (x , y )在点关于x 的偏导数，记作或，即，其中称为u 关于x 的偏改变量．同理可定义f (x , y ) 在点关于y 的偏导数，即，其中称为u 关于y 的偏改变量．几何解释如图．z = f (x , y ) 是空间一张曲面，如果把(,)z f x y =中的y 看成常数o y y =，则下式(,)o z f x y y y =⎧⎨=⎩表示曲面(,)z f x y =与平面o y y =相交而成的一条曲线。

根据一元函数导数的几何意义可知，(,)xf y x '就是这条曲线在点(,,(,))f y y x x M 处的切线关于X 轴的斜率，即其中a 是切线与X 轴正向的夹角。

(,) (,)u f x y x y D =∈000(,)P x y D ∈000000(,)0(,)(,)(,)lim x y x f x x y f x y f x y x x ∆→+∆-∂=∂∆0(,)f x y 00(,)x y u x∂∂00(,)(,)x y f x y x ∂∂00(,)x f x y '100 (,)f x y '000000(,)0(,)(,)(,)lim x y x f x x y f x y f x y x x ∆→+∆-∂=∂∆0000(,)(,)x f x x y f x y u +∆-=∆000000(,)(,)(,)(,)limx y y f x y y f x y f x y yy ∆→+∆-∂=∂∆0000(,)(,)y f x y y f xy u+∆-=∆0(,)(,)tan x y f x y x α∂=∂αx β0Q yxzy 000(,)P x y O图8--5同理有00(,)y fy x '是曲面(,)z f x y =与平面0x x =的交线 (,)oz f xy x x =⎧⎨=⎩ 在点0000(,,(,))f y y x x M 处的切线关于Y 轴的斜率，即其中β是切线与Y 轴正向的夹角2、二元函数的偏导函数：函数(,)z f x y =关于自变量x 的偏导函数,记为,x z ∂∂,xf∂∂xz ',xf '或(,)xf y x '类似地,函数(,)z f x y =关于y 的偏导函数记为,y z ∂∂,yf∂∂yz '或yf '或(,)yf y x '3、多元函数的偏导数多元函数中，当某一自变量在变化，而其他自变量不变化（视为常数）时，函数关于这个自变量的变化率叫做多元函数对这个自变量的偏导数。

高等数学参考答案与提示

解
3n 2 1 3＝ 3 an 3 ＝ n 1 n 1 1 欲使 an 3 , 则应有n 1 1 令N 1 , 则有n N时，不等式 an 3 成立
习题1-2
1；3；5（3）；6；8.
n
3、若 lim un a, 证明lim un a .并举例说明：如果数列
h 0
解原式= lim
x
x2 x x2 1
x3 x 2 3x 27 1 13 lim x 3 x 3 x3 0 解 lim 3 2 x 3 x x 3 x 27 x3 x 2 3x 27 lim x 3 x 3
证明 f x 有界
又 lim g x 0
x
M 0, x D f , 都有 f x M
0, X 0, 当 x X 时，有 g x 此时有 f x g x M
lim f x g x 0
解
1 x, x 0, 因为 f x 1, x 0,
1 f x , f x 0, 所以 f f x f x 0, 1,
当 x 1 时， f x 1 x 0, 故 f f x 1 1 x 2 x ; 当 1 x 0 时， f x 1 x 0, 故 f f x 1; 当 x 0 时， f x 1 0, 故 f f x 1; 2 x, x 1, 所以 f f x 1, x 1.
0, 2 2, x
x a; x a.
2 1 f 2a 2 2 4a 2a

高等数学教材四答案完整版

高等数学教材四答案完整版第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$，当$n$趋向于无穷时，如果存在实数$a$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么我们称$a$为数列$a_n$的极限，记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。

1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$c$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。

1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$，其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时，$x^n$与$x$同阶无穷小。

2) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$x^n$同阶无穷大（$a>1$，$n$为正整数）。

3) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$b^x$同阶无穷大（$a>1,b>1$）。

第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。

高等数学课后习题及参考答案(第十二章)

高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ')2-2yy '+x =0;解一阶.(2)x 2y '-xy '+y =0;解一阶.(3)xy '''+2y '+x 2y =0;解三阶.(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0;解一阶.(5)022=++C Q dt dQ R dtQ d L ; 解二阶.(6)θρθρ2sin =+d d . 解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy '=2y , y =5x 2;解 y '=10x .因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.(2)y '+y =0, y =3sin x -4cos x ;解 y '=3cos x +4sin x .因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0,所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ''-2y '+y =0, y =x 2e x ;解 y '=2xe x +x 2e x , y ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.(4)y ''-(λ1+λ2)y '+λ1λ2y =0, x x e C e C y 2121λλ+=.解 x x e C e C y 212211λλλλ+=', x x e C e C y 21222211λλλλ+=''.因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0,所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x -2y )y '=2x -y , x 2-xy +y 2=C ;解将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x -y -xy '+2y y '=0,即 (x -2y )y '=2x -y ,所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0, y =ln(xy ).解将y =ln(xy )的两边对x 求导得y yx y '+='11, 即x xy y y -='. 再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''. 注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx , 所以 )2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-='', 从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x 2-y 2=C , y |x =0=5;解由y |x =0=0得02-52=C , C =-25, 故x 2-y 2=-25.(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y '|x =0=1;解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .由y |x =0=0, y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=10121C C C , 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x -C 2), y |x =π=1, y '|x =π=0.解 y '=C 1cos(x -C 2).由y |x =π=1, y '|x =π=0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ, 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C , 解之得C 1=1, 22π=C , 故)2sin(π-=x y , 即y =-cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ', 由条件y '=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分. 解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y '-1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(-x , 0), 从而有y x x y '-=+-10, 即yy '+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解 2TP k dT dP =, 其中k 为比例系数. 习题12-21. 求下列微分方程的通解:(1)xy '-y ln y =0;解分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0;解分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx ,两边积分得⎰⎰+=dx x x dy )53(52,即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数.(3)2211y y x -='-;解分离变量得2211x dx y dy -=-, 两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y '-xy '=a (y 2+y ');解方程变形为(1-x -a )y '=ay 2,分离变量得dx x a a dy y--=112, 两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112, 即 1)1ln(1C x a a y----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0;解分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C ,故通解为tan x tan y =C .(6)y x dxdy +=10; 解分离变量得10-y dy =10x dx ,两边积分得⎰⎰=-dx dy x y 1010,即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=--, 或 10-y =10x +C ,故通解为y =-lg(C -10x ).(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;解方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx ,分离变量得dx e e dy e e xx y y +=-11, 两边积分得⎰⎰+=-dx eedy e ex x y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C ,故通解为(e x +1)(e y -1)=C .(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;解分离变量得dx xx dy y y sin cos sin cos -=, 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C ,故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdy y ; 解分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx ,两边积分得⎰⎰-=+dx x dy y 32)1(,即 14341)1(31C x y +-=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).(10)ydx +(x 2-4x )dy =0.解分离变量得dx xx dy y )411(4-+=, 两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C ,故通解为y 4(4-x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y '=e 2x -y , y |x =0=0;解分离变量得e y dy =e 2x dx ,两边积分得⎰⎰=dx e dy e x y 2,即 C e e x y +=221, 或 )21ln(2C e y x +=. 由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C , 所以特解)2121ln(2+=x e y . (2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ; 解分离变量得tan y dy =tan x dx ,两边积分得⎰⎰=xdx ydy tan tan ,即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C ,或 cos y =C cos x .由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y 'sin x =y ln y , e y x ==2π;解分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y sin 1ln 1, 即 C x y ln )2ln(tan )ln(ln +=,或2tan x C e y =. 由e y x ==2π得4tan πC ee =, C =1, 所以特解为2tan x e y =.(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0, 4|0π==x y ; 解分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin , 两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,或 cos y =C (e x +1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.解分离变量得dx xdy y 21-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21, 即 ln y =-2ln x +ln C ,或 y =Cx -2.由y |x =2=1得C ⋅2-2=1, C =4, 所以特解为24xy =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=, 故 dx x dx r V 223ππ-=-=, 从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯, 即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此 500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=, 两边积分得ln R =-λt +C 1,从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为xy x y -=--2002, 故曲线满足微分方程: xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v -==, 故dx =ky (h -y )dt .又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h -at )dt ,积分得C t ka kaht x +-=3223121. 由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=---'x y y y x ;解原方程变为1)(2--=x y x y dx dy . 令xy u =, 则原方程化为 12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=-, 两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12, 将xy u =代入上式得原方程的通解Cx x y x y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+. (2)xy y dx dy xln =; 解原方程变为x y x y dx dy ln =.令xy u =, 则原方程化为 u u dxdu x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx xudu 1=, 两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=-, 两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2312xC u -=, 将xy u =代入上式得原方程的通解 x 3-2y 3=Cx .(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x y x ; 解原方程变为x y x y dx dy +=th 32.令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx xdu u u 2sh ch 3=, 两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将xy u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx x y =. (6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x . 解原方程变为yx yxe e y x dy dx 21)1(2+-=. 令yx u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+-=+, 即uu e e u dy du y 212++-=, 分离变量得dy y du e u e uu 1221-=++, 两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将yx u =代入上式得原方程的通解 C e yx y y x =+)2(, 即C ye x y x=+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;解这是齐次方程. 令x y u =, 即y =xu , 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=--, 或dx x du u u u 1)11113(=-+++- 两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2-1=Cxu 3, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2-x 2=Cy 3.由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2-x 2=y 3.(2)xy y x y +=', y |x =1=2; 解令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0, y |x =1=1.解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0,即 dx x du u u u u u 1112232-=+++-+, 或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+, 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O, 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段OP 所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程.解设曲线弧A O的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰, 两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--, 即 4-='xy y . 令xy u =, 则有 4-=+u dx du x u , 即dx xdu u 41-=, 两边积分得u =-4ln x +C . 将xy u =代入上式得方程的通解 y =-4x ln x +Cx .由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =-4x ln x +x .习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dx dy -=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰. (2)xy '+y =x 2+3x +2;解原方程变为xx y x y 231++=+'.])23([11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰ xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223. (3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰-⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x .(5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y . )1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθθθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dx dy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰-2222)2(x x x Ce C e e --+=+=.(8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解原方程变形为yx y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e y e x dy y y dy y y +⎰⋅⎰=⎰- )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰ yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(-+=-x y dxdy x ; 解原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅-⎰=⎰--- ⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdy x y . 解原方程变形为y x y dy dx 213-=-. ])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =-, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰- )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰. 由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x xy --=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰- )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dx dx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰. 由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y xx dx dy , y |x =1=0. 解 )1(32323232C dx e e y dx x x dx x x +⎰⋅⎰=⎰--- )21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m k t m k dt m k dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰-- )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此)(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k t m k +-=- 即 )1(222121t m k e k m k t k k v ---=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x ,或 1)(21)(=+'x f xx f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy -=+; 解原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=. (2)23xy xy dxdy =-; 解原方程可变形为x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰- 31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy =-; 解原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰-x Ce x 441-++-=, 原方程的通解为x Ce x y44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解原方程可变形为)ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--. ])ln 1(2[222C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =-, 即21ududx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy ; 解令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu . 两边积分得1221C u x +-=. 将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1). (3)xy '+y =y (ln x +ln y );解令u =xy , 则原方程化为u x u x u x udx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e x y 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1;解原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x .令u =y +sin x -1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u=21. 两边积分得C x u+=-1. 将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 .解原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x udx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xyy x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;解这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为xQ xy y P ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y y x dx x y x =++⎰⎰02202)46(3, 即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0;解这里P =a 2-2xy -y 2, Q =-(x +y )2. 因为xQ y x y P ∂∂=--=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y x dx a y x =+-⎰⎰0202)(, 即 a 2x -x 2y -xy 2=C .(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0;解这里P =e y , Q =xe y -2y . 因为xQ e y P y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y xe dx e y y x =-+⎰⎰000)2(, 即 xe y -y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0;解原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0.这里P =-(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P ∂∂=-=∂∂sin cos , 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy x y x dx y x =++⎰⎰00)cos cos (0, 即 x sin y +y cos x =C .解(5)(x 2-y )dx -xdy =0;解这里P =x 2-y , Q =-x . 因为xQ y P ∂∂=-=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C xdy dx x y x =-⎰⎰002, 即 C xy x =-331. (6)y (x -2y )dx -x 2dy =0;解这里P =y (x -2y ), Q =-x 2. 因为y x y P 4-=∂∂, x xQ 2-=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;解这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C d e d =+⎰⎰θθρθρρ02022,即 ρ(e 2θ+1)=C .(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.解这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y y P 2=∂∂, y xQ =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy ;解方程两边同时乘以yx +1得 yx dy dx dy dx ++=-, 即d (x -y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x -y =ln(x +y )+C .(2)ydx -xdy +y 2xdx =0;解方程两边同时乘以21y得 02=+-xdx y xdy ydx , 即0)2()(2=+x d y x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+22. (3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0;解原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0, 两边同时乘以21y并整理得 0)33(2=+-+xdy ydx y dy xdx , 即0)(3)1()2(2=--xy d y d x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy yx =--3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;解方程两边同时乘以221y x +得022=-++dx y x ydy xdx , 即0)]ln(21[22=-+dx y x d , 所以221y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .(5)(x -y 2)dx +2xydy =0;解原方程变形为xdx -y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x得 0222=-+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0.解方程两边同时乘以x 得2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0,再除以y 2得03)(2222=--dx x ydy x x yd , 即0)(32=-x y x d 所以2yx为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=-x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解: 解方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f yP ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0;解这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2-2x 2y 2 , 所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x , 其通解为C dy y x y x dx x x y x =-++⎰⎰132221323232, 即 C yx y x =-+-)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0.解这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以441yx 得全微分方程 02112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy ,其通解为C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy '+2y =4ln x ;解原方程变为x xy x y ln 42=+', 其积分因子为 22)(x e x dx x =⎰=μ, 在方程x xy x y ln 42=+'的两边乘以x 2得 x 2y '+2xy =4x ln x , 即(x 2y )'=4x ln x , 两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4, 原方程的通解为21ln 2x C x y +-=. (2)y '-tan x ⋅y =x .解积分因子为x e x xdx cos )(tan =⎰=-μ,在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )'=x cos x , 两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12-61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ''=x +sin x ;解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰, 原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=. (2)y '''=xe x ;解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰,21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰,3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰,原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=.(3)211xy +=''; 解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰ x C dx xxx x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=.(4)y ''=1+y '2;解令p =y ', 则原方程化为p '=1+p 2, 即dx dp p=+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y '=p =tan(x +C 1),211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰,原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=.(5)y ''=y '+x ;解令p =y ', 则原方程化为p '-p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx ,即 y '=C 1e x -x -1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰, 原方程的通解为22121C x x e C y x +--=. (6)xy ''+y '=0;解令p =y ', 则原方程化为x p '+p =0, 即01=+'p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p x dx x 1ln 111==⎰=--, 即 xC y 1=', 于是 211ln C x C dx xC y +==⎰, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ''+'=y '2;解令p =y ', 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅='', 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 112=-, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=-, 即22121y C p ±-. 当|y '|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=', 即dx dy y C ±=+21)(11, 两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y '|=|p |<1时, 方程变为2211y C y -±=', 即dx dy y C ±=-21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ''-1=0;解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 013=-dydp p y , 即pdp =y -3dy , 两边积分得122212121C y p +-=-, 即p 2=-y -2+C 1, 故 21--±='y C y , 即dx dy y C ±=--211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=-,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)yy 1=''; 解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=', 即dx dy C y ±=+11, 两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=. (10)y ''=y '3+y '.解令p =y ', 则dydp py ='', 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+-p dydp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解.由0)1(2=+-p dydp 得 arctan p =y -C 1, 即y '=p =tan(y -C 1),从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰, 故原方程的通解为 12arcsin C e y C x +=+.2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3 y ''+1=0, y |x =1=1, y '|x =1=0;解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为013=+dy dp py , 即dy y pdp 31-=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±='. 由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而yy y 21-±=', 分离变量得dx dy yy =-±21, 两边积分得221C x y +=-±, 即22)(1C x y +-±=.由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y , 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0, y |x =0=0, y '|x =0=-1;解令p =y ', 则原方程化为02=-ap dx dp , 即adx dp p=21, 两边积分得11C ax p+=-, 即11C ax y +-='. 由y '|x =0=-1得C 1=1, 11+-='ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax ay ++-=. 由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+-=ax ay . (3)y '''=e ax , y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0;解 11C e adx e y ax ax +==''⎰. 由y ''|x =1=0得a e aC 11-=. 2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰. 由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=. dx e ae a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-=. 由y |x =1=0得a a a a e ae a e a e a C 32312111-+-=, 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=. (4)y ''=e 2y , y |x =0=y '|x =0=0;解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 y e dydp p 2=, 即pdp =e 2y dy , 积分得p 2=e 2y +C 1, 即12C e y y +±='.由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1, 故12-±='y e y , 从而dx dy e y ±=-112,积分得-arcsin e -y =±x +C 2.由y |x =0=0得22π-=C , 故 x x e y cos )2sin(=-=-π , 从而所求特解为y =-lncos x .(5)y y 3='', y |x =0=1, y '|x =0=2;解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dydp p 3=, 即dy y pdp 3=, 两边积分得12322221C y p +=, 即1232C y y +±='. 由y |x =0=1, y '|x =0=2得C 1=0,432y y =', 从而dx dy y 243=-, 两边积分得24124C x y +=, 即42)4121(C x y +=. 由y |x =0=1得C 2=4, 故原方程的特解为4)121(+=x y . (6)y ''+y '2=1, y |x =0=0, y '|x =0=0.解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 12=+p dydp p , 即2222=+p dy dp , 于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dy dy e C C dy e e p ,即 121+±='-y e C y .由y |x =0=0, y '|x =0=0得C 1=-1, y e y 21--±='.故dx dy ey ±=--211, 两边积分得 22)1ln(C x e e y y +±=-+.由y |x =0=0得C 2=0, x e e y y ±=-+)1ln(2,从而得原方程的特解y =lnch x .3. 试求y ''=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线. 解 1221C x y +=', 21361C x C x y ++=. 由题意得y |x =0=1, 21|0='=x y . 由21|0='=x y 得211=C , 再由y |x =0=1得C 2=1, 因此所求曲线为 121613++=x x y . 4. 设有一质量为m 的物体, 在空中由静止开始下落, 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数, v 为物体运动的速度), 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系.解以t =0对应的物体位置为原点, 垂直向下的直线为s 正轴, 建立坐标系. 由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m . 将方程分离变量得dt v c mg mdv =-22, 两边积分得1||ln C kt mgcv mg cv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0, kt mg cv mg cv =-+||ln , 即kt e mgcv mg cv =-+. 因为mg >c 2v 2, 故kt e cv mg mg cv )(-=+, 即)1()1(kt kt e mg e cv -=+,或 ktkt e e c mg dt ds +-⋅-=11, 分离变量并积分得211ln C e e ck mg s ktkt +++-=-. 由s |t =0=0得C 2=0, 故所求函数关系为ktkt e e ck mg s ++-=-11ln , 即)(ch ln 2t m g c c m s =.习题12-71. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x , x 2;解因为x xx =2不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的. (2)x , 2x ;解因为22=xx , 所以x , 2x 是线性相关的. (3)e 2x , 3e 2x ;解因为332=x x ee , 所以e 2x , 3e 2x 是线性相关的. (4)e -x ; e x ;解因为x x x e ee 2=-不恒为常数, 所以e -x ; e x 是线性无关的. (5)cos2x , sin2x ;解因为x xx 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的. (6) 2x e , 22x xe ;解因为x e xe x x 2222=不恒为常数, 所以2x e , 22x xe 是线性无关的.。

高等数学(上)课后习题参考答案

0 ,极大值
f
(e2 )
=
4 e2
2. x = 2 , x = 0 5
3.最大值为 2,最小值为 -2.
4.最小值 y x=−2 = 12
5.
x0
=
16 3
,
Smax
(16 3
)
=
151.7
3.6 函数图形的描绘
1. 水平渐近线 y = 0 .
区间 (0,1), (1, 2), (2,3) 内.
3.提示：利用反证法.
1、(1) arctan x ~ x ；
4、-1 6、0
7、2 x 8、3
(2) a = e 时等价; a ≠ e 时同阶；
(3) 同阶； (4) 同阶．
9、(1) a ； (2) 2 e n
(3) 3 abc 10、0
2、(1) n = 6 ； (2) n = 1； (3) m = 1 ，n = 2 ． 2
2
分别补充定义 1,0；
2.1 导数概念 1、（1）-20 （2）1
2、（1） f ′(0) （2） − f ′(x0 ) （3） 2 f ′(x0 )
x = kπ（k ≠ 0）为第二类无穷；
（3） x = 0 第二类无穷． 3、（− ∞，− 2），（− 2，1），（1，+ ∞）
f（x）⎯⎯x→⎯−2→ − 1，f（x）⎯⎯x⎯→1→ ∞. 3
高等数学作业答案（14-15-1）
第一章函数、极限与连续 1.1 映射与函数
(2)
例：
f
(x)
=
⎧1 ⎨⎩−1
x > 0， x≤0
1．(1) f（x）与 h（x）相同；
g（x）与 f（x），h（x）不同．

高等数学课后习题及参考答案(第十章)

高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为⎰⎰==L L y dsy x ds y x x M M x ),(),(μμ, ⎰⎰==LL x ds y x dsy x y M M y ),(),(μμ. 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .证明划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 111011),(lim),(lim ),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .xdx L ⎰xdx xdx LL ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=102122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=.(4)ds ey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解 dt dtdz dt dydt dx ds 222)()()(++=dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223sin cos 11dt e et e t e ds z y x t t t t ⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故yzds x yzds x yzds x yzds x CD BC AB 2222⎰⎰⎰⎰++=Γ9010200322231=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdydt dx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (atdt t t t a t t t a ds y x L ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a tdt t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==L x xds a M M x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕad a a cos 21ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=. (2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=, ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(cos 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=, ds z y x y M y L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(sin 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=, ds z y x z M z L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3k a k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())( ,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtda t a P dx y x P . 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lbadx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baL b adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x2042221556)()(.(2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰.(3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202cos πtdt R .(4)⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()( ⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a ⎰-=-=ππ202221dt a a .(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=1)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1, CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=101010)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x 1514)4(21042-=-=⎰dx x x 4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.解已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰+=L ds y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()cos ,(cos 22x x x ++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=L ds xy x xQ y x P 241),(2),(. (3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2x x x --=τ, 单位切向量为)1 ,2()cos ,(cos 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)cos ,cos ,(cos 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=L ds y x yRxQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx x xy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=112243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(1010245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x ,而dxdy x dxdy yPx Q DD)21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQdy Pdx dxdy yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、 (2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x 8482020=-+=⎰⎰ydy xdx , 而 dxdy xy y dxdy y P x Q DD )32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(20=-=⎰dx x , 所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=L dt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin ⎰==ππ20224283cos sin 3a tdt t a . (2)椭圆9x 2+16y 2=144;解椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d . (3)圆x 2+y 2=2ax .解圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故 ⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)cos 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方向为逆时针方向.解 )(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+dxdy y P x Q Qdy Pdx D l L ε, 即 ⎰⎰⎰+=+-=+-lL l dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx . 因此 ⎰⎰+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222cos sin d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值:(1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 而且1=∂∂=∂∂xQ y P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x ⎰=+=2125)1(dx x . (2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy⎰⎰=++-=102135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、 (3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(dxdy y P x Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰dxdy D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yP x Q , 由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰dxdy yP x Q D . (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线 2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧; 解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)cos 26()6cos 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yP x Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-dxdy yP x Q Qdy Pdx D OB OA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故 ⎰⎰++=+AB OA L Qdy Pdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂y P x Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++dxdy y P x Q Qdy Pdx DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故 ⎰⎰++--=+--L OB BA dy y x dx y x dy y x dx y x )sin ()()sin ()(22222sin 4167)sin 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ):(1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ;证明因为yP x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222. (2)2xydx +x 2dy ;解因为y P x x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C xydx dy 00220. (3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy解因为yP x y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+-=),()0,0(2cos 3cos 3cos 3sin sin 4),(y x C xdy y xdx y x y x u C y x C xdy y dx xy +-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 3000. (4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++解因为yP xy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x u C dx xy y x dy ye yx y +++=⎰⎰0022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++解因为yP y x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个函数u (x , y )的全微分 ⎰⎰+-+=x y C dy y x x y xdx y x u 002)sin sin 2(2),( C y x x y ++=cos sin 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2. 由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且i i i i nm m i i i i i m i i i i i n m i S f S f S f ∆∑+∆∑=∆∑++==+=),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ. 令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max 12i n m i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当 λ→0时, 有dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dSz y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,dxdy dxdy z z dS y x=++=221, 故 dxdy z y x f dS z y x f D),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ313])41(121[2202/32=+=r . (2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ301494122022=+=⎰rdr r r . (3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dS z y x f ),,(∑⎰⎰dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰⎰⎰+-=πθ20202241)2(3rdr r r d ππ1011141)2(62022=+-=⎰rdr r r . 5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是: (1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面;解将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x2122=++=. dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ dxdy y x dxdy y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ201032dr r d πππ221222+=+=. 提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, 因而 πθπ922)()(302202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑rdr r d dxdy y x dS y x xy D . 提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z y x 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤, dxdy z z dS y x 221++=dxdy 361=, 61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy dS y x z xy xyD D . (2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,dxdy dxdy z z dS y x3122=++=, dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰ dxdy y x x x xy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3 427)9103(33023-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy y x a a 222--=,dxdy yx a a y x a y x dS z y x xy D 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑ )(||22h a a D a adxdy xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdy y x a a 222--=, (4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax ,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰++=-θππθθθθcos 202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a )cos sin cos cos (sin 24422554⎰-++= 421564a =. 提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=. 7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x222211++=++=.故 dxdy y x y x zdS M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ202022121rdr r r d )136(152+=π. 8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy yx a a 222--=, dxdy y x a a y x dS y x I z 222022022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=a dr ya r d a 0223200πθμ 4034a πμ=.提示:dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdy y x a a 222--=.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:dydz z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.解证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则dydzz y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰ yz i i i i i i i n i S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i n i S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλ dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdy y x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ20222202sin cos rdr r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222sin 41R dr r r R d 71052R π=. (2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰)13(2102dx x ⎰-=ππ2346=⨯=. 解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为)0 , ,(1)cos ,cos ,(cos 22y x y x +=γβα, 由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示: dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰ 2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdy xzdxdy 4000∑⎰⎰+++= dxdy y x x xy D )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=1010241)1(x dy y x xdx . 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz . 因此⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdyyzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD . 4. 把对坐标的曲面积分dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧;解令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为:)32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n ,单位法向量为)32 ,2 ,3(51)cos ,cos ,(cos =γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰. (2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)cos ,cos ,(cos 22y x y x ++=γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaa a a dz dy xdx xdv 0400366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ20004sin 3a dr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;解由高斯公式原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;解由高斯公式原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv z R y Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.解由高斯公式原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=10101023)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量: (1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy ,⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv z xy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv z r y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z ,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv z R y Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度:(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222div z y x z y x zR y Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)sin(2sin div 2xz xz xy x ye zR y Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;解 P =y 2, Q =xy , R =xz ,x x x zR y Q x P 20div =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数, n u ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向的方向导数. 证明dS n u v n v u dxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明由第一格林公式(见书中例3)知dxdydz z v y v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, dxdydz z u y u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n u v )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得dxdyd z u y u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ ⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS n u v n v u )(. 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明取液面为xOy 面, z 轴沿铅直向下, 设液体的密度为ρ, 在物体表面∑上取元素dS 上一点, 并设∑在点(x , y , z )处的外法线的方向余弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F x αρ,00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F y βρ,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰Γ++xdz zdy ydx , 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为)31,31,31()cos ,cos ,(cos ==γβαn .于是 ⎰Γ++xdz zdy ydx dS x z y zy x ∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos 2333)cos cos cos (a dS dS πγβα-=-=---=∑∑⎰⎰⎰⎰.提示:dS ∑⎰⎰表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2)⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dz z y )()()(, 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2, 1=+b z a x(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解设∑为平面1=+b z a x 上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为) ,0 ,()cos ,cos ,(cos 2222b a b b a b ++==γβαn . 于是 ⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y )()()(dS y x x z z y zy x ---∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos dS b a b a dS ∑∑⎰⎰⎰⎰++-=---=22)(2)cos 2cos 2cos 2(γβα)(2)(2)(22222b a a dxdy a b a dxdy a b a b a b a xyxyD D +-=+-=+++-=⎰⎰⎰⎰π.提示: ∑(即x ab b z -=)的面积元素为dxdy a b a dxdy a b dS 222)(1+=+=.(3)⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 23, 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 2323yz xz y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ ππ2025)3()(22-=⨯-=+-+=∑⎰⎰dxdy z dydz x z .(4)⎰Γ-+dz z xdy ydx 232, 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则⎰Γ-+dz z xdy ydx 232232z x y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ π9===⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy xyD .2. 求下列向量场A 的旋度: (1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 k j i kj i A 6422332++=---∂∂∂∂∂∂=x y z x y z z y x rot . (2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 j i kji A +=--+∂∂∂∂∂∂=0)cos (sin y x z y z z yx rot . (3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解 )sin(cos )sin(sin 22z xy xz y y x z y x ∂∂∂∂∂∂=kj i A rot=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分dS n A ⋅∑⎰⎰rot 化为曲线积分, 并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面221y x z --=, 的上侧, n 是∑的单位法向量;解设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为 x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π, 由托斯公式dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx ⎰Γ++=xzdz xydy dx y 2⎰=+-=πθθθθθ20220]sin cos )sin ([sin d .(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量. 解dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx⎰Γ-++-=dz xz yzdy dx x y )()(⎰⎰Γ-===0242dx ydx .4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量: (1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0; 解θθθθθπd cdz xdy ydx L ]cos cos )sin ()(sin [(20+--=++-⎰⎰⎰==ππθ202d .(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周222y x z +-=, z =0. 解有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++LL dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(。

《高等数学》上册习题参考答案(天津科学技术出版社)

习题答案与提示习题1.11.（1）21(12)33，，123x -<；（2）13(1)44-，-，114x +<；（3）41(1)(11)55，，，1015x <-<.2.（1）不同；（2）不同；（3）相同.3.（1）1x ≠-且3x ≠，即(1)(13)(3+)-∞- - ∞，，，，，；（2）1≤x ≤3, 即[1,3]；（3）x ≤5且0x ≠，即(0)(05]-∞ ，，，；（4）2x >或2x <-，即(2)(2+-∞- ∞，或，）；（5）2k π≤x ≤(21)()k k π+ 为整数；（6）x ≥1x <与-1≤010]1-∞，即（，与[,+）；（7）110110x x >≠且，即（，），10+∞（，）；（8）300x x <≠∞且，即（-，），03（，）. 4.2(2)0(2)4()1a f f f a a -=-=-=+，，.5.1()()()(2)06244πππϕϕϕϕ=--=，.8.（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）非奇非偶函数；（6）偶函数. 9.（1）单调增加；（2）单调增加；（3）单调减少；（4）在22ππ∞（-,-）,(0,)单调增加；在22ππ∞（-,0）,(,+)单调减少. 10.（1）周期为π；（2）不是周期函数；（3）周期为4π；（4）不是周期函数；（5）周期为2π；（6）周期为π.11.（1）1102x y -=-；（2）11xy x-=+；（3）dx by cx a-+=-，当0a d +=或0b c ==，0a d =≠时反函数与直接函数相同.12.（1）0sin 2y x y ==，（2）0y y ==（3）220x y e y e -==，.· 297 ·13. （1）2u y e u x ==，；（2）2ln 1y u u v x ==+，；（3）2sin y u u x ==，；（4）sin n y u u x ==，；（5）3arcsin 1y u u v v x ===-，，；（6）23sin u y u v v x ===，，. 14. （1）1-≤x ≤1, 即[-1,1]；（2）221)01n n n ππ+=±⋅⋅⋅[，(]，(，)；（3）a -≤x ≤1, 1a a a -- -即[，]；（4）若0a <≤12，则a ≤x ≤1, 1a a a - -即[，]；若12a >，则函数无处有定义.16. 2f l =.17. 3()0<<45()4107()10<20.x y x x ⎧⎪= ⎨⎪ ⎩角，，角，≤≤，角，≤ 18. 232223[()]r h v r h h r r π=<<+∞--，.19. v =. 习题1.21.（1）0；（2）1；（3）0；（4）没有极限；（5）没有极限；（6）0. 8.（1）(10)0(10)0f f -=+=，，极限为0；（2）(10)1(10)0(10)(10)f f f f -=+=-≠+，，，极限不存在. 9. 00000()1()1()1x x x lim f x lim x lim x ϕϕ→→-→+==-=，，，极限不存在.习题1.31. 两个无穷小的商不一定是无穷小，例如：3 x x αβ= =，，当0x →时都是无穷小，但αβ当0x →时不是无穷小.2. 两个无穷大的和不一定是无穷大. 5. cos y x x =在()-∞+∞，上无界，但当x →+∞时，此函数不是无穷大.· 298 ·习题1.41.（1）5；（2）34；（3）0；（4）25；（5）∞；（6）3；（7）0；（8）∞；（9）12；（10）23x ；（11）2；（12）203050235⋅；（13）2；（14）3；（15）12；（16）1-；（17）0；（18）0.2.（1）27；（2）k ；（3）1；（4）1；（5）2；（6）π；（7）x ；（8）12；（9）2e -；（10）2e ；（11）2e ；（12）1e -；（13）12；（14）e ；（15）3e . 习题1.51. 等价的.2.（1）同阶，不等价；（2）等价无穷小.3.（1）二阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）一阶；（5）三阶；（6）三阶.4.（1）a b；（2）m n <时为0，m n =时为1，m n >时为∞；（3）12；（4）222b a -.习题1.62.（1）3x =-是第二类间断点；（2）1x =是第一类的可去间断点. 补充123x y ==. 2x =-是第二类间断点；（3）0x =是第一类的跳跃间断点；（4）0x =是连续点；（5）0x =是第二类间断点；（6）0x =是第一类的跳跃间断点；（7）0x =，2x k ππ=+是第一类的可去间断点，(0)x k k π= ≠第二类间断点；（8）0x =是第一类的跳跃间断点. 3. 0a =时，()f x 在其定义域内连续.· 299 ·4. （1）1；（2）0；（3）14；（4）cos a ；（5）1；（6）a ；（7）2-；（8）14；（9）1；（10）e . 总习题一4.（1）(0]-∞，；（2）[1]e ，；（3）[0]4π，；（4）[22+]0122n n n ππππ-=±⋅⋅⋅，，，，. 5. 22x -.6. [()]()[()]0[()]0[()]()f f x f x g g x f g x g f x g x ====，，，.9.（1）6π；（2）12e -；（3）116；（4）αβ-；（5）1.10. 0x =是第一类的跳跃间断点.11. 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点. 12.（1）1a =时，()f x 在0x =连续；（2）1a ≠，0a >时，0x =是()f x 的跳跃间断点.13. ln3a =. 14. 76a b =-=，.习题2.11. 15.2.（1）34x ；（2）99100x ；（3）1x ππ-；（4）；（5）32x-；（6）1e ex -. 3.（1）0()f'x -；（2）(0)f'；（3）02()f'x ；（4）0()()f'x αβ+. 5. 0gt . 7. 0. 8.1(1)02y +-=；法线方程为102y -+=. 9.21a b ==-，.10.cos 0.()10.x x f'x x <⎧=⎨ ⎩，，≥11.（1）在0x =处连续，不可导；· 300 ·（2）在0x =处连续，不可导；（3）在0x =处连续，不可导；（4）在0x =处连续且可导.习题2.21.（1）310x x +；（2）2tan sec x x x +；（3）32522x x +；（4）22sec tan 2x x x e x x -+；（5）11sin x-+；（6）11n n n nx x-+-；（7）(2cos sin )x x x x -；（8）ln x x a a e +；（9）2(2)x e x x --；（10）sec (2sec tan )x x x +；（11）2212(1)x x x +-++；（12）22(1)x +；（13）3(2)x e x x-；（14）2sec 2cos t t +；（15）2102ln10(101)x x ⋅+；（16）2222csc [(1)cot 2](1)x x x x x ++-+；（171(1)z+；（18）231(2cos cos sin )()2x xe x x x x x x+--；（19）21cos sin (1cos )t t t +++；（20）cos2x . 2.（1）(1)14f'-=-，(1)6f'=；（2)2π+；（3）211x y'ππ==-；（4）123x y'e ==+.3. 08t t ==，.4. 相切.5. 切线方程为220x y --=和220x y -+=.6.（1）38(25)x +；（2）3sin(43)x -；（3）236x xe --；（4）221xx +；（5；（6（7）；（8）222sec ()x x ；（9）21xx e e +；（10；（11）22tan ln 2xx -；（12）tan x -. 7.（1）144ln 22x --⋅；（2）1cos[ln(3)]3x x ---；（3（4（5）22sec tan csc cot 2222x x x x+；（6）2arcsinx；（7）2222cos(1)1sin (1)x x x +++；（8）222ln 22x x x x ++；· 301 ·（932arcsin 2xx -；（10. 8.（1）()sh shx chx ⋅；（2）2()chxe chx sh x +；（3）2112sh x +；（4（52x（6）3th x ；（7）222sin 2sin()2sin cos()x x x x x +；（8）21sin 212sin xe x x -⋅；（9；（10）3232322(12)1ln()x x xe x e x e +++++++；（1122))x x x x ++；（12）21ch t .9..10. （1）22()xf'x ；（2）22sin 2[(sin )(cos )]x f'x f'x -；（3）[()]()f'f x f'x ⋅；（4）()[()()()]f x x x x e f'e e f e f'x +.习题2.31.（1）214x-；（2）214x e -；（3）2sin cos x x x --；（4）2cos t e t --；（5）23222()a a x --；（6）22sec tan x x ；（7）222sin 2cos 2cos 2ln x x x x x x -⋅--；（8）5323484x x --++；（9）23(22)x e x x x -+；（10）222arctan 1x x x ++. 2.（1）2222()4()f'x x f''x +；（2）22()()[()][()]f''x f x f'x f x -.5.（1）(1)nxe --；（2）1(1)(1)!(1)n n n x ---+；（3）12sin[2(1)]2n x n π-+-⋅；（4）1111(1)![](2)(1)nn n n x x ++----；（5）!n ；（6）1(2)!(1)nn n x --- （n ≥2）. 6.（1）20222(2095)x e x x ++；（2）50212252(sin 250cos 2sin 2)2x x x x x -++；（3）0cos()2ni xn i C e x i π=+⋅∑或22cos()4n x e x n π+⋅；· 302 ·（4）100xshx chx +. 7. 2()a ϕ.习题2.41.（1）(1)(1)y x x y --；（2）cos cos()sin cos()y x y x y x y -+++；（3）y y x -；（4）22ay x y ax --；（5）1y y e xe -+；（6）x y e ye x -+.3. 222(5)(10)15x y +++=.4.（1）(ln 1)xx x +；（2）1(ln )[ln(ln )]ln xx x x+；（3）2sin cos cos cos (sin )(sin ln(sin ))sin x x x e x x x x x +-；（4）1()(ln )111x x x x x x⋅++++；（5212[]55(2)xx x --+；（6cot ]2(1)x x e x e +--；（7）cot 221(tan 2)(csc ln tan 28cot csc4)222xx x x x x --；（8）211[]2(1)1x x x x ---+. 5.（1）3sin()[cos()1]x y x y ++-；（2）423b a y -；（3）232csc ()cot ()x y x y -++；（4）31y -. 6.（1）2312t t -；（2）tan θ-；（3）cos sin cos sin t t t t -+；（4）cos sin 1sin cos θθθθθθ---.7.（1）切线方程为43120x y a +-=，法线方程为3460x y a -+=；（2）切线方程为20y +-=，法线方程为410y --=；（3）切线方程为240x y +-=，法线方程为230x y --=.8.（1）31t ；（2）21(1cos )a t -- （2t n nπ≠，为整数）；（3）1()f''t ；（4）322(1)t --.9. 面积变化率为2500平方厘米/秒；对角线变化率为0.4厘米/秒.· 303 ·10.160.20425π≈米/分. 习题2.61. 0.02，0.0201，0.0001.2.（a ）000y dy y dy ∆>>∆->，，；（b ）000y dy y dy ∆>>∆-<，，；（c ）000y dy y dy ∆<<∆-<，，；（d ）000y dy y dy ∆<<∆->，，.3.（1）(103)x dx + ；（2）2(348)x x dx -- ；（3）(sin 22cos 2)x x x dx + ；（4）1001x x <<⎪<<⎪⎩，；（5）4(ln 1)x dx x + ；（6）[sin(3)cos(3)]x e x x dx ---- ；（7）421xdx x -+；（8）sec t dt . 4.（1）2x c +；（2）arctan x c +；（3）1c x+；（4）x e c --+；（5）1cos 22x c -+；（6c ；（7）414x x e c ++；（8）2x e c +；（9）sin cos sin x x x -，；（10）2sin sin2x x ，；（11）122323x x ++，；（12）ln sin lnsin sin xe x x，.5.（1）1.0067；（2）0.485；（3）o 3047''；（4）0.01；（5）0.10025；（6）0.77；（7）9.9867；（8）2.0052.7. 0.995.总习题二1.（1；（2）211xe +；（3）21cot(1)sec [2csc (1)cot(1)tan ]222x x x x x --+-；· 304 ·（4）(1)(1)[1ln(1)]x x x ---+-；（5）221[1a ；（6）1[1ln ]x x x ++；（7）22ay x y ax --；（8）[1sin()]sin()y xy x xy -+；（9）t te --；（10）sin cos cos sin t t tt t t+-.2.（1）21(dx x - ；（2）2228tan(12)sec (12)x x x dx ++ ；（3）222221arctan 2(1)14x x x dx x x +[-] ++；（4）sin t tdt ；（5）4sec xdx ；（6）2cos sin x x x dx x - ；（7）2ln (1)x dx x -；（8）221(3csc (ln )x dx x x -+) . 3. 函数处处连续，仅在0x =处不可导.4.（1）1(1)2!(1)n n n x +-⋅+；（2）2(1)sin 40cos 380sin x x x x x +--. 5. 6-. 6. 6. 7. 1-. 8. n t αα.9. csc cot (csc )2ln 2(2)x x x xf'x f'-+. 10.()(sin )cos ()cos ()()'x y 'x xdx 'y y 'x y ϕϕϕϕϕ+-⋅ -+.11.2a b ==. 12. 2.习题3.14. 先证存在性（根据介值定理），再证唯一性（根据罗尔定理）反证.5. 对()F x 连续两次应用罗尔定理.6. 因为(1)(1)(2)(3)0f f f f -====，由罗尔定理即证得所需结果.7. 用罗尔定理.10. 设()ln f x x =，区间为[1]x x +，，应用拉格朗日中值定理. 12. 设()()xf x x e ϕ=，先证()x ϕ为常数.· 305 ·13. 令()ln ()x f x ϕ=，又()()()f'x 'x f x ϕ=，应用拉格朗日中值定理即得证. 14. 取1()ln ()0g x x g'x x==≠，，应用柯西中值定理即得证. 习题3.21.（1）1；（2）2；（3）∞；（4）1；（5）∞；（6）1；（7）1；（8）1；（9）1；（10）12；（11）∞；（12）12-；（13）12；（14）1e；（15）1；（16）1；（17）e α；（18）1；（19）1.3. 连续.习题3.31.由21cos 2cos 2xy x +==代入cos2x 展开即可. 2.22x ex 换成x 2即可：242444400[1()][1()]2828x x x x x x o x o x lim x →→+-+-+++= 14=-.3.2321sin (3sin cos )2!3!x x x x ξξξ-=++ 231(3sin cos )3!x x ξξξ=-+ ξ在0与x 之间. 4.234()5621(4)37(4)11(4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.5.12121(1)[1(1)(1)(1)](1)[1(1)]n n n n x x x x x x θ++++=-+++++⋅⋅⋅+++--++ (01)θ<<.6.23412sin ()tan 3cos ()x x x x x θθ+=+(01)θ<<.7.在x e 的麦克劳林公式中取1x =得111111!2!3!!(1)!e e n n θ=++++⋅⋅⋅+++ (01)θ<< 于是111111!2!3!!e n ≈++++⋅⋅⋅+； 3(1)!(1)!n e R n n <<++，取7n =时， 2.7183e ≈，误差30.00018!n R <<. 8.（1）o sin100.17365≈ 5310R -<；（2 3.10724≈ 53 1.8810R -<⨯.习题3.41.（1）在(,1]-∞-内，y 单调减少，在[1,)-+∞内，y 单调增加；（2）在(,)-∞+∞内，y 单调增加；（3）在(,1]-∞-，[0,1]内，y 单调减少，在[1,0]-，[1,)+∞内，y 单调增加；（4）在(,0]-∞内，y 单调增加，在[0,)+∞内，y 单调减少；（5）在(,2]-∞-，[0,)+∞内，y 单调增加；在[2,1)--，(1,0]-内，y 单调减少；（6）在1(0,]2内，y 单调减少，在1[,)2+∞内，y 单调增加；（7）在[0,2]π内单调增加；（8）在[0,]n 上单调增加，在[,)n +∞内单调减少.4.（ⅰ）1a e >时没有实根；（ⅱ）10a e <<时有两个实根；（ⅲ）1a e=时只有x e =一个实根.5. 不一定，()sin f x x x =+在(,)-∞+∞内单调，但()f'x 在(,)-∞+∞内不单调.6. 应用拉格朗日中值定理和反证法.习题3.51.（1）极大值07x y==；极小值23x y==；（2）极小值11x y=-=-；极大值11x y ==；（3）极大值1232x y==；（4）极小值00x y==；极大值224x ye -==；（5）极小值150x x yy=-===；极大值12x y==；（6）极大值23x y==；（7）极大值00x y==；极小值25x y== （8）极小值3274x y ==；（9）极小值00x y==；（10）极大值1ex eye ==；（11）无极值；（12）极小值121ln 22x y==+.3. 2()3a f π==，.4.（1）最小值(1)4y ±=，最大值(2)13y ±=；（2）最大值(4)80y =，最小值(1)5y -=-；（3）最大值3() 1.254y =，最小值(5)5y -=-（4）最小值(0)0y =，最大值11()(1)22y y -==.5.半径:高1:1=.2..9.长为10m ，宽为5m .10. 2.366()m = . 11.当o arctan arctan0.25142u 'α==≈时可使力F 最小.12.(b 公里.13.杆长为1.4m .14.ϕ=. 15.最小面积S a b =⋅.习题3.61.（1）在13∞（-，）内是凹的，在1+3∞（，）内是凸的；（2）在∞（-，及0（内是凸的，在0（）及)+∞内是凹的；（3）在1∞-（-，），(1)+∞，内是凸的，在11-（，）内是凹的；（4）在∞（-，0（内是凸的，在（），∞）内是凹的；（5）在2∞-（-，）内是凸的，在2+-∞（，）内是凹的；（6）在∞∞（-，+）内是凹的. 2.（1）凹区间为2(0)3-∞∞，，(，+)；凸区间为2(0)3，，拐点为(01),及211()327,；（2）凸区间为(1)-∞，；凹区间为1+∞（，），无拐点；（3）没有拐点，处处是凹的；（4）凸区间为01（，）；凹区间为1+∞（，），拐点为(17)-,. 5. 3922a b =-=，.6. 132416a b c d ==-=-=，，，.7. K =.8.（1）水平渐近线0y =；（2）水平渐近线0y =；（3）铅直渐近线0x =；（4）铅直渐近线1x =-；水平渐近线0y =；（5）斜渐近线y x =；（6）铅直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.习题3.71. ds =.2. ds =.3.（1）211ach ；（2）3226(94)t +；（3）2ba ；（4）2；（5）23sin 2a t . 4.（1）cos K x =，sec x ρ=；（2）2K =，12ρ=.5. ln 2)2-处曲率半径有最小值. 7. 约1246（N ），沿曲线运动的物体所受的向心力2mv F ρ=，这里m 为物体的质量，v 为它的速度，ρ为运动轨迹的曲率半径.总习题三1. 先证明在(,)a b 内至少有一点c ，使得()0f c =，然后分别在[,][,]a c c b , 上应用罗尔定理即得证.2. 由罗尔定理即得证.3. 设()()F x xf x =，则(0)()0F F a ==. 应用罗尔定理即可.4. 设()()[()()]x b x f x f a ϕ=--，由()()0a b ϕϕ==，用罗尔定理即可得证.5. 设0()x x a b ∈，，，在0[]x x ，上应用拉格朗日中值定理.6. 由()f x 在(0,)a 内取得最大值有()0f'c =，(0)c a ∈，，在[0,][,]c c a , 上应用拉格朗日公式.7. 先用罗必塔法则，然后应用导数定义. 8.（1）0；（2）13；（3）3；（4）1；（5）12；（6）12n a a a ⋅⋅⋅.9.12212(1)2ln ln 2()()()2222n nn x x x x R x n -----=+-+⋅⋅⋅++111(1)22()()()12n n n n x R x n ξ-++--=+ （ξ在2与x 之间）.10. 利用拉格朗日中值定理. 11. 利用介值定理和泰勒公式. 12.（1）设tan ()xf x x=，用单调性证；（2）令111()(1)()(0)122p p p F x x x F F -=+-==，，，只须证()F x 在[01]，上的最小值为112p -，而最大值为1即可；（3）令312(1)x p x px =-+，则132x x x <<用拉格朗日中值定理即得证；（4）利用单调性. 13. 3个根.14.（1）无极值；（2）最大值121()2f e e-=-. 15. 最大值45，最小值1-.16. 等边三角形.18. (1)2π，处，曲率半径有最小值1. 习题4.11．（1）252y x c =+；2552y x =+． 2．（1）42524x x x c -++；（2）3223x c --+；（3）ln 3arcsin +x x c -；（4）31123x x c x-++；（5）53222212523u u u u c +--+；（6）322ln 3x x e x c ---++；（7）tan sec x x c -+；（8）2cos ln 2xx c -+；（9）1arctan x c x-+；（10）cot x x c --+；（11）4cot x c -+；（12）1(cot tan )4c θθ-++.习题4.21．（1）41(32)8x c --+；（2）322(25)15x --；（3）arcsin2xc +；（4）1cos(12)2x c -++；（5）1ln 522x c --+；（6）()21ln 12x c ++；（7）ln(1cos )x c -++；（8）21ln(1)2x e c ++；（9）1ln 12ln 2x c ++；（10）23e c +；（11）3221(1)3x c --+；（12）c ；（13）c ；（14）1cos c x+；（15）21(arcsin )2x c +；（16）212x e c --+；（17）21arctan 2x c +；（18）4ln 4x x c -++；（19）1)2x c +；（20）121ln 723x c x++-；（21）233(sin cos )2x x c -+；（22）21tan ln cos 2x x c ++；（23）52cos 5x c -+；（24）11sin 2sin8416x x c ++；（25）1sin 2()24t at b c a+++；（26）cot csc x x c -++；（27）1ln(2)22t t e c -++；（28）12arcsin 23x c .2．（1）c +；（2c ；（3）1ln 2x c +；（4）32221arctan 22()x x c a a a x a +++；（5c +；（6）arcsin x c +；（7）提示：利用倒数代换3222231().3a x x c t a x -=-+；（8）提示：先令sin x t =，原积分=cos sin cos tdt t t+⎰1(cos sin )(sin cos )2sin cos t t t t dt t t-++=+⎰=11arcsin ln 22x x c ++.3.（1）32221()3a x c ++；（2c .习题4.31.（1）arccos x x c ；（2）(1)x e x c --++；（3）ln2x x x c -+；（4）11(sin 2cos 2)22x x x c ++；（5）21tan ln cos 2x x x x c +-+；（6）22111(1)ln(1)242x x x x c ----+；（7）22113(3)22t t t e c -++；（8）32sin cos sin 62x x x x x x c ++-+；（9）21arctan 2ln(14)4x x x c +++；（10）2(ln )2ln 2x x x x x c -++；（11）21(5cos52sin5)29xe x x c --++；（12）321(ln 3ln 6ln 6)x x x c x -++++；（13）1(sin cos )2x e x x c --+；（14）21)c +；（15）[sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+；（16）2(arcsin )2x x x x c +-+；（17）2421(1)2x e x x c --+++；（18）提示：换元积分法与分部积分法综合运用. t ，再用分部积分法；或先用分部积分法，再用换元法.2c .2.211ln(22a x c +. 习题4.41.（1）2ln 12x x x c -+++；（2）15ln 27ln 1x x c ---+；（3）2311ln(25)arctan 222x x x c --+++；（4）212(arctan )424x x c x -++；（5）提示：令4x t =. 4481arctan()88(1)x x c x +++；（6）221(1)ln 61x c x x +-+；（7）2211ln(1)ln 121x x x c x -+-++++；（8）提示：令32x t -=.7891114[(32)(32)(32)]27729x x x c -----+-+-+.2.（1）3tan12ln 33tan 2x c x ++-；（2）ln 1tan 2x c ++；（32tan 1xc +；（4）1ln sin cos 22x x x c +++；（5）)x x c +；（6）111cos ln cos 21cos x c x x +-+-；（7）tan sec x x x c -++；（8）532224(32)(32)4527x x c +-++；（9）c ；（10）3ln 1c ；（11）c ；（12）ln 12x c ++. 习题4.5（1）1(34ln 34)9x x c -++；（2）31(ln 21)421x c x ++++；（3）1arctan x c x--+；（4）322(4)2arcsin 42x x x c --+；（53ln 2x c ；（6c ；（7）cos ln(1sin )1sin x xx c x-++++；（82tan 32tan 322x x c +++；（9）41(ln )44x x c -+；（10）21(2sin 44cos4)20x e x x c --+；（11）1)c +；（12）)x x c +；（13）12c ；（14）2(1)arcsin 22x x c -.总习题四1. ln ln 23y x =+.2.（1）26cos v t t =+；（2）32sin 3S t t =+-.3.（1）c ；（2）21ln ln(1)2x x c -++；（3）21tan 2x c +；（4）tan sec x x c ++；（5）3223x c +；（6）ln 2ln x c ++；（7）ln 1x c +；（8）11ln 21x x e c e -++；（9）43c ；（10）c +；（11）arctan(sin )x c +；（12）c -；（13）ln (ln ln 1)x x c -+；（14）a c ；（15）(1)2x x c -+；（16）ln 1x e x c --+；（17）arcsin()x e c +；（18）ln x x c ；（19）arctan xc x -+；（20）211(1)2u e c --++；（21）c +；（22）221(1)2x x e c -+；（23）12211()(1222x x x c ---；（24）21ln tan csc 2x x c -+；（25）(x c +；（26）1)t c -+；（27）44x c +；（28）tan x x c -+；（29）c ；（30）1arctan 2t c +；（31）2111ln 4824x c x x x -++++；（32）(cos 22sin 2)/5xe x x c ++；（33）csc cot 22x x c -+；（34）ln sin cot x x x c -+；（35）2111sin 2cos 2448x x x x c +++；（36）8910111131(1)(1)(1)(1)831011x x x x c -----------+；（37）611ln ln(4)424x x c -++；（38）tan2x x c +；（39）2212)arctan (6)9x x x x c +-++；（40）提示：解法1由于1sin 2sin cos 2sin cos )4x x xx x x π⋅=++· 316 ·原式2cos(2)12sin ()24sin()sin()44x x dx dx x x ππππ+-+-=++csc()cot())444x x x c πππ=+-+++；解法2由于2sin cos 1(sin cos )1sin cos 2sin cos x x x x x x x x⋅+-=++ 原式11(sin cos )2sin cos x x dx x x=+-+⎰()14(sin cos )2sin()4d x x x x ππ+=-+1(sin cos )tan()228x x x c π=-++. 4.1arccos ac a x+. 习题5.11. 12.2.（1）122nn i lim n i→∞=+∑；（2）23231331(7)nn i i i i lim n n n n →∞=---∑.6.13. 7.（1）3-≤2321(23)x x dx -- ⎰≤0；（2）0≤420.5(2)x x dx 1.5 --+ ⎰≤2；（3）8≤222.53441x x dx x x 0.5-++ ++⎰≤12.8.（1）2x dx 1 0⎰较大；（2）22x dx 3 1⎰较大；（3）dx 0⎰较大；（4）x e dx 21⎰较大.· 317 ·习题5.21. 12e -.2.（1（2）222[()]()xf g x g'x .3.41ln t t-.4. 2y .5. 极小值74-.6.（1）1；（2）0.7.（1）142-；（2）2；（31；（4）13；（5）12；（6）42ln2-；（7）4；（8）211. 8.ln 26π+.9. 0a =，连续.10.31(232)016()1(32)16x x x f x x x ⎧-+ ⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩≤≤ .习题5.31.（1（2）43；（3；（4）1cos1-；（5）arctan()4e π-；（6）42ln3-；（7）584(31)5-；（8）132ln 417；（9）2315；（10）654；（11）7cos1cos5++；（12）2；（13）336e -；（14）1；（15）11ln 222-；（16）4916；（17）311()232ππ+；（18）21ln 24322ππ--；（19）8ln 24-；（20）0；（21）1(sin1cos11)2e e +-；· 318 ·（22）提示：设sin .x t = 2421115323111422m m m m m I m m m m m π-⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪+-=⎨-⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪+-⎩偶数奇数.2.（1）23；（2）0；（3）16；（4）ln2. 4. 提示：（1）利用奇偶性；（2）定积分对积分区间的可加性. 6. 4111tan 222e -+-. 9. 0.习题5.41.（1）收敛22aa b +；（2）收敛 2；（3）收敛 π；（4）收敛 2；（5）发散；（6）发散；（7）2π-；（8）收敛 1-；（9）收敛 2；（10）发散. 3. 2x =为瑕点，收敛.4. 提示：令2sin x t =，利用公式20sin n tdt π⎰.习题5.51.（1）323；（2）1；（3）2e e -；（4）25(2)4a π-;（5）312π；（6）26a π；（7）238a π.2. a =.3. 23r h π.4.5. 0a b A ==，.7.81)27. 8. 8.· 319 ·9.1(28π-.10. 23((,)32a a π.11. 800ln2π焦耳. 12. 2214r h ρπ. 13.318rd π. 14. 21[(2)]26a b ch h a b r +++.15.，方向由质点指向细棒中点.总习题五1.（1）发散；（2）12π-；（3）发散；（4）0；（5）4π；（6）.2. 3.yye x-. 4. 161412e --.5.（1）343；（2）1(43-；（3）34π；（4）8.7. 1).9.22R h π. 10. π.1. 14.213ah γ.· 320 ·15.引力大小为2G ma πρ,方向由质点指向圆环的中心.习题6.11.（1）(2,3,1)-；（2）(2,3,1)-；（3）(2,3,1)-；（4）(2,3,1)--（5）(2,3,1)--；（6）(2,3,1)--；（7）(2,3,1)---.2. 5 . 5. 0,1,2（-）.6.（1）a b ⊥；（2）a 与b 同向；（3）a 与b 同向；（4）a 与b 反向，且b ≤a .8. 1111()()()()2222MA a b MB a b MC a b MD b a =-+=-=+=-；；；.习题6.21. 模:2；方向角:23343πππ；；；与AB反向的单位向量为1122⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭.2. 0a =或⎧⎨⎩. 3.（1）{}3,8,5；（2）{}8,0,23-；（3）{}32,52,3m n m n n m ++-. 4. (2,3,0)A -.5.（1）垂直于x 轴，平行于yoz 面；（2）指向与y 轴正向一致，垂直于xoz 面；（3）平行于x 轴，垂直于xoy 面.6.;3π ;4π;3π01122a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭.7. R αβγ=· 321 ·1.（1）13；（2）61-.2.（1）22；（2）200-；（3）. 3. 1122i j k +-. 4. 43()55j k ±-. 5. 16. 6. 30.7. 8.4π. 9. 提示：a b ⋅≤a b . 10.提示：利用混合积.11.提示：此四面体体积是相应六面体体积的1563⋅.习题6.41.（1）平行于z 轴；（2）垂直于x 轴；（3）通过x 轴；（4）通过原点；（5）yoz 面；（6）过z 轴.2. 281x y z -+=.3. 230x y ++=.4. 20y z +=.5. 5122y z x ++=. 6. 2y =.7. 340x y z +--=. 8. 320x y z -+=. 9. 1.10.(0,7,0);(0,5,0)-.· 322 ·1.123310x y z ---==--. 2.（1）238325x y z -+-==-；（2）238x y z -=+=-. 3. 23,62,1x t y t z t =--=--=+.4.325431x y z +--==---. 5. (1,1,1).6. ϕ=.7.（1）平行；（2）垂直；（3）直线在平面上.8. 20x z --=.9. 提示：过已知直线作一平面与已知平面垂直，该平面与已知平面的交线即为所求.31020x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩. 10.提示：过已知点作平面与该直线垂直，平面与直线的交点即为所求. (5,2,4)-.11. 提示：过点P 作平面II 垂直于已知直线，并求它们的交点Q ，则P ，Q 间的距离等于P 到直线的距离d =7.12.提示：参照例题6.26. 202160y z x y +-=⎧⎨++=⎩.习题6.61.222(1)(3)(2)14x y z -+-++=.2.2222y z k x +=；2222()y k x y =+.6.（1）22340x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩；（2）222280x x y z ⎧-+=⎨=⎩. 7. 22x y +≤ax ；22x z +≤2,a x ≥0,z ≥0.· 323 ·8. 22x y +≤4；2x ≤z ≤4；2y ≤z ≤4. 9.（1）3sin x t y t z t == ，，（0≤t ≤2π）；（2）10x y z θθ=== ，，（0≤θ≤2π）.总习题六1.(0,2,0).4..5.3)-.6.15W =.7.4z =-；4min πθ=.8.{}2,1,7；S ∆=. 9.（1）103λ>-；（2）103λ<-；（3）103λ=-；（4）6λ=. 10.30.11.5c a b =+. 12.58240x y z -+-=.14.330330x z x z +-= +-=或. 15.14161928x y z +-==. 16.（1）7；（2）2310020x y x z --=⎧⎨+=⎩. 19.220,(1)z x y =-+≤1；0,y =x ≤z220,(1)2zx y =-+≤1,z ≥0.。

高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)

承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高等数学专业教材答案

高等数学专业教材答案第一章：导数与微分1.1 函数的概念与性质1.2 有界集与上下确界1.3 极限与连续1.4 导数的定义与计算1.5 常用函数的导数1.6 高阶导数与高阶微分1.7 隐函数与参数方程的导数第二章：微分中值定理与其应用2.1 罗尔中值定理2.2 拉格朗日中值定理2.3 函数单调性与极值2.4 导数的应用：函数图像的几何性质2.5 泰勒公式与泰勒展开式2.6 函数的渐近线与渐近曲线第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的基本性质与基本方法3.2 反常积分与收敛性3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 定积分的应用：几何与物理意义3.6 定积分的换元法与分部积分第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念与类型4.2 可分离变量的一阶微分方程4.3 齐次方程的一阶微分方程4.4 一阶线性微分方程4.5 高阶线性微分方程4.6 常系数线性微分方程与欧拉方程第五章：二重积分与三重积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法与应用5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法与应用5.5 曲线、曲面与曲面积分第六章：无穷级数与幂级数6.1 数项级数的概念与性质6.2 收敛级数的判别法与性质6.3 幂级数的概念与收敛半径6.4 幂级数的收敛域与展开式6.5 幂级数的运算与应用第七章：多元函数与多元函数的微分学7.1 多元函数的概念与性质7.2 偏导数与全微分7.3 多元复合函数与链式法则7.4 隐函数的导数7.5 多元函数的极值与条件极值第八章：重积分与曲线积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 极坐标与换元法8.3 曲线积分的概念与性质8.4 Green公式与流量法8.5 曲面积分的概念与性质8.6 Stokes公式与散度定理第九章：常微分方程9.1 一阶常微分方程的基本概念与解法9.2 高阶线性常微分方程9.3 常系数线性常微分方程与欧拉方程9.4 变系数线性常微分方程与常微商高阶方程9.5 常微分方程的级数解与常值互异解第十章：向量分析10.1 向量的基本概念与运算10.2 向量场的导数与微分运算10.3 格林公式与高斯公式10.4 斯托克斯公式与调和函数10.5 曲面的参数化与曲线积分10.6 曲线与曲面积分的应用以上是《高等数学专业教材答案》的章节目录。